Тригонометрическая замена

редактировать

Методика интегрального вычисления

В математике, тригонометрическая замена является заменой тригонометрических функций на другие выражения. В исчислении тригонометрическая подстановка - это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальные выражения. Как и другие методы интегрирования путем подстановки, при вычислении определенного интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Содержание

1 Случай I: Интегрируемые выражения, содержащие a 2 - x 2 {\ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}}
- 1.1 Примеры случая I
  - 1.1.1 Пример 1
  - 1.1.2 Пример 2
2 Случай II: Интегрируемые выражения, содержащие a 2 + x 2 {\ displaystyle a ^ {2} + x ^ {2}}
- 2.1 Примеры случая II
  - 2.1.1 Пример 1
  - 2.1.2 Пример 2
3 Случай III: Интегрируемые выражения, содержащие x 2 - a 2 {\ displaystyle x ^ {2} -a ^ {2}}
- 3.1 Примеры случая III
4 Подстановки, исключающие тригонометрические функции
5 Гиперболическая подстановка
6 См. Также
7 Ссылки

Случай I: интегранты, содержащие

a 2 - x 2 {\ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}}

{\ displaystyle a ^ {2} -x ^ { 2}}

Пусть $x = a sin ⁡ θ {\ displaystyle x = a \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle x = a \ sin \ theta}$ , и используйте идентичность $1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ {\ displaystyle 1- \ sin ^ {2} \ theta = \ cos ^ {2} \ theta}$ ${\ displaystyle 1- \ sin ^ {2} \ theta = \ cos ^ {2} \ theta}$ .

Примеры случая I

Геометрическая конструкция для случая I

Пример 1

В интеграле

∫ dxa 2 - x 2, {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}},}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2 } -x ^ {2}}}},}

мы можем e

x = грех ⁡ θ, d x = a cos ⁡ θ d θ, θ = arcsin ⁡ x a. {\ displaystyle x = a \ sin \ theta, \ quad dx = a \ cos \ theta \, d \ theta, \ quad \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}}.}

{\ displaystyle x = a \ sin \ theta, \ quad dx = a \ cos \ theta \, d \ theta, \ quad \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}}.}

Тогда,

∫ dxa 2 - x 2 = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 - a 2 sin 2 ⁡ θ = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 (1 - sin 2 ⁡ θ) = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 cos 2 ⁡ θ = ∫ d θ = θ + C = arcsin ⁡ xa + C. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] = \ int d \ theta \\ [6pt] = \ theta + C \\ [6pt] = \ arcsin {\ frac {x} {a}} + C. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[6pt]=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta)}}}\\[6pt]=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\[6pt]=\int d\theta \\[6pt]=\theta +C\\[6pt]=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\end{aligned}}

Вышеупомянутый шаг требует, чтобы $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ и $cos ⁡ θ>0 {\ displaystyle \ cos \ theta>0}$ $\cos \theta>0$ . Мы можем выбрать $a {\ displaystyle a}$ $a$ как главный корень $a 2 {\ displaystyle a ^ {2}}$ $a^{2}$ и наложить ограничение $- π / 2 < θ < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$ $-\pi /2<\theta <\pi /2$ с помощью функции обратного синуса.

Для определенного интеграла нужно выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, поскольку $x {\ displaystyle x}$ $x$ идет от $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ до $a / 2 {\ displaystyle a / 2}$ ${\ displaystyle a / 2}$ , затем $sin ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta}$ $\sin \theta$ изменяется с $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ на $1 / 2 {\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ , поэтому $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ идет от $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ на $π / 6 {\ displaystyle \ pi / 6}$ ${\ displaystyle \ pi / 6}$ . Тогда

∫ 0 a / 2 d x a 2 - x 2 = ∫ 0 π / 6 d θ = π 6. {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a / 2} {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 6} d \ theta = {\ frac {\ pi} {6}}.}

\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.

При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку приведенная выше интеграция требует, чтобы $- π / 2 < θ < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$ $-\pi /2<\theta <\pi /2$ , $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ мог идти только от $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ до $π / 6 {\ displaystyle \ pi / 6}$ ${\ displaystyle \ pi / 6}$ . Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ для перехода от $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ к $5 π / 6 {\ displaystyle 5 \ pi / 6}$ $5\pi /6$ , что привело бы к отрицательному фактическому значению.

В качестве альтернативы, полностью вычислите неопределенные интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная дает

∫ 0 a / 2 d x a 2 - x 2 = arcsin ⁡ (x a) | 0 a / 2 = arcsin ⁡ (1 2) - arcsin ⁡ (0) = π 6 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a / 2} {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) {\ Biggl |} _ {0} ^ {a / 2} = \ arcsin \ left ({ \ frac {1} {2}} \ right) - \ arcsin (0) = {\ frac {\ pi} {6}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a / 2} {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) {\ Biggl |} _ {0} ^ {a / 2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) - \ arcsin (0) = {\ frac {\ pi } {6}}}

как раньше.

Пример 2

Интеграл

∫ a 2 - x 2 dx, {\ displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx,}

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ { 2}}} \, dx,}

можно вычислить, допустив $Икс знак равно грех ⁡ θ, dx = a соз ⁡ θ d θ, θ = arcsin ⁡ xa, {\ displaystyle x = a \ sin \ theta, \, dx = a \ cos \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}},}$ ${\ displaystyle x = a \ sin \ theta, \, dx знак равно а \ соз \ тета \, д \ тета, \, \ тета = \ arcsin {\ гидроразрыва {х} {а}},}$

где $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ , чтобы $a 2 = a {\ displaystyle {\ sqrt { a ^ {2}}} = a}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$ и $- π 2 ≤ θ ≤ π 2 {\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$ на диапазон арксинуса, так что $cos ⁡ θ ≥ 0 {\ displaystyle \ cos \ theta \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ соз \ тета \ geq 0}$ и $cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ {\ displaystyle {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ theta}} = \ cos \ theta}$ ${ \ displaystyle {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ theta}} = \ cos \ theta}$ .

Тогда

∫ a 2 - x 2 dx = ∫ a 2 - a 2 sin 2 ⁡ θ (a cos ⁡ θ) d θ = ∫ a 2 (1 - sin 2 ⁡ θ) (a cos ⁡ θ) d θ = ∫ a 2 (cos 2 ⁡ θ) (a cos ⁡ θ) d θ = ∫ (a cos ⁡ θ) (a cos ⁡ θ) d θ = a 2 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = a 2 ∫ (1 + cos ⁡ 2 θ 2) d θ = a 2 2 (θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ) + C = a 2 2 (θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ) + C = a 2 2 (arcsin ⁡ xa + xa 1 - x 2 a 2) + C = a 2 2 arcsin ⁡ xa + x 2 a 2 - x 2 + C. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx = \ int {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ cos ^ {2} \ theta)}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int (a \ cos \ theta) (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = a ^ {2} \ int \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] = a ^ {2} \ int \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} } \ right) \, d \ theta \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ theta + \ sin \ theta \ cos \ theta) + C \\ [6pt] = { \ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ arcsin {\ frac {x} {a}} + {\ frac {x} {a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} { a}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2 }}} \, dx = \ int {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ th eta}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ cos ^ {2} \ theta)}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int (a \ cos \ theta) (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = a ^ {2} \ int \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] = a ^ {2} \ int \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}} \ right) \, d \ theta \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ theta + \ sin \ theta \ cos \ theta) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ { 2}} {2}} \ left (\ arcsin {\ frac {x} {a}} + {\ frac {x} {a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} { a ^ {2}}}} \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} {a}} + {\ гидроразрыв {x} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. \ end {align}}}

Для определенного интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с использованием уравнения $θ = arcsin ⁡ xa {\ displaystyle \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}}}$ $\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}$ , со значениями в диапазоне $- π 2 ≤ θ ≤ π 2 {\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$ . Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определенный интеграл

∫ - 1 1 4 - x 2 dx, {\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2} }} \, dx,}

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx,}

можно вычислить, подставив $x = 2 sin ⁡ θ, dx = 2 cos ⁡ θ d θ {\ displaystyle x = 2 \ sin \ theta, \, dx = 2 \ cos \ theta \, d \ theta}$ $x=2\sin \theta,\,d x=2\cos \theta \,d\theta$ , с границами, определенными с помощью $θ = arcsin ⁡ x 2 {\ displaystyle \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {2}}}$ $\theta =\arcsin {\frac {x}{2}}$ .

Поскольку $arcsin ⁡ (1/2) = π / 6 {\ displaystyle \ arcsin (1/2) = \ pi / 6}$ ${\ displaystyle \ arcsin (1/2) = \ pi / 6}$ и $arcsin ⁡ (- 1/2) Знак равно - π / 6 {\ displaystyle \ arcsin (-1/2) = - \ pi / 6}$ ${\ displaystyle \ arcsin (-1/2) = - \ pi / 6}$ ,

∫ - 1 1 4 - x 2 dx = ∫ - π / 6 π / 6 4-4 sin 2 ⁡ θ (2 cos ⁡ θ) d θ = ∫ - π / 6 π / 6 4 (1 - sin 2 ⁡ θ) (2 cos ⁡ θ) d θ = ∫ - π / 6 π / 6 4 (cos 2 ⁡ θ) (2 cos ⁡ θ) d θ = ∫ - π / 6 π / 6 (2 cos ⁡ θ) (2 cos ⁡ θ) d θ = 4 ∫ - π / 6 π / 6 cos 2 ⁡ θ d θ = 4 ∫ - π / 6 π / 6 (1 + cos ⁡ 2 θ 2) d θ = 2 [θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ] - π / 6 π / 6 = [2 θ + sin ⁡ 2 θ] | - π / 6 π / 6 = (π 3 + sin ⁡ π 3) - (- π 3 + sin ⁡ (- π 3)) = 2 π 3 + 3. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4-4 \ sin ^ {2} \ theta}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (\ cos ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [ 6pt] = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} (2 \ cos \ theta) (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}} \ right) \, d \ theta \\ [6pt] = 2 \ left [\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right] _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} = [2 \ theta + \ sin 2 \ theta] {\ Biggl |} _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} = \ left ({\ frac {\ pi} {3}} + \ sin {\ frac {\ pi} {3}} \ right) - \ left (- {\ frac { \ pi} {3}} + \ sin \ left (- {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ right) = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3 }}. \\ [6pt] \ end {align}}}

{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta)}}\,(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta)}}\,(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta)(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}.\\[6pt]\end{aligned}}

С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразной дает

∫ - 1 1 4 - x 2 dx = [2 2 2 arcsin ⁡ x 2 + x 2 2 2 - x 2] - 1 1 = (2 arcsin ⁡ 1 2 + 1 2 4 - 1) - (2 arcsin ⁡ (- 1 2) + - 1 2 4 - 1) знак равно (2 ⋅ π 6 + 3 2) - (2 ⋅ (- π 6) - 3 2) = 2 π 3 + 3 {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx = \ left [{\ frac {2 ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} {2 }} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \ right] _ {- 1} ^ {1} \\ [6pt] = \ left (2 \ arcsin {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ right) - \ left (2 \ arcsin \ left (- { \ frac {1} {2}} \ right) + {\ frac {-1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ right) \\ [6pt] = \ left (2 \ cdot { \ frac {\ pi} {6}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) - \ left (2 \ cdot \ left (- {\ frac {\ pi} {6}} \ right) - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) \\ [6pt] = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3}} \ end {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2 }}} \, dx = \ left [{\ frac {2 ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} {2}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \ right] _ {- 1} ^ {1} \\ [6pt] = \ left (2 \ arcsin {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ right) - \ left (2 \ arcsin \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) + {\ frac {-1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ right) \\ [6pt] = \ left (2 \ cdot {\ frac {\ pi} {6}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) - \ left (2 \ cdot \ left (- {\ frac {\ pi} {6}} \ right) - {\ frac {\ sqrt {3}} {2 }} \ right) \\ [6pt] = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3}} \ end {align}}}

как раньше.

Случай II: Интегрируемые выражения, содержащие

a 2 + x 2 {\ displaystyle a ^ {2} + x ^ {2}}

{\ displaystyle a ^ {2} + x ^ {2}}

Пусть $x = a tan ⁡ θ {\ displaystyle x = a \ tan \ theta}$ $x=a\tan \theta$ и используйте тождество $1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ sec ^ {2} \ theta}$ ${\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ sec ^ {2} \ theta}$ .

Примеры случая II

Геометрическое построение для случая II

Пример 1

В интеграле

∫ dxa 2 + x 2 {\ displaystyle \ int { \ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}}}

\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}

мы можем написать

x = a tan ⁡ θ, dx = a sec 2 ⁡ θ d θ, θ = arctan ⁡ ха, {\ Displaystyle х = а \ загар \ тета, \ квадроцикл dx = а \ сек ^ {2} \ тета \, д \ тета, \ квад \ тета = \ арктан {\ гидроразрыва {х} {а}}, }

{\ displaystyle x = a \ tan \ theta, \ quad dx = a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta, \ quad \ theta = \ arctan {\ frac {x} { a}},}

так, чтобы интеграл стал

∫ dxa 2 + x 2 = ∫ a sec 2 ⁡ θ d θ a 2 + a 2 tan 2 ⁡ θ = ∫ a sec 2 ⁡ θ d θ a 2 (1 + загар 2 ⁡ θ) знак равно ∫ a sec 2 ⁡ θ d θ a 2 sec 2 ⁡ θ = ∫ d θ a = θ a + C = 1 a arctan ⁡ xa + C, {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ sec ^ { 2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {d \ theta} {a}} \\ [ 6pt] = {\ frac {\ theta} {a}} + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} + C, \ конец {выровнен}}}

{\ displaystyle { \ begin {align} \ int {\ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {а ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ thet a)}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] = \ int {\ frac {d \ theta} {a}} \\ [6pt] = {\ frac {\ theta} {a}} + C \\ [6pt] = {\ frac { 1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} + C, \ end {align}}}

при условии $a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}$ $a\neq 0$ .

Для определенного интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с использованием уравнения $θ = arctan ⁡ xa {\ displaystyle \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}}}$ ${\ displaystyle \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}}}$ со значениями в диапазоне $- π 2 < θ < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}}$ . Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определенный интеграл

∫ 0 1 4 1 + x 2 dx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2 }}} \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2}}} \, dx}

можно вычислить, подставив $x = tan ⁡ θ, dx = sec 2 ⁡ θ d θ {\ displaystyle x = \ tan \ theta, \, dx = \ sec ^ { 2} \ theta \, d \ theta}$ ${\ displaystyle x = \ tan \ theta, \, dx = \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta}$ , с границами, определенными с помощью $θ = arctan ⁡ x {\ displaystyle \ theta = \ arctan x}$ $\theta =\arctan x$ .

Поскольку $arctan ⁡ 0 Знак равно 0 {\ displaystyle \ arctan 0 = 0}$ ${\ displaystyle \ arctan 0 = 0}$ и $arctan ⁡ 1 = π / 4 {\ displaystyle \ arctan 1 = \ pi / 4}$ ${\ displaystyle \ arctan 1 = \ pi / 4}$ ,

∫ 0 1 4 dx 1 + x 2 = 4 ∫ 0 1 dx 1 + x 2 = 4 ∫ 0 π / 4 с 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ = 4 ∫ 0 π / 4 с 2 ⁡ θ d θ с 2 ⁡ θ = 4 ∫ 0 π / 4 d θ = (4 θ) | 0 π / 4 = 4 (π 4 - 0) = π. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4 \, dx} {1 + x ^ {2}}} = 4 \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ [6pt] = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {\ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} d \ theta \\ [6pt] = (4 \ theta) {\ Bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 4} = 4 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ right) = \ pi. \ End {выровнено }}}

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}} =4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]=4\int _{0}^{\pi /4} {\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]=4\int _{0}^{\pi / 4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\thet a }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]=(4\theta){\Bigg |}_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi.\end{aligned}}

Между тем, прямое применение граничных членов к формуле первообразной дает

∫ 0 1 4 1 + x 2 dx = 4 ∫ 0 1 dx 1 + x 2 = 4 [1 1 arctan ⁡ x 1] 0 1 = 4 (arctan ⁡ x) | 0 1 знак равно 4 (arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0) = 4 (π 4-0) = π, {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} { 1 + x ^ {2}}} \, dx = 4 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ = 4 \ left [{\ frac {1} {1}} \ arctan {\ frac {x} {1}} \ right] _ {0} ^ {1} \\ = 4 (\ arctan x) {\ Bigg |} _ {0} ^ {1} \\ = 4 (\ arctan 1- \ arctan 0) \\ = 4 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ right) = \ pi, \ end {выровнено }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2}}} \, dx = 4 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ = 4 \ left [{\ frac {1} {1}} \ arctan {\ frac { x} {1}} \ right] _ {0} ^ {1} \\ = 4 (\ arctan x) {\ Bigg |} _ {0} ^ {1} \\ = 4 (\ arctan 1- \ arctan 0) \\ = 4 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ right) = \ pi, \ end {align}}}

то же, что и раньше.

Пример 2

Интеграл

∫ a 2 + x 2 dx {\ displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, {dx}}

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, {dx}}

можно вычислить, положив $x = a tan ⁡ θ, dx = a sec 2 ⁡ θ d θ, θ = arctan ⁡ xa, {\ displaystyle x = a \ tan \ theta, \, dx = a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}},}$ ${\ displaystyle x = a \ tan \ theta, \, dx = a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}},}$

где $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ так что $a 2 = a {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$ , и $- π 2 < θ < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}}$ по диапазону арктангенса, так что $sec ⁡ θ>0 {\ displaystyle \ sec \ theta>0}$ $\sec \theta>0$ и $сек 2 ⁡ θ = сек ⁡ θ {\ displaystyle {\ sqrt {\ sec ^} \ theta} \ sec \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta}} = \ sec \ theta}$ .

Тогда

∫ a 2 + x 2 dx = ∫ a 2 + a 2 tan 2 ⁡ θ (a sec 2 ⁡ θ) d θ = ∫ a 2 (1 + tan 2 ⁡ θ) (a sec 2 ⁡ θ) d θ = ∫ a 2 sec 2 ⁡ θ (a sec 2 ⁡ θ) d θ = ∫ (a sec ⁡ θ) (a sec 2 ⁡ θ) d θ = a 2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx = \ int {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2 } \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int (a \ sec \ theta) (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = a ^ {2} \ int \ sec ^ {3} \ theta \, d \ theta. \\ [6pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx = \ int {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = \ int (a \ sec \ theta) (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] = a ^ {2} \ int \ сек ^ {3} \ тета \, д \ тета. \\ [6pt] \ конец {выровнено}}}

интеграл секущей в кубе может быть вычислен с помощью интегрирования по частям. В результате

∫ a 2 + x 2 dx = a 2 2 (sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ |) + C = a 2 2 (1 + x 2 a 2 ⋅ xa + ln ⁡ | 1 + x 2 a 2 + xa |) + C = 1 2 (xa 2 + x 2 + a 2 ln ⁡ | x + a 2 + x 2 a |) + C. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ sqrt { 1 + {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ cdot {\ frac {x} {a}} + \ ln \ left | {\ sqrt {1 + {\ frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + {\ frac {x} {a}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {2 }} \ left (x {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {a ^ {2} + x) ^ {2}}}} {a}} \ right | \ right) + C. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}}} \ cdot {\ frac { x} {a}} + \ ln \ left | {\ sqrt {1 + {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + {\ frac {x} {a}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2 } \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} {a}} \ right | \ right) + C. \ end {align}}}

Случай III: интегрируемые выражения, содержащие

x 2 - a 2 {\ displaystyle x ^ {2 } -a ^ {2}}

{\ displaystyle x ^ {2} - a^{2}}

Пусть $x = a sec ⁡ θ {\ displaystyle x = a \ sec \ theta}$ ${\ displaystyle x = a \ сек \ theta}$ и используется тождество $sec 2 ⁡ θ - 1 = загар 2 ⁡ θ. {\ displaystyle \ sec ^ {2} \ theta -1 = \ tan ^ {2} \ theta.}$ ${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ theta -1 = \ tan ^ {2} \ theta.}$

Примеры случая III

Геометрическое построение для случая III

Интегралы, такие как

∫ dxx 2 - 2 {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}}}

\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}

также может быть вычислено с помощью дробных частей, а не тригонометрических подстановок. Однако интеграл

∫ x 2 - a 2 d x {\ displaystyle \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx}

\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx

не может. В этом случае подходящая замена:

x = a sec ⁡ θ, dx = a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ, θ = arcsec ⁡ xa, {\ displaystyle x = a \ sec \ theta, \, dx = a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ operatorname {arcsec} {\ frac {x} {a}},}

{\ displaystyle x = a \ sec \ theta, \, dx = a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ operatorname {arcsec} {\ frac {x} {a}},}

где $a>0 { \ displaystyle a>0}$ $a>0$ так, чтобы $a 2 = a {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$ и $0 ≤ θ < π 2 {\displaystyle 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$ $0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}$ полагая $x>0 {\ displaystyle x>0}$ $x>0$ , так что $tan ⁡ θ ≥ 0 {\ displaystyle \ tan \ theta \ geq 0}$ $\tan \theta \geq 0$ и $tan 2 ⁡ θ = загар ⁡ θ {\ displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = \ tan \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = \ tan \ theta}$ .

Тогда

∫ x 2 - a 2 dx = ∫ a 2 sec 2 ⁡ θ - a 2 ⋅ a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ a 2 (sec 2 ⁡ θ - 1) ⋅ a sec ⁡ θ t an ⁡ θ d θ = ∫ a 2 tan 2 ⁡ θ ⋅ a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ a 2 sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = a 2 ∫ (sec ⁡ θ) (sec 2 ⁡ θ - 1) d θ = a 2 ∫ (sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ) d θ. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta -a ^ {2}}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ sec ^ {2} \ theta - 1)}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ = \ int a ^ {2} \ sec \ theta \ tan ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ = a ^ {2} \ int (\ sec \ theta) (\ sec ^ {2} \ theta -1) \, d \ theta \\ = a ^ {2} \ int (\ sec ^ {3} \ theta - \ sec \ theta) \, d \ theta. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx = \ int { \ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta -a ^ {2}}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ = \ int {\ sqrt { a ^ {2} (\ sec ^ {2} \ theta -1)}} \ cdot a \ sec \ t heta \ tan \ theta \, d \ theta \\ = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ = \ int a ^ {2} \ sec \ theta \ tan ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ = a ^ {2} \ int (\ sec \ theta) (\ sec ^ {2} \ theta -1) \, d \ theta \\ = a ^ {2} \ int (\ sec ^ {3} \ theta - \ sec \ theta) \, d \ theta. \ End {выровнено} }}

Можно вычислить интеграл секущей функции, умножив числитель и знаменатель на $(sec ⁡ θ + tan ⁡ θ) { \ displaystyle (\ sec \ theta + \ tan \ theta)}$ $(\sec \theta +\tan \theta)$ и интеграл секанса в кубе по частям. В результате

∫ x 2 - a 2 d x = a 2 2 (sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ |) - a 2 ln ⁡ | сек ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C = a 2 2 (sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ |) + C = a 2 2 (xa ⋅ x 2 a 2 - 1 - ln ⁡ | xa + x 2 a 2 - 1 |) + C = 1 2 (xx 2 - a 2 - a 2 ln ⁡ | x + x 2 - a 2 a |) + C. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) -a ^ {2} \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta | + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta - \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {x} {a}} \ cdot {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - \ ln \ left | {\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} \ right | \ right) + C. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)-a^{2}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C\\[6pt]={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta -\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {x}{a}}\cdot {\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}-\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\right|\right)+C\\[6pt]={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}

Когда $π 2 < θ ≤ π {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi }$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta \ leq \ pi}$ , что происходит, когда $x < 0 {\displaystyle x<0}$ $х <0$ с заданным диапазоном арксеканса $tan ⁡ θ ≤ 0 {\ displaystyle \ tan \ theta \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta \ leq 0}$ , что означает $tan 2 ⁡ θ = - tan ⁡ θ {\ displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = - \ tan \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = - \ tan \ theta}$ в этом случае.

Подстановки, исключающие тригонометрические функции

Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.

Например,

∫ f (sin ⁡ (x), cos ⁡ (x)) dx = ∫ 1 ± 1 - u 2 f (u, ± 1 - u 2) duu = sin ⁡ (x) ∫ f (sin ⁡ (x), cos ⁡ (x)) dx = ∫ 1 ∓ 1 - u 2 f (± 1 - u 2, u) duu = cos ⁡ (x) ∫ f (sin ⁡ ( Икс), соз ⁡ (Икс)) dx знак равно ∫ 2 1 + u 2 f (2 u 1 + u 2, 1 - u 2 1 + u 2) duu = загар ⁡ (x 2) {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx = \ int {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}} f \ left (u, \ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}}} \ right) \, du u = \ sin (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx = \ int {\ frac {1} {\ mp {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}} f \ left (\ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}} }, u \ right) \, du u = \ cos (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx = \ int {\ frac {2} {1 + u ^ {2}}} f \ left ({\ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, {\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}) } \ right) \, du u = \ tan \ left ({\ tfrac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ начало {выровнено} \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx = \ int {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}} f \ left (u, \ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}}} \ right) \, du u = \ sin (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx = \ int {\ frac {1} {\ mp {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}} f \ left (\ pm {\ sqrt {1-u ^ {2 }}}, u \ right) \, du u = \ cos (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx = \ int {\ frac {2} {1 + u ^ {2}}} f \ left ({\ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, {\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2) }}} \ right) \, du u = \ tan \ left ({\ tfrac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] \ end {align}}}

Последняя подстановка известна как Подстановка Вейерштрасса, которая использует формулу касательного полуугла.

Например,

∫ 4 cos ⁡ x (1 + cos ⁡ x) 3 dx = ∫ 2 1 + u 2 4 (1 - u 2 1 + u 2) (1 + 1 - u 2 1 + u 2) 3 du = ∫ (1 - u 2) (1 + u 2) du = ∫ (1 - u 4) du = u - u 5 5 + C = загар ⁡ x 2-1 5 загар 5 ⁡ x 2 + C. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {4 \ cos x} {(1+ \ cos x) ^ {3}}} \, dx = \ int {\ frac {2} {1 + u ^ {2}}} {\ frac {4 \ left ({\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right)} {\ left (1 + {\ frac { 1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \, du = \ int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2}) \, du \\ = \ int (1-u ^ {4}) \, du = u - {\ frac {u ^ {5}} {5}} + C = \ tan {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {5}} \ tan ^ {5} {\ frac {x} {2}} + C. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {4 \ cos x} { (1+ \ cos x) ^ {3}}} \, dx = \ int {\ frac {2} {1 + u ^ {2}}} {\ frac {4 \ left ({\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right)} {\ left (1 + {\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \, du = \ int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2}) \, du \\ = \ int (1-u ^ {4}) \, du = u - {\ frac {u ^ {5}} {5}} + C = \ tan {\ frac {x} {2}} - {\ fr ac {1} {5}} \ tan ^ {5} {\ frac {x} {2}} + C. \ end {align}}}

Гиперболическая подстановка

Подстановки гиперболических функций также могут использоваться для упрощения интегралов.

В интеграле $∫ 1 a 2 + x 2 dx {\ displaystyle \ int {\ frac {1 } {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx}$ , сделайте замену $x = a sinh ⁡ u {\ displaystyle x = a \ sinh {u}}$ $x = a \ sinh {u}$ , $dx = a ch udu. {\ displaystyle dx = a \ cosh u \, du.}$ ${\ displaystyle dx = a \ cosh u \, du.}$

Затем, используя тождества $cosh 2 ⁡ (x) - sinh 2 ⁡ (x) = 1 {\ displaystyle \ cosh ^ {2} ( х) - \ зп ^ {2} (х) = 1}$ $\ cosh ^ {2} (x) - \ sinh ^ {2} (x) = 1$ и $зп - 1 ⁡ х = пер ⁡ (х + х 2 + 1), {\ displaystyle \ sinh ^ {- 1} {x} = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}}),}$ ${ \ displaystyle \ sinh ^ {- 1} {x} = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}}),}$

$∫ 1 a 2 + x 2 dx = ∫ a ch ⁡ ua 2 + a 2 sh 2 ⁡ udu = ∫ a ch ⁡ ua 1 + sh 2 ⁡ udu = ∫ a ch ⁡ ua ch ⁡ udu = u + C = sinh - 1 ⁡ xa + C = ln ⁡ (x 2 a 2 + 1 + xa) + C = пер ⁡ (x 2 + a 2 + xa) + C {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx = \ int {\ frac {a \ ch u} {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ sinh ^ {2} u}}} \, du \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ ch {u}} {a {\ sqrt {1+ \ sinh ^ {2} {u}}}}} \, du \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ cosh {u}} {a \ ch u}} \, du \\ [6pt] = u + C \\ [6pt] = \ sinh ^ {- 1} {\ frac {x} {a}} + C \\ [6pt] = \ ln \ left ({\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + {\ frac {x} {a}} \ right) + C \\ [6pt] = \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} \ right) + C \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx = \ int {\ frac {a \ ch u} {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ sinh ^ {2} u}}} \, du \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ cosh {u}} {a {\ sqrt {1+ \ sinh ^ {2} {u}}}}} \, du \\ [6pt] = \ int {\ frac {a \ cosh { u}} {a \ ch u}} \, du \\ [6pt] = u + C \\ [6pt] = \ sinh ^ {- 1} {\ frac {x} {a}} + C \ \ [6pt] = \ ln \ left ({\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + {\ frac {x} {a}} \ right) + C \\ [6pt] = \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} \ right) + C \ end {выровнено}}}$

См. также

Математический портал

Викиверситет сделал Ресурсы по Тригонометрические замены

В Викиучебнике есть книга по темам: Исчисление / Интеграция / Тригонометрическая подстановка

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-11 11:29:50

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте