Войти
| Функция |
|---|
| х ↦ е ( х) |
| Примеры доменов и кодоменов |
| Классы / свойства |
| Конструкции |
| Обобщения |
|
В математике, А функция представляет собой бинарное отношение между двумя наборами, что ассоциирует каждый элемент первого набора ровно один из элементов второго набора. Типичными примерами являются функции от целых чисел к целым числам или от действительных чисел к действительным числам.
Изначально функции были идеализацией зависимости одной величины от другой. Например, положение планеты является функцией времени. Исторически концепция была разработана с помощью исчисления бесконечно малых в конце 17 века, и до 19 века рассматриваемые функции были дифференцируемыми (то есть имели высокую степень регулярности). Понятие функции было формализовано в конце XIX века в терминах теории множеств, что значительно расширило область применения этого понятия.
Функция представляет собой процесс или отношение, которое связывает каждый элемент х из множества X, то домен функции, к одному элементу у другого множество Y (возможно, тот же набор), то область значений функции. Обычно его обозначают такими буквами, как f, g и h.
Если функция называется f, это отношение обозначается как y = f ( x) (читается как « f of x »), где элемент x является аргументом или входом функции, а y - значением функции, выход, или изображения из й с помощью F. Символ, который используется для представления ввода, является переменной функции (например, f является функцией переменной x).
Функция однозначно представлена набором всех пар ( x, f ( x)), который называется графиком функции. Когда домен и домен являются наборами действительных чисел, каждую такую пару можно рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости. Набор этих точек называется графиком функции; это популярный способ иллюстрации функции.
Функции широко используются в науке и в большинстве областей математики. Было сказано, что функции являются «центральным объектом исследования» в большинстве областей математики.
Схематическое изображение функции, образно описываемой как «машина» или « черный ящик », которая для каждого входа дает соответствующий результат. 
Красная кривая - это график функции, потому что любая вертикальная линия имеет ровно одну точку пересечения с кривой. 
Функция, которая связывает любую из четырех цветных фигур с ее цветом. 
Диаграмма функции с областью определения X = {1, 2, 3} и областью области Y = {A, B, C, D}, которая определяется набором упорядоченных пар {(1, D), (2, C), (3, C)}. Изображение / диапазон - это набор {C, D}. 
Эта диаграмма, представляющая набор пар {(1, D), (2, B), (2, C)}, не определяет функцию. Одна из причин заключается в том, что 2 - это первый элемент более чем в одной упорядоченной паре (2, B) и (2, C) этого набора. Две другие причины, также достаточные сами по себе, заключаются в том, что ни 3, ни 4 не являются первыми элементами (входом) какой-либо упорядоченной пары в нем. Интуитивно, функция представляет собой процесс, который связывает каждый элемент множества X, к одному элементу множества Y.
Формально функция f из множества X в множество Y определяется набором G упорядоченных пар ( x, y) с x ∈ X, y ∈ Y, таких, что каждый элемент X является первым компонентом ровно одной упорядоченной пара в G. Другими словами, для каждого x в X существует ровно один элемент y, такой, что упорядоченная пара ( x, y) принадлежит набору пар, определяющих функцию f. Множество G называется графиком функции. Иногда его можно отождествить с функцией, но это скрывает обычную интерпретацию функции как процесса. Таким образом, в обычном использовании функция обычно отличается от ее графика.
Функции также называют отображениями или отображениями, хотя некоторые авторы проводят различие между "картами" и "функциями" (см. § Другие термины).
Факт е является функцией от множества X на множество Y формально обозначим через F: X → Y. В определении функции, Х и Y, соответственно, называется доменом и кообласть функции F. Если ( х, у) принадлежит множеству определяющего п, то у есть изображение по х при е, или значение из F прикладывается к аргументу х. В частности, в контексте чисел говорят, что y - это значение f для значения x его переменной, или, более кратко, что y - это значение f для x, обозначаемое как y = f ( x).
Две функции f и g равны, если их наборы доменов и содоменов совпадают и их выходные значения совпадают во всей области. Более формально, е = г, если Р ( х) = г ( х) для всех х ∈ Х, где F: X → Y и г: X → Y.
Домен и кодомен не всегда явно задаются при определении функции, и без некоторых (возможно, сложных) вычислений можно было бы знать только, что домен содержится в большем наборе. Обычно это происходит в математическом анализе, где «функция от X до Y » часто относится к функции, которая может иметь надлежащее подмножество X в качестве области. Например, «функция от действительного числа к действительному значению» может относиться к действительной функции действительной переменной. Однако «функция от действительных чисел к действительным» не означает, что область действия функции - это весь набор действительных чисел, а означает только то, что область представляет собой набор действительных чисел, который содержит непустой открытый интервал. Тогда такая функция называется частичной функцией. Например, если f - функция, имеющая действительные числа в качестве области и области значений, тогда функция, отображающая значение x в значение g ( x) = 1/f ( x)- это функция g от вещественного числа к действительному, область определения которой является набором вещественных чисел x, таких что f ( x) ≠ 0.
Диапазон функции является набором изображений всех элементов в домене. Однако диапазон иногда используется как синоним кодомена, как правило, в старых учебниках.
Любое подмножество декартового произведения двух множеств X и Y определяет бинарное отношение R ⊆ X × Y между этими двумя наборами. Совершенно очевидно, что произвольное отношение может содержать пары, нарушающие необходимые условия для функции, указанные выше.
Бинарное отношение является функциональным (также называемым право-уникальным), если
Бинарное отношение является последовательным (также называемым итоговым слева), если
Частичная функция представляет собой бинарное отношение, что является функциональным.
Функция - это бинарное отношение, которое является функциональным и последовательным. Различные свойства функций и функциональный состав могут быть переформулированы на языке отношений. Например, функция инъективна, если обратное отношение R T ⊆ Y × X является функциональным, где обратное отношение определяется как R T = {( y, x) | ( x, y) ∈ R }.
Набор всех функций от некоторого заданного домена до кодомена иногда идентифицируется с декартовым произведением копий кодомена, индексированных доменом. А именно, для заданных множеств X и Y любая функция f: X → Y является элементом декартова произведения копий Y s по индексному множеству X
Просмотр п, как кортеж с координатами, то для каждого х ∈ Х, то х й координаты этого кортежа значения F ( х) ∈ Y. Это отражает интуицию, согласно которой для каждого x ∈ X функция выбирает некоторый элемент y ∈ Y, а именно f ( x). (Эта точка зрения используется, например, при обсуждении функции выбора. )
Бесконечные декартовы произведения часто просто «определяют» как наборы функций.
Существуют различные стандартные способы обозначения функций. Наиболее часто используемая нотация - это функциональная нотация, которая определяет функцию с помощью уравнения, которое явно дает имена функции и аргумента. Это приводит к тонкому моменту, который часто упускается из виду в элементарных трактовках функций: функции отличаются от своих значений. Таким образом, функцию f следует отличать от ее значения f ( x 0) при значении x 0 в ее области определения. В некоторой степени даже работающие математики будут объединять эти два понятия в неформальной обстановке для удобства и для того, чтобы не показаться педантичными. Однако, строго говоря, это злоупотребление обозначений для записи «пусть будет функция F ( х) = х 2 », так как F ( х) и х 2 оба должны быть поняты как значения из F при х, а не сама функция. Вместо этого будет правильным, хотя и многословным, написать «пусть будет функция, определяемая уравнением f ( x) = x 2 для всех x в ». Компактная формулировка является «пусть с F ( х) = х 2, », где избыточный «будет функция» опущен, и, в соответствии с соглашением, «для всех в области » понимается.
Это различие в языке и обозначениях может стать важным в случаях, когда функции сами служат входными данными для других функций. (Функция, принимающая на вход другую функцию, называется функционалом. ) Другие подходы к обозначению функций, подробно описанные ниже, позволяют избежать этой проблемы, но используются реже.
Как впервые использовал Леонард Эйлер в 1734 году, функции обозначаются символом, состоящим обычно из одной буквы курсивного шрифта, чаще всего строчных букв f, g, h. Некоторые широко используемые функции представлены символом, состоящим из нескольких букв (обычно двух или трех, обычно это сокращение их имени). В этом случае вместо этого обычно используется латинский шрифт, такой как « sin » для синусоидальной функции, в отличие от курсивного шрифта для однобуквенных символов.
Обозначение (читай: « y равно f из x »)
означает, что пара ( x, y) принадлежит множеству пар, определяющих функцию f. Если X является областью определения f, то набор пар, определяющих функцию, с использованием нотации построителя множеств,
Часто определение функции дается тем, что f делает с явным аргументом x. Например, функция f может быть определена уравнением
для всех действительных чисел x. В этом примере f можно рассматривать как составную часть нескольких более простых функций: возведение в квадрат, прибавление 1 и взятие синуса. Однако из них только функция синуса имеет общий явный символ ( sin), тогда как комбинация возведения в квадрат и последующего добавления 1 описывается полиномиальным выражением x 2 + 1. Чтобы явно ссылаться на функции, такие как возведение в квадрат или добавление 1, без введения новых имен функций (например, путем определения функции g и h как g ( x) = x 2 и h ( x) = x + 1), один из следующих методов ( обозначение стрелок или обозначение точки).
Если символ, обозначающий функцию, состоит из нескольких символов и не может возникнуть двусмысленности, скобки в функциональной нотации могут быть опущены. Например, обычно вместо sin ( x) пишут sin x.
Для явного выражения области X и области значений Y функции f часто используется обозначение стрелки (читай: «функция f из X в Y » или «функция f, отображающая элементы X в элементы Y »):
или
Это часто используется в связи с обозначением стрелки для элементов (читай: « f отображает x в f ( x) »), часто укладывается сразу под обозначением стрелки, задающим символ функции, домен и codomain:
Например, если умножение определено на множестве X, то квадратная функция sqr на X однозначно определяется (читай: "функция sqr от X до X, которая отображает x на x ⋅ x ")
последняя строка чаще пишется
Часто выражение, задающее символ функции, домен и кодомен, опускается. Таким образом, обозначение стрелки полезно для избежания введения символа для функции, которая определяется, как это часто бывает, формулой, выражающей значение функции в терминах ее аргумента. Как обычное применение обозначения стрелки, предположим, что это функция с двумя аргументами, и мы хотим сослаться на частично примененную функцию, полученную путем фиксации второго аргумента значения t 0 без введения нового имени функции. Рассматриваемая карта может быть обозначена стрелками для элементов. Выражение (читается: «карта, переводящая x в f ( x, t 0) ») представляет эту новую функцию только с одним аргументом, тогда как выражение f ( x 0, t 0) относится к значению функции f в точка ( x 0, t 0).
Вместо функциональной записи часто используется индексная нотация. То есть вместо того, чтобы писать f ( x), пишут
Обычно это имеет место для функций, домен которых является набором натуральных чисел. Такая функция называется последовательностью, и в этом случае элемент называется n- м элементом последовательности.
Обозначение индекса также часто используется для отличия некоторых переменных, называемых параметрами, от «истинных переменных». Фактически, параметры - это конкретные переменные, которые считаются фиксированными во время исследования проблемы. Например, карта (см. Выше) будет обозначена с помощью индексной записи, если мы определим набор карт по формуле для всех.
В обозначении символ x не представляет никакого значения, это просто заполнитель, означающий, что если x заменяется любым значением слева от стрелки, он должен быть заменен тем же значением справа от стрелки. Следовательно, х может быть заменен любым символом, часто интерпункт « ⋅ ». Это может быть полезно для отличия функции f (⋅) от ее значения f ( x) в точке x.
Например, может стоять для функции, и может стоять функции, определенных интеграл с переменным верхним пределом:.
Существуют и другие специализированные обозначения функций в дисциплинах математики. Например, в линейной алгебры и функционального анализа, линейных форм и векторов, они действуют на обозначены с помощью двойной пары, чтобы показать основную двойственность. Это похоже на использование обозначений на скобках в квантовой механике. В логике и теории вычислений нотация функций лямбда-исчисления используется для явного выражения основных понятий абстракции и применения функций. В теории категорий и гомологической алгебре сети функций описываются в терминах того, как они и их композиции коммутируют друг с другом, с помощью коммутативных диаграмм, которые расширяют и обобщают обозначения стрелок для функций, описанных выше.
| Срок | Отличие от «функции» |
|---|---|
| Карта / картография | Никто; термины синонимичны. |
| Карта может иметь любой набор в качестве своего кодомена, в то время как в некоторых контекстах, как правило, в старых книгах, кодомен функции - это, в частности, набор действительных или комплексных чисел. | |
| В качестве альтернативы, карта связана со специальной структурой (например, путем явного указания структурированного кодомена в его определении). Например, линейная карта. | |
| Гомоморфизм | Функция между двумя структурами одного типа, которая сохраняет операции структуры (например, гомоморфизм группы ). |
| Морфизм | Обобщение гомоморфизмов на любую категорию, даже если объекты категории не являются наборами (например, группа определяет категорию только с одним объектом, в котором элементы группы являются морфизмами; см. Категория (математика) § Примеры для этот пример и другие подобные). |
Функцию часто также называют картой или отображением, но некоторые авторы проводят различие между терминами «карта» и «функция». Например, термин «карта» часто используется для обозначения «функции» с какой-то особой структурой (например, карты многообразий ). В частности, отображение часто используется вместо гомоморфизма ради краткости (например, линейное отображение или отображение из G в H вместо гомоморфизма групп из G в H). Некоторые авторы резервируют отображение слов для случая, когда структура кодомена явно принадлежит определению функции.
Некоторые авторы, такие как Серж Ланг, используют термин «функция» только для обозначения карт, для которых codomain является подмножеством действительных или комплексных чисел, и используют термин « отображение» для более общих функций.
В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции, используемую для создания дискретных динамических систем. См. Также карту Пуанкаре.
Какое бы определение карты ни использовалось, связанные термины, такие как домен, кодомен, инъективный, непрерывный, имеют то же значение, что и для функции.
Принимая во внимание функцию, по определению, к каждому элементу из области определения функции, существует единственный элемент, связанный с ним, то значение по крайней. Есть несколько способов явно или неявно указать или описать, как связано с. Иногда теорема или аксиома утверждает существование функции, обладающей некоторыми свойствами, не описывая ее более точно. Часто спецификация или описание называют определением функции.
На конечном множестве функция может быть определена путем перечисления элементов кодомена, которые связаны с элементами домена. Например, если, то можно определить функцию следующим образом:
Функции часто определяются формулой, описывающей комбинацию арифметических операций и ранее определенных функций; такая формула позволяет вычислить значение функции из значения любого элемента домена. Например, в приведенном выше примере можно определить формулой для.
Когда функция определяется таким образом, иногда бывает сложно определить ее область определения. Если формула, определяющая функцию, содержит деления, значения переменной, знаменатель которой равен нулю, должны быть исключены из домена; таким образом, для сложной функции определение области проходит через вычисление нулей вспомогательных функций. Аналогичным образом, если квадратные корни происходят в определении функции от к домену входит в набор значений переменной, для которой аргументы квадратных корней являются неотрицательными.
Например, определяет функцию, домен которой равен, потому что всегда положителен, если x - действительное число. С другой стороны, определяет функцию от вещественного числа к действительному, область определения которого сокращена до интервала [−1, 1]. (В старых текстах такая область называлась областью определения функции.)
Функции часто классифицируются по характеру формул, которые их определяют:
Функция с областью определения X и областью области Y является биективной, если для каждого y в Y существует один и только один элемент x в X такой, что y = f ( x). В этом случае обратная функция из F является функцией, что карты к элементу таким образом, что у = е ( х). Например, натуральный логарифм - это биективная функция от положительных действительных чисел к действительным числам. Таким образом, у него есть обратная функция, называемая экспоненциальной функцией, которая отображает действительные числа на положительные числа.
Если функция не биективен, может случиться, что можно выбрать подмножества и такое, что ограничение на F до Е является взаимно однозначное соответствие от Е до F, и имеет, таким образом, обратный. В обратные тригонометрические функции определяются следующим образом. Например, функция косинуса индуцирует путем ограничения биекцию из интервала [0, π ] на интервал [−1, 1], а ее обратная функция, называемая арккосинусом, отображает [−1, 1] на [0, π ]. Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции.
В более общем смысле, учитывая бинарное отношение R между двумя наборами X и Y, пусть E будет подмножеством X, таким, что для каждого существует такое, что x R y. Если один имеет критерий, позволяющий выбрать такое у для каждого это определяет функцию, называемую неявной функции, потому что она неявно определяется соотношением R.
Например, уравнение единичного круга определяет отношение действительных чисел. Если -1 lt; x lt;1, есть два возможных значения y: положительное и отрицательное. При x = ± 1 эти два значения становятся равными 0. В противном случае нет возможного значения y. Это означает, что уравнение определяет две неявные функции с областью определения [−1, 1] и соответствующими областями [0, + ∞) и (−∞, 0].
В этом примере уравнение можно решить в y, что дает, но в более сложных примерах это невозможно. Например, отношение определяет y как неявную функцию от x, называемую радикалом Bring, который имеет в качестве домена и диапазона. Радикал Приведения не может быть выражен в терминах четырех арифметических операций и корней n- й степени.
Теорема о неявной функции обеспечивает мягкие условия дифференцируемости для существования и единственности неявной функции в окрестности точки.
Многие функции могут быть определены как первообразные другой функции. Это случай натурального логарифма, который является первообразной 1 / x, равной 0 при x = 1. Другой распространенный пример - функция ошибок.
В более общем плане многие функции, включая большинство специальных функций, можно определить как решения дифференциальных уравнений. Самым простым примером, вероятно, является экспоненциальная функция, которую можно определить как уникальную функцию, которая равна своей производной и принимает значение 1 при x = 0.
Степенные ряды можно использовать для определения функций в области, в которой они сходятся. Например, экспоненциальная функция определяется выражением. Однако, поскольку коэффициенты ряда довольно произвольны, функция, которая является суммой сходящегося ряда, обычно определяется иначе, а последовательность коэффициентов является результатом некоторого вычисления, основанного на другом определении. Затем степенной ряд можно использовать для расширения области определения функции. Обычно, если функция для действительной переменной является суммой своего ряда Тейлора в некотором интервале, этот степенной ряд позволяет немедленно расширить область до подмножества комплексных чисел, диска сходимости ряда. Тогда аналитическое продолжение позволяет еще больше расширить область, включив почти всю комплексную плоскость. Этот процесс обычно используется для определения логарифма, экспоненты и тригонометрических функций комплексного числа.
Функции, область определения которых - неотрицательные целые числа, известные как последовательности, часто определяются рекуррентными отношениями.
Факториала функция на неотрицательных целых числах () является основным примером, так как он может быть определен с помощью рекуррентного соотношения
и начальное условие
График, обычно используется, чтобы дать интуитивное представление о функции. В качестве примера того, как график помогает понять функцию, по его графику легко увидеть, увеличивается или уменьшается функция. Некоторые функции также могут быть представлены в виде гистограмм.
Функция, отображающая каждый год количество погибших автотранспортных средств в США, представлена в виде линейной диаграммы. 
Та же функция, показанная в виде гистограммы Для функции ее график формально представляет собой множество
В частом случае, когда X и Y являются подмножествами действительных чисел (или могут быть идентифицированы с такими подмножествами, например интервалами ), элемент может быть идентифицирован с точкой, имеющей координаты x, y в 2-мерной системе координат, например Декартова плоскость. Части этого могут создать график, который представляет (части) функции. Графики используются настолько повсеместно, что их тоже называют графиком функции. Возможны графические представления функций и в других системах координат. Например, график функции квадрата
состоящий из всех точек с координатами для урожайности, когда они изображены в декартовых координатах, хорошо известная парабола. Если вместо этого построить ту же квадратичную функцию с тем же формальным графиком, состоящим из пар чисел, в полярных координатах, полученный график представляет собой спираль Ферма.
Функцию можно представить в виде таблицы значений. Если область определения функции конечна, то таким образом можно полностью задать функцию. Например, функция умножения, определенная как, может быть представлена знакомой таблицей умножения
| у Икс | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
С другой стороны, если область действия функции является непрерывной, таблица может давать значения функции при определенных значениях области. Если требуется промежуточное значение, можно использовать интерполяцию для оценки значения функции. Например, часть таблицы для синусоидальной функции может быть представлена следующим образом, со значениями, округленными до 6 десятичных знаков:
| Икс | грех х |
|---|---|
| 1,289 | 0,960557 |
| 1,290 | 0,960835 |
| 1,291 | 0,961112 |
| 1,292 | 0,961387 |
| 1,293 | 0,961662 |
До появления карманных калькуляторов и персональных компьютеров такие таблицы часто составлялись и публиковались для таких функций, как логарифмы и тригонометрические функции.
Гистограммы часто используются для представления функций, домен которых является конечным набором, натуральными числами или целыми числами. В этом случае элемент х из области представлена в интервале из х Оу, и соответствующее значение функции, ф ( х), представляется в виде прямоугольника, основание которого является интервал, соответствующий х и высота которого равно f ( x) (возможно, отрицательно, в этом случае стержень проходит ниже оси x).
В этом разделе описаны общие свойства функций, которые не зависят от конкретных свойств домена и кодомена.
Существует ряд часто встречающихся стандартных функций:
Учитывая две функции и такие, что область определения g является областью области f, их композиция - это функция, определяемая формулой
То есть значение получается путем сначала применения f к x, чтобы получить y = f ( x), а затем применения g к результату y, чтобы получить g ( y) = g ( f ( x)). В обозначениях функция, которая применяется первой, всегда пишется справа.
Композиция - это операция над функциями, которая определяется только в том случае, если домен первой функции является доменом второй. Даже когда оба и удовлетворяют этим условиям, композиция не обязательно является коммутативной, то есть функции и не обязательно должны быть равными, но могут предоставлять разные значения для одного и того же аргумента. Например, пусть f ( x) = x 2 и g ( x) = x + 1, тогда и согласитесь только для
Композиция функций ассоциативна в том смысле, что если одно из и определено, то другое также определено, и они равны. Таким образом, пишут
Эти функции идентичности и являются соответственно правой единицей и левой единицей для функций из X в Y. То есть, если f - функция с областью определения X и областью области Y,
Составную функцию g ( f ( x)) можно представить как комбинацию двух «машин».
Простой пример функциональной композиции
Другой состав. В этом примере ( g ∘ f ) (c) = #.
Пусть В изображении при е из элемента х из области X является F ( х). Если любое подмножество X, то изображение из А под F, обозначат F (), является подмножеством кообласти Y, состоящей из всех изображений элементов А, то есть,
Изображения из F есть образ всей области, то есть, F ( X). Она также называется диапазон от F, хотя этот термин диапазон может также относиться к области значений.
С другой стороны, прообраз или прообраз при f элемента y области Y - это множество всех элементов области X, образы которых при f равны y. В символах прообраз y обозначается и задается уравнением
Точно так же, прообраз подмножества B в кообласть Y есть множество прообразов элементов B, то есть, это подмножество области X, состоящее из всех элементов X, чьи образы принадлежат B. Он обозначается и задается уравнением
Например, прообраз функции под квадратом - это множество.
По определению функции изображение элемента x области всегда является отдельным элементом области. Однако прообраз элемента y кодомена может быть пустым или содержать любое количество элементов. Например, если f - это функция от целых чисел к себе, которая отображает каждое целое число в 0, тогда.
Если - функция, A и B - подмножества X, а C и D - подмножества Y, то каждый обладает следующими свойствами:
Прообраз с помощью F из элемента у из области значений иногда называют, в некоторых контекстах волокна из г при е.
Если функция F имеет обратный (см ниже), этот обратный обозначаются В этом случае может обозначать либо изображение на или прообраз по F из C. Это не проблема, поскольку эти наборы равны. Обозначения и могут быть неоднозначными в случае наборов, которые содержат некоторые подмножества в качестве элементов, например, в этом случае может потребоваться некоторая осторожность, например, путем использования квадратных скобок для изображений и прообразов подмножеств и обычных скобок для изображений и прообразов. элементов.
Позвольте быть функцией.
Функция F является инъективным (или один-к-одному, или представляет собой инъекцию), если F () ≠ F ( б) для любых двух различных элементов и б из X. Эквивалентно f инъективен тогда и только тогда, когда для любого прообраз содержит не более одного элемента. Пустая функция всегда инъективна. Если X не является пустым множеством, тогда f инъективен тогда и только тогда, когда существует такая функция, что то есть, если f имеет левый обратный. Доказательство: если f инъективно, для определения g выбирается элемент в X (который существует, поскольку X предполагается непустым), и определяется g с помощью if и if. Наоборот, if и then и таким образом
Функции F является сюръективным (или на, или является сюръекцией), если его диапазон равна ее кообласть, то есть, если для каждого элемента из области значений, существует некоторый элемент домена такого, что (другие слова, прообраз из каждый непусто). Если, как обычно в современной математике, предполагается аксиома выбора, то f сюръективен тогда и только тогда, когда существует такая функция, что то есть, если f имеет правый обратный. Аксиома выбора необходима, потому что, если f сюръективен, каждый определяет g с помощью где - произвольно выбранный элемент
Функция F является биективен (или является биекцией или взаимно-однозначное соответствие), если она является одновременно инъективно и сюръективно. То есть f является биективным, если для любого прообраз содержит ровно один элемент. Функция f биективна тогда и только тогда, когда она допускает обратную функцию, то есть такую функцию, что и (в отличие от случая сюръекций, это не требует аксиомы выбора; доказательство прямое).
Каждая функция может быть разложена, как композиция из сюръекции с последующей инъекцией, где с является канонической сюръекция X на ф ( X), и я каноническая инъекция ф ( X) в Y. Это каноническое разложение по е.
«One-to-one» и «on» - это термины, которые были более распространены в более старой англоязычной литературе; «инъективный», «сюръективный» и «биективный» были первоначально придуманы как французские слова во второй четверти 20 века группой Бурбаки и импортированы в английский язык. В качестве предостережения, «взаимно-однозначная функция» - это функция, которая является инъективной, а «взаимно-однозначное соответствие» относится к биективной функции. Кроме того, утверждение « f отображает X на Y » отличается от « f отображает X в B » тем, что первое подразумевает, что f сюръективно, а второе не делает никаких утверждений о природе f. В сложных рассуждениях легко упустить различие в одну букву. Из-за запутанного характера этой старой терминологии популярность этих терминов снизилась по сравнению с терминами Бурбака, которые также имеют то преимущество, что они более симметричны.
Если функция и S является подмножеством X, то ограничение на к S, обозначается, является функцией от S до Y определяется
для всех х в S. Ограничения могут быть использованы для определения частичных обратных функций : если существует подмножество S домена функции такой, что инъективно, то каноническая сюръекция на образ биекции, и, следовательно, имеет обратную функцию от до S. Одно из приложений - определение обратных тригонометрических функций. Например, функция косинуса инъективна, если ограничена интервалом [0, π ]. Образ этого ограничения - интервал [−1, 1], и, таким образом, ограничение имеет обратную функцию от [−1, 1] до [0, π ], которая называется arccosine и обозначается arccos.
Ограничение функций также может использоваться для «склеивания» функций. Пусть разложение X как союз подмножеств, и предположим, что функция определяется по каждому таким образом, что для каждой пары индексов, ограничений и к равны. Затем это определяет уникальную функцию, такую что для всех i. Так определяются функции на многообразиях.
Расширение некоторой функции F является функцией г таким, что F является ограничением г. Типичное использование этого понятия - процесс аналитического продолжения, который позволяет расширить функции, область определения которых является небольшой частью комплексной плоскости, до функций, область определения которых составляет почти всю комплексную плоскость.
Вот еще один классический пример расширения функциональных возможностей, которые встречаются при изучении homographies на вещественной прямой. Гомография функция такая, что объявление - Ьс ≠ 0. Его область является множество всех действительных чисел, отличных от его образ является множество всех действительных чисел, отличных от Если один расширяет реальную линию на проективно расширенной числовой прямой, включив ∞, один может продлить час до биекция из выдвинутого реального строку к себе, установив и.
Бинарная операция - это типичный пример двумерной функции, которая присваивает каждой паре результат. Многомерная функция, или функция нескольких переменных является функцией, которая зависит от нескольких аргументов. Такие функции встречаются часто. Например, положение автомобиля на дороге зависит от пройденного времени и его средней скорости.
Более формально функция от n переменных - это функция, область определения которой является набором n -элементов. Например, умножение целых чисел - это функция двух переменных или двумерная функция, область определения которой является набором всех пар (кортежей) целых чисел, а область значений - набором целых чисел. То же самое верно для любой бинарной операции. В более общем смысле каждая математическая операция определяется как многомерная функция.
Декартово произведение из п множеств является множество всех п -наборов таким образом, что для каждого I с. Следовательно, функция от n переменных - это функция
где область U имеет вид
При использовании обозначений функций обычно опускаются скобки, окружающие кортежи, вместо записи
В том случае, когда все равны множеству из действительных чисел, один имеет функции нескольких вещественных переменных. Если равны множеству из комплексных чисел, один имеет функцию нескольких комплексных переменных.
Также принято рассматривать функции, домен которых является произведением множеств. Например, евклидово деление отображает каждую пару ( a, b) целых чисел с b ≠ 0 в пару целых чисел, называемую частным и остатком:
Кодомен также может быть векторным пространством. В этом случае говорят о векторной функции. Если область содержится в евклидовом пространстве или, в более общем смысле, в многообразии, векторную функцию часто называют векторным полем.
Идея функции, начиная с 17 века, была фундаментальной для нового исчисления бесконечно малых (см. Историю концепции функции ). В то время рассматривались только действительные функции действительной переменной, и все функции предполагались гладкими. Но вскоре определение было распространено на функции нескольких переменных и функции комплексного переменного. Во второй половине XIX века было введено математически строгое определение функции, и были определены функции с произвольными областями и областями областей.
В настоящее время функции используются во всех областях математики. Во вводном исчислении, когда слово функция используется без уточнения, оно означает действительную функцию одной действительной переменной. Более общее определение функции обычно дается студентам второго или третьего курса колледжей, изучающих STEM, а на последнем курсе они знакомятся с математическим расчетом в более широкой и строгой обстановке на таких курсах, как реальный анализ и комплексный анализ.
График линейной функции 
График полиномиальной функции, здесь квадратичной функции. 
График двух тригонометрических функций: синуса и косинуса. Действительная функцией является вещественной функцией действительного переменным, то есть, функция которого кообласть этого поля действительных чисел и домен которого представляет собой набор действительных чисел, который содержит в интервал. В этом разделе эти функции просто называются функциями.
Функции, которые чаще всего рассматриваются в математике и ее приложениях, имеют некоторую регулярность, то есть они непрерывны, дифференцируемы и даже аналитичны. Эта закономерность гарантирует, что эти функции могут быть визуализированы с помощью их графиков. В этом разделе все функции дифференцируемы в некотором интервале.
Функции обладают поточечными операциями, то есть, если f и g являются функциями, их сумма, разность и произведение являются функциями, определяемыми формулой
Области определения полученных функций являются пересечением областей определения f и g. Частное двух функций определяется аналогично формулой
но домен полученной функции получается путем удаления нулей из г от пересечения областей е и г.
В полиномиальные функции определяются полиномами, а их домен весь набор действительных чисел. Они включают постоянные функции, линейные функции и квадратичные функции. Рациональные функции являются частными двух полиномиальных функций, и их область определения - действительные числа, конечное число которых удалено, чтобы избежать деления на ноль. Простейшая рациональная функция - это функция, график которой представляет собой гиперболу, а область определения - вся вещественная прямая, кроме 0.
Производная реальной дифференцируемой функции является вещественной функцией. Первообразная непрерывной вещественной функции является действительной функцией, которая имеет первоначальную функцию, как производные. Например, функция является непрерывной и даже дифференцируемой по положительным действительным числам. Таким образом, одна первообразная, которая принимает нулевое значение при x = 1, является дифференцируемой функцией, называемой натуральным логарифмом.
Реальная функция F является монотонным в промежутке, если знак не зависит от выбора х и у в интервале. Если функция дифференцируема в интервале, она монотонна, если знак производной постоянен в интервале. Если действительная функция F монотонна в интервале I, он имеет обратную функцию, которая является действительной функцией с областью F ( I) и изображением I. Так определяются обратные тригонометрические функции в терминах тригонометрических функций, где тригонометрические функции монотонны. Другой пример: натуральный логарифм монотонен для положительных действительных чисел, и его изображение представляет собой целую действительную линию; следовательно, у него есть обратная функция, которая представляет собой взаимно однозначное соответствие между действительными числами и положительными действительными числами. Эта обратная функция - экспоненциальная функция.
Многие другие действительные функции определяются либо теоремой о неявных функциях (обратная функция является частным случаем), либо как решения дифференциальных уравнений. Например, функции синуса и косинуса являются решениями линейного дифференциального уравнения
такой, что
Когда элементы области значений функции являются векторами, функция называется векторнозначной функцией. Эти функции особенно полезны в приложениях, например, для моделирования физических свойств. Например, функция, которая связывает каждую точку жидкости с ее вектором скорости, является векторнозначной функцией.
Некоторые векторнозначные функции определены в подмножестве или других пространствах, которые имеют общие геометрические или топологические свойства, таких как многообразия. Этим векторным функциям присвоены имена векторных полей.
В математическом анализе, а точнее в функциональном анализе, функциональное пространство - это набор скалярных или векторных функций, которые разделяют определенное свойство и образуют топологическое векторное пространство. Например, действительные гладкие функции с компактным носителем (т.е. они равны нулю вне некоторого компакта ) образуют функциональное пространство, лежащее в основе теории распределений.
Функциональные пространства играют фундаментальную роль в продвинутом математическом анализе, позволяя использовать их алгебраические и топологические свойства для изучения свойств функций. Например, все теоремы существования и единственности решений обыкновенных или дифференциальных уравнений в частных производных являются результатом изучения функциональных пространств.
Вместе два квадратных корня из всех неотрицательных действительных чисел образуют единую гладкую кривую. 
Некоторые методы задания функций вещественных или комплексных переменных начинаются с локального определения функции в точке или в окрестности точки, а затем расширяются путем непрерывности функции на гораздо более крупную область. Часто для начальной точки существует несколько возможных начальных значений функции.
Например, при определении квадратного корня в качестве обратной функции квадратичной функции, для любого положительного действительного числа есть два выбора для значения квадратного корня, один из которых является положительным и обозначаются, а другой являются отрицательным и обозначаться Эти выборы определяют две непрерывные функции, каждая из которых имеет неотрицательные действительные числа в качестве области и имеет неотрицательные или неположительные действительные числа в качестве изображений. Глядя на графики этих функций, можно увидеть, что вместе они образуют единую плавную кривую. Поэтому часто бывает полезно рассматривать эти две функции извлечения квадратного корня как одну функцию, которая имеет два значения для положительного x, одно значение для 0 и отсутствие значения для отрицательного x.
В предыдущем примере один вариант - положительный квадратный корень - более естественен, чем другой. В общем случае это не так. Например, давайте рассмотрим неявную функцию, которая сопоставляет у к корневому х из (см рисунок справа). Для y = 0 можно выбрать любой из x. По теореме о неявной функции каждый выбор определяет функцию; для первого (максимальная) область - это интервал [−2, 2], а изображение - [−1, 1] ; для второго - область [−2, ∞), а изображение - [1, ∞) ; для последнего область действия равна (−∞, 2], а изображение - (−∞, −1]. Поскольку три графика вместе образуют гладкую кривую, и нет причин для предпочтения одного выбора, эти три функции часто рассматривается как одна многозначная функция от y, которая имеет три значения для −2 lt; y lt;2 и только одно значение для y ≤ −2 и y ≥ −2.
Полезность концепции многозначных функций становится яснее при рассмотрении сложных функций, обычно аналитических. Область, в которую комплексная функция может быть расширена с помощью аналитического продолжения, обычно состоит почти из всей комплексной плоскости. Однако при расширении домена двумя разными путями часто получаются разные значения. Например, при расширении области определения функции извлечения квадратного корня по пути комплексных чисел с положительными мнимыми частями получается i для квадратного корня из -1; в то время как при расширении комплексных чисел с отрицательными мнимыми частями получается - i. Обычно есть два пути решения проблемы. Можно определить функцию, которая не является непрерывной вдоль некоторой кривой, называемой сечением ветви. Такая функция называется главным значением функции. Другой способ состоит в том, чтобы учесть, что имеется многозначная функция, которая аналитична всюду, кроме изолированных особенностей, но значение которой может «прыгать», если следовать замкнутому циклу вокруг особенности. Этот скачок называется монодромией.
Определение функции, данное в этой статье, требует концепции набора, поскольку домен и домен функции должны быть набором. Это не проблема в обычной математике, поскольку обычно нетрудно рассматривать только функции, область определения и область значений которых являются множествами, которые определены правильно, даже если область определения не определена явно. Однако иногда бывает полезно рассмотреть более общие функции.
Например, одноэлементный набор может рассматриваться как функция. Его домен будет включать все наборы и, следовательно, не будет набором. В обычной математике такого рода проблемы можно избежать, указав область, что означает наличие множества одноэлементных функций. Однако при установлении основ математики может потребоваться использование функций, домен, домен или оба которых не указаны, и некоторые авторы, часто логики, дают точное определение для этих слабо определенных функций.
Эти обобщенные функции могут иметь решающее значение в развитии формализации основ математики. Например, теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя является расширением теории множеств, в которой совокупность всех множеств является классом. Эта теория включает аксиому замены, которая может быть сформулирована следующим образом: если X - множество, а F - функция, то F [ X ] - это множество.
В компьютерном программировании, функция, вообще говоря, часть из компьютерной программы, которая реализует абстрактное понятие функции. То есть это программный блок, который производит вывод для каждого ввода. Однако во многих языках программирования каждая подпрограмма называется функцией, даже если нет вывода, и когда функциональность состоит просто из изменения некоторых данных в памяти компьютера.
Функциональное программирование - это парадигма программирования, состоящая из построения программ с использованием только подпрограмм, которые ведут себя как математические функции. Например, if_then_elseэто функция, которая принимает три функции в качестве аргументов и, в зависимости от результата первой функции ( истина или ложь), возвращает результат второй или третьей функции. Важным преимуществом функционального программирования является то, что оно упрощает доказательство программ, поскольку оно основано на хорошо обоснованной теории, лямбда-исчислении (см. Ниже).
За исключением терминологии компьютерного языка, «функция» имеет обычное математическое значение в информатике. В этой области наиболее интересным свойством является вычислимость функции. Для придания точного значения этой концепции и связанной с ней концепции алгоритма было введено несколько моделей вычислений, старыми из которых являются общие рекурсивные функции, лямбда-исчисление и машина Тьюринга. Фундаментальная теорема теории вычислимости состоит в том, что эти три модели вычислений определяют один и тот же набор вычислимых функций, и что все другие модели вычислений, которые когда-либо предлагались, определяют тот же набор вычислимых функций или меньший. Черч-Тьюринг тезис является утверждением о том, что каждое философский приемлемое определение вычислимой функции определяет и ту же функцию.
Общие рекурсивные функции - это частичные функции от целых чисел до целых, которые могут быть определены из
через операторов
Хотя они определены только для функций от целых до целых чисел, они могут моделировать любую вычислимую функцию как следствие следующих свойств:
Лямбда-исчисление - это теория, которая определяет вычислимые функции без использования теории множеств, и является теоретической основой функционального программирования. Он состоит из терминов, которые являются либо переменными, либо определениями функций ( 𝜆 -термами), либо приложениями функций к терминам. Термины управляются с помощью некоторых правил ( α- эквивалентность, β- редукция и η- преобразование), которые являются аксиомами теории и могут быть интерпретированы как правила вычислений.
В своей первоначальной форме лямбда-исчисление не включает понятия области и области значений функции. Грубо говоря, они были введены в теорию под названием типа в типизированном лямбда-исчислении. Большинство типов типизированных лямбда-исчислений могут определять меньше функций, чем нетипизированные лямбда-исчисления.
![{\ displaystyle f [A], f ^ {- 1} [C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d728b72b3681c1a33529ac867bc49952dc812a4)
