Очистить знаменатели

редактировать

В математика, метод очистки знаменателей, также называемый очисткой дробей, представляет собой метод упрощения уравнения, приравнивающего два выражения, каждое из которых является суммой рациональные выражения - которые включают простые дроби.

Содержание

1 Пример
2 Описание
3 Пример 2
4 Ссылки

Пример

Рассмотрим уравнение

x 6 + y 15 z = 1. {\ displaystyle {\ frac {x} {6}} + {\ frac {y} {15z}} = 1.}

{\ displaystyle {\ frac {x} {6}} + {\ frac {y} {15z}} = 1.}

The наименьшее общее кратное двух знаменателей 6 и 15z равно 30z, поэтому обе части умножаются на 30z:

5 xz + 2 y = 30 z. {\ displaystyle 5xz + 2y = 30z. \,}

{\ displaystyle 5xz + 2y = 30z. \,}

В результате получается уравнение без дробей.

Упрощенное уравнение не полностью эквивалентно исходному. Когда мы подставляем y = 0 и z = 0 в последнее уравнение, обе части упрощаются до 0, поэтому мы получаем 0 = 0, математическую истину. Но та же самая замена, примененная к исходному уравнению, приводит к x / 6 + 0/0 = 1, что математически бессмысленно.

Описание

Без потери общности, мы можем предположить, что правая часть уравнения равна 0, поскольку уравнение E 1 = E 2 может быть эквивалентно переписано в форме E 1 - E 2 = 0.

Итак, пусть уравнение имеет вид

∑ i = 1 n P i Q i = 0. {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = 0.}

Первый шаг - определить общий знаменатель D этих дробей - предпочтительно наименьший общий знаменатель, которое является наименьшим общим кратным Q i.

. Это означает, что каждый Q i является фактором D, поэтому D = R iQiдля некоторого выражения R i Это не дробь. Тогда

п я Q я знак равно р я п я р я Q я = р я п я D, {\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = {\ frac {R_ { i} P_ {i}} {R_ {i} Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {D}} \,,}

{\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {R_ {i} Q_ {i}}} = { \ frac {R_ {i} P_ {i}} {D}} \,,}

при условии, что R iQiне принимать значение 0 - в этом случае также D равно 0.

Итак, теперь мы имеем

∑ i = 1 n P i Q i = ∑ i = 1 n R i P i D = 1 D ∑ я знак равно 1 N р я п я знак равно 0. {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {D}} = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {D}} = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0.}

При условии, что D не принимает значение 0, последнее уравнение эквивалентно

∑ i = 1 n R i P i = 0, {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0 \,,}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0 \,,}

, в котором знаменатели исчезли.

Как показано в оговорках, следует проявлять осторожность, чтобы не вводить нулей в D - рассматриваемых как функция неизвестных уравнения - как ложные решения.

Пример 2

Рассмотрим уравнение

1 x (x + 1) + 1 x (x + 2) - 1 (x + 1) (x + 2) = 0. {\ displaystyle {\ frac {1} {x (x + 1)}} + {\ frac {1} {x (x + 2)}} - {\ frac {1} {(x + 1) (x + 2)}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x (x + 1)}} + {\ frac {1 } {x (x + 2)}} - {\ frac {1} {(x + 1) (x + 2)}} = 0.}

Наименьший общий знаменатель равен x (x + 1) (x + 2).

Следуя описанному выше методу, вы получите

(x + 2) + (x + 1) - x = 0. {\ displaystyle (x + 2) + (x + 1) -x = 0.}

{\ displaystyle (x + 2) + (x + 1) -x = 0.}

Дальнейшее упрощение дает нам решение x = −3.

Легко проверить, что ни один из нулей x (x + 1) (x + 2), а именно x = 0, x = −1 и x = −2, не является решением окончательного уравнение, поэтому никаких ложных решений не вводилось.

Ссылки

Ричард Н. Ауфманн; Джоан Локвуд (2012). Алгебра: начальный и средний (3-е изд.). Cengage Learning. п. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.