Плоская кривая

В математике плоская кривая - это кривая в плоскости, которая может быть либо евклидовой плоскостью, аффинная плоскость или проективная плоскость. Наиболее часто изучаемые случаи - это гладкие плоские кривые (включая кусочно гладкие плоские кривые) и алгебраические плоские кривые. Плоские кривые также включают кривые Жордана (кривые, которые охватывают часть плоскости, но не обязательно должны быть гладкими) и графики непрерывных функций.

Содержание

• 1 Символическое представление
• 2 Гладкая плоская кривая
• 3 Алгебраическая плоская кривая
• 4 Примеры
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Символьное представление

Плоская кривая часто может быть представлены в декартовых координатах с помощью неявного уравнения формы $f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; 0\}$для какой-то конкретной функции f. Если это уравнение может быть решено явно относительно y или x, то есть переписано как $y\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\; (x)\}$или $x\; =\; h\; (\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; h\; (y)\}$для конкретной функции g или h - тогда это обеспечивает альтернативную, явную форму представления. Плоская кривая также часто может быть представлена ​​в декартовых координатах параметрическим уравнением в форме $(x,\; y)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t))\}$для конкретных функций $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$и $y\; (т).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t).\}$

Плоские кривые иногда также могут быть представлены в альтернативных системах координат, таких как полярные координаты, которые выражают положение каждой точки в терминах угол и расстояние от начала координат.

Гладкая плоская кривая

Гладкая плоская кривая - это кривая в реальной евклидовой плоскости R и одномерная гладкая коллектор. Это означает, что гладкая плоская кривая - это плоская кривая, которая «локально выглядит как линия » в том смысле, что около каждой точки она может отображаться на линию с помощью гладкой функции. Эквивалентно гладкая плоская кривая может быть задана локально уравнением f (x, y) = 0, где f: R→ R- это гладкая функция, а частные производные ∂ f / ∂x и ∂f / ∂y никогда не равны 0 в точке кривой.

Кривая алгебраической плоскости

кривая алгебраической плоскости - это кривая в аффинной или проективной плоскости, заданной одним полиномом уравнение f (x, y) = 0 (или F (x, y, z) = 0, где F - однородный многочлен, в проективном случае.)

Алгебраические кривые имеют широко изучается с 18 века.

Каждая алгебраическая плоская кривая имеет степень, степень определяющего уравнения, которая равна, в случае алгебраически замкнутого поля, количеству пересечений кривой с линией в общем положении. Например, окружность, заданная уравнением x + y = 1, имеет степень 2.

неособые плоские алгебраические кривые степени 2 называются коническими сечениями, и их проективное пополнение все изоморфны проективному пополнению круга x + y = 1 (то есть проективной кривой уравнения x + y - z = 0). Плоские кривые степени 3 называются кубическими плоскими кривыми и, если они неособые, эллиптическими кривыми. Кривые степени 4 называются плоскими кривыми четвертой степени.

Примеры

Многочисленные примеры плоских кривых показаны в Галерее кривых и перечислены в Список кривых. Здесь показаны алгебраические кривые степени 1 или 2 (алгебраическая кривая степени меньше 3 всегда содержится в плоскости):

Имя	Неявное уравнение	Параметрическое уравнение	Как функция	график
Прямая	$ax\; +\; by\; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; +\; by\; =\; c\}$	$(x,\; y)\; =\; (x\; 0\; +\; \alpha \; t,\; y\; 0\; +\; \beta \; t)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; (x\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; alpha\; t,\; y\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; beta\; t)\}$	$y\; =\; mx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; mx\; +\; c\}$
Круг	$Икс\; 2\; +\; Y\; 2\; знак\; равно\; р\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; ^\; \{2\}\; +\; у\; ^\; \{2\}\; =\; г\; ^\; \{2\}\}$	$(х,\; у)\; =\; (г\; соз\; \; т,\; г\; грех\; \; т)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; (r\; \backslash \; cos\; t,\; r\; \backslash \; sin\; t)\}$
Парабола	$y\; -\; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; yx\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$	$(\; x,\; y)\; знак\; равно\; (t,\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; (t,\; t\; ^\; \{2\})\}$	$y\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$
Эллипс	$x\; 2\; a\; 2\; +\; y\; 2\; b\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 1\}$	$(x,\; y)\; =\; (a\; соз\; \; t,\; b\; sin\; \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; (a\; \backslash \; cos\; t,\; b\; \backslash \; sin\; t)\}$
Гипербола	$x\; 2\; a\; 2\; -\; y\; 2\; b\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{b\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; =\; 1\}$	$(x,\; y)\; =\; (a\; cosh\; \; t,\; b\; sinh\; \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; (a\; \backslash \; cosh\; t,\; b\; \backslash \; sinh\; t)\}$

См. Также

• Дифференциальная геометрия
• Алгебраическая геометрия
• Кривая Осгуда
• Аппроксимация плоской кривой
• Проективные разновидности

Ссылки

• Кулидж, Дж. Л. (28 апреля 2004 г.), Трактат по алгебраике Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), Справочник по кривым и их свойствам, JW Эдвардс, ASIN B0007EKXV0.
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых, Дувр, ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Плоская кривая». MathWorld.