Икосагон

редактировать
Многоугольник с 20 гранями

Правильный икосагон
Правильный многоугольник 20 annotated.svg Правильный икосагон
ТипПравильный многоугольник
Ребра и вершины 20
Символ Шлефли {20}, t {10}, tt {5}
Диаграмма Кокстера Узел CDel 1.png CDel 20.png CDel node.png . Узел CDel 1.png CDel 10.png Узел CDel 1.png
Группа симметрии Двугранный (D20), порядок 2 × 20
Внутренний угол (градусов )162 °
Двойной многоугольник Собственный
СвойстваВыпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрии, икозагон или 20 -gon - это двадцатигранный многоугольник . Сумма внутренних углов любого икосагона составляет 3240 градусов.

Содержание
  • 1 Обычный икосагон на
  • 2 Используется
    • 2.1 Конструкция
  • 3 Золотое сечение в икосагоне
  • 4 Симметрия
  • 5 Рассечение
  • 6 Связанные многоугольники
  • 7 многоугольников Петри
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки
Обычный икосагон

Обычный икосагон имеет символ Шлефли {20}, а также может быть сконструирован как усеченный десятиугольник, t {10}, или дважды усеченный пятиугольник, tt {5}.

Один внутренний угол в обычном икосагоне равен 162 °, что означает, что один внешний угол будет 18 °.

Площадь правильного икосогона с длиной ребра t равна

A = 5 t 2 (1 + 5 + 5 + 2 5) ≃ 31,5687 t 2. {\ displaystyle A = {5} t ^ {2} (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}) \ simeq 31.5687t ^ {2}. }A = {5} t ^ 2 (1+ \ sqrt {5} + \ sqrt {5 + 2 \ sqrt {5}}) \ simeq 31.5687 t ^ 2.

С точки зрения радиуса R его описанной окружности, площадь равна

A = 5 R 2 2 (5 - 1); {\ displaystyle A = {\ frac {5R ^ {2}} {2}} ({\ sqrt {5}} - 1);}A = \ frac {5R ^ 2} {2} (\ sqrt {5} -1);

так как площадь круга равна π R 2, { \ displaystyle \ pi R ^ {2},}\ pi R ^ {2}, правильный икосогон занимает примерно 98,36% описанной окружности.

Использует

Большое колесо в популярном в США игровом шоу The Price Is Right имеет икосогональное поперечное сечение.

Глобус, театр под открытым небом, используемый актерской труппой Уильяма Шекспира, был построен на икосогональном фундаменте, когда в 1989 году проводились частичные раскопки.

Как голигональ. путь, свастика считается неправильным икосугольником.

4.5.20 vertex.png Правильный квадрат, пятиугольник и икосугольник могут полностью заполнить вершину плоскости.

Конструкция

Поскольку 20 = 2 × 5, правильный икосугольник можно построить с использованием циркуля и линейки или с помощью ребра- деления пополам правильного десятиугольника, или дважды пополам правильный пятиугольник :

Обычный икосагон, вписанный в круг.gif . Построение правильного икосагонаОбычный десятиугольник, начертанный кругом. Gif . Построение правильного десятиугольника
Золотое сечение в икосогоне
  • В конструкции с заданной длиной стороны дуга окружности вокруг C с радиусом CD разделяет отрезок E 20 F в соотношении золотого сечения.
E 20 E 1 ¯ E 1 F ¯ = E 20 F ¯ E 20 E 1 ¯ = 1 + 5 2 знак равно φ ≈ 1,618 {\ displaystyle {\ frac {\ overline {E_ {20} E_ {1}}} {\ ov erline {E_ {1} F}}} = {\ frac {\ overline {E_ {20} F}} {\ overline {E_ {20} E_ {1}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ varphi \ приблизительно 1,618}{\ displaystyle {\ frac {\ overline {E_ {20} E_ {1}}} {\ overline {E_ {1} F}}} = {\ frac {\ overline {E_ {20} F}} {\ overline {E_ {20} E_ {1}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ varphi \ приблизительно 1,618}
Икосагон с заданной длиной стороны, анимация (конструкция очень похожа на конструкцию десятиугольника с заданной длиной стороны)
Симметрия
Симметрии правильного икосогона. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркала прорисовываются через вершины, а фиолетовые зеркала - через края. Порядки вращения даны в центре.

Правильный икосагон имеет симметрию Dih 20, порядок 40. Имеется 5 двугранных симметрий подгруппы: (Dih 10, Dih 5) и (Dih 4, Dih 2 и Dih 1), и 6 циклическая группа симметрии: (Z 20, Z 10, Z 5) и (Z 4, Z 2, Z 1).

Эти 10 симметрий можно увидеть в 16 различных симметриях на икосогоне, большее число, потому что линии отражений могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей обозначает их буквой и групповым порядком. Полная симметрия правильной формы - r40, и никакая симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины (d для диагонали) или ребра (p для перпендикуляров), и i, когда отражательные линии проходят через как ребра, так и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g20 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра.

Неправильные икосагоны с высочайшей симметрией - d20, изогональный икосагон состоит из десяти зеркал, у которых могут чередоваться длинные и короткие края, и p20, изотоксального икозагона, построенного с равной длиной ребер, но вершинами с чередованием двух разных внутренних углов. Эти две формы являются двойными друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного икосогона.

Расслоение
20-угольника с 180 ромбами
20-угольник ромбический рассечение-size2.svg . обычныйИзотоксальное 20-угольное ромбическое рассечение-size2.svg . Изотоксальный

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2-метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на m (m-1) / 2 параллелограмма. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для икосагона m = 10, и его можно разделить на 45: 5 квадратов и 4 набора по 10 ромбов. Это разложение основано на проекции многоугольника Петри 10-куба с 45 гранями из 11520. Список OEIS : A006245 перечисляет количество решений как 18 410 581 880, включая до 20-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Разрез на 45 ромбов
10-cube.svg . 10-куб 20-gon-dissection.svg Ромбическое рассечение 20-угольников2.svg Ромбическое рассечение 20-угольниковx.svg 20-gon-dissection-random.svg
Связанные многоугольники

икосаграмма - это 20-сторонний звездообразный многоугольник, представленный символом { 20 / н}. Символы Шлефли задают три регулярные формы: {20/3}, {20/7} и {20/9}. Также есть пять правильных звездных фигур (составных частей) с одинаковым расположением вершин : 2 {10}, 4 {5}, 5 {4}, 2 {10/3}, 4 {5/2} и 10 {2}.

n12345
ФормаВыпуклый многоугольникСоставнойЗвездообразный многоугольникСоставной
ИзображениеПравильный многоугольник 20.svg . {20/1} = {20}Обычная фигура в виде звезды 2 (10,1).svg . {20/2} = 2 {10}Правильный многоугольник звезды 20-3.svg . {20/3}Обычная звездочка, фигура 4 (5,1).svg . {20/4} = 4 {5}Правильная фигура 5 (4, 1).svg . {20/5} = 5 {4}
Внутренний угол 162 °144 °126 °108 °90 °
n678910
ФормаСоставнойЗвездообразный многоугольникСоставнойЗвездный многоугольникСоставной
ИзображениеОбычная звездочка цифра 2 (10,3).svg . {20/6} = 2 {10 / 3}Правильный звездообразный многоугольник 20-7.svg . {20/7}Обычная звезда fi рисунок 4 (5,2).svg . {20/8} = 4 {5/2}Правильный многоугольник в виде звезды 20-9.svg . {20/9}Обычная звездочка 10 (2,1).svg . {20/10} = 10 {2}
Внутренний угол72 °54 °36 °18 °0 °

Более глубокие усечения обычного Декагон и декаграмма могут создавать изогональные (вершинно-транзитивные ) промежуточные формы икосаграмм с одинаковым расстоянием между вершинами и двумя длинами ребер.

Обычную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t {10/9} = {20/9}. Аналогично декаграмма, {10/3} имеет квазиусечение t {10/7} = {20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t {10/3} = {20 / 3}.

Икосаграммы как усечения правильных декагонов и декаграмм, {10}, {10/3}
КвазирегулярныеКвазирегулярные
Regu усечение большого многоугольника 10 1.svg . t {10} = {20}Усечение правильного многоугольника 10 2.svg Усечение правильного многоугольника 10 3.svg Усечение правильного многоугольника 10 4.svg Усечение правильного многоугольника 10 5.svg Усечение правильного многоугольника 10 6.svg . t {10/9} = {20/9}
Обычное усечение звезды 10-3 1.svg . t {10/3} = {20/3}Обычное усечение звезды 10-3 2.svg Обычное усечение звезды 10-3 3.svg Регулярное усечение звезды 10-3 4.svg Обычное усечение звездой 10-3 5.svg Регулярное усечение звезды 10-3 6.svg . t {10/7} = {20/7}
многоугольники Петри

правильный икосугольник - многоугольник Петри для ряда многомерных многогранников, показанный в ортогональных проекциях в плоскостях Кокстера :

A19B10D11E8H4½2H 22H2
19-симплексный t0.svg . 19-симплекс 10-кубический t9.svg . 10- ортоплекс 10-куб t0.svg . 10-куб 11-demicube.svg . 11-полукуб 4 21 t0 p20.svg . (421) 600-ячеечный t0 p20.svg . 600-ячеечный Большая антипризма 20-угольная ортогональная projection.png . Гранд антипризма 10-10 дуопирамида орто-3.png . 10-10 дуопирамида 10-10 дуопризма орто-3.png . 10-10 дуопризма

Это также многоугольник Петри для 120-элементный икосаэдр, маленький звездчатый 120-элементный, большой икосаэдрический 120-элементный и большой 120-элементный.

Ссылки
Внешние ссылки
Последняя правка сделана 2021-05-23 10:20:28
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте