Подстановка Вейерштрасса

Изменение переменных для интегралов, содержащих тригонометрические функции

В интегральном исчислении, Подстановка Вейерштрасса или Подстановка касательных полууглов - это метод вычисления интегралов, который преобразует рациональную функцию из тригонометрических функций из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в обычную рациональную функцию от $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, задав $t\; =\; tan\; \; (x\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; tan\; (x\; /\; 2)\}$.Никакая общность не теряется, если они являются рациональными функциями синуса и косинуса. Общая формула преобразования:

$\int \; f\; (sin\; \; (x),\; cos\; \; (x))\; dx\; =\; \int \; 2\; 1\; +\; t\; 2\; f\; (2\; t\; 1\; +\; t\; 2,\; 1\; -\; t\; 2\; 1\; +\; t\; 2)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; е\; (\backslash \; sin\; (x),\; \backslash \; cos\; (x))\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2t\; \}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1-t\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt.\}$

Он назван в честь Карл Вейерштрасс (1815–1897), хотя его можно найти в книге Леонарда Эйлера от 1768 года. Майкл Спивак писал, что этот метод был «самой хитрой заменой "в мире.

• 1 Подстановка
  • 1.1 Вывод формул
• 2 Примеры
  • 2.1 Первый пример: интеграл косеканса
  • 2.2 Второй пример: определенный интеграл
  • 2.3 Третий пример
• 3 Геометрия
• 4 Галерея
• 5 Гиперболические функции
• 6 См. Также
• 7 Дополнительная литература
• 8 Примечания и ссылки
• 9 Внешние ссылки

Начиная с рациональной функции синусов и косинусов, заменяют $sin\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\}$и $cos\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; x\; \}$с рациональными функциями переменной $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и связывает дифференциалы $d\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\}$и $d\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dt\}$следующим образом.

Пусть $t\; =\; tan\; \; (x\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; tan\; (x\; /\; 2)\}$, где . Тогда

$sin\; \; (x\; 2)\; =\; t\; 1\; +\; t\; 2\; и\; cos\; \; (x\; 2)\; =\; 1\; 1\; +\; t\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\; \}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\}.\}$

Следовательно,

$sin\; \; x\; =\; 2\; t\; 1\; +\; t\; 2,\; cos\; \; x\; =\; 1\; -\; t\; 2\; 1\; +\; t\; 2\; и\; dx\; =\; 2\; 1\; +\; t\; 2\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; cos\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-t\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\; \}\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; qquad\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Вывод формул

По формулам двойного угла ,

$sin\; \; x\; =\; 2\; sin\; \; (x\; 2)\; cos\; \; (x\; 2)\; =\; 2\; \cdot \; tt\; 2\; +\; 1\; \cdot \; 1\; t\; 2\; +\; 1\; =\; 2\; tt\; 2\; +\; 1,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\; =\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{t\; ^\; \{\; 2\}\; +1\}\},\}$

и

$cos\; \; x\; =\; 2\; cos\; 2\; \; (x\; 2)\; -\; 1\; =\; 2\; t\; 2\; +\; 1\; -\; 1\; =\; 2\; -\; (t\; 2\; +\; 1)\; t\; 2\; +\; 1\; =\; 1\; -\; т\; 2\; 1\; +\; т\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; x\; =\; 2\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; -1\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; -\; 1\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2-\; (t\; ^\; \{2\}\; +1)\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-t\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\; \}.\}$

Наконец, поскольку $t\; =\; tan\; \; (x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$,

$dt\; =\; 1\; 2\; секунды\; 2\; \; (x\; 2)\; dx\; =\; dx\; 2\; cos\; 2\; \; x\; 2\; =\; dx\; 2\; \cdot \; 1\; t\; 2\; +\; 1\; \Rightarrow \; dx\; =\; 2\; t\; 2\; +\; 1\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{2\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; qquad\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; dt.\}$

Первый пример: интеграл косеканса

$\int \; csc\; \; xdx\; =\; \int \; dx\; sin\; \; x\; =\; \int \; (1\; +\; t\; 2\; 2\; t)\; (2\; 1\; +\; t\; 2)\; dtt\; =\; tan\; \; x\; 2\; =\; \int \; dtt\; =\; ln\; \; |\; т\; |\; +\; C\; =\; ln\; \; |\; загар\; \; x\; 2\; |\; +\; С.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; csc\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{\backslash \; sin\; x\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1+\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2t\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; dt\; t\; =\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; ln\; |\; t\; |\; +\; C\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\; x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; |\; +\; C.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Мы можем подтвердить приведенный выше результат, используя стандартный метод вычисления интеграла косеканса, умножив числитель и знаменатель на $csc\; \; x\; -\; cot\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; csc\; x-\; \backslash \; cot\; x\}$и выполняем следующие замены в полученном выражении: $u\; =\; csc\; \; x\; -\; cot\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; csc\; x-\; \backslash \; cot\; x\}$и $du\; =\; (-\; csc\; \; x\; кроватка\; \; x\; +\; csc\; 2\; \; x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; du\; =\; (-\; \backslash \; csc\; x\; \backslash \; cot\; x\; +\; \backslash \; csc\; ^\; \{\; 2\}\; x)\; \backslash ,\; dx\}$. Эта замена может быть получена из разности производных косеканса и котангенса, у которых косеканс является общим множителем.

$\int \; csc\; \; xdx\; =\; \int \; csc\; \; x\; (csc\; \; x\; -\; детская\; кроватка\; \; x)\; csc\; \; x\; -\; детская\; кроватка\; \; xdx\; =\; \int \; (csc\; 2\; \; x\; -\; csc\; \; x\; детская\; кроватка\; \; x)\; dx\; csc\; \; x\; -\; детская\; кроватка\; \; xu\; =\; csc\; \; x\; -\; детская\; кроватка\; \; x\; =\; \int \; duudu\; =\; (-\; csc\; \; x\; детская\; кроватка\; \; x\; +\; csc\; 2\; \; x)\; dx\; =\; ln\; \; |\; u\; |\; +\; C\; =\; ln\; \; |\; csc\; \; x\; -\; детская\; кроватка\; \; x\; |\; +\; С.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; csc\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; csc\; x\; (\backslash \; csc\; x-\; \backslash \; cot\; x)\}\; \{\backslash \; csc\; x-\; \backslash \; cot\; x\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; x-\; \backslash \; csc\; x\; \backslash \; cot\; x)\; \backslash ,\; dx\}\; \{\backslash \; csc\; x-\; \backslash \; cot\; x\}\}\; u\; =\; \backslash \; csc\; x-\; \backslash \; кроватка\; x\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{u\}\}\; du\; =\; (-\; \backslash \; csc\; x\; \backslash \; cot\; x\; +\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; ln\; |\; u\; |\; +\; C\; =\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; csc\; x-\; \backslash \; cot\; x\; |\; +\; C.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Теперь формулы половинного угла для синусов и косинусов:

$sin\; 2\; \; \theta \; =\; 1\; -\; cos\; \; 2\; \theta \; 2\; и\; cos\; 2\; \; \theta \; =\; 1\; +\; cos\; \; 2\; \theta \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; theta\}\; \{2\}\}.\}$

Они дают

$∫ csc ⁡ xdx = ln ⁡ | загар ⁡ x 2 | + C = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ⋅ 1 - cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x + C = ln ⁡ (1 - cos ⁡ x) 2 sin 2 ⁡ x + C = ln ⁡ (1 - cos ⁡ x sin ⁡ x) 2 + C = ln ⁡ (1 sin ⁡ x - cos ⁡ x sin ⁡ x) 2 + C = ln ⁡ (csc ⁡ x - детская кроватка ⁡ x) 2 + C = ln ⁡ | csc ⁡ x - детская кроватка ⁡ x | + C, {\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ csc x \, dx = \ ln \ left | \ tan {\ frac {x} {2}} \ right | + C = \ ln {\ sqrt { \ frac {1- \ cos x} {1+ \ cos x}}} + C \\ [6pt] = \ ln {\ sqrt {{\ frac {1- \ cos x} {1+ \ cos x} } \ cdot {\ frac {1- \ cos x} {1- \ cos x}}}} + C \\ [6pt] = \ ln {\ sqrt {\ frac {(1- \ cos x) ^ { 2}} {\ sin ^ {2} x}}} + C \\ [6pt] = \ ln {\ sqrt {\ left ({\ frac {1- \ cos x} {\ sin x}} \ right) ^ {2}}} + C \\ [6pt] = \ ln {\ sqrt {\ left ({\ frac {1} {\ sin x}} - {\ frac {\ cos x} {\ sin x }} \ right) ^ {2}}} + C \\ [6pt] = \ ln {\ sqrt {(\ csc x- \ cot x) ^ {2}}} + C = \ ln \ left | \ csc x- \ cot x \ right | + C, \ end {align}}}$

, поэтому два ответа эквивалентны. В качестве альтернативы можно использовать тождество касательного полуугла, чтобы получить

$tan\; \; x\; 2\; =\; 1\; -\; cos\; \; x\; sin\; \; x\; =\; 1\; sin\; \; x\; -\; cos\; \; x\; sin\; \; x\; =\; csc\; \; x\; -\; детская\; кроватка\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; cos\; x\}\; \{\backslash \; sin\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sin\; x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; cos\; x\}\; \{\backslash \; sin\; x\}\}\; =\; \backslash \; csc\; x-\; \backslash \; cot\; x.\}$

интеграл секанс может быть вычислен аналогичным образом.

Второй пример: определенный интеграл

$\int \; 0\; 2\; \pi \; dx\; 2\; +\; cos\; \; x\; =\; \int \; 0\; \pi \; dx\; 2\; +\; cos\; \; x\; +\; \int \; \pi \; 2\; \pi \; dx\; 2\; +\; cos\; \; x\; =\; \int \; 0\; \infty \; 2\; dt\; 3\; +\; t\; 2\; +\; \int \; -\; \infty \; 0\; 2\; dt\; 3\; +\; t\; 2\; t\; =\; tan\; \; x\; 2\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; 2\; dt\; 3\; +\; t\; 2\; =\; 2\; 3\; \int \; -\; \infty \; \infty \; du\; 1\; +\; u\; 2\; t\; =\; u\; 3\; =\; 2\; \pi \; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{2+\; \backslash \; cos\; x\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{2+\; \backslash \; cos\; x\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{2+\; \backslash \; cos\; x\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; dt\}\; \{3\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; dt\}\; \{\; 3\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; t\; =\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; dt\}\; \{3\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; du\}\; \{1\; +\; u\; ^\; \{2\}\}\}\; t\; =\; u\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

В первой строке нельзя просто заменить $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$на оба предела интегрирования. сингулярность (в данном случае вертикальная асимптота ) $t\; =\; tan\; \; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \}$в $x\; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; pi\}$необходимо учитывать. В качестве альтернативы, сначала вычислите неопределенный интеграл, а затем примените граничные значения.

$∫ dx 2 + cos ⁡ x = ∫ 1 2 + 1 - t 2 1 + t 2 2 dtt 2 + 1 t = tan ⁡ x 2 = ∫ 2 dt 2 (t 2 + 1) + (1 - t 2) = ∫ 2 dtt 2 + 3 = 2 3 ∫ dt (t 3) 2 + 1 u = t 3 = 2 3 ∫ duu 2 + 1 tan ⁡ θ = u = 2 3 ∫ cos 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 2 3 ∫ d θ = 2 3 θ + C = 2 3 arctan ⁡ (t 3) + C = 2 3 arctan ⁡ [tan ⁡ (x / 2) 3] + С. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {2+ \ cos x}} = \ int {\ frac {1} {2 + {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}} {\ frac {2 \, dt} {t ^ {2} +1}} t = \ tan {\ frac {x} {2}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {2 \, dt} {2 (t ^ {2} +1) + (1-t ^ {2})}} = \ int {\ frac {2 \, dt} {t ^ {2} +3}} \\ [6pt] = {\ frac {2} {3}} \ int {\ frac {dt} {\ left ({\ frac {t} {\ sqrt {3}}) } \ right) ^ {2} +1}} u = {\ frac {t} {\ sqrt {3}}} \\ [6pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ int {\ frac {du} {u ^ {2} +1}} \ tan \ theta = u \\ [6pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ int \ cos ^ {2} \ theta \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta = {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ int d \ theta \\ [6pt] = {\ frac {2 } {\ sqrt {3}}} \ theta + C = {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ arctan \ left ({\ frac {t} {\ sqrt {3}}} \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ arctan \ left [{\ frac {\ tan (x / 2)} {\ sqrt {3}}} \ right ] + C. \ End {align}}}$

По симметрии

$\int \; 0\; 2\; \pi \; dx\; 2\; +\; cos\; \; x\; =\; 2\; \int \; 0\; \pi \; dx\; 2\; +\; cos\; \; x\; =\; lim\; b\; \to \; \pi \; 4\; 3\; arctan\; \; (tan\; \; x\; /\; 2\; 3)\; |\; 0\; b\; =\; 4\; 3\; [lim\; b\; \to \; \pi \; arctan\; \; (tan\; \; b\; /\; 2\; 3)\; -\; arctan\; \; (0)]\; =\; 4\; 3\; (\pi \; 2\; -\; 0)\; =\; 2\; \pi \; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{2+\; \backslash \; cos\; x\}\}\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{2+\; \backslash \; cos\; x\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{b\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; x\; /\; 2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\; \}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; Biggl\; |\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; Biggl\; [\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{b\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; b\; /\; 2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; arctan\; (0)\; \{\backslash \; Biggl]\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; 0\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\},\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

, что совпадает с предыдущим ответом.

Третий пример

$\int \; dxa\; cos\; \; x\; +\; b\; sin\; \; x\; +\; c\; =\; \int \; 2\; dta\; (1\; -\; t\; 2)\; +\; 2\; bt\; +\; c\; (t\; 2\; +\; 1)\; =\; \int \; 2\; dt\; (c\; -\; a)\; t\; 2\; +\; 2\; bt\; +\; a\; +\; c\; =\; 2\; c\; 2\; -\; (a\; 2\; +\; b\; 2)\; arctan\; \; (c\; -\; a)\; tan\; \; x\; 2\; +\; bc\; 2\; -\; (a\; 2\; +\; b\; 2)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{a\; \backslash \; cos\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; x\; +\; c\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{2dt\}\; \{a\; (1-t\; ^\; \{2\})\; +\; 2bt\; +\; c\; (t\; ^\; \{2\}\; +1)\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{2dt\}\; \{(ca)\; t\; ^\; \{2\}\; +\; 2bt\; +\; a\; +\; c\}\}\; \backslash \backslash \; [\; 6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\; ^\; \{2\}\; -\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\})\}\}\}\; \backslash \; arctan\; \{\backslash \; frac\; \{(ca)\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; +\; b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\; ^\; \{2\}\; -\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\})\}\}\}\; +\; C\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Если $4\; E\; =\; 4\; (c\; -\; a)\; (c\; +\; a)\; -\; (2\; b)\; 2\; =\; 4\; (c\; 2\; -\; (a\; 2\; +\; b\; 2))>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 4E\; =\; 4\; (ca)\; (c\; +\; a)\; -\; (2b)\; ^\; \{2\}\; =\; 4\; (c\; ^\; \{2\}\; -\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}))>0.\}$

Подстановка Вейерштрасса параметризует единичную окружность с центром в точке (0, 0). Вместо + ∞ и −∞ у нас есть только одно ∞ на обоих концах реальной линия. Это часто уместно при работе с рациональными функциями и тригонометрическими функциями. (Это компактификация по одной точке линии.)

При изменении x точка (cos x, sin x) многократно обвивается вокруг единичной окружности с центром в точке (0, 0). Точка

$(1\; -\; t\; 2\; 1\; +\; t\; 2,\; 2\; t\; 1\; +\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{1-t\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

проходит только один раз вокруг круг, когда t идет от −∞ к + ∞ и никогда не достигает точки (−1, 0), к которой приближается как предел, когда t приближается к ± ∞. Когда t идет от −∞ к −1, точка, определяемая t проходит через часть круга в третьем квадранте от (−1, 0) до (0, −1). Когда t изменяется от -1 до 0, точка следует за частью круга в четвертом квадранте от (0, -1) до (1, 0). Когда t изменяется от 0 до 1, точка следует за частью круга в первом квадранте от (1, 0) до (0, 1). Наконец, когда t изменяется от 1 до + ∞, точка следует за частью круга во втором квадранте от (0, 1) до (−1, 0).

Вот еще одна геометрическая точка зрения. Нарисуйте единичный круг, и пусть P будет точкой (−1, 0). Прямая, проходящая через точку P (кроме вертикальной), определяется ее наклоном. Кроме того, каждая из линий (кроме вертикальной) пересекает единичный круг ровно в двух точках, одна из которых - P. Это определяет функцию от точек на единичном круге до наклонов. Тригонометрические функции определяют функцию от углов к точкам на единичной окружности, и, комбинируя эти две функции, мы получаем функцию от углов к наклонам.

• 

  (1/2) Подстановка Вейерштрасса связывает угол с наклоном прямой.

• 

  (2/2) Замена Вейерштрасса, проиллюстрированная как стереографическая проекция круга.

.

Как и другие свойства, общие для тригонометрических функций и гиперболических функций, можно использовать гиперболические тождества для построения подобной формы замены:

$sinh\; \; x\; =\; 2\; t\; 1\; -\; t\; 2,\; cosh\; \; x\; =\; 1\; +\; t\; 2\; 1\; -\; t\; 2,\; tanh\; \; x\; =\; 2\; t\; 1\; +\; t\; 2\; и\; dx\; =\; 2\; 1\; -\; t\; 2\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sinh\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{1-t\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; cosh\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{1-t\; ^\; \{2\}\; \}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; tanh\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; qquad\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1-t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

• Портал математики

• Рациональная кривая
• Стереографическая проекция
• Формула касательного полуугла
• Тригонометрическая подстановка
• Подстановка Эйлера

• Эдвардс, Джозеф (1921). «Глава VI». Трактат по интегральному исчислению с приложениями, примерами и проблемами. Лондон: Macmillan and Co, Ltd.

• Формулы подстановки Вейерштрасса в PlanetMath