Фрустум

Чтобы узнать о вершине в Антарктиде, см. Гору Фрустум.

Набор пирамидальных усиков
Примеры: пятиугольная и квадратная усеченная
Лица	n трапеций, 2 n -угольника
Края	3 п
Вершины	2 п
Группа симметрии	C n v, [1, n ], (* nn)
Характеристики	выпуклый

В геометрии, A усеченное (множественное число: frusta или усеченные) представляет собой части твердое вещество (обычно конус или пирамиды ), которая лежит между одной или двумя параллельными плоскостями резки его. Правая усеченный является параллельным усечением из правой пирамиды или правого конуса.

В компьютерной графике, то просмотр усеченного является трехмерным область, которая видна на экране. Он образован обрезанной пирамидой; в частности, отсечение усеченного конуса - это метод определения скрытой поверхности.

В аэрокосмической промышленности усеченный обтекатель - это обтекатель между двумя ступенями многоступенчатой ​​ракеты (такой как Сатурн V ), имеющий форму усеченного конуса.

Если принудительно сделать все края идентичными, усеченная пирамида превратится в однородную призму.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Элементы, особые случаи и связанные концепции
• 2 Формула
  • 2.1 Объем
  • 2.2 Площадь поверхности
• 3 Примеры
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Элементы, особые случаи и связанные концепции

Квадратный усеченный Правильный октаэдр может быть увеличен на 3-х гранях, чтобы создать треугольную усеченную вершину.

Ось усеченного конуса - это ось исходного конуса или пирамиды. Усеченный конус считается круглым, если у него круглые основания; это правильно, если ось перпендикулярна обоим основаниям, и наклонная в противном случае.

Высота усеченного конуса - это расстояние по перпендикуляру между плоскостями двух оснований.

Конусы и пирамиды можно рассматривать как вырожденные случаи усечения, когда одна из секущих плоскостей проходит через вершину (так что соответствующее основание сводится к точке). Пирамидальные усики являются подклассом призматоидов.

Две усики, соединенные в основании, образуют двустворчатый ствол.

Формула

Объем

Формула объема усеченной квадратной пирамиды была введена древнеегипетскими математиками в так называемом Московском математическом папирусе, написанном в 13-й династии ( около 1850 г. до н.э.):

${\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} h \ left (a ^ {2} + ab + b ^ {2} \ right).}$

где a и b - длина основания и верхней стороны усеченной пирамиды, а h - высота. Египтяне знали правильную формулу для получения объема усеченной квадратной пирамиды, но никаких доказательств этого уравнения в московском папирусе не приводится.

Объем конической или пирамидальной усеченного является объем твердого вещества перед нарезкой вершинный офф, минус объем вершины:

${\ displaystyle V = {\ frac {h_ {1} B_ {1} -h_ {2} B_ {2}} {3}}}$

где B 1 - площадь одного основания, B 2 - площадь другого основания, а h 1, h 2 - высоты перпендикуляра от вершины к плоскостям двух оснований.

Учитывая, что

${\ displaystyle {\ frac {B_ {1}} {h_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {B_ {2}} {h_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} {h_ {1} h_ {2}}} = \ alpha}$,

формулу для объема можно выразить как произведение этой пропорциональности α / 3 и разности кубов только высот h 1 и h 2.

${\ displaystyle V = {\ frac {h_ {1} \ alpha h_ {1} ^ {2} -h_ {2} \ alpha h_ {2} ^ {2}} {3}} = {\ frac {\ alpha } {3}} (ч_ {1} ^ {3} -ч_ {2} ^ {3})}$

Факторизуя разность двух кубов, a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ²), получаем h 1 - h 2 = h, высоту усеченной вершины и α * ( ч 1 ² + ч 1 ч 2 + ч 2 ²/3).

Распределяя α и заменяя его определение, получают среднее значение Герона для областей B 1 и B 2. Альтернативная формула поэтому

${\ displaystyle V = {\ frac {h} {3}} \ left (B_ {1} + {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} + B_ {2} \ right)}$.

Герон Александрийский известен тем, что вывел эту формулу и встретил мнимую единицу, квадратный корень из отрицательной единицы.

В частности, объем усеченного кругового конуса равен

${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi h} {3}} \ left (r_ {1} ^ {2} + r_ {1} r_ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right)}$

где r 1, r 2 - радиусы двух оснований.

Объем усеченной пирамиды, основания которой представляют собой n- сторонние правильные многоугольники, равен

${\ displaystyle V = {\ frac {nh} {12}} \ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {1} a_ {2} + a_ {2} ^ {2} \ right) \ cot { \ frac {\ pi} {n}}}$

где a 1 и a 2 - стороны двух оснований.

Площадь поверхности

Коническая усеченная 3D модель усеченного конуса.

Для правильного кругового конуса усеченного конуса

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Площадь боковой поверхности}} amp; = \ pi \ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) s \\ amp; = \ pi \ left (r_ {1 } + r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ {2} \ right) ^ {2} + h ^ {2}}} \ end {выровнено}}}$

и

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Общая площадь}} amp; = \ pi \ left (\ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) s + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right) \\ amp; = \ pi \ left (\ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ { 2} \ right) ^ {2} + h ^ {2}}} + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right) \ end {align}}}$

где r 1 и r 2 - базовый и верхний радиусы соответственно, а s - наклонная высота усеченного конуса.

Площадь поверхности правой усеченной кости, основания которой представляют собой подобные правильные n- сторонние многоугольники, равна

${\ displaystyle A = {\ frac {n} {4}} \ left [\ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} \ right) \ cot {\ frac {\ pi} {n}} + {\ sqrt {\ left (a_ {1} ^ {2} -a_ {2} ^ {2} \ right) ^ {2} \ sec ^ {2} {\ frac {\ pi} { n}} + 4h ^ {2} \ left (a_ {1} + a_ {2} \ right) ^ {2}}} \ right]}$

где a 1 и a 2 - стороны двух оснований.

Примеры

Шоколадные конфеты марки Rolo имеют форму правильного круглого конуса, но не плоские сверху.

• На оборотной стороне (реверсе) однодолларовой банкноты Соединенных Штатов пирамидальная усеченная пирамида изображена на реверсе Великой печати Соединенных Штатов, увенчанной Оком Провидения.
• Зиккураты, ступенчатые пирамиды и некоторые древние курганы коренных американцев также образуют усеченную пирамиду с дополнительными функциями, такими как добавленные лестницы.
• Китайские пирамиды.
• Центр Джона Хэнкока в Чикаго, штат Иллинойс, представляет собой усеченную пирамиду, основания которой представляют собой прямоугольники.
• Монумент Вашингтона узкий квадрат на основе пирамидальной усеченного увенчанный небольшой пирамиды.
• Просмотр усеченный в 3D компьютерной графики может использоваться виртуальной Фото- и видеокамерами поля зрения моделируемого пирамидальным усеченным.
• В английском переводе сборника рассказов Станислава Лема « Кибериада» стихотворение « Любовь и тензорная алгебра» утверждает, что «каждая усеченная пирамида стремится быть конусом».
• Ведра и типичные абажуры - повседневные примеры усеченных конусов.
• Питьевые стаканы и некоторые космические капсулы также являются некоторыми примерами.

Смотрите также

• Сферический усеченный

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Вывод формулы объема усеченных пирамиды и конуса (Mathalino.com)
• Вайсштейн, Эрик В. «Пирамидальная усеченная пирамида». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Коническая усеченная фигура". MathWorld.
• Бумажные модели усеченных пирамид
• Бумажная модель усеченного конуса (усеченного конуса)
• Дизайнерские бумажные модели усеченных конусов (усеченных конусов)