Подстановка Эйлера

Метод интегрирования для рациональных функций.

Подстановка Эйлера - это метод вычисления интегралов вида

$\int \; R\; (x,\; ax\; 2\; +\; bx\; +\; c)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; R\; (x,\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\})\; \backslash ,\; dx,\}$

где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- рациональная функция от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\}$. В таких случаях подынтегральное выражение может быть преобразовано в рациональную функцию с помощью подстановок Эйлера.

• 1 Первая подстановка Эйлера
• 2 Вторая подстановка Эйлера
• 3 Третья подстановка Эйлера
• 4 Работает примеры
  • 4.1 Примеры первой подстановки Эйлера
    • 4.1.1 Один
    • 4.1.2 Два
  • 4.2 Примеры второй подстановки Эйлера
  • 4.3 Примеры третьей подстановки Эйлера
• 5 Обобщения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Первая подстановка Эйлера используется, когда $a>0\; \{\backslash \; displaystyle\; a>0\}$. Подставляем

$ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; \pm \; xa\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\; =\; \backslash \; pm\; x\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; +\; t\}$

и решите полученное выражение для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. У нас есть, что $x\; =\; c\; -\; t\; 2\; \pm \; 2\; ta\; -\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{ct\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; pm\; 2t\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; -\; b\}\}\}$и что термин $dx\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\}$рационально выражается в $t\; \{\; \backslash \; displaystyle\; t\}$.

В этой замене можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Если $c>0\; \{\backslash \; displaystyle\; c>0\}$, берем

$ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; xt\; \pm \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\; =\; xt\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\}\}.\}$

Мы решаем для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$аналогично тому, как указано выше, и найдите $x\; =\; \pm \; 2\; tc\; -\; ba\; -\; t\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pm\; 2t\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\}\}\; -\; b\}\; \{at\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Опять же, можно выбрать положительный или отрицательный знак.

Если многочлен $ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}$имеет действительные корни $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, мы можем выбрать $ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; a\; (x\; -\; \alpha )\; (x\; -\; \beta )\; =\; (x\; -\; \alpha )\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; a\; (x-\; \backslash \; alpha)\; (x-\; \backslash \; beta)\}\}\; =\; (x-\; \backslash \; alpha)\; t\}$. Это дает $x\; =\; a\; \beta \; -\; \alpha \; t\; 2\; a\; -\; t\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; alpha\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{at\; ^\; \{2\}\}\},\}$и, как и в предыдущих случаях, мы можем рационально выразить подынтегральное выражение целиком в $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

Примеры первой подстановки Эйлера

Единица

В интеграле $\int \; dxx\; 2\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash !\; \{\backslash \; Frac\; \{\backslash \; dx\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\}\}\}$мы можем использовать первую замену и установить $x\; 2\; +\; c\; =\; -\; x\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\}\; =\; -\; x\; +\; t\}$, таким образом,

$x\; =\; t\; 2\; -\; c\; 2\; tdx\; =\; t\; 2\; +\; c\; 2\; t\; 2\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; -c\}\; \{2t\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\; \{2t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; dt\}$

$x\; 2\; +\; c\; =\; -\; t\; 2\; -\; c\; 2\; t\; +\; t\; =\; t\; 2\; +\; c\; 2\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; -c\}\; \{2t\}\}\; +\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\; \{2t\}\}\}$

Соответственно, получаем:

$\int \; dxx\; 2\; +\; c\; =\; \int \; t\; 2\; +\; c\; 2\; t\; 2\; t\; 2\; +\; c\; 2\; tdt\; =\; \int \; dtt\; =\; ln\; \; |\; т\; |\; +\; C\; =\; ln\; \; |\; х\; +\; х\; 2\; +\; с\; |\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dx\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\; \{2t\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\; \{2t\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; dt\; =\; \backslash \; int\; \backslash !\; \{\backslash \; Frac\; \{\backslash \; dt\}\; \{t\}\}\; =\; \backslash \; ln\; |\; t\; |\; +\; C\; =\; \backslash \; ln\; |\; x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\}\; |\; +\; C\}$

Случаи $c\; =\; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \backslash \; pm\; 1\}$дают формулы

$\int \; dxx\; 2\; +\; 1\; =\; arsinh\; (x)\; +\; C\; \int \; dxx\; 2-1\; =\; arcosh\; (x)\; +\; C\; (x>1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dx\; \}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{arsinh\}\}\; (x)\; +\; C\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dx\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{\; 2\}\; -1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{arcosh\}\}\; (x)\; +\; C\; \backslash \; qquad\; (x>1)\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

Два

>Для нахождения значения

$\int \; 1\; xx\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 4\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-4\}\}\}\}\}\; dx,\}$

находим $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, используя первую подстановку Эйлера, $x\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 4\; =\; 1\; x\; +\; t\; =\; x\; +\; t\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-4\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\}\}\; x\; +\; t\; =\; x\; +\; t\}$. Возведение обеих частей уравнения в квадрат дает нам $x\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 4\; =\; x\; 2\; +\; 2\; xt\; +\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-4\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 2xt\; +\; t\; ^\; \{2\}\}$, из которого будут отменены условия $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\}$. Решение относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$дает

$x\; =\; t\; 2\; +\; 4\; 4\; -\; 2\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +4\}\; \{4-2t\}\}.\}$

Отсюда мы находим, что дифференциалы $dx\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\}$и $dt\; \{\backslash \; displaystyle\; dt\}$связаны соотношением

$dx\; =\; -\; 2\; t\; 2\; +\; 8\; t\; +\; 8\; (4\; -\; 2\; t)\; 2\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-2t\; ^\; \{2\}\; +\; 8t\; +\; 8\}\; \{(4-2t)\; ^\; \{2\}\}\}\; dt.\}$

Следовательно,

$\int \; dxxx\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 4\; =\; \int \; -\; 2\; t\; 2\; +\; 8\; t\; +\; 8\; (4\; -\; 2\; t)\; 2\; (t\; 2\; +\; 4\; 4\; -\; 2\; t)\; (-\; t\; 2\; +\; 4\; t\; +\; 4\; 4\; -\; 2\; t)\; dt\; =\; 2\; \int \; dtt\; 2\; +\; 4\; знак\; равно\; загар\; -\; 1\; \; (t\; 2)\; +\; C\; t\; =\; x\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 4\; -\; x\; =\; загар\; -\; 1\; \; (x\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 4\; -\; x\; 2)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнен\; \}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-4\}\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{-2t\; ^\; \{2\}\; +\; 8t\; +\; 8\}\; \{(4-2t)\; ^\; \{2\}\}\}\; \{(\{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +4\}\; \{4-2t\}\})\; (\{\backslash \; frac\; \{-t\; ^\; \{2\}\; +\; 4t\; +\; 4\}\; \{\; 4-2t\}\})\}\}\; dt\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 2\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +4\}\}\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; t\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\; t\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-4\}\}\; -\; x\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-4\}\}\; -\; x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Примеры второй подстановки Эйлера

В интеграл

$\int \; dxx\; -\; x\; 2\; +\; x\; +\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash !\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 2\}\}\}\},\}$

мы можем использовать вторую замену и установить $-\; x\; 2\; +\; x\; +\; 2\; =\; xt\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 2\}\}\; =\; xt\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \}\}\}$. Таким образом,

$x\; =\; 1-2\; 2\; tt\; 2\; +\; 1\; dx\; =\; 2\; 2\; t\; 2-2\; t\; -\; 2\; 2\; (t\; 2\; +\; 1)\; 2\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; qquad\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\; ^\; \{2\}\; -2t-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\; (t\; ^\; \{2\}\; +1)\; ^\; \{2\}\}\}\; dt,\}$

и

$-\; x\; 2\; +\; x\; +\; 2\; =\; 1-2\; 2\; tt\; 2\; +\; 1\; t\; +\; 2\; =\; -\; 2\; t\; 2\; +\; t\; +\; 2\; t\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2t\}\}\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\; \}\}\; t\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\; ^\; \{2\}\; +\; t\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}$

Соответственно, получаем:

$\int \; dxx\; -\; x\; 2\; +\; x\; +\; 2\; =\; \int \; 2\; 2\; t\; 2\; -\; 2\; t\; -\; 2\; 2\; (t\; 2\; +\; 1)\; 2\; 1\; -\; 2\; 2\; tt\; 2\; +\; 1-2\; t\; 2\; +\; t\; +\; 2\; t\; 2\; +\; 1\; dt\; =\; \int \; -\; 2\; -\; 2\; 2\; t\; +\; 1\; dt\; =\; 1\; 2\; \int \; -\; 2\; 2\; -\; 2\; 2\; t\; +\; 1\; dt\; =\; 1\; 2\; ln\; \; |\; 2\; 2\; т\; -\; 1\; |\; +\; C\; =\; 2\; 2\; ln\; \; |\; 2\; 2\; -\; x\; 2\; +\; x\; +\; 2\; -\; 2\; x\; -\; 1\; |\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 2\}\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\; ^\; \{2\}\; -2t-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{(t\; ^\; \{2\}\; +1)\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1-2\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\; ^\; \{2\}\; +\; t\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{t\; ^\; \{2\; \}\; +1\}\}\}\}\; dt\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \backslash !\; \{\backslash \; Frac\; \{-2\}\; \{-\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\; +\; 1\}\}\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{-\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t\; +\; 1\}\}\; dt\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; Biggl\; |\}\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; t-1\; \{\backslash \; Biggl\; |\}\; +\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; Biggl\; |\}\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 2\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{x\}\}\; -\; 1\; \{\backslash \; Biggl\; |\}\; +\; C\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Примеры третьей подстановки Эйлера

Для вычисления

$\int \; x\; 2\; -\; x\; 2\; +\; 3\; x\; -\; 2\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash !\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; 3x-2\}\}\}\; \backslash \; dx,\}$

мы можем использовать третью замену и установить $-\; (\; x\; -\; 2)\; (x\; -\; 1)\; =\; (x\; -\; 2)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; (x-2)\; (x-1)\}\}\; =\; (x-2)\; t\}$. Таким образом,

$x\; =\; -\; 2\; t\; 2\; -\; 1\; -\; t\; 2\; -\; 1\; dx\; =\; 2\; t\; (-\; t\; 2-1)\; 2\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-2t\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{\; -t\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{(-\; t\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; dt,\}$

и

$-\; Икс\; 2\; +\; 3\; Икс\; -\; 2\; =\; (Икс\; -\; 2)\; T\; =\; T\; -\; T\; 2-1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; 3x-2\}\}\; =\; (x-2)\; т\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; -1.\}\}\}$

Далее,

$\int \; x\; 2\; -\; x\; 2\; +\; 3\; x\; -\; 2\; dx\; =\; \int \; (-\; 2\; t\; 2\; -\; 1\; -\; t\; 2\; -\; 1)\; 2\; 2\; t\; (-\; t\; 2\; -\; 1)\; 2\; t\; -\; t\; 2\; -\; 1\; dt\; =\; \int \; 2\; (-\; 2\; t\; 2\; -\; 1)\; 2\; ((-\; t\; 2\; -\; 1)\; 2)\; 3\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; 3x-2\}\}\}\; \backslash \; dx\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; frac\; \{-2t\; ^\; \{\; 2\}\; -1\}\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; -1\}\})\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{(-\; t\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; \}\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\}\; \backslash \; dt\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{2\; (-2t\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{2\}\}\; \{((-\; t\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; dt.\}$

Как мы видим, это рациональная функция, которую можно решить с помощью дробных дробей.

Подстановки Эйлера можно обобщить, допустив использование мнимых чисел. Например, в интеграле $\int \; dx\; -\; x\; 2\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\}\}\}$, можно использовать замену $x\; 2\; +\; c\; =\; \pm \; ix\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; c\}\}\; =\; \backslash \; pm\; ix\; +\; t\}$. Расширение до комплексных чисел позволяет нам использовать любой тип подстановки Эйлера, независимо от коэффициентов на квадратике.

Подстановки Эйлера можно обобщить на более широкий класс функций. Рассмотрим интегралы вида

$\int \; R\; 1\; (x,\; ax\; 2\; +\; bx\; +\; c)\; log\; \; (R\; 2\; (x,\; ax\; 2\; +\; bx\; +\; c))\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; R\_\; \{1\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; x,\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash ,\; \backslash \; log\; \{\backslash \; Big\; (\}\; R\_\; \{2\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; x,\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash ,\; dx,\}$

где $R\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\}$и $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{2\}\}$- рациональные функции от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\}$. Этот интеграл можно преобразовать с помощью замены $ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; a\; +\; xt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; +\; xt\}$в другой интеграл

$\int \; R\; ~\; 1\; (t)\; log\; \; (R\; ~\; 2\; (t))\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; tilde\; \{R\}\}\; \_\; \{1\}\; (t)\; \backslash \; log\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tilde\; \{R\}\}\; \_\; \{2\}\; (t)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash ,\; dt,\}$

где $R\; ~\; 1\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{R\}\}\; \_\; \{1\}\; (t)\}$и $R\; ~\; 2\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{R\}\}\; \_\; \{2\}\; (t)\}$теперь просто рациональные функции от $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. В принципе, факторизация и разложение на частичные дроби могут использоваться для разбивки интеграла на простые термины, которые можно интегрировать аналитически с помощью функции дилогарифма.

• Портал математики

• Интегрирование заменой
• Тригонометрическая замена
• Подстановка Вейерштрасса

Эта статья включает материал из Eulers Substitutions For Integration on PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.