Войти
гиперэллиптическая кривая, определяемая 
имеет только конечное число рациональных точек (например, точек 
и 
) по теореме Фалтингса.В математике арифметическая геометрия - это примерно применение методов из алгебраической геометрии к задачам теории чисел. Арифметическая геометрия сосредоточена вокруг диофантовой геометрии, изучения рациональных точек алгебраических разновидностей.
В более абстрактных терминах арифметическая геометрия может быть определена как изучение схемы конечного типа по спектру кольца целых чисел.
Классические объекты, представляющие интерес в арифметической геометрии, - это рациональные точки: наборы решений системы полиномиальных уравнений более числовых полей, конечных полей, p-адических полей или функциональных полей, т.е. полей, которые не алгебраически замкнутый, исключая действительные числа. Рациональные точки могут быть непосредственно охарактеризованы функциями высоты, которые измеряют их арифметическую сложность.
Структура алгебраических многообразий, определенных над неалгебраически замкнутыми полями, стала центральной областью интереса, возникшей с современное абстрактное развитие алгебраической геометрии. Над конечными полями этальные когомологии предоставляют топологические инварианты, связанные с алгебраическими многообразиями. p-адическая теория Ходжа дает инструменты для изучения когомологических свойств многообразий над комплексные числа распространяются на числа над p-адическими полями.
В начале XIX века Карл Фридрих Гаусс заметил, что ненулевые целые решения однородных полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами существуют, если существуют ненулевые рациональные решения.
В 1850-х годах Леопольд Кронекер сформулировал теорему Кронекера – Вебера, представил теорию делителей и установил множество других связей между теорией чисел и алгебра. Затем он предположил свой «liebster Jugendtraum » («самая заветная мечта юности»), обобщение, которое позже было выдвинуто Гильбертом в модифицированной форме как его двенадцатая проблема, которая очерчивает Цель состоит в том, чтобы теория чисел работала только с кольцами, которые являются частными колец полиномов над целыми числами.
В конце 1920-х годов Андре Вейль продемонстрировал глубокую связь между алгебраической геометрией и теорией чисел со своей докторской работой, что привело к теореме Морделла – Вейля, которая демонстрирует, что множество рациональных точек абелево многообразие - это конечно порожденная абелева группа.
Современные основы алгебраической геометрии были разработаны на основе современной коммутативной алгебры, включая теорию оценки и теория идеалов Оскара Зарисского и других в 1930-х и 1940-х.
В 1949 году Андре Вейль поставил ориентир гипотезы Вейля о локальных дзета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями. Эти предположения предложили основу между алгебраической геометрией и теорией чисел, которая подтолкнула Александра Гротендика к пересмотру основ с использованием теории пучков (вместе с Жан-Пьером Серром ) и более поздняя теория схем в 1950-х и 1960-х. Бернард Дворк доказал одну из четырех гипотез Вейля (рациональность локальной дзета-функции) в 1960 году. Гротендик разработал теорию этальных когомологий, чтобы доказать две из гипотез Вейля. (вместе с Майклом Артином и Жан-Луи Вердье ) к 1965 г. Последняя из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана ) будет окончательно доказана в 1974 г. Пьер Делинь.
Между 1956 и 1957 годами Ютака Танияма и Горо Шимура сформулировал гипотезу Таниямы – Шимуры (теперь известную как теорема модульности), связывающую эллиптические кривые с модульными формами. Эта связь в конечном итоге приведет к первому доказательству Великой теоремы Ферма в теории чисел с помощью методов алгебраической геометрии подъема модульности, разработанных Эндрю Уайлсом в 1995 году.
В 1960-х Горо Шимура представил разновидности Шимура как обобщения модульных кривых. С 1979 года разновидности Симура играли решающую роль в программе Ленглендса как естественное царство примеров для проверки гипотез.
В статьях 1977 и 1978 годов Барри Мазур доказал гипотезу о кручении, дающую полный список возможных подгрупп кручения эллиптических кривых над рациональными числами. Первое доказательство этой теоремы Мазуром зависело от полного анализа рациональных точек на некоторых модулярных кривых. В 1996 году доказательство гипотезы о кручении было распространено на все числовые поля Лоиком Мерелом.
. В 1983 году Герд Фалтингс доказал гипотезу Морделла, продемонстрировав, что кривая рода больше 1 имеет только конечное число рациональных точек (где теорема Морделла – Вейля демонстрирует только конечное порождение множества рациональных точек в противоположность конечности).
В 2001 г. Доказательство локальных гипотез Ленглендса для GL n было основано на геометрии некоторых многообразий Шимуры.
В 2010-х годах Питер Шольце разработал перфектоидные пространства и новые теории когомологий в арифметической геометрии над p-адическими полями с применением к представлениям Галуа и некоторым случаям гипотезы весовой монодромии.
