Пятиугольный икоситетраэдр

Пятиугольный икоситетраэдр
. (щелкните ccw или cw для вращения моделей.)
Тип	Каталанский
Нотация Конвея	gC
Диаграмма Кокстера
Многоугольник лица	. неправильный пятиугольник
Грани	24
Ребра	60
Вершины	38 = 6 + 8 + 24
Конфигурация лица	V3.3.3.3.4
Двугранный угол	136 ° 18 '33'
Группа симметрии	O, ½BC 3, [4,3], 432
Двойной многогранник	курносый куб
Свойства	выпуклый, грань- переходная, хиральная
. Сеть

3d модель пятиугольного икоситетраэдра

В геометрии пятиугольный икоситетраэдр или пятиугольный икосикаитетраэдр - это каталонское твердое тело, которое является двойным для курносого куба. В кристаллографии он также называется гироидом .

. Он имеет две различные формы, которые являются зеркальными изображениями (или «энантиоморфами ») каждого Другой.

Содержание

• 1 Построение
• 2 Декартовы координаты
• 3 Геометрия
• 4 Ортогональные проекции
  • 4.1 Варианты
• 5 Связанные многогранники и мозаики
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Конструкция

Пятиугольный икоситетраэдр может быть построен из курносого куба без двойного. Квадратные пирамиды добавляются к шести квадратным граням курносого куба, а треугольные пирамиды добавляются к восьми треугольным граням, не имеющим общего ребра с квадратом. Высота пирамиды регулируется, чтобы сделать их копланарными с другими 24 треугольными гранями курносого куба. В результате получился пятиугольный икоситетраэдр.

Декартовы координаты

Обозначим константу трибоначчи как $t\; \approx \; 1,839\; 286\; 755\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; приблизительно\; 1,839\; \backslash ,\; 286\; \backslash ,\; 755\; \backslash ,\; 21\; \}$. (См. курносый куб для геометрического объяснения постоянной трибоначчи.) Тогда декартовы координаты для 38 вершин пятиугольного икоситетраэдра с центром в начале координат следующие:

• 12 четных перестановок числа (± 1, ± (2t + 1), ± t) с четным числом знаков минус
• 12 нечетных перестановок числа (± 1, ± (2t + 1), ± t) с нечетным числом знаков минус
• 6 точек (± t, 0, 0), (0, ± t, 0) и (0, 0, ± t)
• 8 точек (± t, ± t, ± t)

Геометрия

Пятиугольные грани имеют четыре угла $arccos\; \; ((1\; -\; t)\; /\; 2)\; \approx \; 114,812\; 074\; 477\; 90\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; ((1-t)\; /\; 2)\; \backslash \; приблизительно\; 114,812\; \backslash ,\; 074\; \backslash ,\; 477\; \backslash ,\; 90\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$и один угол $arccos\; \; (2\; -\; t)\; \approx \; 80,751\; 702\; 088\; 39\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; (2-t)\; \backslash \; около\; 80,751\; \backslash ,\; 702\; \backslash ,\; 088\; \backslash ,\; 39\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$. Пентагон имеет три коротких ребра единичной длины и два длинных ребра длиной $(t\; +\; 1)\; /\; 2\; \approx \; 1,419\; 643\; 377\; 607\; 08\; \{\backslash \; displaystyle\; (t\; +\; 1)\; /\; 2\; \backslash \; приблизительно\; 1,419\; \backslash ,\; 643\; \backslash ,\; 377\; \backslash ,\; 607\; \backslash ,\; 08\}$. Острый угол находится между двумя длинными краями. Двугранный угол равен $arccos\; \; (-\; 1\; /\; (t\; 2\; -\; 2))\; \approx \; 136.309\; 232\; 892\; 32\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; (-1\; /\; (t\; ^\; \{2\}\; -2))\; \backslash \; приблизительно\; 136.309\; \backslash ,\; 232\; \backslash ,\; 892\; \backslash ,\; 32\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$.

Если его двойной курносый куб имеет единичную длину ребра, его площадь поверхности и объем равны:

$A\; =\; 3\; 22\; (5\; t\; -\; 1)\; 4\; t\; -\; 3\; \approx \; 19,299\; 94\; V\; =\; 11\; (t\; -\; 4)\; 2\; (20\; t\; -\; 37)\; \approx \; 7,4474\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\; =\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{22\; (5t-1)\}\; \{4t-3\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 19.299\; \backslash ,\; 94\; \backslash \backslash \; V\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{11\; (t-4)\}\; \{2\; (20t-37)\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 7.4474\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Ортогональные проекции

Пятиугольный икоситетраэдр имеет три положения симметрии: два с центром в вершинах и одно по краю.

Ортогональные проекции

Проективная. симметрия	[3]	[4 ]	[2]
Изображение
Двойное. image

Варианты

Изоэдральные варианты с одинаковой хирально-октаэдрической симметрией могут быть построены с пятиугольными гранями, имеющими 3 длины ребра.

Этот показанный вариант может быть построен путем добавления пирамид к 6 квадратным граням и 8 треугольным граням курносого куба, так что новые треугольные грани с 3 копланарными треугольниками сливаются в идентичные грани пятиугольника.

. Курносый куб с увеличенными пирамидами и объединенными гранями

. Пятиугольный икоситетраэдр

. Сеть

Связанные многогранники и мозаики

Сферический пятиугольный икоситетраэдр

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности многогранники и мозаики пятиугольников с конфигурациями граней (V3.3.3.3.n). (Последовательность переходит в мозаику гиперболической плоскости к любому n.) Эти переходные по граням фигуры имеют (n32) вращательную симметрию.

n32 мутаций симметрии плоскостных мозаик: 3.3.3.3.n v
Симметрия. n32	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub. цифры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскоп. цифры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3. 3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Пятиугольный икоситетраэдр является вторым в серии двойных курносых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.4.3.n.

Мутации симметрии 4n2 курносых элементов: 3.3.4.3.n [ v ]
Симметрия. 4n2	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомп.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Snub. цифры
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гироскоп. цифры
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Пятиугольный икоситетраэдр является одним из семейства двойственных однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3]. (432)	[1, 4,3] = [3,3]. (* 332)		[3,4]. (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3}. r {3}	t{3,4}. t {3}	{3, 4}. {3}	rr {4,3}. s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3}. {3,3}	h2{4,3}. t {3,3}	с {3,4}. s {3}
		. =	. =	. =				=. или	=. или	=.
		.	.	.	.					.
Двойники к однородным многогранникам
V4	V3.8	V (3.4)	V4.6	V3	V3.4	V4. 6.8	V3.4	V3	V3.6	V3

Ссылки

• Williams, Robert (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Тринадцать полурегулярных выпуклых многогранников и их двойники, стр. 28, пятиугольный икоситетраэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и плиток, стр. 287, пятиугольный икосикаитететраэдр)

Внешние ссылки

• Пятиугольный икоситетраэдр - Модель интерактивного многогранника