Выпуклая геометрия

В математика, выпуклая геометрия - это раздел геометрии, изучающий выпуклые множества, в основном в евклидовом пространстве. Выпуклые множества естественным образом встречаются во многих областях: вычислительная геометрия, выпуклый анализ, дискретная геометрия, функциональный анализ, геометрия чисел., интегральная геометрия, линейное программирование, теория вероятностей, теория игр и т.д.

Содержание

• 1 Классификация
• 2 Историческая справка
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Классификация

Согласно Классификация предметов по математике MSC2010, математическая дисциплина «Выпуклая и дискретная геометрия» включает в себя три основных раздела:

• многогранники общей выпуклости
• и многогранники
• дискретная геометрия

(хотя включены только части последних двух в выпуклой геометрии).

Общая выпуклость далее подразделяется на:

• аксиоматическая и обобщенная выпуклость
• выпуклые множества без ограничений размерности
• выпуклые множества в топологических векторных пространствах
• выпуклые множества в 2 измерениях (включая выпуклые кривые)
• выпуклые множества в 3 измерениях (включая выпуклые поверхности)
• выпуклые множества в n измерениях (включая выпуклые гиперповерхности)
• конечные- размерные банаховы пространства
• случайные выпуклые множества и интегральная геометрия
• асимптотическая теория выпуклых тел
• аппроксимация выпуклыми множествами
• варианты выпуклых множеств (звездчатые, (m, n) -выпуклые и т. д.)
• Теоремы типа Хелли и геометрическая теория трансверсалей
• другие задачи комбинаторной выпуклости
• длина, площадь, объем
• смешанные объемы и связанные темы
• оценки выпуклых тел
• неравенства и экстремальные задачи
• выпуклые функции и выпуклые программы
• сферическая и гиперболическая выпуклость

Термин выпуклая геометрия также используется в комбинаторике как альтернативный Имя для антиматроида, которое является одной из абстрактных моделей выпуклых множеств.

Историческая справка

Выпуклая геометрия - относительно молодая математическая дисциплина. Хотя первые известные вклады в выпуклую геометрию относятся к античности и прослеживаются в трудах Евклида и Архимеда, на рубеже 20-го века она стала самостоятельным разделом математики., главным образом благодаря работам Германа Брунна и Германа Минковского во втором и третьем измерениях. Большая часть их результатов вскоре была обобщена на пространства более высоких размерностей, и в 1934 г. Т. Боннесен и В. Фенхель дал исчерпывающий обзор выпуклой геометрии в евклидовом пространстве R. Дальнейшее развитие выпуклой геометрии в 20-м веке и ее связь с многочисленными математическими дисциплинами кратко изложены в «Справочнике по выпуклой геометрии» под редакцией П. М. Грубера и Дж. М. Уиллса.

См. Также

• Список тем о выпуклости

Примечания

Ссылки

Разъяснительные статьи по выпуклой геометрии

• К. Болл, Элементарное введение в современную выпуклую геометрию, в: Ароматы геометрии, стр. 1–58, Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, доступно онлайн.
• М. Бергер, Выпуклость, амер. Математика. Ежемесячно, Vol. 97 (1990), 650–678. DOI: 10.2307 / 2324573
• П. М. Грубер, Аспекты выпуклости и их приложения, Экспозиция. Math., Vol. 2 (1984), 47—83.
• В. Klee, что такое выпуклый набор? Амер. Математика. Ежемесячно, Vol. 78 (1971), 616—631, DOI: 10.2307 / 2316569

Книги по выпуклой геометрии

• Т. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlin, 1934. Английский перевод: Теория выпуклых тел, BCS Associates, Москва, ID, 1987.
• R. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, Cambridge University Press, Нью-Йорк, 1995. Второе издание: 2006.
• P. М. Грубер, Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, New York, 2007.
• P. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Vol. A.B, Северная Голландия, Амстердам, 1993.
• G. Пизье, Объем выпуклых тел и геометрия банахова пространства, Cambridge University Press, Кембридж, 1989.
• R. Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1993.
• A. К. Томпсон, геометрия Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1996.
• A. Колдобский, В. Яскин, Граница между выпуклой геометрией и гармоническим анализом, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008.

Статьи по истории выпуклой геометрии

• W. Фенчел, Выпуклость сквозь века, (Датское) Датское математическое общество (1929–1973), стр. 103–116, Данск. Мат. Forening, Копенгаген, 1973. Английский перевод: Выпуклость сквозь века, в: PM Gruber, JM Wills (редакторы), Convexity and its Applications, pp. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
• P. М. Грубер, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, in: G. Fischer, et al. (редакторы), Ein Jahrhundert Mathematik 1890–1990, стр. 421–455, Dokumente Gesch. Math., Vol. 6, F. Wieweg and Sohn, Брауншвейг; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Фрайбург, 1990.
• P. М. Грубер, История выпуклости, в: П. ​​М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Vol. A, pp. 1–15, North-Holland, Amsterdam, 1993.

Внешние ссылки

• СМИ, относящиеся к выпуклой геометрии на Wikimedia Commons