Пирамида (геометрия)

редактировать
Коническое тело с многоугольным основанием
Правые пирамиды с правильным основанием
Square Pyramid
Обозначение многогранника Конвея Yn
символ Шлефли () ∨ {n}
Лицаn треугольники,. 1 n-угольник
Ребра2n
Вершиныn + 1
Группа симметрии Cnv, [1, n], (* nn), порядок 2n
Группа вращения Cn, [1, n], (nn), порядок n
Двойной многогранник Самодвойственный
Свойствавыпуклый
1- скелет пирамиды - это граф колеса

В геометрии, пирамида - это многогранник, образованный соединением основания многоугольника и точки, называемой вершиной. Каждый край основания и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью. Представляет собой коническое тело с многоугольным основанием. Пирамида с n-сторонним основанием имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2n ребра. Все пирамиды самодвойственные.

A правая пирамида имеет вершину непосредственно над центроидом своего основания. Непрямые пирамиды называются наклонными пирамидами . правильная пирамида имеет основание правильного многоугольника и обычно подразумевается как правая пирамида.

Если не указано иное, пирамида обычно считается правильной квадратная пирамида, как и структура физической пирамиды. треугольник пирамида чаще называется тетраэдром.

Среди наклонных пирамид, таких как острый и тупой треугольники, пирамида может называться острой, если ее вершина выше внутренняя часть основания и тупой, если его вершина выше внешней стороны основания. У прямоугольной пирамиды вершина находится над ребром или вершиной основания. В тетраэдре эти квалификаторы меняются в зависимости от того, какая грань считается основной.

Пирамиды - это класс призматоидов. Пирамиды можно удвоить в бипирамиды, добавив вторую точку смещения на другой стороне базовой плоскости.

Содержание

  • 1 Правые пирамиды с правильным основанием
    • 1.1 Правые звездчатые пирамиды
  • 2 Правые пирамиды с неправильным основанием
  • 3 Объем
  • 4 Площадь поверхности
  • 5 Центроид
  • 6 n-мерные пирамиды
    • 6.1 Многогранная пирамида
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Правые пирамиды с правильным основанием

Правая пирамида с правильным основанием имеет стороны равнобедренного треугольника с симметрией C nv или [1, n] с порядком 2n. Ему может быть присвоен расширенный символ Шлефли () ∨ {n}, представляющий точку (), соединенную (ортогональное смещение) с правильным многоугольником, {n}. Операция соединения создает новое ребро между всеми парами вершин двух соединенных фигур.

тригональная или треугольная пирамида со всеми равносторонним треугольником становится правильным тетраэдром, одним из Платоновых тел. Случай более низкой симметрии треугольной пирамиды - это C 3v, который имеет основание равностороннего треугольника и 3 идентичные стороны равнобедренного треугольника. Квадратные и пятиугольные пирамиды также могут состоять из правильных выпуклых многоугольников, и в этом случае они являются телами Джонсона.

Если все ребра квадратной пирамиды (или любого выпуклого многогранника) касаются к сфера, так что среднее положение точек касания находится в центре сферы, тогда пирамида называется канонической, и она образует половину правильного октаэдра.

Пирамиды с основанием из шестиугольника и выше должны состоять из равнобедренных треугольников. Гексагональная пирамида с равносторонними треугольниками будет полностью плоской фигурой, а семиугольная или выше треугольники вообще не пересекаются.

Правильные пирамиды
Дигональ Треугольник Квадрат Пятиугольник Шестиугольник ШестиугольникВосьмиугольникЭннеагональДесятиугольник...
НеправильноеПравильноеРавностороннееРавнобедренное
Двухугольная пирамида1.png Tetrahedron.svg Square pyramid.png Пятиугольная пирамида.png Гексагональная пирамида. png Гептагональная пирамида1.png Octagon pyramid1.png Эннеагональная пирамида1.png Десятиугольная пирамида1.png
Сферическая двуугольная пирамида.png Сферическая тригональная пирамида.png Сферическая квадратная пирамида.png Сферическая пятиугольная pyramid.png Сферическая шестиугольная пирамида.png Сферическая семиугольная пирамида.png Сферическая восьмиугольная пирамида.png Сферическая пятиугольная пирамида.png Сферическая десятиугольная пирамида.png

Правые звездчатые пирамиды

Правые пирамиды с правильным звездчатым многоугольником основания называются звездными пирамидами . Например, пентаграммическая пирамида имеет основание пентаграммы и 5 пересекающихся сторон треугольника.

Pentagram pyramid.png

Правые пирамиды с неправильным основанием

Пример общей правой пирамиды с вершиной над центроидом основного многоугольника

A правая пирамида может быть названа как () ∨P, где () - точка вершины, ∨ - оператор соединения, а P - базовый многоугольник.

Прямоугольный тетраэдр равнобедренного треугольника можно записать как () ∨ [() ∨ {}] как соединение точки с основанием равнобедренного треугольника, как [() ∨ ()] ∨ {} или {} ∨ {} как соединение (ортогональные смещения) двух ортогональных сегментов, двуугольный дисфеноид, содержащий 4 грани равнобедренного треугольника. Он имеет симметрию C 1v при двух разных ориентациях основания и вершины и C 2v при полной симметрии.

A прямоугольная правая пирамида, записанная как () ∨ [{} × {}], и ромбическая пирамида, как () ∨ [{} + {}], обе имеют симметрию C 2v.

Правые пирамиды
Прямоугольная правая пирамида.png Ромбическая правая пирамида.png
Прямоугольная пирамидаРомбическая пирамида

Объем

объем пирамиды (также любой конус) равно V = 1 3 bh {\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} bh}{\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} bh} , где b - площадь основания и h высота от основания до вершины. Это работает для любого многоугольника, правильного или нерегулярного, и любого местоположения вершины, при условии, что h измеряется как расстояние перпендикуляра от плоскости, содержащей основание. В 499 году нашей эры Арьябхата, математик - астроном из классической эпохи индийской математики и индийской астрономии, использовал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.6).

Формулу можно формально доказать с помощью исчисления. По подобию линейные размеры поперечного сечения, параллельного основанию, линейно увеличиваются от вершины к основанию. Коэффициент масштабирования (коэффициент пропорциональности) равен 1 - yh {\ displaystyle 1 - {\ tfrac {y} {h}}}{\ displaystyle 1 - {\ tfrac {y} {h}}} или h - yh {\ displaystyle {\ tfrac {hy} {h}}}{\ displaystyle {\ tfrac {hy} {h}}} , где h - высота, а y - расстояние по перпендикуляру от плоскости основания до поперечного сечения. Поскольку площадь любого поперечного сечения пропорциональна квадрату коэффициента масштабирования формы, площадь поперечного сечения на высоте y равна b (h - y) 2 h 2 {\ displaystyle b {\ tfrac {(hy) ^ {2}} {h ^ {2}}}}{\ displaystyle b {\ tfrac {(hy) ^ {2}} {h ^ {2}}}} , или поскольку b и h являются константами, bh 2 (час - у) 2 {\ displaystyle {\ tfrac {b} {h ^ {2}}} (hy) ^ {2}}{\ displaystyle {\ tfrac {b} {h ^ {2}}} (hy) ^ {2}} . Объем задается интегралом

b h 2 ∫ 0 h (h - y) 2 d y = - b 3 h 2 (h - y) 3 | 0 ч = 1 3 б ч. {\ displaystyle {\ frac {b} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} (hy) ^ {2} \, dy = {\ frac {-b} {3h ^ {2 }}} (hy) ^ {3} {\ bigg |} _ {0} ^ {h} = {\ tfrac {1} {3}} bh.}{\ frac {b} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} (hy) ^ { 2} \, dy = {\ frac {-b} {3h ^ {2}}} (hy) ^ {3} {\ bigg |} _ {0} ^ {h} = {\ tfrac {1} {3 }} bh.

То же уравнение, V = 1 3 bh {\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} bh}{\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} bh} , также верно для конусов с любым основанием. Это можно доказать с помощью аргумента, аналогичного приведенному выше; см. объем конуса.

Например, объем пирамиды, основанием которой является n-сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s и высотой h, равен

V = n 12 ч. 2 детская кроватка ⁡ π n. {\ displaystyle V = {\ frac {n} {12}} hs ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {n}}.}V = {\ frac {n} {12}} hs ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {n}}.

Формула также может быть выведена точно без исчисления для пирамид с прямоугольные основания. Рассмотрим единичный куб. Проведите линии от центра куба к каждой из 8 вершин. Это делит куб на 6 равных квадратных пирамид с площадью основания 1 и высотой 1/2. Каждая пирамида явно имеет объем 1/6. Из этого мы заключаем, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Затем разверните куб равномерно в трех направлениях на неравные величины так, чтобы в результате получались сплошные прямоугольные ребра a, b и c с твердым объемом. abc. Каждая из шести пирамид внутри тоже расширяется. И каждая пирамида имеет одинаковый объем abc / 6. Поскольку пары пирамид имеют высоту a / 2, b / 2 и c / 2, мы снова видим, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Когда боковые треугольники равносторонние, формула для объема имеет вид

V = 1 12 n s 3 cot ⁡ (π n) 1 - 1 4 sin 2 ⁡ π n. {\ displaystyle V = {\ frac {1} {12}} ns ^ {3} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) {\ sqrt {1 - {\ frac {1) } {4 \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ pi} {n}}}}}}.}{ \ Displaystyle V = {\ frac {1} {12}} ns ^ {3} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {4 \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ pi} {n}}}}}}.}

Эта формула применима только для n = 2, 3, 4 и 5; и он также охватывает случай n = 6, для которого объем равен нулю (т. е. высота пирамиды равна нулю).

Площадь поверхности

Площадь поверхности пирамида - это A = B + PL 2 {\ displaystyle A = B + {\ tfrac {PL} {2}}}{\ displaystyle A = B + {\ tfrac {PL} {2}}} , где B - площадь основания, P - основание периметр и наклонная высота L = h 2 + r 2 {\ displaystyle L = {\ sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}}{\ displaystyle L = {\ sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}} , где h - высота пирамиды, а r - внутренний радиус основания.

Центроид

центроид пирамиды расположен на отрезке линии, соединяющем вершину с центроидом основания. Для твердой пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины.

n-мерные пирамиды

Двумерная пирамида - это треугольник, образованный ребром основания, соединенным с неколлинеарной точкой, называемой вершиной.

4-мерная пирамида - это называется многогранной пирамидой, построенной из многогранника в трехмерной гиперплоскости четырехмерного пространства с другой точкой за пределами этой гиперплоскости.

Пирамиды более высокой размерности строятся аналогично.

Семейство симплексов представляет пирамиды в любом измерении, возрастающем от треугольника, тетраэдра, 5-ячеечного, 5-симплекс и т. Д. N-мерный симплекс имеет минимум n + 1 вершин, причем все пары вершин соединены ребрами, все тройки вершин определяющие грани, все четверки точек, определяющие тетраэдрические ячейки и т. д.

Многогранная пирамида

В 4-мерной геометрии многогранник пирамида - это 4-многогранник, построенный из базовой ячейки многогранника и точки вершины. Боковые фасеты представляют собой ячейки пирамиды, каждая из которых состоит из одной грани базового многогранника и вершины. Вершины и ребра многогранных пирамид образуют примеры вершинных графов, графов, образованных добавлением одной вершины (вершины) к планарному графу (графу основания).

Обычный 5-элементный (или 4- симплекс ) является примером тетраэдрической пирамиды. Из однородных многогранников с описанными радиусами меньше 1 можно образовать многогранные пирамиды с правильными четырехгранными сторонами. Многогранник с v вершинами, e ребрами и f гранями может быть основанием многогранной пирамиды с v + 1 вершинами, e + v ребрами, f + e гранями и 1 + f ячейками.

Четырехмерная многогранная пирамида с осевой симметрией может быть визуализирована в 3D с помощью диаграммы Шлегеля - трехмерной проекции, в которой вершина находится в центре базового многогранника.

Равносторонние однородные пирамиды на основе многогранников (диаграмма Шлегеля )
Симметрия[1,1,4][1,2,3][1,3,3][1,4,3][1,5,3]
ИмяКвадратно-пирамидальная пирамида Тетраэдрическая пирамида Кубическая пирамида Октаэдрическая пирамида Икосаэдрическая пирамида
Сегментохора. индексK4.4K4.7K4.1K4.26.1K4.3K4.84
Высота0,7071070,7905690,7905690,5000000,7071070,309017
Изображение. (Основание)Квадратная пирамида pyramid.png Треугольная призма pyramid.png Каркас Шлегеля 5-cell.png Кубическая пирамида.png Октаэдрическая пирамида.png Икосаэдрическая пирамида.png
ОснованиеКвадрат. пирамида Треугольная. призма Тетраэдр Куб Октаэдр Икосаэдр

Любой выпуклый 4-многогранник можно разделить на многогранные пирамиды, добавив внутреннюю точку и создав по одной пирамиде из каждой

4-мерный объем многогранной пирамиды равен 1/4 объема базового многогранника, умноженному на его pe. Пендикулярная высота по сравнению с площадью треугольника, равной 1/2 длины основания, умноженной на высоту, и объемом пирамиды, равным 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

См. Также

Ссылки

  1. ^Уильям Ф. Керн, Джеймс Р. Блэнд, Измерение твердого тела с доказательства, 1938, с. 46
  2. ^Карманный справочник инженеров-строителей: Справочник для инженеров Архивировано 25 февраля 2018 г. в Wayback Machine
  3. ^N.W. Джонсон : Геометрии и преобразования, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии, 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы
  4. ^Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 50, ISBN 978-0-521-09859-5, заархивировано из оригинала на 2013-12-11.
  5. ^Convex Segmentochora Архивировано 19 апреля 2014 г. в Wayback Machine Dr. Ричард Клитцинг, Симметрия: культура и наука, Vol. 11, №№ 1–4, 139–181, 2000

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Пирамидами (геометрия).
Последняя правка сделана 2021-06-02 11:37:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте