Войти
 . {5/2} |  . | 5/2 | |
| Обычная звезда пятиугольник, {5/2}, имеет пять угловых вершин и пересекающихся ребер, в то время как вогнутый десятиугольник, | 5/2 |, имеет десять ребер и два набора из пяти вершин. Первые используются в определениях звездных многогранников и звездных однородных мозаик, а вторые иногда используются в плоских мозаиках. | |
 . Малый звездчатый додекаэдр |  . Тесселяция |
В геометрии звездообразный многоугольник представляет собой тип не выпуклого многоугольника. Только правильные звездчатые многоугольники были изучены достаточно глубоко; Звездчатые многоугольники в целом не были определены формально, однако некоторые известные могут возникнуть в результате операций усечения на обычных простых и звездных многоугольниках.
Бранко Грюнбаум идентифицировал два основных определения, которые использовал Иоганн Кеплер, одно из которых было правильными звездчатыми многоугольниками с пересекающимися ребрами, которые не генерируют новые вершины, а второй - простые изотоксические вогнутые многоугольники.
Первое использование включено в полиграммы, которые включают многоугольники, такие как пентаграмма, но также составные фигуры, такие как гексаграмма.
После некоторого изучения они стали выводом для двумерной многоугольной фигуры. Его формулу для площади можно решить следующим образом: A = 5 [(1/2) bh] +1/4 
Имена звездообразных многоугольников сочетают в себе числовой префикс , например penta-, с греческим суффиксом -грамм ( в этом случае генерируется слово пентаграмма ). Приставкой обычно является греческий кардинал, но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известен как нонаграмма с использованием порядкового номера nona от Latin. Суффикс -gram происходит от γραμμή (граммḗ), что означает линию.
 . {5/2} |  . {7/2} |  . {7 / 3}... |
Правильные выпуклые и звездообразные многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли "Правильный звездный многоугольник" - это самопересекающийся равносторонний равноугольный многоугольник.
Правильный звездчатый многоугольник обозначается его символом Шлефли {p / q}, где p (количество вершин) и q (плотность ) являются взаимно простыми (у них нет общих факторов) и q ≥ 2.
группа симметрии элемента {n / k} - это группа диэдра Dnпорядка 2n, независимо от k.
Правильные звездчатые многоугольники сначала систематически изучал Томас Брэдвардин, а позже Иоганнес Кеплер.
Правильные звездные многоугольники могут быть созданы с помощью соединение одной вершины простого правильного p-стороннего многоугольника с другой несмежной вершиной и продолжение процесса до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова. В качестве альтернативы для целых чисел p и q его можно рассматривать как построенное путем соединения каждой q-й точки из p точек, равномерно распределенных по кругу. Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от первой к третьей вершине, от третьей вершины к пятой вершине, от пятой вершины ко второй вершине, от второй вершины. к четвертой вершине и от четвертой вершины к первой вершине.
Если q больше половины p, то построение приведет к тому же многоугольнику, что и p-q; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многогранники более высокой размерности. Например, антипризма, сформированная из прямой пентаграммы {5/2}, приводит к пентаграмматической антипризме ; аналогичное построение из ретроградной «скрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграмме с перекрещенной антипризмой. Другой пример - тетрагемигексаэдр, который можно рассматривать как «перекрещенный треугольник» {3/2} куплоид.
Если p и q не равны взаимно проста, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет отображаться как треугольник, но его можно пометить двумя наборами вершин 1–6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как двойную обмотку одного уникурсального шестиугольника.
В качестве альтернативы, правильный звездчатый многоугольник также может быть получен как последовательность звёздчатые формы выпуклого правильного многоугольника ядра. Конструкции, основанные на звездчатости, также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность и количество вершин не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездообразной формы, если q больше, чем p / 2, линии вместо этого будут бесконечно расходиться, а если q равно p / 2, линии будут параллельны, и оба результата не приведут к дальнейшему пересечению в евклидовом Космос. Однако можно построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногону и двуугольнику ; такие полигоны, по-видимому, еще не изучены подробно.
Когда пересекающиеся линии удалены, звездные многоугольники перестают быть правильными, но их можно рассматривать как простые вогнутые изотоксальные 2n-угольники, чередующиеся вершины на двух разных радиусах, которые не обязательно должны совпадать с углами правильного многоугольника звезды. Бранко Грюнбаум в Tilings and Patterns представляет эти звезды как | n / d | которые соответствуют геометрии полиграммы {n / d} с обозначением {n α } в более общем виде, представляя n-стороннюю звезду с каждым внутренним углом α<180°(1-2/n) degrees. For |n/d|, the inner vertices have an exterior angle, β, as 360°(d-1)/n.
| | n / d |. {nα} | . {330 ° } | . {630 ° } | | 5/2 |. {5 36 ° } | . {445 ° } | | 8 / 3 |. {8 45 ° } | | 6/2 |. {6 60 ° } | . {572 ° } |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| α | 30 ° | 36 ° | 45 ° | 60 ° | 72 ° | ||
| β | 150 ° | 90 ° | 72 ° | 135 ° | 90 ° | 120 ° | 144 ° |
| Изотоксальная. звезда |  |  |  |  |  |  |  |
| Связанная. полиграмма.. {n / d}. |  . {12/5} |  . {5/2} |  . {8/3} |  . 2{3}. Звездочка |  . {10/3} | ||
Эти многоугольники часто встречаются в мозаичных узорах. Параметрический угол α (градусы или радианы) можно выбрать для соответствия внутренним углам соседних многоугольников в шаблоне тесселяции. Иоганн Кеплер в своей работе 1619 года Harmonices Mundi, включая, среди прочего, мозаики периода, непериодические мозаики, подобные этим, три правильных пятиугольника и правильный пятиугольник звезды (5.5.5.5/2) могут поместиться вокруг вершина и связана с современными мозаиками Пенроуза.
| Звездные треугольники | Звездные квадраты | Звездные шестиугольники | Звездные восьмиугольники | ||
|---|---|---|---|---|---|
 . (3.3. α.3.3. α) |  . (8.4. π/4.8.4. π/4) |  . (6.6. π /3.6.6. π/3) |  . (3.6. π/3.6. π/3) |  . (3.6.6. π / 3.6) |  . Не от края до края |
Внутреннее пространство звездообразного многоугольника можно рассматривать по-разному. Для пентаграммы показаны три таких варианта. Бранко Грунбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них, как правильные звездчатые многоугольники и вогнутые изогональные 2n-угольники.
К ним относятся:
Когда вычисляется площадь многоугольника, каждый из этих подходов дает различный ответ.
Звездные многоугольники занимают видное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть или не быть правильными, но они всегда очень симметричны. Примеры включают:
 . Ан {8/3} октаграмма, построенная в виде правильного восьмиугольника |  . Печать Соломона с кругом и точками (звездная фигура) |
