Ромбокубооктаэдр

редактировать
«Расширенный октаэдр» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о структуре тенсегрити, см . Икосаэдр Джессена.
Ромбокубооктаэдр
Ромбокубооктаэдр.jpg (Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2)
Лица по сторонам 8 {3} + (6 + 12) {4}
Обозначение Конвея eC или aaC aaaT
Символы Шлефли rr {4,3} или р { 4 3 } {\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}
т 0,2 {4,3}
Символ Wythoff 3 4 | 2
Диаграмма Кокстера CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Группа симметрии O h, B 3, [4,3], (* 432), порядок 48
Группа вращения O, [4,3] +, (432), порядок 24
Двугранный угол 3-4: 144 ° 44′08 ″ (144,74 °) 4-4: 135 °
использованная литература U 10, C 22, W 13
Характеристики Полурегулярно выпуклый
Многогранник малые ромбы 6-8 max.png Цветные лица Многогранник малый ромб 6-8 vertfig.svg 3.4.4.4 ( фигура вершины )
Многогранник small rhombi 6-8 dual max.png Дельтоидальный икоситетраэдр ( двойственный многогранник ) Многогранник ромбик малый 6-8 net.svg Сеть

В геометрии, в ромбокубооктаэдре, или небольшой ромбокубооктаэдре, является архимедовым твердым веществом с восьмью треугольными и восемнадцатью квадратными гранями. Есть 24 одинаковых вершины, в каждой из которых сходятся один треугольник и три квадрата. (Обратите внимание, что шесть квадратов имеют общие вершины только с треугольниками, в то время как другие двенадцать имеют одно ребро.) Многогранник имеет октаэдрическую симметрию, как куб и октаэдр. Его двойник называется дельтовидным икоситетраэдром или трапециевидным икоситетраэдром, хотя его грани на самом деле не являются настоящими трапециями.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Имена
  • 2 Геометрические отношения
    • 2.1 Рассечение
    • 2.2 Ортогональные проекции
  • 3 Сферическая черепица
  • 4 Пиритоэдрическая симметрия
  • 5 Алгебраические свойства
    • 5.1 декартовы координаты
    • 5.2 Площадь и объем
    • 5.3 Плотность плотной упаковки
  • 6 В искусстве
  • 7 объектов
  • 8 Родственные многогранники
    • 8.1 Мутации симметрии
    • 8.2 Расположение вершин
  • 9 Ромбокубооктаэдрический граф
  • 10 См. Также
  • 11 Источники
  • 12 Дальнейшее чтение
  • 13 Внешние ссылки

Имена

Иоганн Кеплер в « Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбокубооктаэдром, сокращенно от усеченного кубооктаэдрического ромба, причем кубооктаэдрический ромб был его именем для ромбического додекаэдра. Существуют различные усечения ромбического додекаэдра в топологический ромбокубооктаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (в центре), и выпрямление двойного кубооктаэдра (справа), которое является ядром двойного соединения..

Его также можно назвать расширенным или наклонным кубом или октаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике.

С момента включения в Wings 3D в качестве «восьмерки» это неофициальное прозвище становится все более популярным.

Геометрические отношения

Ромбокубооктаэдр можно рассматривать как расширенный куб (синие грани) или расширенный октаэдр (красные грани).

Имеются искажения ромбокубооктаэдра, которые, хотя некоторые из граней не являются правильными многоугольниками, по-прежнему однородны по вершинам. Некоторые из них можно сделать, если взять куб или октаэдр и отрезать края, а затем обрезать углы, так что полученный многогранник имеет шесть квадратных и двенадцать прямоугольных граней. Они обладают октаэдрической симметрией и образуют непрерывный ряд между кубом и октаэдром, аналогично искажениям ромбикосододекаэдра или тетраэдрическим искажениям кубооктаэдра. Однако ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые не обладают октаэдрической симметрией, а скорее симметрией T h, поэтому они инвариантны относительно тех же вращений, что и тетраэдр, но с разными отражениями.

Линии, по которым можно повернуть кубик Рубика, проецируются на сферу, похожую, топологически идентичную ребрам ромбокубооктаэдра. Фактически были созданы варианты с использованием механизма кубика Рубика, которые очень напоминают ромбокубооктаэдр.

Ромбокубооктаэдр используется в трех однородных мозаиках, заполняющих пространство : прямоугольные кубические соты, усеченные кубические соты и чередующиеся чередующиеся кубические соты.

Расслоение

Ромбокубооктаэдр можно разделить на два квадратных купола и центральную восьмиугольную призму. Вращение одного купола на 45 градусов создает псевдо-ромбы-cubocta-гранник. Оба этих многогранника имеют одинаковую фигуру вершины: 3.4.4.4.

Есть три пары параллельных плоскостей, каждая из которых пересекает ромбокубооктаэдр в правильном восьмиугольнике. Ромбокубооктаэдр можно разделить вдоль любого из них, чтобы получить восьмиугольную призму с правильными гранями и два дополнительных многогранника, называемых квадратными куполами, которые считаются твердыми телами Джонсона ; таким образом, это удлиненная квадратная ортобикупола. Эти части можно собрать заново, чтобы получить новое твердое тело, называемое удлиненным квадратным гиробикуполом или псевдоромбокубооктаэдром, с симметрией квадратной антипризмы. В этом случае все вершины локально такие же, как у ромбокубооктаэдра, с одним треугольником и тремя квадратами, пересекающимися в каждом, но не все они идентичны по отношению ко всему многограннику, поскольку некоторые из них ближе к оси симметрии, чем другие.

Расчлененный ромбокубооктаэдр.png Маленький ромбокубооктаэдр.png Ромбокубооктаэдр
Псевдоромбокубооктаэдр.png Псевдоромбокубооктаэдр

Ортогональные проекции

Ромбокубооктаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций, по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольников и двух квадратов. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B 2 и A 2.

Ортогональные проекции
В центре Вершина Край 3-4 Край 4-4 Лицо Квадрат-1 Face Square-2 Лицо Треугольник
Твердый Многогранник маленькие ромбы 6-8 из синего max.png Многогранник маленькие ромбы 6-8 из красного max.png Многогранник маленькие ромбы 6-8 из желтого max.png
Каркас Куб t02 v.png Куб t02 e34.png Куб t02 e44.png Куб t02 f4b.png 3-кубик t02 B2.svg 3-кубик t02.svg
Проективная симметрия [2] [2] [2] [2] [4] [6]
Двойной Двойной куб t02 v.png Двойной куб t02 e34.png Двойной куб t02 e44.png Двойной куб t02 f4b.png Двойной куб t02 B2.png Двойной куб t02.png

Сферическая черепица

Ромбокубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию. Эта проекция является конформной, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Равномерная черепица 432-t02.png Стереографическая проекция ромбокубооктаэдра square.png (6) с квадратным центром Стереографическая проекция ромбокубооктаэдра square2.png (6) с квадратным центром Стереографическая проекция ромбокубооктаэдра треугольник.png (8) треугольник с центром
Ортогональная проекция Стереографические проекции

Пиритоэдрическая симметрия

Полусимметричная форма ромбокубооктаэдра, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png, существует с пиритоэдрической симметрией, [4,3 + ], (3 * 2) как диаграмма Кокстера CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node 1.png, Символ Шлефли s 2 {3,4}, и может быть назван кантическим курносым октаэдром. Эту форму можно визуализировать, поочередно раскрашивая края 6 квадратов. Эти квадраты можно затем превратить в прямоугольники, в то время как 8 треугольников останутся равносторонними. 12 диагональных квадратных граней станут равнобедренными трапециями. В пределе прямоугольники могут быть сведены к краям, а трапеции - в треугольники, и образуется икосаэдр за счет конструкции плоскостопного октаэдра,CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.png, с {3,4}. ( Соединение двух икосаэдров строится из обоих чередующихся позиций.)

Вариации пиритоэдрической симметрии
Равномерная окраска ребер ромбокубооктаэдра.png Единая геометрия CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node 1.png Cantic snub octahedron.png Неоднородная геометрия Ромбокубооктаэдр pyritointage.png Неоднородная геометрия Ромбокубооктаэдр pyritoangular2.png В пределе курносый октаэдр икосаэдра,CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.png, с одной из двух позиций. Ромбокубооктаэдр пиритоэдрическое соединение.png Соединение двух икосаэдров из обоих чередующихся позиций.

Алгебраические свойства

Декартовы координаты

Декартовы координаты для вершин ромбокубооктаэдр с центром в начале координат, причем длина ребра 2 единицы, являются все даже перестановок из

(± 1, ± 1, ± (1 + √ 2)).

Если исходный ромбокубооктаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной стромбический икоситетраэдр имеет длину ребра

2 7 10 - 2 а также 4 - 2 2 . {\ displaystyle {\ frac {2} {7}} {\ sqrt {10 - {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ text {и}} \ quad {\ sqrt {4-2 {\ sqrt { 2}}}}.}

Площадь и объем

Площадь A и объем V ромбокубооктаэдра с длиной ребра a равны:

А знак равно ( 18 + 2 3 ) а 2 21,464 1016 а 2 V знак равно 12 + 10 2 3 а 3 8,714 045 21 год а 3 . {\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = \ left (18 + 2 {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} amp;amp; \ приблизительно 21,464 \, 1016a ^ {2} \\ V amp; = {\ frac {12 + 10 {\ sqrt {2}}} {3}} a ^ {3} amp;amp; \ приблизительно 8.714 \, 045 \, 21a ^ {3}. \ End {align}}}

Плотность плотной упаковки

Оптимальная доля упаковки ромбокубооктаэдров определяется выражением

η знак равно 4 3 ( 4 2 - 5 ) {\ displaystyle \ eta = {\ tfrac {4} {3}} \ left (4 {\ sqrt {2}} - 5 \ right)}.

Было замечено, что это оптимальное значение получено в решетке Браве де Граафом ( 2011). Поскольку ромбокубооктаэдр содержится в ромбическом додекаэдре, вписанная сфера которого идентична его собственной вписанной сфере, значение оптимальной доли упаковки является следствием гипотезы Кеплера : этого можно достичь, поместив ромбокубооктаэдр в каждую ячейку ромбического додекаэдра. соты, и его нельзя превзойти, так как в противном случае оптимальную плотность упаковки сфер можно было бы превзойти, поместив сферу в каждый ромбокубооктаэдр гипотетической упаковки, которая ее превосходит.

В искусстве

Портрет Луки Пачоли (ок. 1495) Иллюстрация Леонардо да Винчи в пропорции Дивина (1509 г.)

Портрет Луки Пачоли 1495 года, традиционно приписываемый Якопо де Барбари, включает стеклянный ромбокубооктаэдр, наполовину заполненный водой, который, возможно, был написан Леонардо да Винчи. Первая печатная версия ромбокубооктаэдр был Леонардо и появился в Пачоли «s Divina Proportione (1509).

Сферическую панораму 180 ° × 360 ° можно спроецировать на любой многогранник; но ромбокубооктаэдр дает достаточно хорошее приближение к сфере, при этом его легко построить. Этот тип проекции, называемый « Филосфера», возможен с помощью некоторого программного обеспечения для сборки панорам. Он состоит из двух изображений, которые печатаются отдельно и вырезаются ножницами, оставляя некоторые клапаны для сборки с помощью клея.

Объекты

В играх Freescape Driller и Dark Side была игровая карта в форме ромбокубооктаэдра.

В «Галактике Торопиться-Снег» и «Галактика Морского Слайда» в видеоигре Super Mario Galaxy есть планеты, похожие на форму ромбокубооктаэдра.

Звуковой Еж 3 ' ы льды зона оснащена колонны увенчанных rhombicuboctahedra.

Во время повального увлечения кубиком Рубика в 1980-х годах по крайней мере две проданные извилистые головоломки имели форму ромбокубооктаэдра (механизм был похож на кубик Рубика ).

  • Солнечные часы (1596)

  • Солнечные часы

  • Уличный фонарь в Майнце

  • Матрица с 18 маркированными гранями

  • Кабелас стрельбы по мишеням

  • Змея Рубика

  • Вариант кубика Рубика

  • Кристалл пирита

Связанные многогранники

Ромбокубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432) [4,3] + (432) [1 +, 4,3] = [3,3] (* 332) [3 +, 4] (3 * 2)
{4,3} т {4,3} г {4,3} г {3 1,1 } т {3,4} т {3 1,1 } {3,4} {3 1,1 } rr {4,3} s 2 {3,4} tr {4,3} sr {4,3} ч {4,3} {3,3} ч 2 {4,3} т {3,3} с {3,4} с {3 1,1 }
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel узел h.pngCDel 4.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel узел h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node.png CDel узел h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png CDel узел h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png знак равно CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png CDel узел h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png знак равно CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png или Узлы CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png CDel узел h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png знак равно CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png или Узлы CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel узел h0.png знак равно CDel узел h.pngCDel split1.pngУзлы CDel hh.png
Равномерный многогранник-43-t0.svg Равномерный многогранник-43-t01.svg Равномерный многогранник-43-t1.svg Однородный многогранник-33-t02.png Однородный многогранник-43-t12.svg Однородный многогранник-33-t012.png Равномерный многогранник-43-t2.svg Однородный многогранник-33-t1.png Однородный многогранник-43-t02.png Равномерная окраска ребер ромбокубооктаэдра.png Однородный многогранник-43-t012.png Однородный многогранник-43-s012.png Равномерный многогранник-33-t0.png Однородный многогранник-33-t2.png Равномерное многогранник-33-t01.png Равномерное многогранник-33-t12.png Равномерный многогранник-43-h01.svg Равномерное многогранник-33-s012.svg
Двойники к однородным многогранникам
V4 3 V3.8 2 В (3,4) 2 V4.6 2 V3 4 V3.4 3 V4.6.8 V3 4.4 V3 3 V3.6 2 V3 5
CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png CDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png CDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png
Octahedron.jpg Triakisoctahedron.jpg Ромбододекаэдр.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.jpg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.jpg Triakistetrahedron.jpg Додекаэдр.jpg

Мутации симметрии

Этот многогранник топологический связан как часть последовательности cantellated многогранников с вершиной фигурой (3.4. П.4), и продолжается, как разбиения на гиперболической плоскости. Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией.

* n 32 изменение симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4
Симметрия * n 32 [n, 3] Сферический Евклид. Компактная гиперболия. Paracomp.
* 232 [2,3] * 332 [3,3] * 432 [4,3] * 532 [5,3] * 632 [6,3] * 732 [7,3] * 832 [8,3]... * ∞32 [∞, 3]
Фигура Сферическая треугольная призма.png Равномерная черепица 332-t02.png Равномерная черепица 432-t02.png Равномерная черепица 532-t02.png Однородный многогранник-63-t02.png Ромбитригептагональная плитка.svg H2-8-3-cantellated.svg H2 мозаика 23i-5.png
Конфиг. 3.4.2.4 3.4.3.4 3.4.4.4 3.4.5.4 3.4.6.4 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4
* n 42 мутация симметрии расширенных плиток: n.4.4.4
Симметрия [n, 4], (* n 42) Сферический Евклидово Компактный гиперболический Paracomp.
* 342 [3,4] * 442 [4,4] * 542 [5,4] * 642 [6,4] * 742 [7,4] * 842 [8,4] * ∞42 [∞, 4]
Расширенные цифры Равномерная черепица 432-t02.png Равномерная черепица 44-t02.png H2-5-4-cantellated.svg Равномерная черепица 64-t02.png Равномерная черепица 74-t02.png Равномерная черепица 84-t02.png H2 мозаика 24i-5.png
Конфиг. 3.4.4.4 4.4.4.4 5.4.4.4 6.4.4.4 7.4.4.4 8.4.4.4 ∞.4.4.4
Конфигурация ромбических фигур . Сферический дельтовидный icositetrahedron.png V3.4.4.4 Равномерная черепица 44-t0.svg V4.4.4.4 H2-5-4-deltoidal.svg V5.4.4.4 Дельтовидная тетрагексагональная til.png V6.4.4.4 Дельтовидная тетрагептагональная til.png V7.4.4.4 Дельтовидный четырехугольник til.png V8.4.4.4 Дельтовидная тетраапейрогональная черепица.png V∞.4.4.4

Расположение вершин

У него общее расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками : звездчатым усеченным шестигранником, маленьким ромбогексаэдром (имеющим треугольные грани и шесть квадратных граней вместе) и маленьким кубокубооктаэдром (имеющим двенадцать общих квадратных граней).

Маленький ромбокубооктаэдр.png Ромбокубооктаэдр Маленький кубокубооктаэдр.png Малый кубокубооктаэдр Маленький ромбогексаэдр.png Малый ромбогексаэдр Звездчатый усеченный шестигранник.png Звездчатый усеченный шестигранник
Ромбокубооктаэдрический граф
Ромбокубооктаэдрический граф.png 4-х кратная симметрия
Вершины 24
Края 48
Автоморфизмы 48
Характеристики Граф четвертого порядка, гамильтониан, регулярный
Таблица графиков и параметров

Ромбокубооктаэдрический граф

В математической области теории графов, A rhombicuboctahedral график является графиком вершин и ребер из ромбокубооктаэдра, один из Архимеда твердых веществ. Он имеет 24 вершины и 48 ребер и является архимедовым графом квартики.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2024-01-10 04:18:58
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте