Звездный многоугольник

редактировать
Два типа звездообразных пятиугольников
Alfkors.svg . {5/2}Stjärna.svg . | 5/2 |
Обычная звезда пятиугольник, {5/2}, имеет пять угловых вершин и пересекающихся ребер, в то время как вогнутый десятиугольник, | 5/2 |, имеет десять ребер и два набора из пяти вершин. Первые используются в определениях звездных многогранников и звездных однородных мозаик, а вторые иногда используются в плоских мозаиках.
Маленький звездчатый додекаэдр.png . Малый звездчатый додекаэдр Десятиугольник Кеплера пятиугольник пентаграмма tiling.png . Тесселяция

В геометрии звездообразный многоугольник представляет собой тип не выпуклого многоугольника. Только правильные звездчатые многоугольники были изучены достаточно глубоко; Звездчатые многоугольники в целом не были определены формально, однако некоторые известные могут возникнуть в результате операций усечения на обычных простых и звездных многоугольниках.

Бранко Грюнбаум идентифицировал два основных определения, которые использовал Иоганн Кеплер, одно из которых было правильными звездчатыми многоугольниками с пересекающимися ребрами, которые не генерируют новые вершины, а второй - простые изотоксические вогнутые многоугольники.

Первое использование включено в полиграммы, которые включают многоугольники, такие как пентаграмма, но также составные фигуры, такие как гексаграмма.

После некоторого изучения они стали выводом для двумерной многоугольной фигуры. Его формулу для площади можно решить следующим образом: A = 5 [(1/2) bh] +1/4 5 (5 + 2 5) {\ displaystyle {\ sqrt {5 (5 + 2 {\ sqrt { 5}})}}}{ \ displaystyle {\ sqrt {5 (5 + 2 {\ sqrt {5}})}}} a ^ 2

Содержание

  • 1 Этимология
  • 2 Правильный звездообразный многоугольник
    • 2.1 Построение посредством вершинного соединения
      • 2.1.1 Вырожденные правильные звездчатые многоугольники
    • 2.2 Построение звездчатой ​​формы
  • 3 Простые изотоксические звездообразные многоугольники
    • 3.1 Примеры в мозаиках
  • 4 Интерьеры
  • 5 В искусстве и культуре
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки

Этимология

Имена звездообразных многоугольников сочетают в себе числовой префикс , например penta-, с греческим суффиксом -грамм ( в этом случае генерируется слово пентаграмма ). Приставкой обычно является греческий кардинал, но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известен как нонаграмма с использованием порядкового номера nona от Latin. Суффикс -gram происходит от γραμμή (граммḗ), что означает линию.

Правильный многоугольник в виде звезды

Правильный звездообразный многоугольник 5-2.svg . {5/2} Правильный звездный многоугольник 7-2.svg . {7/2} Правильный многоугольник звезды 7-3.svg . {7 / 3}...
Правильные выпуклые и звездообразные многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли

"Правильный звездный многоугольник" - это самопересекающийся равносторонний равноугольный многоугольник.

Правильный звездчатый многоугольник обозначается его символом Шлефли {p / q}, где p (количество вершин) и q (плотность ) являются взаимно простыми (у них нет общих факторов) и q ≥ 2.

группа симметрии элемента {n / k} - это группа диэдра Dnпорядка 2n, независимо от k.

Правильные звездчатые многоугольники сначала систематически изучал Томас Брэдвардин, а позже Иоганнес Кеплер.

Построение через вершинное соединение

Правильные звездные многоугольники могут быть созданы с помощью соединение одной вершины простого правильного p-стороннего многоугольника с другой несмежной вершиной и продолжение процесса до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова. В качестве альтернативы для целых чисел p и q его можно рассматривать как построенное путем соединения каждой q-й точки из p точек, равномерно распределенных по кругу. Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от первой к третьей вершине, от третьей вершины к пятой вершине, от пятой вершины ко второй вершине, от второй вершины. к четвертой вершине и от четвертой вершины к первой вершине.

Если q больше половины p, то построение приведет к тому же многоугольнику, что и p-q; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многогранники более высокой размерности. Например, антипризма, сформированная из прямой пентаграммы {5/2}, приводит к пентаграмматической антипризме ; аналогичное построение из ретроградной «скрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграмме с перекрещенной антипризмой. Другой пример - тетрагемигексаэдр, который можно рассматривать как «перекрещенный треугольник» {3/2} куплоид.

Вырожденные правильные звездчатые многоугольники

Если p и q не равны взаимно проста, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет отображаться как треугольник, но его можно пометить двумя наборами вершин 1–6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как двойную обмотку одного уникурсального шестиугольника.

Двухскрученный шестиугольник.png

Построение звездообразной формы

В качестве альтернативы, правильный звездчатый многоугольник также может быть получен как последовательность звёздчатые формы выпуклого правильного многоугольника ядра. Конструкции, основанные на звездчатости, также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность и количество вершин не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездообразной формы, если q больше, чем p / 2, линии вместо этого будут бесконечно расходиться, а если q равно p / 2, линии будут параллельны, и оба результата не приведут к дальнейшему пересечению в евклидовом Космос. Однако можно построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногону и двуугольнику ; такие полигоны, по-видимому, еще не изучены подробно.

Простые изотоксические звездчатые многоугольники

Когда пересекающиеся линии удалены, звездные многоугольники перестают быть правильными, но их можно рассматривать как простые вогнутые изотоксальные 2n-угольники, чередующиеся вершины на двух разных радиусах, которые не обязательно должны совпадать с углами правильного многоугольника звезды. Бранко Грюнбаум в Tilings and Patterns представляет эти звезды как | n / d | которые соответствуют геометрии полиграммы {n / d} с обозначением {n α } в более общем виде, представляя n-стороннюю звезду с каждым внутренним углом α<180°(1-2/n) degrees. For |n/d|, the inner vertices have an exterior angle, β, as 360°(d-1)/n.

Simple примеры изотоксальных звезд
| n / d |. {nα}. {330 ° }. {630 ° }| 5/2 |. {5 36 ° }. {445 ° }| 8 / 3 |. {8 45 ° }| 6/2 |. {6 60 ° }. {572 ° }
α30 °36 °45 °60 °72 °
β150 °90 °72 °135 °90 °120 °144 °
Изотоксальная. звездаИзотоксальный звездный треугольник 12-5.svg Изотоксальный шестиугольник звезды 12-5.png Stjärna.svg Изотоксальная квадратная звезда 8-3.svg Octagon star.png Roundel of Israel - Low Visibility - Type 2.svg Широкая пентаграмма.png
Связанная. полиграмма.. {n / d}.Правильный звездообразный многоугольник 12-5.svg . {12/5}Alfkors.svg . {5/2}R многоугольник в форме звезды 8-3.svg . {8/3}Hexagram.svg . 2{3}. Звездочка Декаграмма 10 3.png . {10/3}

Примеры в мозаиках

Эти многоугольники часто встречаются в мозаичных узорах. Параметрический угол α (градусы или радианы) можно выбрать для соответствия внутренним углам соседних многоугольников в шаблоне тесселяции. Иоганн Кеплер в своей работе 1619 года Harmonices Mundi, включая, среди прочего, мозаики периода, непериодические мозаики, подобные этим, три правильных пятиугольника и правильный пятиугольник звезды (5.5.5.5/2) могут поместиться вокруг вершина и связана с современными мозаиками Пенроуза.

Примеры мозаик с изотоксальными звездными многоугольниками
Звездные треугольникиЗвездные квадратыЗвездные шестиугольникиЗвездные восьмиугольники
Треугольник и треугольная звездочка tiling.png . (3.3. α.3.3. α)Восьмиугольник в форме звезды квадрат tiling.png . (8.4. π/4.8.4. π/4)Гексаграмма шестиугольника tiling.png . (6.6. π /3.6.6. π/3)Круговой усеченный шестиугольник tiling2.png . (3.6. π/3.6. π/3)Тригексагональные мозаичные звезды.png . (3.6.6. π / 3.6)Hexagon hexagram tiling2.png . Не от края до края

Внутреннее пространство

Внутреннее пространство звездообразного многоугольника можно рассматривать по-разному. Для пентаграммы показаны три таких варианта. Бранко Грунбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них, как правильные звездчатые многоугольники и вогнутые изогональные 2n-угольники.

Пентаграмма интерпретации.svg

К ним относятся:

  • Когда встречается одна сторона, одна сторона рассматривается как внешняя, а другая как внутри. Это показано на иллюстрации слева. включено и часто встречается при рендеринге компьютерной векторной графики.
  • Количество раз, когда полигональная кривая наматывается на заданную область, определяет ее плотность. Внешний вид имеет плотность 0, и любая область с плотностью>0 считается внутренней. Это показано на центральной иллюстрации и обычно встречается при математической обработке многогранников . (Однако для неориентируемых многогранников плотность можно рассматривать только по модулю 2, и поэтому в этих случаях для согласованности иногда используется первая обработка.)
  • Если линия может быть проведена между двумя сторонами, область в линия лежит внутри рисунка. Это показано на рисунке справа и обычно происходит при создании физической модели.

Когда вычисляется площадь многоугольника, каждый из этих подходов дает различный ответ.

В искусстве и культуре

Звездные многоугольники занимают видное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть или не быть правильными, но они всегда очень симметричны. Примеры включают:

Октаграмма. svg . Ан {8/3} октаграмма, построенная в виде правильного восьмиугольника Печать Соломона (Простая версия).svg . Печать Соломона с кругом и точками (звездная фигура)

См. также

Ссылки

  • Cromwell, P.; Многогранники, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5. п. 175
  • Грюнбаум, Б. и Г.К. Шепард; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
  • Grünbaum, B. ; Многогранники с полыми гранями, Материалы конференции NATO-ASI по многогранникам... и т. Д. (Торонто, 1993), изд. Т. Бистрички и др., Kluwer Academic (1994), стр. 43–70.
  • Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 404: Регулярные звездные многогранники Размерность 2)
  • Бранко Грюнбаум, Метаморфозы многоугольников, опубликовано в The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994)
Последняя правка сделана 2021-06-09 08:25:00
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте