Апофема

редактировать

Отрезок от центра многоугольника до середины одной из его сторон

Графики сторона, с; апофема, a и площадь, A из правильных многоугольников из n сторон и радиус описанной окружности 1, с базой, b прямоугольника с той же площадью - зеленая линия показывает случай n = 6

апофема (иногда сокращенно апо ) правильного многоугольника - это отрезок прямой от центра до середины одной из его сторон. Эквивалентно, это линия, проведенная из центра многоугольника, перпендикулярная одной из его сторон. Слово «апофема» также может относиться к длине этого отрезка линии. Правильные многоугольники - единственные многоугольники, у которых есть апофемы. Из-за этого все апофемы в многоугольнике будут конгруэнтными.

. Для правильной пирамиды , которая представляет собой пирамиду, основание которой является правильным многоугольником, апофема - это наклонная высота . боковой грани; то есть кратчайшее расстояние от вершины до основания данной грани. Для усеченной правильной пирамиды (правильная пирамида, часть вершины которой удалена плоскостью , параллельной основанию), апофема - это высота трапециевидной боковой грани.

Для равностороннего треугольника апофема эквивалентна отрезку прямой от середины стороны до любого из центров треугольника, поскольку центры равностороннего треугольника совпадают, как следствие определения.

Содержание

1 Свойства апофем
2 Поиск апофемы
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Свойства апофем

Апофема a может использоваться для определения площади любого правильного n-стороннего многоугольника со стороной s в соответствии со следующей формулой, в которой также указано, что площадь равна апофеме, умноженной на половину периметра , поскольку ns = p.

А = n s a 2 = p a 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}

A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.

Эту формулу можно получить, разделив n-сторонний многоугольник на n конгруэнтных равнобедренных треугольников, а затем отметив, что апофема - это высота каждого треугольника, и что площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту. Все следующие формулировки эквивалентны:

A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 cot ⁡ (π n) = na 2 tan ⁡ (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}

{\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n }} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}

Апофема правильного многоугольника всегда будет радиусом вписанного круг. Это также минимальное расстояние между любой стороной многоугольника и его центром.

Это свойство также можно использовать для простого вывода формулы для площади круга, потому что, когда количество сторон приближается к бесконечности, площадь правильного многоугольника приближается к площади вписанной окружности радиуса r = a.

A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2} } = \ pi r ^ {2}}

A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}

Поиск апофемы

Апофему правильного многоугольника можно найти несколькими способами.

Апофема a правильного n-стороннего многоугольника с длиной стороны s или радиус описанной окружности R может быть найдена по следующей формуле:

a = s 2 tan tan (π n) = R cos ⁡ (π n). {\ displaystyle a = {\ frac {s} {2 \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} = R \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n }} \ right).}

{\ displaystyle a = {\ frac {s} {2 \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} = R \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right).}

Апофему также можно найти по

a = s 2 tan (π (n - 2) 2 n). {\ displaystyle a = {\ frac {s} {2}} \ tan \! \ left ({\ frac {\ pi (n-2)} {2n}} \ right).}

{\ displaystyle a = {\ frac {s} {2}} \ tan \! \ left ({\ frac {\ pi (n-2)} {2n}} \ right).}

Эти формулы все еще могут использоваться, даже если известны только периметр p и количество сторон n, поскольку $s = pn. {\ displaystyle s = {\ frac {p} {n}}.}$ $s = {\ frac {p} {n}}.$

См. также

Ссылки

^Шейнифелт, Тед В. «德博士的 Notes about Circles, ज्य, कोज्य: Что такое хаберкозин?». Хило, Гавайи: Гавайский университет. Архивировано из оригинала на 19 сентября 2015 года. Проверено 8 ноября 2015 г.

Внешние ссылки

Найдите apothem в Викисловаре, бесплатном словаре.

Апофема правильного многоугольника С интерактивным анимация
Апофема пирамиды или усеченная пирамида
Пегг-младший, Эд. «Сагитта, апофема и аккорд». Демонстрационный проект Wolfram.