Подстановка Эйлера

редактировать
Метод интегрирования для рациональных функций.

Подстановка Эйлера - это метод вычисления интегралов вида

∫ R (x, ax 2 + bx + c) dx, {\ displaystyle \ int R (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}) \, dx,}{\ displaystyle \ int R (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}) \, dx,}

где R {\ displaystyle R}R - рациональная функция от x {\ displaystyle x}x и ax 2 + bx + c {\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}{\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}} . В таких случаях подынтегральное выражение может быть преобразовано в рациональную функцию с помощью подстановок Эйлера.

Содержание

  • 1 Первая подстановка Эйлера
  • 2 Вторая подстановка Эйлера
  • 3 Третья подстановка Эйлера
  • 4 Работает примеры
    • 4.1 Примеры первой подстановки Эйлера
      • 4.1.1 Один
      • 4.1.2 Два
    • 4.2 Примеры второй подстановки Эйлера
    • 4.3 Примеры третьей подстановки Эйлера
  • 5 Обобщения
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки

Первая подстановка Эйлера

Первая подстановка Эйлера используется, когда a>0 {\ displaystyle a>0}a>0 . Подставляем

ax 2 + bx + c = ± xa + t {\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = \ pm x {\ sqrt {a}} + t}{\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = \ pm x {\ sqrt {a}} + t}

и решите полученное выражение для x {\ displaystyle x}x . У нас есть, что x = c - t 2 ± 2 ta - b {\ displaystyle x = {\ frac {ct ^ {2}} {\ pm 2t {\ sqrt {a}} - b}}}{\ displaystyle x = {\ frac {ct ^ {2}} {\ pm 2t {\ sqrt {a}} - b}}} и что термин dx {\ displaystyle dx}{\ displaystyle dx} рационально выражается в t { \ displaystyle t}t .

В этой замене можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Вторая подстановка Эйлера

Если c>0 {\ displaystyle c>0}c>0 , берем

ax 2 + bx + c = xt ± c. {\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = xt \ pm {\ sqrt {c}}.}{\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = xt \ pm {\ sqrt {c}}.}

Мы решаем для x {\ displaystyle x}x аналогично тому, как указано выше, и найдите x = ± 2 tc - ba - t 2. {\ displaystyle x = {\ frac {\ pm 2t {\ sqrt {c}} - b} {at ^ {2}}}.}{\ displaystyle x = {\ frac {\ pm 2t {\ sqrt {c}} - b} {at ^ {2}}}.}

Опять же, можно выбрать положительный или отрицательный знак.

Третья подстановка Эйлера

Если многочлен ax 2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}топор ^ {2} + bx + c имеет действительные корни α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha и β {\ displaystyle \ beta}\ beta , мы можем выбрать ax 2 + bx + c = a (x - α) (x - β) = (x - α) t {\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt { a (x- \ alpha) (x- \ beta)}} = (x- \ alpha) t}{\ displa ystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt {a (x- \ alpha) (x- \ beta)}} = (x- \ alpha) t} . Это дает x = a β - α t 2 a - t 2, {\ displaystyle x = {\ frac {a \ beta - \ alpha t ^ {2}} {at ^ {2}}},}{\ displaystyle x = {\ frac {a \ beta - \ alpha t ^ {2}} {at ^ { 2}}},} и, как и в предыдущих случаях, мы можем рационально выразить подынтегральное выражение целиком в t {\ displaystyle t}t .

Рабочие примеры

Примеры первой подстановки Эйлера

Единица

В интеграле ∫ dxx 2 + c {\ displaystyle \ int \! {\ Frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}}}{\ displaystyle \ int \! {\ Frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}}} мы можем использовать первую замену и установить x 2 + c = - x + t {\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = - x + t}\ sqrt {x ^ 2 + c} = -x + t , таким образом,

x = t 2 - c 2 tdx = t 2 + c 2 t 2 dt {\ displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} -c} {2t}} \ quad \ quad \ dx = {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}}} \, \ dt}{\ displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} -c} {2t}} \ quad \ quad \ dx = {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}}} \, \ dt}
x 2 + c = - t 2 - c 2 t + t = t 2 + c 2 t {\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = - {\ frac {t ^ {2} -c} {2t}} + t = {\ frac {t ^ {2} + c} {2t}}}\ sqrt {x ^ 2 + c} = - \ frac {t ^ 2-c} {2t} + t = \ frac {t ^ 2 + c} {2t}

Соответственно, получаем:

∫ dxx 2 + c = ∫ t 2 + c 2 t 2 t 2 + c 2 tdt = ∫ dtt = ln ⁡ | т | + C = ln ⁡ | х + х 2 + с | + C {\ displaystyle \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}} = \ int {\ frac {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ { 2}}} {\ frac {t ^ {2} + c} {2t}}} \, \ dt = \ int \! {\ Frac {\ dt} {t}} = \ ln | t | + C = \ ln | x + {\ sqrt {x ^ {2} + c}} | + C}{\ displaystyle \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}} = \ int {\ frac {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}}} {\ frac {t ^ {2} + c} {2t}}} \, \ dt = \ int \! {\ Frac {\ dt} {t} } = \ ln | t | + C = \ ln | x + {\ sqrt {x ^ {2} + c}} | + C}

Случаи c = ± 1 {\ displaystyle c = \ pm 1}c = \ pm 1 дают формулы

∫ dxx 2 + 1 = arsinh (x) + C ∫ dxx 2-1 = arcosh (x) + C (x>1) {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {\ dx } {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} = {\ t_dv {arsinh}} (x) + C \\ [6pt] \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ { 2} -1}}} = {\ t_dv {arcosh}} (x) + C \ qquad (x>1) \ end {выравнивается}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}={\t_dv{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}={\t_dv{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1) \ end {выравнивается}}}

Два

>Для нахождения значения

∫ 1 xx 2 + 4 x - 4 dx, {\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}}} dx,}{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} dx,}

находим t {\ displaystyle t}t , используя первую подстановку Эйлера, x 2 + 4 x - 4 = 1 x + t = x + t { \ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} = {\ sqrt {1}} x + t = x + t}{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} = {\ sqrt {1}} x + t = x + t} . Возведение обеих частей уравнения в квадрат дает нам x 2 + 4 x - 4 = x 2 + 2 xt + t 2 {\ displaystyle x ^ {2} + 4x-4 = x ^ {2} + 2xt + t ^ {2}}{\ displaystyle x ^ {2} + 4x-4 = x ^ {2} + 2xt + t ^ {2}} , из которого будут отменены условия x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}x ^ {2} . Решение относительно x {\ displaystyle x}x дает

x = t 2 + 4 4 - 2 t. {\ displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}.}{\ displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}.}

Отсюда мы находим, что дифференциалы dx {\ displaystyle dx}dx и dt {\ displaystyle dt}dt связаны соотношением

dx = - 2 t 2 + 8 t + 8 (4 - 2 t) 2 dt. {\ displaystyle dx = {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} dt.}{\ displaystyle dx = {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2 }}} dt.}

Следовательно,

∫ dxxx 2 + 4 x - 4 = ∫ - 2 t 2 + 8 t + 8 (4 - 2 t) 2 (t 2 + 4 4 - 2 t) (- t 2 + 4 t + 4 4 - 2 t) dt = 2 ∫ dtt 2 + 4 знак равно загар - 1 ⁡ (t 2) + C t = x 2 + 4 x - 4 - x = загар - 1 ⁡ (x 2 + 4 x - 4 - x 2) + C {\ displaystyle {\ begin {выровнен } \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} = \ int {\ frac {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} {({\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}) ({\ frac {-t ^ {2} + 4t + 4} { 4-2t}})}} dt \\ [6pt] = 2 \ int {\ frac {dt} {t ^ {2} +4}} = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac { t} {2}} \ right) + C t = {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x \\ [6pt] = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac { {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x} {2}} \ right) + C \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} = \ int {\ frac {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}} } {({\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}) ({\ frac {-t ^ {2} + 4t + 4} {4-2t}})}} dt \\ [6pt] = 2 \ int {\ frac {dt} {t ^ {2} +4}} = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + C t = {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x \\ [6pt] = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + 4x -4}} - x} {2}} \ right) + C \ end {align}}}

Примеры второй подстановки Эйлера

В интеграл

∫ dxx - x 2 + x + 2, {\ displaystyle \ int \! {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}},}{\ displaystyle \ int \! {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}},}

мы можем использовать вторую замену и установить - x 2 + x + 2 = xt + 2 {\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = xt + {\ sqrt {2 }}}{\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x +2}} = xt + {\ sqrt {2}}} . Таким образом,

x = 1-2 2 tt 2 + 1 dx = 2 2 t 2-2 t - 2 2 (t 2 + 1) 2 dt, {\ displaystyle x = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} \ qquad dx = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} { (t ^ {2} +1) ^ {2}}} dt,}{\ displaystyle x = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1 }} \ qquad dx = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 {\ sqrt {2} }} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} dt,}

и

- x 2 + x + 2 = 1-2 2 tt 2 + 1 t + 2 = - 2 t 2 + t + 2 t 2 + 1 {\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2t}}} {t ^ {2} +1 }} t + {\ sqrt {2}} = {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} +1}}}{\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2t}}} {t ^ {2} +1}} t + {\ sqrt {2}} = {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} + 1}}}

Соответственно, получаем:

∫ dxx - x 2 + x + 2 = ∫ 2 2 t 2 - 2 t - 2 2 (t 2 + 1) 2 1 - 2 2 tt 2 + 1-2 t 2 + t + 2 t 2 + 1 dt = ∫ - 2 - 2 2 t + 1 dt = 1 2 ∫ - 2 2 - 2 2 t + 1 dt = 1 2 ln ⁡ | 2 2 т - 1 | + C = 2 2 ln ⁡ | 2 2 - x 2 + x + 2 - 2 x - 1 | + C {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}} = \ int {\ frac {\ frac { 2 {\ sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} {{\ frac {1-2 { \ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2 } +1}}}} dt \\ [6pt] = \ int \! {\ Frac {-2} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt = {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} \ int {\ frac {-2 {\ sqrt {2}}} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt \\ [6pt] = {\ frac { 1} {\ sqrt {2}}} \ ln {\ Biggl |} 2 {\ sqrt {2}} t-1 {\ Biggl |} + C = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ ln {\ Biggl |} 2 {\ sqrt {2}} {\ frac {{\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} - {\ sqrt {2}}} {x}} - 1 {\ Biggl |} + C \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x +2}}}} = \ int {\ frac {\ frac {2 {\ sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} {(t ^ {2} + 1) ^ {2}}} {{\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ { 2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} +1}}}} dt \\ [6pt] = \ int \! {\ Frac {-2} {- 2 {\ sqrt { 2}} t + 1}} dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ int {\ frac {-2 {\ sqrt {2}}} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt \\ [6pt] = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ln {\ Biggl |} 2 {\ sqrt {2}} t-1 {\ Biggl |} + C = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ ln {\ Biggl | } 2 {\ sqrt {2}} {\ frac {{\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} - {\ sqrt {2}}} {x}} - 1 {\ Biggl |} + C \ end {align}}}

Примеры третьей подстановки Эйлера

Для вычисления

∫ x 2 - x 2 + 3 x - 2 dx, {\ displaystyle \ int \! {\ frac {x ^ {2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx,}{\ displaystyle \ int \! {\ Frac {x ^ {2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx,}

мы можем использовать третью замену и установить - ( x - 2) (x - 1) = (x - 2) t {\ displaystyle {\ sqrt {- (x-2) (x-1)}} = (x-2) t}{\ displaystyle {\ sqrt {- (x-2) (x-1)}} = (x-2) t} . Таким образом,

x = - 2 t 2 - 1 - t 2 - 1 dx = 2 t (- t 2-1) 2 dt, {\ displaystyle x = {\ frac {-2t ^ {2} -1} { -t ^ {2} -1}} \ qquad \ dx = {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}} \, \ dt,}{\ displaystyle x = {\ frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}} \ qquad \ dx = {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}} \, \ dt,}

и

- Икс 2 + 3 Икс - 2 = (Икс - 2) T = T - T 2-1. {\ Displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}} = (x-2) т = {\ frac {t} {- t ^ {2} -1.}}}{\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}} = (x-2) t = {\ frac {t} {- t ^ {2} -1.}}}

Далее,

∫ x 2 - x 2 + 3 x - 2 dx = ∫ (- 2 t 2 - 1 - t 2 - 1) 2 2 t (- t 2 - 1) 2 t - t 2 - 1 dt = ∫ 2 (- 2 t 2 - 1) 2 ((- t 2 - 1) 2) 3 dt. {\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ {2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx = \ int {\ frac {({\ frac {-2t ^ { 2} -1} {- t ^ {2} -1}}) ^ {2} {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}}} {\ frac {t } {- t ^ {2} -1}}} \ dt = \ int {\ frac {2 (-2t ^ {2} -1) ^ {2}} {((- t ^ {2} -1) ^ {2}) ^ {3}}} \ dt.}{\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ { 2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx = \ int {\ frac {({\ frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}}) ^ {2} {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}}} {\ frac {t} {- t ^ {2} -1}} } \ dt = \ int {\ frac {2 (-2t ^ {2} -1) ^ {2}} {((- t ^ {2} -1) ^ {2}) ^ {3}}} \ dt.}

Как мы видим, это рациональная функция, которую можно решить с помощью дробных дробей.

Обобщения

Подстановки Эйлера можно обобщить, допустив использование мнимых чисел. Например, в интеграле ∫ dx - x 2 + c {\ displaystyle \ textstyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {-x ^ {2} + c}}}}{\ displaystyle \ textstyle \ int {\ frac { dx} {\ sqrt {-x ^ {2} + c}}}} , можно использовать замену x 2 + c = ± ix + t {\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = \ pm ix + t}{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = \ pm ix + t} . Расширение до комплексных чисел позволяет нам использовать любой тип подстановки Эйлера, независимо от коэффициентов на квадратике.

Подстановки Эйлера можно обобщить на более широкий класс функций. Рассмотрим интегралы вида

∫ R 1 (x, ax 2 + bx + c) log ⁡ (R 2 (x, ax 2 + bx + c)) dx, {\ displaystyle \ int R_ {1} {\ Big (} x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} {\ Big)} \, \ log {\ Big (} R_ {2} {\ Big (} x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} {\ Big)} {\ Big)} \, dx,}{\ displaystyle \ int R_ {1} {\ Big (} x, {\ sqrt { ax ^ {2} + bx + c}} {\ Big)} \, \ log {\ Big (} R_ {2} {\ Big (} x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c} } {\ Big)} {\ Big)} \, dx,}

где R 1 {\ displaystyle R_ {1}}R_ {1} и R 2 {\ displaystyle R_ {2}}R_ {2} - рациональные функции от x {\ displaystyle x}x и ax 2 + bx + c {\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}{\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}} . Этот интеграл можно преобразовать с помощью замены ax 2 + bx + c = a + xt {\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt {a}} + xt}{\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt {a}} + xt} в другой интеграл

∫ R ~ 1 (t) log ⁡ (R ~ 2 (t)) dt, {\ displaystyle \ int {\ tilde {R}} _ {1} (t) \ log {\ big (} {\ tilde {R}} _ {2} (t) {\ big)} \, dt,}{\ displaystyle \ int {\ tilde {R}} _ {1} (t) \ log {\ big (} {\ tilde {R}} _ { 2} (t) {\ big)} \, dt,}

где R ~ 1 (t) {\ displaystyle {\ tilde {R}} _ {1} (t)}{\ displaystyle {\ tilde {R}} _ {1} (t)} и R ~ 2 (t) {\ displaystyle {\ tilde {R}} _ {2} (t)}{\ displaystyle {\ tilde {R}} _ {2} (t)} теперь просто рациональные функции от t {\ displaystyle t}t . В принципе, факторизация и разложение на частичные дроби могут использоваться для разбивки интеграла на простые термины, которые можно интегрировать аналитически с помощью функции дилогарифма.

См. Также

  • icon Портал математики

Ссылки

Эта статья включает материал из Eulers Substitutions For Integration on PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Последняя правка сделана 2021-05-19 06:32:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте