Разложение на частичную дробь

редактировать

В алгебре, то частичное разложение фракции или частичное разложение фракции из рациональной дроби (то есть фракции таким образом, что числитель и знаменатель являются полиномами ) представляет собой операция, которая заключается в выражении фракции в виде суммы многочлена (возможно, нулевых) и одной или нескольких дробей с более простым знаменателем.

Важность разложения на частичную дробь заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями, включая явное вычисление первообразных, разложения в ряд Тейлора, обратные Z-преобразования и обратные преобразования Лапласа. Эта концепция была независимо открыта в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем.

В символах, частичное разложение дроби рациональной дроби формы, где f и g - многочлены, является его выражением как ${\ Displaystyle \ textstyle {\ гидроразрыва {е (х)} {г (х)}},}$ ${\ Displaystyle \ textstyle {\ гидроразрыва {е (х)} {г (х)}},}$

{\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)}}}

{\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)}}}

где р ( х) есть полином, и для каждого J, то знаменатель г J ( х) является мощностью из неприводимого полинома (который не факторизуем в многочлены положительных степеней), а числитель х J ( х) является многочлен меньшей степени, чем степень этого неприводимого многочлена.

Когда используются явные вычисления, часто предпочтительнее более грубое разложение, которое заключается в замене «неприводимого многочлена» на « многочлен без квадратов » в описании результата. Это позволяет заменить полиномиальную факторизацию гораздо более простой для вычисления факторизацией без квадратов. Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов, когда коэффициенты входных полиномов являются целыми или рациональными числами.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Основные принципы
- 1.1 Полиномиальная часть
- 1.2 Коэффициенты знаменателя
- 1.3 Степени в знаменателе
- 1.4 Заявление
2 Приложение к символической интеграции
3 Процедура
- 3.1 Иллюстрация
- 3.2 Метод остатка
4 По реалам
- 4.1 Общий результат
5 примеров
- 5.1 Пример 1
- 5.2 Пример 2
- 5.3 Пример 3
- 5.4 Пример 4 (метод остатка)
- 5.5 Пример 5 (предельный метод)
- 5.6 Пример 6 (интегральный)
6 Роль полинома Тейлора
- 6.1 Набросок доказательства
7 целых дробей
8 Примечания
9 ссылки
10 Внешние ссылки

Основные принципы

Позволять

{\ Displaystyle R (x) = {\ гидроразрыва {F} {G}}}

{\ Displaystyle R (x) = {\ гидроразрыва {F} {G}}}

- рациональная дробь, где F и G - одномерные многочлены от неопределенного x. Существование дроби можно доказать, индуктивно применяя следующие шаги редукции.

Полиномиальная часть

Существуют два полинома E и F 1 такие, что

{\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = E + {\ frac {F_ {1}} {G}},}

{\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = E + {\ frac {F_ {1}} {G}},}

а также

{\ Displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G,}

{\ Displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G,}

где обозначает степень полинома P. ${\ displaystyle \ deg P}$ ${\ displaystyle \ deg P}$

Это немедленно вытекает из евклидовой деления из F по G, которая утверждает существование Е и F 1 таким образом, что и ${\ displaystyle F = EG + F_ {1}}$ ${\ displaystyle F = EG + F_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G.}$ ${\ Displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G.}$

Это позволяет предположить на следующих этапах, что ${\ Displaystyle \ deg F lt;\ deg G.}$ ${\ Displaystyle \ deg F lt;\ deg G.}$

Коэффициенты знаменателя

Если и ${\ Displaystyle \ deg F lt;\ deg G,}$ ${\ Displaystyle \ deg F lt;\ deg G,}$

{\ displaystyle G = G_ {1} G_ {2},}

{\ displaystyle G = G_ {1} G_ {2},}

где G 1 и G 2 - взаимно простые многочлены, то существуют многочлены и такие, что ${\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$ $F_ {2}$

{\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}},}

{\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}},}

а также

{\ displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G_ {1} \ quad {\ text {and}} \ quad \ deg F_ {2} lt;\ deg G_ {2}.}

{\ displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G_ {1} \ quad {\ text {and}} \ quad \ deg F_ {2} lt;\ deg G_ {2}.}

Это можно доказать следующим образом. Тождество Безу утверждает существование многочленов C и D таких, что

{\ displaystyle CG_ {1} + DG_ {2} = 1}

{\ displaystyle CG_ {1} + DG_ {2} = 1}

(по предположению, 1 представляет собой наибольший общий делитель из G 1 и G 2).

Пусть с быть евклидово деление на DF по Установка один получает ${\ displaystyle DF = G_ {1} Q + F_ {1}}$ ${\ displaystyle DF = G_ {1} Q + F_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ deg F_ {1} lt;\ deg G_ {1}}$ ${\ displaystyle G_ {1}.}$ ${\ displaystyle G_ {1}.}$ ${\ displaystyle F_ {2} = CF + QG_ {2},}$ ${\ displaystyle F_ {2} = CF + QG_ {2},}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {F} {G}} amp; = {\ frac {F (CG_ {1} + DG_ {2})} {G_ {1} G_ {2}}} = {\ frac {DF} {G_ {1}}} + {\ frac {CF} {G_ {2}}} \\ amp; = {\ frac {F_ {1} + G_ {1} Q} {G_ {1 }}} + {\ frac {F_ {2} -G_ {2} Q} {G_ {2}}} \\ amp; = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {F} {G}} amp; = {\ frac {F (CG_ {1} + DG_ {2})} {G_ {1} G_ {2}}} = {\ frac {DF} {G_ {1}}} + {\ frac {CF} {G_ {2}}} \\ amp; = {\ frac {F_ {1} + G_ {1} Q} {G_ {1 }}} + {\ frac {F_ {2} -G_ {2} Q} {G_ {2}}} \\ amp; = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}}. \ End {align}}}

Осталось показать, что, сводя к тому же знаменателю последнюю сумму дробей, получаем и, таким образом, ${\ displaystyle \ deg F_ {2} lt;\ deg G_ {2}.}$ ${\ displaystyle \ deg F_ {2} lt;\ deg G_ {2}.}$ ${\ Displaystyle F = F_ {2} G_ {1} + F_ {1} G_ {2},}$ ${\ Displaystyle F = F_ {2} G_ {1} + F_ {1} G_ {2},}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ deg F_ {2} amp; = \ deg (F-F_ {1} G_ {2}) - \ deg G_ {1} \ leq \ max (\ deg F, \ deg ( F_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} \\ amp; lt;\ max (\ deg G, \ deg (G_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} = \ град G_ {2} \ end {выравнивается}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ deg F_ {2} amp; = \ deg (F-F_ {1} G_ {2}) - \ deg G_ {1} \ leq \ max (\ deg F, \ deg ( F_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} \\ amp; lt;\ max (\ deg G, \ deg (G_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} = \ град G_ {2} \ end {выравнивается}}}

Степени в знаменателе

Используя предыдущее разложение индуктивно один получаешь фракцию формы с, где G представляет собой неприводимый многочлен. Если k gt; 1, можно выполнить дальнейшее разложение, используя то, что неприводимый многочлен является многочленом без квадратов, то есть является наибольшим общим делителем многочлена и его производной. Если - производная от G, тождество Безу дает многочлены C и D такие, что и, таким образом, Евклидово деление `на дает многочлены и такие, что и Установка одного получает ${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}},}$ ${\ Displaystyle \ deg F lt;\ deg G ^ {k} = к \ deg G,}$ ${\ Displaystyle \ deg F lt;\ deg G ^ {k} = к \ deg G,}$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ${\ displaystyle G '}$ $ГРАММ'$ ${\ displaystyle CG + DG '= 1}$ ${\ displaystyle CG + DG '= 1}$ ${\ Displaystyle F = FCG + FDG '.}$ ${\ Displaystyle F = FCG + FDG '.}$ ${\ displaystyle FDG '}$ ${\ displaystyle FDG '}$ ${\ displaystyle G}$ $грамм$ ${\ displaystyle H_ {k}}$ $H_ {k}$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ ${\ displaystyle FDG '= QG + H_ {k}}$ ${\ displaystyle FDG '= QG + H_ {k}}$ ${\ Displaystyle \ deg H_ {k} lt;\ deg G.}$ ${\ Displaystyle \ deg H_ {k} lt;\ deg G.}$ ${\ Displaystyle F_ {k-1} = FC + Q,}$ ${\ Displaystyle F_ {k-1} = FC + Q,}$

{\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}} = {\ frac {H_ {k}} {G ^ {k}}} + {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}},}

{\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}} = {\ frac {H_ {k}} {G ^ {k}}} + {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}},}

с участием ${\ Displaystyle \ deg H_ {k} lt;\ deg G.}$ ${\ Displaystyle \ deg H_ {k} lt;\ deg G.}$

Повторение этого процесса с помощью вместо приводит в конечном итоге к следующей теореме. ${\ displaystyle {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}}}$

Заявление

Теорема - Пусть е и г ненулевые многочлены над полем K. Запишем g как произведение степеней различных неприводимых многочленов:

${\ displaystyle g = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {n_ {i}}.}$ $g = \ prod_ {i = 1} ^ k p_i ^ {n_i}.$

Существуют (единственные) многочлены b и a ij с deg a ij lt;deg p i такие, что

${\ displaystyle {\ frac {f} {g}} = b + \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} {\ frac {a_ {ij} } {p_ {i} ^ {j}}}.}$ $\ frac {f} {g} = b + \ sum_ {i = 1} ^ k \ sum_ {j = 1} ^ {n_i} \ frac {a_ {ij}} {p_i ^ j}.$

Если deg f lt;deg g, то b = 0.

Единственность можно доказать следующим образом. Пусть d = max (1 + deg f, deg g). Все вместе b и a ij имеют d коэффициентов. Форма разложения определяет линейное отображение векторов коэффициентов в многочлены f степени меньше d. Доказательство существования означает, что это отображение сюръективно. Поскольку два векторных пространства имеют одинаковую размерность, карта также инъективна, что означает уникальность разложения. Между прочим, это доказательство индуцирует алгоритм вычисления разложения с помощью линейной алгебры.

Если K - поле комплексных чисел, из фундаментальной теоремы алгебры следует, что все p i имеют степень один и все числители являются константами. Когда K - поле действительных чисел, некоторые из p i могут быть квадратичными, поэтому при разложении на частичную дробь также могут встречаться частные линейных многочленов по степеням квадратичных многочленов. ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $а_ {ij}$

В предыдущей теореме можно заменить «различные неприводимые многочлены» на « попарно взаимно простые многочлены, взаимно простые со своей производной». Например, р я может быть факторами бесквадратной факторизации из г. Когда K является полем рациональных чисел, как это обычно бывает в компьютерной алгебре, это позволяет заменить факторизацию вычислением наибольшего общего делителя для вычисления разложения на частичную дробь.

Приложение к символической интеграции

С целью символической интеграции предыдущий результат можно уточнить в

Теорема - Пусть е и г ненулевые многочлены над полем K. Запишем g как произведение степеней попарно взаимно простых многочленов, не имеющих кратного корня в алгебраически замкнутом поле:

${\ displaystyle g = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {n_ {i}}.}$ $g = \ prod_ {i = 1} ^ k p_i ^ {n_i}.$

Существуют (единственные) многочлены b и c ij с deg c ij lt;deg p i такие, что

${\ displaystyle {\ frac {f} {g}} = b + \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sum _ {j = 2} ^ {n_ {i}} \ left ({\ frac {c_ {ij}} {p_ {i} ^ {j-1}}} \ right) '+ \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {f} {g}} = b + \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sum _ {j = 2} ^ {n_ {i}} \ left ({\ frac {c_ {ij}} {p_ {i} ^ {j-1}}} \ right) '+ \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}}}.}$

где обозначает производную от ${\ displaystyle X '}$ $ИКС'$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$

Это сводит вычисление первообразной рациональной функции к интегрированию последней суммы, которая называется логарифмической частью, потому что ее первообразная представляет собой линейную комбинацию логарифмов. Фактически у нас есть

${\ displaystyle {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}}} = \ sum _ {\ alpha _ {j}: p_ {i} (\ alpha _ {j}) = 0} {\ frac { c_ {i1} (\ alpha _ {j})} {p '_ {i} (\ alpha _ {j})}} {\ frac {1} {x- \ alpha _ {j}}}.}.}$ $\ frac {c_ {i1}} {p_i} = \ sum _ {\ alpha_j: p_i (\ alpha_j) = 0} \ frac {c_ {i1} (\ alpha_j)} {p'_i (\ alpha_j)} \ frac { 1} {x- \ alpha_j}.$

Существуют различные методы вычисления вышеуказанного разложения. Самым простым для описания является, вероятно, так называемый метод Эрмита. Поскольку степень c ij ограничена степенью p i, а степень b - это разность степеней f и g (если эта разница неотрицательна; в противном случае b = 0), можно записать эти неизвестные многочлены как многочлены с неизвестными коэффициентами. Приведя два члена приведенной выше формулы к одному знаменателю и записав, что коэффициенты каждой степени x одинаковы в двух числителях, мы получаем систему линейных уравнений, которую можно решить, чтобы получить желаемые значения для неизвестных коэффициентов.

Процедура

Для двух полиномов и, где α i - различные константы и deg P lt; n, частичные дроби обычно получаются, если предположить, что ${\ Displaystyle P (x)}$ $Р (х)$ ${\ displaystyle Q (x) = (x- \ alpha _ {1}) (x- \ alpha _ {2}) \ cdots (x- \ alpha _ {n})}$ $Q (x) = (x- \ alpha_1) (x- \ alpha_2) \ cdots (x- \ alpha_n)$

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {c_ {1}} {x- \ alpha _ {1}}} + {\ frac {c_ {2}} {x- \ alpha _ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {n}} {x- \ alpha _ {n}}}}$ $\ frac {P (x)} {Q (x)} = \ frac {c_1} {x- \ alpha_1} + \ frac {c_2} {x- \ alpha_2} + \ cdots + \ frac {c_n} {x- \ alpha_n}$

и решение для констант c i путем подстановки, приравнивая коэффициенты членов, содержащих степени x, или иным образом. (Это вариант метода неопределенных коэффициентов. )

Более прямое вычисление, которое сильно связано с интерполяцией Лагранжа, состоит в записи

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P (\ alpha _ {i})} {Q '( \ alpha _ {i})}} {\ frac {1} {(x- \ alpha _ {i})}}}$ $\ frac {P (x)} {Q (x)} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {P (\ alpha_i)} {Q '(\ alpha_i)} \ frac {1} {(x- \ alpha_i)}$

где - производная полинома. ${\ displaystyle Q '}$ $Q '$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$

Этот подход не учитывает несколько других случаев, но может быть изменен соответствующим образом:

Если то необходимо выполнить евклидово деление из P на Q, используя полином длинного деления, давая Р ( х) = Е ( х) В ( х) + Р ( х) с град Р lt; п. Разделив на Q ( x), мы получим ${\ Displaystyle \ deg P \ geqslant \ deg Q,}$ ${\ Displaystyle \ deg P \ geqslant \ deg Q,}$

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = E (x) + {\ frac {R (x)} {Q (x)}},}$ $\ frac {P (x)} {Q (x)} = E (x) + \ frac {R (x)} {Q (x)},$

а затем искать частичные дроби для дроби остатка (которая по определению удовлетворяет deg R lt;deg Q).

Если Q ( x) содержит множители, неприводимые над данным полем, то числитель N ( x) каждой частичной дроби с таким множителем F ( x) в знаменателе нужно искать как многочлен с deg N lt;deg F, а не как константа. Например, возьмем следующее разложение над R:

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} +1} {(x + 2) (x-1) \ color {Blue} (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac {a } {x + 2}} + {\ frac {b} {x-1}} + {\ frac {\ color {OliveGreen} cx + d} {\ color {Синий} x ^ {2} + x + 1} }.}$ $\ frac {x ^ 2 + 1} {(x + 2) (x-1) \ color {Blue} (x ^ 2 + x + 1)} = \ frac {a} {x + 2} + \ frac { b} {x-1} + \ frac {\ color {OliveGreen} cx + d} {\ color {Blue} x ^ 2 + x + 1}.$

Пусть Q ( х) = ( х - α) ^г S ( х) и S ( amp; alpha ;) ≠ 0, то есть α является корнем Q ( х) от кратности г. При разложении частичных дробей первые r степени ( x - α) будут встречаться как знаменатели частичных дробей (возможно, с нулевым числителем). Например, если S ( x) = 1, разложение на частичную дробь имеет вид

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {P (x)} {(x- \ alpha) ^ {r}}} = {\ frac {c_ {1 }} {x- \ alpha}} + {\ frac {c_ {2}} {(x- \ alpha) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {r}} {(x- \ альфа) ^ {r}}}.}$ $\ frac {P (x)} {Q (x)} = \ frac {P (x)} {(x- \ alpha) ^ r} = \ frac {c_1} {x- \ alpha} + \ frac {c_2 } {(x- \ alpha) ^ 2} + \ cdots + \ frac {c_r} {(x- \ alpha) ^ r}.$

Иллюстрация

В примере применения этой процедуры (3 x + 5) / (1-2 x) ² можно разложить в виде

${\ displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {A} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {B} { (1-2x)}}.}$ $\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ 2} = \ frac {A} {(1-2x) ^ 2} + \ frac {B} {(1-2x)}.$

Очистка знаменателей показывает, что 3 x + 5 = A + B (1-2 x). Разложив и приравняв коэффициенты при степенях x, получим

5 = A + B и 3 x = –2 Bx

Решение этой системы линейных уравнений для A и B дает A = 13/2 и B = –3/2. Следовательно,

${\ displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {13/2} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {- 3/2} {(1-2x)}}.}$ $\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ 2} = \ frac {13/2} {(1-2x) ^ 2} + \ frac {-3/2} {(1-2x)}.$

Остаточный метод
См. Также: Метод сокрытия Хевисайда
Предположим, что над комплексными числами f ( x) - рациональная правильная дробь, и ее можно разложить на

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {a_ {i1}} {x-x_ {i}}} + {\ frac {a_ {i2}}} {(x-x_ {i}) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {ik_ {i}}} {(x-x_ {i}) ^ {k_ {i}}}} \ right).}$ $f (x) = \ sum_i \ left (\ frac {a_ {i1}} {x - x_i} + \ frac {a_ {i2}} {(x - x_i) ^ 2} + \ cdots + \ frac {a_ { i k_i}} {(x - x_i) ^ {k_i}} \ right).$

Позволять

${\ displaystyle g_ {ij} (x) = (x-x_ {i}) ^ {j-1} f (x),}$ ${\ displaystyle g_ {ij} (x) = (x-x_ {i}) ^ {j-1} f (x),}$

тогда, согласно единственности ряда Лорана, a ij является коэффициентом члена ( x - x i) ⁻¹ в разложении Лорана функции g ij ( x) относительно точки x i, т. е. его вычетом

${\ displaystyle a_ {ij} = \ operatorname {Res} (g_ {ij}, x_ {i}).}$ $a_ {ij} = \ operatorname {Res} (g_ {ij}, x_i).$

Это прямо выражается формулой

${\ displaystyle a_ {ij} = {\ frac {1} {(k_ {i} -j)!}} \ lim _ {x \ to x_ {i}} {\ frac {d ^ {k_ {i} - j}} {dx ^ {k_ {i} -j}}} \ left ((x-x_ {i}) ^ {k_ {i}} f (x) \ right),}$ ${\ displaystyle a_ {ij} = {\ frac {1} {(k_ {i} -j)!}} \ lim _ {x \ to x_ {i}} {\ frac {d ^ {k_ {i} - j}} {dx ^ {k_ {i} -j}}} \ left ((x-x_ {i}) ^ {k_ {i}} f (x) \ right),}$

или в частном случае, когда x i - простой корень,

${\ displaystyle a_ {i1} = {\ frac {P (x_ {i})} {Q '(x_ {i})}},}$ ${\ displaystyle a_ {i1} = {\ frac {P (x_ {i})} {Q '(x_ {i})}},}$

когда

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}.}$ $f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)}.$

По реалам

Частичные фракции используются в реальном переменном интегральном исчислении найти вещественнозначные первообразные от рациональных функций. Разложение на частичную дробь вещественных рациональных функций также используется для нахождения их обратных преобразований Лапласа. О приложениях разложения частичных дробей по действительным числам см.

Приложение к символической интеграции, см. Выше

Частичные дроби в преобразованиях Лапласа

Общий результат

Пусть f ( x) - любая рациональная функция над действительными числами. Другими словами, предположим, что существуют действительные полиномы-функции p ( x) и q ( x) ≠ 0, такие что

${\ Displaystyle f (x) = {\ гидроразрыва {p (x)} {q (x)}}}$ $f (x) = \ frac {p (x)} {q (x)}$

Разделив числитель и знаменатель на старший коэффициент q ( x), мы можем предположить без ограничения общности, что q ( x) моничен. По основной теореме алгебры мы можем написать

${\ displaystyle q (x) = (x-a_ {1}) ^ {j_ {1}} \ cdots (x-a_ {m}) ^ {j_ {m}} (x ^ {2} + b_ {1 } x + c_ {1}) ^ {k_ {1}} \ cdots (x ^ {2} + b_ {n} x + c_ {n}) ^ {k_ {n}}}$ $q (x) = (x-a_1) ^ {j_1} \ cdots (x-a_m) ^ {j_m} (x ^ 2 + b_1x + c_1) ^ {k_1} \ cdots (x ^ 2 + b_nx + c_n) ^ {k_n}$

где a 1,..., a m, b 1,..., b n, c 1,..., c n - действительные числа с b i² - 4 c i lt;0 и j 1,..., j m, k 1,..., k n - натуральные числа. Термины ( х - I) являются линейными коэффициентами на д ( х), которые соответствуют вещественным корням ц ( х), а также точки ( х я² + б я х + с я) являются неразложимыми квадратичными коэффициентами из Q ( x), которые соответствуют парам комплексно сопряженных корней q ( x).

Тогда дробное разложение f ( x) будет следующим:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {p (x)} {q (x)}} = P (x) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {r = 1} ^ {j_ {i}} {\ frac {A_ {ir}} {(x-a_ {i}) ^ {r}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {r = 1} ^ {k_ {i}} {\ frac {B_ {ir} x + C_ {ir}} {(x ^ {2} + b_ {i} x + c_ {i}) ^ {r}}}}$ $f (x) = \ frac {p (x)} {q (x)} = P (x) + \ sum_ {i = 1} ^ m \ sum_ {r = 1} ^ {j_i} \ frac {A_ { ir}} {(x-a_i) ^ r} + \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {r = 1} ^ {k_i} \ frac {B_ {ir} x + C_ {ir}} {(x ^ 2 + b_ix + c_i) ^ r}$

Здесь P ( x) - полином (возможно, нулевой), а A ir, B ir и C ir - действительные константы. Константы можно найти несколькими способами.

Самый простой способ - это умножить на общий знаменатель q ( x). Затем мы получаем уравнение многочленов, левая часть которого равна просто p ( x), а правая часть имеет коэффициенты, которые являются линейными выражениями констант A ir, B ir и C ir. Поскольку два полинома равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых членах. Таким образом получается система линейных уравнений, которая всегда имеет единственное решение. Это решение можно найти с помощью любого из стандартных методов линейной алгебры. Его также можно найти с ограничениями (см. Пример 5).

Примеры

Пример 1

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}}}$ $f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 2x-3}$

Здесь знаменатель делится на два различных линейных фактора:

${\ Displaystyle д (х) = х ^ {2} + 2x-3 = (x + 3) (x-1)}$ $д (х) = х ^ 2 + 2х-3 = (х + 3) (х-1)$

так что у нас есть разложение на частичную дробь

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {A} {x + 3}} + {\ frac {B} {x-1 }}}$ $f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 2x-3} = \ frac {A} {x + 3} + \ frac {B} {x-1}$

Умножение на знаменатель в левой части дает нам полиномиальное тождество

${\ Displaystyle 1 = А (х-1) + В (х + 3)}$ $1 = А (х-1) + В (х + 3)$

Подстановка x = −3 в это уравнение дает A = −1/4, а подстановка x = 1 дает B = 1/4, так что

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {-1} {x + 3}} + {\ frac {1} {x-1}} \ right)}$ $f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 2x-3} = \ frac {1} {4} \ left (\ frac {-1} {x + 3} + \ frac {1} {x -1} \ вправо)$

Пример 2

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}}}$ $f (x) = \ frac {x ^ 3 + 16} {x ^ 3-4x ^ 2 + 8x}$

После деления в столбик имеем

${\ displaystyle f (x) = 1 + {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {4x ^ { 2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}}}$ $f (x) = 1 + \ frac {4x ^ 2-8x + 16} {x ^ 3-4x ^ 2 + 8x} = 1 + \ frac {4x ^ 2-8x + 16} {x (x ^ 2- 4x + 8)}$

Множитель x ² - 4 x + 8 неприводим по действительным числам, так как его дискриминант (−4) ² - 4 × 8 = - 16 отрицателен. Таким образом, разложение частичной дроби по действительным числам имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}} = {\ frac {A} {x}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} -4x + 8}}}$ $\ frac {4x ^ 2-8x + 16} {x (x ^ 2-4x + 8)} = \ frac {A} {x} + \ frac {Bx + C} {x ^ 2-4x + 8}$

Умножая на x ³ - 4 x ² + 8 x, получаем полиномиальное тождество

${\ displaystyle 4x ^ {2} -8x + 16 = A (x ^ {2} -4x + 8) + (Bx + C) x}$ $4x ^ 2-8x + 16 = A (x ^ 2-4x + 8) + (Bx + C) х$

Взяв x = 0, мы видим, что 16 = 8 A, поэтому A = 2. Сравнивая коэффициенты x ², мы видим, что 4 = A + B = 2 + B, поэтому B = 2. Сравнивая линейные коэффициенты, мы видим, что - 8 = −4 A + C = −8 + C, поэтому C = 0. В целом,

${\ displaystyle f (x) = 1 + 2 \ left ({\ frac {1} {x}} + {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} \ right)}$ $f (x) = 1 + 2 \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {x} {x ^ 2-4x + 8} \ right)$

Дробь может быть полностью разложена с помощью комплексных чисел. Согласно основной теореме алгебры каждый комплексный многочлен степени n имеет n (комплексных) корней (некоторые из которых могут повторяться). Вторую дробь можно разложить на:

${\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = {\ frac {D} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {E} {x- (2 -2i)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = {\ frac {D} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {E} {x- (2 -2i)}}}$

Умножение на знаменатель дает:

${\ Displaystyle х = D (x- (2-2i)) + E (x- (2 + 2i))}$ ${\ Displaystyle х = D (x- (2-2i)) + E (x- (2 + 2i))}$

Приравнивая коэффициенты при x и постоянные (по отношению к x) коэффициенты обеих частей этого уравнения, мы получаем систему двух линейных уравнений относительно D и E, решение которой имеет вид

${\ displaystyle D = {\ frac {1 + i} {2i}} = {\ frac {1-i} {2}}, \ qquad E = {\ frac {1-i} {- 2i}} = { \ frac {1 + i} {2}}.}$ ${\ displaystyle D = {\ frac {1 + i} {2i}} = {\ frac {1-i} {2}}, \ qquad E = {\ frac {1-i} {- 2i}} = { \ frac {1 + i} {2}}.}$

Таким образом, мы имеем полное разложение:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {2} {x}} + {\ frac {1-i} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {1 + i} {x- (2-2i)}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {2} {x}} + {\ frac {1-i} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {1 + i} {x- (2-2i)}}}$

Можно также вычислить напрямую A, D и E с помощью метода остатка (см. Также пример 4 ниже).

Пример 3

Этот пример иллюстрирует почти все «уловки», которые нам могут понадобиться, если не считать обращения к системе компьютерной алгебры.

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {9} -2x ^ {6} + 2x ^ {5} -7x ^ {4} + 13x ^ {3} -11x ^ {2} + 12x- 4} {x ^ {7} -3x ^ {6} + 5x ^ {5} -7x ^ {4} + 7x ^ {3} -5x ^ {2} + 3x-1}}}$ $f (x) = \ frac {x ^ 9-2x ^ 6 + 2x ^ 5-7x ^ 4 + 13x ^ 3-11x ^ 2 + 12x-4} {x ^ 7-3x ^ 6 + 5x ^ 5-7x ^ 4 + 7x ^ 3-5x ^ 2 + 3x-1}$

После деления в столбик и разложения знаменателя на множители имеем

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2 } + 3x} {(x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) ^ {2}}}}$ $f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + \ frac {2x ^ 6-4x ^ 5 + 5x ^ 4-3x ^ 3 + x ^ 2 + 3x} {(x-1) ^ 3 (x ^ 2 +1) ^ 2}$

Разложение на частичную дробь имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x} {(x-1) ^ {3} ( x ^ {2} +1) ^ {2}}} = {\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {B} {(x-1) ^ {2}}} + {\ frac {C} {(x-1) ^ {3}}} + {\ frac {Dx + E} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {Fx + G} {(x ^ {2}) +1) ^ {2}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x} {(x-1) ^ {3} ( x ^ {2} +1) ^ {2}}} = {\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {B} {(x-1) ^ {2}}} + {\ frac {C} {(x-1) ^ {3}}} + {\ frac {Dx + E} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {Fx + G} {(x ^ {2}) +1) ^ {2}}}.}$

Умножая на знаменатель в левой части, получаем полиномиальное тождество

${\ displaystyle {\ begin {align} 2x ^ {6} -4x ^ {5} amp; + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] amp; = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + C (x ^ {2} +1) ^ {2} + (Dx + E) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (Fx + G) (x-1) ^ {3} \ end {выровнено }}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} 2x ^ {6} -4x ^ {5} amp; + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] amp; = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + C (x ^ {2} +1) ^ {2} + (Dx + E) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (Fx + G) (x-1) ^ {3} \ end {выровнено }}}$

Теперь мы используем разные значения x для вычисления коэффициентов:

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4 = 4C amp; x = 1 \\ 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) amp; x = i \\ 0 = A-B + CEG amp; x = 0 \ end {cases}} }$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} 4 = 4C amp; x = 1 \\ 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) amp; x = i \\ 0 = A-B + CEG amp; x = 0 \ end {cases}} }$

Решая эту проблему, мы имеем:

${\ Displaystyle {\ begin {cases} C = 1 \\ F = 0, G = 1 \\ E = AB \ end {cases}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {cases} C = 1 \\ F = 0, G = 1 \\ E = AB \ end {cases}}}$

Используя эти значения, мы можем написать:

${\ displaystyle {\ begin {align} 2x ^ {6} -4x ^ {5} amp; + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] amp; = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} + 1) ^ {2} + (Dx + (AB)) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (x-1) ^ {3} \\ [4pt] amp; = (A + D) x ^ {6} + (- A-3D) x ^ {5} + (2B + 4D + 1) x ^ {4} + (- 2B-4D + 1) x ^ {3} + (- A + 2B + 3D-1) x ^ {2} + (A-2B-D + 3) x \ end {выравнивается}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} 2x ^ {6} -4x ^ {5} amp; + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] amp; = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} + 1) ^ {2} + (Dx + (AB)) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (x-1) ^ {3} \\ [4pt] amp; = (A + D) x ^ {6} + (- A-3D) x ^ {5} + (2B + 4D + 1) x ^ {4} + (- 2B-4D + 1) x ^ {3} + (- A + 2B + 3D-1) x ^ {2} + (A-2B-D + 3) x \ end {выравнивается}}}$

Мы сравниваем коэффициенты при x ⁶ и x ⁵ с обеих сторон, и мы имеем:

${\ displaystyle {\ begin {cases} A + D = 2 \\ - A-3D = -4 \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad A = D = 1.}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} A + D = 2 \\ - A-3D = -4 \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad A = D = 1.}$

Следовательно:

${\ displaystyle 2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6} -4x ^ {5} + (2B + 5) x ^ {4} + (- 2B-3) x ^ {3} + (2B + 1) x ^ {2} + (- 2B + 3) x}$ ${\ displaystyle 2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6} -4x ^ {5} + (2B + 5) x ^ {4} + (- 2B-3) x ^ {3} + (2B + 1) x ^ {2} + (- 2B + 3) x}$

что дает нам B = 0. Таким образом, разложение на частичную дробь определяется следующим образом:

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {1} {(x-1)}} + {\ frac {1} {(x-1) ^ {3}} } + {\ frac {x + 1} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$ $f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + \ frac {1} {(x-1)} + \ frac {1} {(x - 1) ^ 3} + \ frac {x + 1} {x ^ 2 + 1} + \ frac {1} {(x ^ 2 + 1) ^ 2}.$

В качестве альтернативы, вместо расширения, можно получить другие линейные зависимости от коэффициентов, вычисляя некоторые производные в указанном выше полиномиальном тождестве. (Для этого напомним, что производная в точке x = a от ( x - a) ^m p ( x) равна нулю, если m gt; 1, и равна p ( a) при m = 1.) Например, первая производная в точке x = 1 дает ${\ Displaystyle х = 1, \ imath}$ ${\ Displaystyle х = 1, \ imath}$

${\ Displaystyle 2 \ CDOT 6-4 \ CDOT 5 + 5 \ CDOT 4-3 \ CDOT 3 + 2 + 3 = A \ CDOT (0 + 0) + B \ CDOT (4 + 0) + 8 + D \ CDOT 0}$ $2 \ cdot 6-4 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4-3 \ cdot 3 + 2 + 3 = A \ cdot (0 + 0) + B \ cdot (4 + 0) + 8 + D \ cdot 0$

то есть 8 = 4 B + 8, поэтому B = 0.

Пример 4 (метод остатка)

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {2} -5} {(z ^ {2} -1) (z ^ {2} +1)}} = {\ frac {z ^ {2 } -5} {(z + 1) (z-1) (z + i) (zi)}}}$ $f (z) = \ frac {z ^ {2} -5} {(z ^ 2-1) (z ^ 2 + 1)} = \ frac {z ^ {2} -5} {(z + 1) (z-1) (z + i) (zi)}$

Таким образом, f ( z) можно разложить на рациональные функции, знаменатели которых равны z +1, z −1, z + i, z −i. Поскольку каждый член имеет степень один, −1, 1, - i и i - простые полюсы.

Следовательно, вычеты, связанные с каждым полюсом, заданным формулой

${\ displaystyle {\ frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}} = {\ frac {z_ {i} ^ {2} -5} {4z_ {i} ^ {3 }}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}} = {\ frac {z_ {i} ^ {2} -5} {4z_ {i} ^ {3 }}},}$

находятся

${\ displaystyle 1, -1, {\ tfrac {3i} {2}}, - {\ tfrac {3i} {2}},}$ ${\ displaystyle 1, -1, {\ tfrac {3i} {2}}, - {\ tfrac {3i} {2}},}$

соответственно, и

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z + 1}} - {\ frac {1} {z-1}} + {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {z + i}} - {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {zi}}.}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z + 1}} - {\ frac {1} {z-1}} + {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {z + i}} - {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {zi}}.}$

Пример 5 (предельный метод)

Пределы могут использоваться, чтобы найти частичное разложение на дробь. Рассмотрим следующий пример:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}}}$

Во-первых, множите знаменатель, определяющий разложение:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac { A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac { A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}}.}$

Умножая все на и принимая предел, когда мы получаем ${\ displaystyle x-1}$ $х-1$ ${\ displaystyle x \ to 1}$ $х \ к 1$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} \ left ((x-1) \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2}) + x + 1}} \ right) \ right) = \ lim _ {x \ to 1} A + \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1) (Bx + C)} {x ^ {2} + x + 1}} = A.}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} \ left ((x-1) \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2}) + x + 1}} \ right) \ right) = \ lim _ {x \ to 1} A + \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1) (Bx + C)} {x ^ {2} + x + 1}} = A.}$

С другой стороны,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = \ lim _ {x \ to 1 } {\ frac {1} {x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {1} {3}},}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = \ lim _ {x \ to 1 } {\ frac {1} {x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {1} {3}},}$

и поэтому:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {3}}.}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {3}}.}$

Умножая на x и принимая предел, когда мы имеем ${\ Displaystyle х \ к \ infty}$ $х \ к \ infty$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ right) = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Ax} {x-1}} + \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Bx ^ {2} + Cx} { х ^ {2} + х + 1}} = А + В,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ right) = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Ax} {x-1}} + \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Bx ^ {2} + Cx} { х ^ {2} + х + 1}} = А + В,}$

а также

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$

Отсюда следует, что A + B = 0, и поэтому. ${\ displaystyle B = - {\ frac {1} {3}}}$ $B = - \ frac {1} {3}$

При x = 0 получаем и, таким образом. ${\ displaystyle -1 = -A + C,}$ ${\ displaystyle -1 = -A + C,}$ ${\ displaystyle C = - {\ tfrac {2} {3}}}$ ${\ displaystyle C = - {\ tfrac {2} {3}}}$

Собирая все вместе, получаем разложение

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {1} {x-1}} + {\ frac { -x-2} {x ^ {2} + x + 1}} \ right).}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {1} {x-1}} + {\ frac { -x-2} {x ^ {2} + x + 1}} \ right).}$

Пример 6 (интегральный)

Предположим, у нас есть неопределенный интеграл :

${\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} + x-2}} \, dx}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} + x-2}} \, dx}$

Очевидно, что перед выполнением разложения мы должны выполнить полиномиальное деление в столбик и разложить знаменатель на множители. Это приведет к:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx}$ ${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx}$

После этого мы теперь можем выполнить частичное разложение на дробь.

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx = \ int x ^ {2} +3+ { \ frac {A} {(x + 2)}} + {\ frac {B} {(x-1)}} \, dx}$ ${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx = \ int x ^ {2} +3+ { \ frac {A} {(x + 2)}} + {\ frac {B} {(x-1)}} \, dx}$

так:

${\ Displaystyle А (х-1) + В (х + 2) = - 3x + 7}$ ${\ Displaystyle А (х-1) + В (х + 2) = - 3x + 7}$ .

После подстановки наших значений, в этом случае, когда x = 1 для решения для B и x = -2 для решения для A, мы получим:

${\ displaystyle A = {\ frac {-13} {3}} \, B = {\ frac {4} {3}}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {-13} {3}} \, B = {\ frac {4} {3}}}$

Включение всего этого обратно в наш интеграл позволяет нам найти ответ:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-13/3} {(x + 2)}} + {\ frac {4/3} {(x-1)}} \, dx = {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ + 3x - {\ frac {13} {3}} \ ln (| x + 2 |) + {\ frac {4} {3}} \ ln (| x-1 |) + C}$ ${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-13/3} {(x + 2)}} + {\ frac {4/3} {(x-1)}} \, dx = {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ + 3x - {\ frac {13} {3}} \ ln (| x + 2 |) + {\ frac {4} {3}} \ ln (| x-1 |) + C}$

Роль полинома Тейлора

Разложение рациональной функции на частичную дробь может быть связано с теоремой Тейлора следующим образом. Позволять

${\ Displaystyle P (x), Q (x), A_ {1} (x), \ ldots, A_ {r} (x)}$ ${\ Displaystyle P (x), Q (x), A_ {1} (x), \ ldots, A_ {r} (x)}$

действительные или комплексные многочлены, предположим, что

${\ Displaystyle Q = \ prod _ {j = 1} ^ {r} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}},}$ ${\ Displaystyle Q = \ prod _ {j = 1} ^ {r} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}},}$

удовлетворяет

${\ Displaystyle \ deg A_ {1} lt;\ nu _ {1}, \ ldots, \ deg A_ {r} lt;\ nu _ {r}, \ quad {\ text {и}} \ quad \ deg (P) lt;\ deg (Q) = \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ nu _ {j}.}$ ${\ Displaystyle \ deg A_ {1} lt;\ nu _ {1}, \ ldots, \ deg A_ {r} lt;\ nu _ {r}, \ quad {\ text {и}} \ quad \ deg (P) lt;\ deg (Q) = \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ nu _ {j}.}$

Также определите

${\ displaystyle Q_ {i} = \ prod _ {j \ neq i} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} = {\ frac {Q} {(x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}}, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant r.}$ ${\ displaystyle Q_ {i} = \ prod _ {j \ neq i} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} = {\ frac {Q} {(x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}}, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant r.}$

Тогда у нас есть

${\ displaystyle {\ frac {P} {Q}} = \ sum _ {j = 1} ^ {r} {\ frac {A_ {j}} {(x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}}}}}$ $\ frac {P} {Q} = \ sum_ {j = 1} ^ {r} \ frac {A_j} {(x- \ lambda_j) ^ {\ nu_j}}$

тогда и только тогда, когда каждый многочлен является многочленом Тейлора порядка в точке: ${\ Displaystyle A_ {я} (х)}$ ${\ Displaystyle A_ {я} (х)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$ ${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {я}}$ $\ lambda _ {я}$

${\ displaystyle A_ {i} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i} -1} {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {P } {Q_ {i}}} \ right) ^ {(k)} (\ lambda _ {i}) \ (x- \ lambda _ {i}) ^ {k}.}$ ${\ displaystyle A_ {i} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i} -1} {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {P } {Q_ {i}}} \ right) ^ {(k)} (\ lambda _ {i}) \ (x- \ lambda _ {i}) ^ {k}.}$

Теорема Тейлора (в действительном или комплексном случае) затем обеспечивает доказательство существования и единственности разложения на частичную дробь, а также характеристику коэффициентов.

Набросок доказательства

Вышеупомянутое разложение на частичную дробь подразумевает для каждого 1 ≤ i ≤ r полиномиальное разложение

${\ displaystyle {\ frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ lambda _ {i},}$ ${\ displaystyle {\ frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ lambda _ {i},}$

так же и многочлен Тейлора из-за единственности полиномиального разложения порядка и по предположению. ${\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$ ${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$ ${\ Displaystyle \ deg A_ {я} lt;\ ню _ {я}}$ ${\ Displaystyle \ deg A_ {я} lt;\ ню _ {я}}$

И наоборот, если полиномы Тейлора, указанные выше разложения выполняются для каждого из них, поэтому мы также имеем ${\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {я}}$ $\ lambda _ {я}$

${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ лямбда _ {i},}$ ${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ лямбда _ {i},}$

откуда следует, что многочлен делится на ${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$ ${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$ ${\ displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$ ${\ displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

Ибо также делится на, поэтому ${\ displaystyle j \ neq i, Q_ {j} A_ {j}}$ ${\ displaystyle j \ neq i, Q_ {j} A_ {j}}$ ${\ Displaystyle (х- \ лямбда _ {я}) ^ {\ ню _ {я}}}$ ${\ Displaystyle (х- \ лямбда _ {я}) ^ {\ ню _ {я}}}$

${\ Displaystyle P- \ сумма _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$ ${\ Displaystyle P- \ сумма _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$

делится на. С ${\ displaystyle Q}$ $Q$

${\ displaystyle \ deg \ left (P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} \ right) lt;\ deg (Q)}$ ${\ displaystyle \ deg \ left (P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} \ right) lt;\ deg (Q)}$

тогда у нас есть

${\ displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0,}$ ${\ displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0,}$

и мы находим частичное разложение дроби делением на. ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$

Дроби целых чисел

Идея дробей может быть обобщена на другие области целостности, скажем, на кольцо целых чисел, где простые числа играют роль неприводимых знаменателей. Например:

${\ displaystyle {\ frac {1} {18}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}}.}$ $\ frac {1} {18} = \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} - \ frac {1} {3 ^ 2}.$

Примечания

использованная литература

Рао, КР; Ахмед, Н. (1968). «Рекурсивные методы для получения разложения частичной дроби рациональной функции». IEEE Trans. Educ. 11 (2). С. 152–154. DOI : 10.1109 / TE.1968.4320370.

Хенрици, Питер (1971). «Алгоритм неполного разложения рациональной функции на дроби». З. Энгью. Математика. Phys. 22 (4). С. 751–755. DOI : 10.1007 / BF01587772.

Чанг, Фэн-Ченг (1973). «Рекурсивные формулы для разложения в частные дроби рациональной функции с несколькими полюсами». Proc. IEEE. 61 (8). С. 1139–1140. DOI : 10,1109 / PROC.1973.9216.

Кунг, HT; Тонг, DM (1977). «Быстрые алгоритмы частичного разложения на дроби». SIAM Journal on Computing. 6 (3): 582. DOI : 10,1137 / 0206042.

Юстис, Дэн; Кламкин, М.С. (1979). «О коэффициентах дробного разложения». Американский математический ежемесячник. 86 (6). С. 478–480. JSTOR 2320421.

Махони, Джей Джей; Сивазлян, Б.Д. (1983). «Разложение на частичные дроби: обзор вычислительной методологии и эффективности». J. Comput. Прил. Математика. 9. С. 247–269. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (83) 90018-3.

Миллер, Чарльз Д.; Lial, Margaret L.; Шнайдер, Дэвид I. (1990). Основы студенческой алгебры (3-е изд.). Эддисон-Уэсли Образовательное Издательство, Инк., Стр. 364–370. ISBN 0-673-38638-4.

Вестрейх, Дэвид (1991). «частичное расширение дроби без производной оценки». IEEE Trans. Circ. Syst. 38 (6). С. 658–660. DOI : 10.1109 / 31.81863.

Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Неопределенные коэффициенты, метод", Энциклопедия математики, EMS Press

Веллеман, Дэниел Дж. (2002). «Частные дроби, биномиальные коэффициенты и интеграл от нечетной степени секунды тета». Амер. Математика. Ежемесячно. 109 (8). С. 746–749. JSTOR 3072399.

Слота, Дамиан; Витула, Роман (2005). «Трехкирпичный метод разложения на частные дроби некоторого типа рационального выражения». Лект. Нет. Компьютерные науки. 33516. С. 659–662. DOI : 10.1007 / 11428862_89.

Кунг, Сидней Х. (2006). «Частичное разложение дроби делением». Coll. Математика. Дж. 37 (2): 132–134. DOI : 10.2307 / 27646303. JSTOR 27646303.

Витула, Роман; Слота, Дамиан (2008). «Разложение некоторых рациональных функций на частичные дроби». Прил. Математика. Comput. 197. С. 328–336. DOI : 10.1016 / j.amc.2007.07.048. Руководство по ремонту 2396331.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Частичное разложение на фракции". MathWorld.

Блейк, Сэм. «Пошаговые дроби».

Выполните разложение на частичные дроби с помощью Scilab.