Дробь

редактировать
Математическое представление части целого Торт с удаленной четвертью (одной четвертью). Показаны оставшиеся три четверти. Пунктирными линиями обозначены места, где можно разрезать торт, чтобы разделить его на равные части. Каждая четвертая часть пирога обозначается дробью 1/4.

A дробь (от латинского фрактус, «сломанный») представляет собой часть целого или, в более общем смысле, любое количество равные части. При разговоре на повседневном английском языке дробь описывает, сколько частей определенного размера, например, половина, восемь пятых, три четверти. Обычная, вульгарная или простая дробь (примеры: 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} и 17 3 {\ displaystyle {\ tfrac {17} {3}}}{\ displaystyle {\ tfrac {17} {3}}} ) состоит из числителя, отображаемого над линией (или перед косой чертой), и ненулевого знаменателя, отображается ниже (или после) этой строки. Числители и знаменатели также используются в дробях, которые не являются общими, включая составные дроби, сложные дроби и смешанные числа.

В положительных общих дробях числитель и знаменатель являются натуральными числами. Числитель представляет собой количество равных частей, а знаменатель указывает, сколько из этих частей составляют единицу или целое. Знаменатель не может быть нулевым, потому что нулевые части никогда не могут составлять целое. Например, в дроби 3⁄4 числитель 3 говорит нам, что дробь представляет 3 равные части, а знаменатель 4 говорит нам, что 4 части составляют целое. На рисунке справа изображен торт 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}{\ tfrac {3} {4}} или ⁄ 4.

Обычная дробь - это число, которое представляет рациональное число. Это же число также может быть представлено в виде десятичной дроби, процента или отрицательной степени. Например, 0,01, 1% и 10 равны дроби 1/100. Целое число можно представить как имеющий неявный знаменатель, равный единице (например, 7 равно 7/1).

Другое использование дробей - представление соотношений и деления. Таким образом, дробь 3/4 также может использоваться для обозначения отношения 3: 4 (отношение части к целому) и деления 3 ÷ 4 (три, разделенные на четыре). Правило ненулевого знаменателя, которое применяется при представлении деления в виде дроби, является примером правила, согласно которому деление на ноль не определено.

Мы также можем записывать отрицательные дроби, которые представляют собой противоположность положительной дроби. Например, если 1/2 представляет собой полдолларовую прибыль, то -1/2 представляет полдолларовые убытки. Из-за правил деления чисел со знаком (которые частично утверждают, что отрицательное, деленное на положительное, является отрицательным), -1/2, -1/2 и 1 / -2 представляют одну и ту же дробь - отрицательную половину. И поскольку отрицательное деление на отрицательное дает положительное значение, –1 / –2 представляет собой положительную половину.

В математике набор всех чисел, которые могут быть выражены в форме a / b, где a и b - целые числа, а b не равно нулю, называется набором рациональных чисел и представлен символом Q, который обозначает частное. Число является рациональным числом именно тогда, когда оно может быть записано в такой форме (то есть как обычная дробь). Однако слово «дробь» можно также использовать для описания математических выражений, не являющихся рациональными числами. Примеры такого использования включают алгебраические дроби (частные алгебраических выражений) и выражения, содержащие иррациональные числа, такие как √2 / 2 (см. квадратный корень из 2 ) и π / 4 (см. доказательство иррациональности π ).

Содержание

  • 1 Словарь
  • 2 Формы дробей
    • 2.1 Простые, обычные или вульгарные дроби
    • 2.2 Правильные и неправильные дроби
    • 2.3 Взаимные числа и «невидимый знаменатель»
    • 2.4 Отношения
    • 2,5 Десятичные дроби и проценты
    • 2,6 Смешанные числа
    • 2,7 Исторические понятия
      • 2.7.1 Египетская дробь
      • 2.7.2 «Сложные» и «составные» дроби
  • 3 Арифметика с дробями
    • 3.1 Эквивалентные дроби
      • 3.1.1 Упрощение (сокращение) дробей
    • 3.2 Сравнение дробей
    • 3.3 Сложение
      • 3.3.1 Сложение различающихся величин
    • 3.4 Вычитание
    • 3.5 Умножение
      • 3.5.1 Умножение дроби на другую дробь
      • 3.5.2 Умножение дроби на целое число
      • 3.5.3 Умножение смешанных чисел
    • 3.6 Деление
    • 3.7 Преобразование десятичных дробей в дроби
      • 3.7. 1 Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби
  • 4 Дроби в абстрактной математике
  • 5 Алгебраические дроби
  • 6 Радикальные выражения
  • 7 Типографские варианты
  • 8 История
  • 9 I n формальное образование
    • 9.1 Педагогические инструменты
    • 9.2 Документы для учителей
  • 10 См. также
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
  • 13 Внешние ссылки

Словарь

В дробь, описываемое количество равных частей - это числитель (от латинского числитель, «счетчик» или «числитель»), а тип или разновидность частей - знаменатель (от латинского dēnōminātor, «вещь, которая называет или обозначает»). Например, дробь ⁄ 5 составляет восемь частей, каждая из которых относится к типу «пятая». В терминах деления числитель соответствует деленному, а знаменатель соответствует делителю.

Неформально, числитель и знаменатель можно различать только путем размещения, но в формальном контексте они обычно разделяются дробной чертой . Полоса дроби может быть горизонтальной (как в 1/3), наклонной (как в 2/5) или диагональной (как в ⁄ 9). Эти отметки соответственно известны как горизонтальная полоса; косая черта, косая черта (US ) или штрих (UK ); и дробная черта, солидус или дробная косая черта. В типографике дроби, расположенные вертикально, также известны как «en » или «ореховые дроби», а диагональные - как «em ». или «дроби баранины», в зависимости от того, занимает ли дробь с однозначным числителем и знаменателем долю узкого квадрата en или более широкого квадрата em. В традиционном наборе шрифтов кусок шрифта, содержащий полную дробь (например, 1/2), был известен как «случайная дробь», в то время как фрагменты, представляющие только часть дроби, назывались «частичными дробями».

Знаменатели английских дробей обычно выражаются как порядковые числа во множественном числе, если числитель не равен единице. (Например, ⁄ 5 и ⁄ 5 оба читаются как число «пятых».) Исключения включают знаменатель 2, который всегда читается как «половина» или « половинки ", знаменатель 4, который может быть альтернативно выражен как" четверть "/" четверти "или" четверть "/" четверти ", и знаменатель 100, который альтернативно может быть выражен как" сотые "/" сотые "или" процентов ".

Когда знаменатель равен 1, он может быть выражен в терминах «целых», но чаще игнорируется, когда числитель считывается как целое число. Например, 3/1 можно описать как «три целых» или просто как «три». Если числитель равен единице, его можно опустить (например, «десятая часть» или «каждая четверть»).

Вся фракция может быть выражена как единый состав, в этом случае он переносится через дефис, или как количество фракций с числителем, равным единице, в этом случае это не так. (Например, «две пятых» - это дробь 2/5, а «две пятых» - это та же дробь, которая понимается как 2 экземпляра ⁄ 5.) Дроби всегда должны переноситься через дефис при использовании в качестве прилагательных. В качестве альтернативы дробь может быть описана путем считывания ее числителя «над» знаменателем, при этом знаменатель выражается как кардинальное число. (Например, 3/1 также может быть выражено как «три над одним».) Термин «сверх» используется даже в случае дробей со солидусом, где числа помещаются слева и справа от косой черты. (Например, 1/2 может читаться как «половина», «одна половина» или «один больше двух».) Дроби с большими знаменателями, которые не являются степенями десяти, часто отображаются таким образом (например, 1 / 117 как «один больше ста семнадцати»), а те, у которых знаменатель делится на десять, обычно читаются обычным порядковым номером (например, 6/1000000 как «шестимиллионная», «шестимиллионная» или «шесть миллионных долей»). ").

Формы дробей

Простые, обычные или вульгарные дроби

A простые дроби (также известные как обычные дроби или вульгарные дроби ) - рациональное число, записанное как a / b или ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}{\ tfrac {a} {b}} , где a и b оба целые числа. Как и в случае с другими дробями, знаменатель (b) не может быть нулевым. Примеры включают 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} , - 8 5 {\ displaystyle - {\ tfrac {8} {5}}}- {\ tfrac {8} {5 }} , - 8 5 {\ displaystyle {\ tfrac {-8} {5}}}{\ tfrac {-8} {5}} и 8–5 {\ displaystyle {\ tfrac {8} {- 5}}}{\ tfrac {8} {- 5}} .

Простые дроби могут быть положительными или отрицательные, и они могут быть правильными или неправильными (см. ниже). Сложные дроби, сложные дроби, смешанные числа и десятичные дроби (см. Ниже) не являются простыми дробями; хотя, если они не являются иррациональными, их можно оценить до простой дроби.

  • A единичная дробь - это обычная дробь с числителем 1 (например, 1 7 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {7}}}{\ tfrac {1} {7}} ). Доли единиц также могут быть выражены с помощью отрицательных показателей степени, например 2, что представляет 1/2, и 2, что представляет 1 / (2) или 1/4.
  • A двоичная дробь - это обычная дробь, в которой знаменатель - это степень двойки, например 1 8 = 1 2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {8}} = {\ tfrac {1} {2 ^ {3}}}}{\ displaystyle {\ tfrac {1} {8}} = {\ tfrac {1} {2 ^ {3}}}} .

Правильные и неправильные дроби

Обычные дроби могут быть классифицированы как правильные или неправильные. Когда числитель и знаменатель положительны, дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае.

В общем, обычная дробь называется правильной дробью, если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть, если дробь больше -1 и меньше 1. Она называется неправильной дробью. или иногда верхняя дробь, если абсолютное значение дроби больше или равно 1. Примеры правильных дробей: 2/3, –3/4 и 4/9, а примеры неправильных дробей - 9/4, –4/3 и 3/3.

Обратные числа и «невидимый знаменатель»

Обратные дроби представляют собой другую дробь с заменой числителя и знаменателя. Обратное значение 3 7 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {7}}}{\ t frac {3} {7}} , например, 7 3 {\ displaystyle {\ tfrac {7} {3} }}{\ tfrac {7} {3}} . Произведение дроби на обратную величину равно 1, следовательно, обратная величина является мультипликативной обратной величиной дроби. Обратное значение правильной дроби является неправильным, а обратное значение неправильной дроби, не равным 1 (то есть числитель и знаменатель не равны), является правильной дробью.

Если числитель и знаменатель дроби равны (7 7 {\ displaystyle {\ tfrac {7} {7}}}{\ displaystyle {\ tfrac {7} {7}}} , например), его значение равно 1, поэтому дробь неправильная. Его обратная величина также имеет значение 1 и тоже неверна.

Любое целое число можно записать в виде дроби с числом один в знаменателе. Например, 17 можно записать как 17 1 {\ displaystyle {\ tfrac {17} {1}}}{\ tfrac {17} {1}} , где 1 иногда называют невидимым знаменателем. Следовательно, у каждой дроби или целого числа, кроме нуля, есть обратная величина. Например. обратное значение 17 равно 1 17 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {17}}}{\ tfrac {1} {17}} .

Отношения

A ratio - это отношение между двумя или более числами, которое иногда может быть выражено как дробная часть. Как правило, несколько элементов группируются и сравниваются в соотношении, указывающем численно взаимосвязь между каждой группой. Отношения выражаются как «группа 1 к группе 2... к группе n». Например, если в автопарке было 12 автомобилей, из которых

  • 2 белые,
  • 6 красные и
  • 4 желтые,

тогда отношение красного к белые и желтые автомобили составляют от 6 до 2: 4. Соотношение желтых автомобилей и белых автомобилей составляет 4: 2 и может быть выражено как 4: 2 или 2: 1.

Отношение часто преобразуется в дробь, когда оно выражается как отношение к целому. В приведенном выше примере соотношение желтых автомобилей ко всем машинам на участке составляет 4:12 или 1: 3. Мы можем преобразовать эти отношения в доли и сказать, что 4/12 автомобилей или ⅓ автомобилей в партии желтые. Следовательно, если человек случайно выбрал одну машину на участке, то с вероятностью 1/3 или вероятностью она будет желтой.

Десятичные дроби и проценты

A десятичные дроби - это дроби, знаменатель которых не указан явно, но понимается как целая степень десяти. Десятичные дроби обычно выражаются в десятичной системе счисления, в которой подразумеваемый знаменатель определяется количеством цифр справа от десятичного разделителя, появление которого (например, точка, точка (•), запятая) зависит от языкового стандарта (например, см. десятичный разделитель ). Таким образом, для 0,75 числитель равен 75, а подразумеваемый знаменатель равен 10 во второй степени, а именно. 100, потому что справа от десятичного разделителя стоят две цифры. В десятичных числах больше 1 (например, 3,75) дробная часть числа выражается цифрами справа от десятичной дроби (в данном случае значение 0,75). 3,75 может быть записано как неправильная дробь, 375/100, или как смешанное число, 3 75 100 {\ displaystyle 3 {\ tfrac {75} {100}}}3 {\ tfrac {75} {100}} .

Десятичные дроби также могут быть выражены с использованием экспоненциального представления с отрицательными показателями, например 6,023 × 10, что соответствует 0,0000006023. 10 представляет собой знаменатель 10. При делении на 10 десятичная точка перемещается на 7 разрядов влево.

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333... представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 +....

Другим видом дроби является процент (латинский процент означает «на сотню», представленный символом%), в котором подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51% означает 51/100. Таким же образом обрабатываются проценты больше 100 или меньше нуля, например 311% равно 311/100, а −27% равно −27/100.

Связанное понятие промилле или частей на тысячу (ppt) имеет подразумеваемый знаменатель 1000, в то время как более общее обозначение частей на тысячу, как в 75 частях на миллион (ppm) означает, что это соотношение составляет 75/1000000.

Использование обыкновенных дробей или десятичных дробей часто является вопросом вкуса и контекста. Общие дроби используются чаще всего, когда знаменатель относительно мал. С помощью мысленного вычисления легче умножить 16 на 3/16, чем произвести такое же вычисление с использованием десятичного эквивалента дроби (0,1875). И, например, точнее умножить 15 на 1/3, чем умножить 15 на любое десятичное приближение одной трети. Денежные значения обычно выражаются в виде десятичных дробей со знаменателем 100, то есть с двумя десятичными знаками, например 3,75 доллара. Однако, как отмечалось выше, в британской валюте до десятичной дроби шиллинги и пенсы часто имели форму (но не значение) дробной части, например 3/6 (читается «три и шесть»), что означает 3 шиллинга и 6 пенсов и не имеющий отношения к дроби 3/6.

Смешанные числа

A смешанные числа (также называемые смешанной дробью или смешанным числом) - это традиционное обозначение суммы ненулевого целого числа и правильной дроби (имеющей тот же знак). Он используется в основном для измерения: например, 2 3 16 {\ displaystyle 2 {\ tfrac {3} {16}}}{\ displaystyle 2 {\ tfrac {3} {16}}} дюймов. В научных измерениях почти всегда используется десятичная система счисления, а не смешанные числа. Сумма подразумевается без использования видимого оператора, такого как соответствующий "+". Например, когда речь идет о двух целых тортах и ​​трех четвертях другого торта, цифры, обозначающие целую и дробную части торта, пишутся рядом друг с другом как 2 3 4 {\ displaystyle 2 {\ tfrac { 3} {4}}}2 {\ tfrac {3} {4}} вместо однозначного обозначения 2 + 3 4. {\ displaystyle 2 + {\ tfrac {3} {4}}.}{\ displaystyle 2 + {\ tfrac {3} {4}}.} Смешанные отрицательные числа, как в - 2 3 4 {\ displaystyle -2 {\ tfrac {3} {4} }}-2 {\ tfrac {3} {4}} , обрабатываются как - (2 + 3 4). {\ displaystyle - (2 + {\ tfrac {3} {4}}).}{\ displaystyle - (2 + {\ tfrac {3} {4}}). } Любая такая сумма целого плюс часть может быть преобразована в неправильную дробь, применив правила сложения различающихся величин.

Эта традиция формально противоречит обозначениям в алгебре, где смежные символы без явного инфиксного оператора обозначают продукт. В выражении 2 x {\ displaystyle 2x}2x «понятная» операция - это умножение. Если x {\ displaystyle x}xзаменяется, например, дробью 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}{\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}} , "понятное" умножение необходимо заменить явным умножением, чтобы избежать появления смешанного числа.

Если предполагается умножение, 2 bc {\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}}}{\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}}} может быть записано как

2 ⋅ bc, {\ displaystyle 2 \ cdot {\ tfrac {b} {c}}, \ quad}{\ displaystyle 2 \ cdot {\ tfrac {b} {c}}, \ quad} или 2 × bc, {\ displaystyle \ quad 2 \ times {\ tfrac {b} {c}}, \ quad}{\ displaystyle \ quad 2 \ times {\ tfrac {b} { c}}, \ quad} или 2 (bc),… {\ displaystyle \ quad 2 \ left ({\ tfrac {b} {c}} \ right), \; \ ldots}{\ displaystyle \ quad 2 \ left ({\ tfrac {b} {c}} \ right), \; \ ldots}

Неправильная дробь может быть преобразована в смешанное число следующим образом:

  1. Используя евклидово деление (деление с остатком), разделите числитель на знаменатель. В примере: 11 4 {\ displaystyle {\ tfrac {11} {4}}}{\ tfrac {11} {4}} , разделите 11 на 4. 11 ÷ 4 = 2 остатка 3.
  2. частное (без остатка) становится целой частью смешанного числа. Остаток становится числителем дробной части. В примере 2 - это целая часть числа, а 3 - числитель дробной части.
  3. Новый знаменатель совпадает с знаменателем неправильной дроби. В примере это 4. Таким образом, 11 4 = 2 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {11} {4}} = 2 {\ tfrac {3} {4}}}{\ tfrac {11} {4}} = 2 {\ tfrac {3} {4}} .

Исторические представления

Египетская дробь

Египетская дробь - это сумма различных положительных единичных дробей, например 1 2 + 1 3 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}}}{\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} . Это определение происходит из того факта, что древние египтяне выражали все дроби, кроме 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} , 2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}{\ tfrac {2} {3}} и 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}{\ tfrac {3} {4}} таким образом. Каждое положительное рациональное число можно разложить до египетской дроби. Например, 5 7 {\ displaystyle {\ tfrac {5} {7}}}{\ tfrac { 5} {7}} можно записать как 1 2 + 1 6 + 1 21. {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {21}}.}{\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {21}}. Можно записать любое положительное рациональное число как сумму единичных дробей бесконечно многими способами. Два способа записать 13 17 {\ displaystyle {\ tfrac {13} {17}}}{\ tfrac {13} {17}} : 1 2 + 1 4 + 1 68 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {68}}}{\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac { 1} {4}} + {\ tfrac {1} {68}} и 1 3 + 1 4 + 1 6 + 1 68 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {68}}}{\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {68}} .

'Сложный 'и' составная фракция '

Понятия «сложная фракция» и «составная фракция» устарели и в настоящее время не используются четко определенным образом, частично даже взяты как синонимы друг для друга или для смешанных числительных. Они утратили свое значение как технические термины, а атрибуты «сложный» и «составной», как правило, используются в их повседневном значении «состоящий из частей».

  • Сложные дроби
Не путать с дробями, содержащими комплексные числа

В комплексной дроби числитель, знаменатель или оба значения являются дробью или смешанное число, соответствующее делению на фракции. Например, 1 2 1 3 {\ displaystyle {\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}}}}{\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}} } и 12 3 4 26 {\ displaystyle {\ frac {12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}}}{\ frac { 12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}} - сложные дроби. Чтобы уменьшить сложную дробь до простой дроби, считайте самую длинную строку дроби представляющей деление. Например:

1 2 1 3 = 1 2 × 3 1 = 3 2 {\ displaystyle {\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}}} = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {3} {1}} = {\ tfrac {3} {2}}}{\ displaystyle {\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3} }} = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {3} {1}} = {\ tfrac {3} {2}}}
12 3 4 26 = 12 3 4 ⋅ 1 26 = 12 ⋅ 4 + 3 4 ⋅ 1 26 = 51 4 ⋅ 1 26 = 51 104 {\ displaystyle {\ frac {12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}} = 12 {\ tfrac {3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {12 \ cdot 4 + 3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {51} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {51} {104}}}{\ гидроразрыв {12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}} = 12 {\ tf rac {3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {12 \ cdot 4 + 3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = { \ tfrac {51} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {51} {104}}
3 2 5 = 3 2 × 1 5 = 3 10 {\ displaystyle {\ frac {\ tfrac {3 } {2}} {5}} = {\ tfrac {3} {2}} \ times {\ tfrac {1} {5}} = {\ tfrac {3} {10}}}{\ frac {\ tfrac {3} {2}} {5}} = {\ tfrac {3} {2}} \ times {\ tfrac {1} { 5}} = {\ tfrac {3} {10}}
8 1 3 = 8 × 3 1 = 24. {\ displaystyle {\ frac {8} {\ tfrac {1} {3}}} = 8 \ times {\ tfrac {3} {1}} = 24.}{\ displaystyle {\ frac {8} {\ tfrac {1} {3}}} = 8 \ times {\ tfrac {3} {1}} = 24.}

Если, в сложной дроби нет однозначного способа определить, какая дробь имеет приоритет, тогда это выражение неправильно сформировано из-за неоднозначности. Итак, 5/10/20/40 не является допустимым математическим выражением из-за множества возможных интерпретаций, например как

5 / (10 / (20/40)) = 5 10/20 40 = 1 4 {\ displaystyle 5 / (10 / (20/40)) = {\ frac {5} {10 / {\ tfrac {20} {40}}}} = {\ frac {1} {4}} \ quad}{\ displaystyle 5 / (10 / (20/40)) = {\ frac {5} {10 / {\ tfrac {20} {40}}} } = {\ frac {1} {4}} \ quad} или как (5/10) / (20/40) = 5 10 20 40 = 1 {\ displaystyle \ quad (5/10) / (20/40) = {\ frac {\ tfrac {5} {10}} {\ tfrac {20} {40}}} = 1}{\ displaystyle \ quad (5/10) / (20/40) = {\ frac { \ tfrac {5} {10}} {\ tfrac {20} {40}}} = 1}
  • Составные фракции

A Составные дроби - это дробные части или любое количество дробей, связанных со словом «из», что соответствует умножению дробей. Чтобы уменьшить составную дробь до простой дроби, просто выполните умножение (см. Раздел умножение). Например, 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}{\ tfrac {3} {4}} из 5 7 {\ displaystyle {\ tfrac {5} {7}}}{\ tfrac { 5} {7}} - составная дробь, соответствующая 3 4 × 5 7 = 15 28 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ times {\ tfrac {5} {7}} = {\ tfrac {15} {28}}}{\ tfrac {3} {4}} \ times {\ tfrac {5} {7}} = {\ tfrac {15} {28}} . Термины составная фракция и сложная фракция тесно связаны, и иногда один используется как синоним другого. (Например, составная дробь 3 4 × 5 7 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ times {\ tfrac {5} {7}}}{\ displaystyle {\ tfrac {3 }{4 раза {\ tfrac {5} {7}}} эквивалентна комплексная дробь 3/4 7/5 {\ displaystyle {\ tfrac {3/4} {7/5}}}{\ displaystyle {\ tfrac {3/4} {7/5}}} .)

Арифметика с дробями

Подобно целым числам, дроби подчиняются коммутативному, ассоциативному и распределительному законам, а также правилу против деления на ноль.

Эквивалент фракции

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же (отличное от нуля) число дает дробь, эквивалентную исходной дроби. Это верно, потому что для любого ненулевого числа n {\ displaystyle n}n дробь nn = 1 {\ displaystyle {\ tfrac {n} {n}} = 1}{\ tfrac {n} {n}} = 1 . Следовательно, умножение на n n {\ displaystyle {\ tfrac {n} {n}}}{\ tfrac {n} {n}} эквивалентно умножению на единицу, и любое число, умноженное на единицу, имеет то же значение, что и исходное число. В качестве примера начнем с дроби 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} . Когда числитель и знаменатель умножаются на 2, результат будет 2 4 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {4}}}{\ tfrac {2} {4}} , что имеет то же значение (0,5), что и 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} . Чтобы представить это наглядно, представьте себе разрезание торта на четыре части; две части вместе (2 4 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {4}}}{\ tfrac {2} {4}} ) составляют половину торта (1 2 {\ displaystyle {\ tfrac { 1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} ).

Упрощение (сокращение) дробей

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число также даст эквивалентную дробь. Если числитель и знаменатель дроби делятся на число (называемое множителем) больше 1, то дробь может быть уменьшена до равной дроби с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Для этого определяется наибольший общий множитель, и числитель и знаменатель делятся на этот множитель. Например, если числитель и знаменатель дроби ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}{\ tfrac {a} {b}} делятся на c, {\ displaystyle c, }c, тогда они могут быть записаны как a = cd {\ displaystyle a = cd}{\ displaystyle a = cd} и b = ce, {\ displaystyle b = ce,}{\ displaystyle b = ce,} , поэтому дробь станет cdce {\ displaystyle {\ tfrac {cd} {ce}}}{\ displaystyle {\ tfrac {cd} {ce}}} , которую можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на c { \ displaystyle c}c , чтобы получить уменьшенную дробь de. {\ displaystyle {\ tfrac {d} {e}}.}{\ displaystyle {\ tfrac {d} {e}}.}

Если числитель и знаменатель не делят множителей больше 1, тогда дробь называется несократимой в наименьшем термины, или проще говоря. Например, 3 9 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {9}}}{\ tfrac {3} {9}} не в наименьшем значении, поскольку 3 и 9 можно точно разделить на 3. Напротив, 3 8 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {8}}}{\ tfrac {3} {8}} в наименьшем выражении - единственное положительное целое число, которое входит в 3 и 8 равномерно, равно 1.

Использование эти правила, мы можем показать, что 5 10 {\ displaystyle {\ tfrac {5} {10}}}{\ tfrac {5} {10}} = 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} = 10 20 {\ displaystyle {\ tfrac {10} {20}}}{\ tfrac {10} {20}} = 50 100 {\ displaystyle {\ tfrac {50} {100}}}{\ tfrac {50} {100}} .

В качестве другого примера, поскольку наибольший общий делитель 63 и 462 равен 21 дробь 63 462 {\ displaystyle {\ tfrac {63} {462}}}{\ tfrac {63} {462}} может быть уменьшена до наименьших членов, разделив числитель и знаменатель на 21:

63 462 = 63 ÷ 21 462 ÷ 21 = 3 22 {\ displaystyle {\ tfrac {63} {462}} = {\ tfrac {63 \ div 21} {462 \ div 21}} = {\ tfrac {3} {22}} }{\ tfrac {63} {462}} = {\ tfrac {63 \ div 21} {462 \ div 21}} = {\ tfrac {3} {22}}

Алгоритм Евклида дает метод нахождения наибольшего общего делителя любых двух положительных целых чисел.

Сравнение дробей

Сравнение дробей с одинаковым положительным знаменателем дает тот же результат, что и сравнение числителей:

3 4>2 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4} }>{\ tfrac {2} {4}}}{\tfrac {3}{4}}>{\ tfrac {2} {4}} потому что 3>2, а равные знаменатели 4 {\ displaystyle 4}<27947>положительны. <7947>Если равные знаменатели отрицательны, то для дробей справедлив противоположный результат сравнения числителей:

3 - 4 < 2 − 4 because a − b = − a b and − 3 < − 2. {\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}{\ displaystyle {\ tfrac {3} {- 4}} <{\ tfrac {2} {- 4 }} {\ text {потому что}} {\ tfrac {a} {- b}} = {\ tfrac {-a} {b}} {\ text {and}} - 3 <-2.}

Если две положительные дроби имеют один и тот же числитель, то дробь с меньшим знаменателем является большим числом. Когда целое делится на равные части, если для создания целого требуется меньшее количество равных частей, тогда каждая часть должна быть больше. Когда две положительные дроби имеют одинаковый числитель, они представляют одинаковое количество частей, но в дроби с меньший знаменатель, детали больше.

Один из способов сравнить дроби с разными числителями и знаменателями - найти общий знаменатель. Для сравнения ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}{\ tfrac {a} {b}} и cd {\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}}{\ tfrac {c} {d}} , они преобразуются в a ⋅ db ⋅ d {\ displaystyle {\ tfrac {a \ cdot d} {b \ cdot d}}}{\ displaystyle {\ tfrac {a \ cdot d} {b \ cdot d}}} и b ⋅ cb ⋅ d { \ displaystyle {\ tfrac {b \ cdot c} {b \ cdot d}}}{\ displaystyle {\ tfrac {b \ cdot c} {b \ cdot d}}} (где точка означает умножение и является символом, альтернативным ×). Тогда bd является общим знаменателем, и числители ad и bc можно сравнивать. Для сравнения дробей необязательно определять значение общего знаменателя - можно просто сравнить ad и bc, не оценивая bd, например, сравнивая 2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}{\ tfrac {2} {3}} ? 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} дает 4 6>3 6 {\ displaystyle {\ tfrac {4} {6}}>{\ tfrac {3} {6}}}{\tfrac {4}{6}}>{\ tfrac {3} {6}} .

Для ответа на более трудоемкий вопрос 5 18 {\ displaystyle {\ tfrac {5} {18}}}{ \ tfrac {5} {18}} ? 4 17, {\ displaystyle {\ tfrac {4} {17}},}{\ displaystyle {\ tfrac {4} {17}},} умножьте верхнюю и нижнюю часть каждой дроби на знаменатель другой дроби, чтобы получить общий знаменатель, получив 5 × 17 18 × 17 {\ displaystyle {\ tfrac {5 \ times 17} {18 \ times 17}}}{\ tfrac {5 \ times 17} {18 \ times 17}} ? 18 × 4 18 × 17 {\ displaystyle {\ tfrac {18 \ times 4} {18 \ times 17}}}{\ displaystyle {\ tfrac {18 \ times 4} {18 \ times 17}}} . Не нужно вычислять 18 × 17 {\ displaystyle 18 \ times 17}{\ displaystyle 18 \ times 17} - только y числители необходимо сравнить. Поскольку 5 × 17 (= 85) больше, чем 4 × 18 (= 72), результат сравнения: 5 18>4 17 {\ displaystyle {\ tfrac {5} {18}}>{\ tfrac { 4} {17}}}{\tfrac {5}{18}}>{\ tfrac {4} {17}} .

Поскольку каждое отрицательное число, включая отрицательные дроби, меньше нуля, а каждое положительное число, включая положительные дроби, больше нуля, Отсюда следует, что любая отрицательная дробь меньше любой положительной. Это позволяет, вместе с приведенными выше правилами, сравнивать все возможные дроби.

Сложение

Первое правило сложения - только одинаковые количества могут быть добавлены; например, различные количества четвертей. В отличие от количеств, таких как добавление третей к четвертям, необходимо сначала преобразовать в аналогичные количества, как описано ниже: Представьте себе карман, содержащий две четверти, и другой карман, содержащий три четверти; в итоге, там пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

2 4 + 3 4 = 5 4 = 1 1 4 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {5} {4}} = 1 {\ tfrac {1} {4}}}{\ tfrac {2} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {5} {4}} = 1 {\ tfrac {1} {4}} .
Если 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} { 2}}}{\ tfrac {1} {2}} торта нужно добавить к 1 4 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}{\ tfrac {1} {4}} торта, кусочки должны для преобразования в сравнимые количества, такие как восьмые или четвертинки торта.

Добавление различающихся количеств

Чтобы добавить фракции, содержащие разнородные количества (например, четвертинки и трети), необходимо преобразовать все количества в как количества. Легко определить выбранный тип дроби для преобразования; просто умножьте два знаменателя (нижнее число) каждой дроби. В случае целого числа применяется невидимый знаменатель 1. {\ displaystyle 1.}1.

Для прибавления четвертей к третям оба типа дроби преобразуются в двенадцатые, таким образом:

1 4 + 1 3 = 1 × 3 4 × 3 + 1 × 4 3 × 4 = 3 12 + 4 12 = 7 12. {\ displaystyle {\ frac {1} {4}} \ + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1 \ times 3} {4 \ times 3}} \ + {\ frac {1 \ times 4} {3 \ times 4}} = {\ frac {3} {12}} \ + {\ frac {4} {12}} = {\ frac {7} {12}}.}{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} \ + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1 \ times 3} {4 \ times 3}} \ + {\ frac {1 \ times 4} {3 \ times 4}} = {\ frac {3} {12}} \ + {\ frac {4} {12}} = {\ frac {7} {12}}.}

Учтите сложив следующие две величины:

3 5 + 2 3 {\ displaystyle {\ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}{\ displaystyle { \ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}

Сначала преобразуйте 3 5 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {5}}}{\ tfrac {3} {5}} на пятнадцатые, умножив числитель и знаменатель на три: 3 5 × 3 3 = 9 15 {\ displaystyle {\ tfrac { 3} {5}} \ times {\ tfrac {3} {3}} = {\ tfrac {9} {15}}}{\ tfrac {3} {5}} \ раз {\ tfrac {3} {3}} = {\ tfrac {9} {15}} . Поскольку 3 3 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {3}}}{\ tfrac {3} {3}} равно 1, умножение на 3 3 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {3}}}{\ tfrac {3} {3}} не изменяет значение дроби.

Во-вторых, преобразуйте 2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}{\ tfrac {2} {3}} в пятнадцатые, умножив числитель и знаменатель на пять: 2 3 × 5 5 = 10 15 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {5} {5}} = {\ tfrac {10} {15}}}{\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {5} {5}} = {\ tfrac {10} {15}} .

Теперь можно видно, что:

3 5 + 2 3 {\ displaystyle {\ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}{\ displaystyle { \ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}

эквивалентно:

9 15 + 10 15 = 19 15 = 1 4 15 {\ displaystyle {\ frac {9} {15}} + {\ frac {10} {15}} = {\ frac {19} {15}} = 1 {\ frac { 4} {15}}}{\ displaystyle {\ frac {9} {15}} + {\ frac {10} { 15}} = {\ frac {19} {15}} = 1 {\ frac {4} {15}}}

Этот метод можно выразить алгебраически:

ab + cd = ad + cbbd {\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d} } = {\ frac {ad + cb} {bd}}}{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + cb } {bd}}}

Этот алгебраический метод всегда работает, тем самым гарантируя, что сумма простых дробей всегда снова будет простой дробью. Однако, если отдельные знаменатели содержат общий множитель, можно использовать меньший знаменатель, чем произведение этих значений. Например, при добавлении 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}{\ tfrac {3} {4}} и 5 6 {\ displaystyle {\ tfrac {5} {6}}}{\ displaystyle {\ tfrac {5} {6} }} единичные знаменатели имеют общий множитель 2, {\ displaystyle 2,}{\ displaystyle 2,} и поэтому вместо знаменателя 24 (4 × 6) деленный пополам знаменатель 12 может быть используется, уменьшая не только знаменатель в результате, но и множители в числителе.

3 4 + 5 6 = 3 ⋅ 6 4 ⋅ 6 + 4 ⋅ 5 4 ⋅ 6 = 18 24 + 20 24 = 19 12 = 3 ⋅ 3 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 2 ⋅ 6 = 9 12 + 10 12 = 19 12 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {3} {4}} + {\ frac {5} {6}} = {\ frac {3 \ cdot 6} {4 \ cdot 6 }} + {\ frac {4 \ cdot 5} {4 \ cdot 6}} = {\ frac {18} {24}} + {\ frac {20} {24}} = {\ frac {19} { 12}} \\ = {\ frac {3 \ cdot 3} {4 \ cdot 3}} + {\ frac {2 \ cdot 5} {2 \ cdot 6}} = {\ frac {9} {12} } + {\ frac {10} {12}} = {\ frac {19} {12}} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {3} {4}} + {\ frac {5} {6}} = {\ frac {3 \ cdot 6} {4 \ cdot 6}} + {\ frac {4 \ cdot 5} {4 \ cdot 6}} = {\ frac {18} {24}} + {\ frac {20} {24}} = {\ frac {19 } {12}} \\ = {\ frac {3 \ cdot 3} {4 \ cdot 3}} + {\ frac {2 \ cdot 5} {2 \ cdot 6}} = {\ frac {9} { 12}} + {\ frac {10} {12}} = {\ frac {19} {12}} \ end {align}}}

Наименьший возможный знаменатель дается наименьшим общим кратным единичных знаменателей, которое получается в результате деления механического кратного на все общие множители единичных знаменателей. Это называется наименьшим общим знаменателем.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и их сложение: найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь с выбранным общим знаменателем. Полученная дробь будет иметь этот знаменатель, а ее числитель будет результатом вычитания числителей исходных дробей. Например,

2 3 - 1 2 = 4 6 - 3 6 = 1 6 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} - {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {4 } {6}} - {\ tfrac {3} {6}} = {\ tfrac {1} {6}}}{\ tfrac {2} {3}} - {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {4} {6}} - {\ tfrac {3} {6}} = {\ tfrac {1} {6}}

Умножение

Умножение дроби на другую дробь

Чтобы умножить дроби, умножьте числители и знаменатели. Таким образом:

2 3 × 3 4 = 6 12 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {12}}}{\ tfrac {2} {3}} \ раз {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {12}}

Чтобы объяснить процесс, рассмотрите одну треть одного квартала. На примере торта: если три маленьких кусочка одинакового размера составляют четверть, а четыре четверти составляют одно целое, то двенадцать таких маленьких одинаковых ломтиков составляют одно целое. Следовательно, треть четверти - двенадцатая. Теперь рассмотрим числители. Первая фракция, две трети, вдвое больше одной трети. Поскольку одна треть четверти равна одной двенадцатой, две трети четверти равны двум двенадцатым. Вторая дробь, три четверти, в три раза больше одной четверти, поэтому две трети из трех четвертей в три раза больше двух третей одной четверти. Таким образом, две трети умножить на три четверти - это шесть двенадцатых.

Сокращенный способ умножения дробей называется «отмена». Фактически во время умножения ответ сводится к наименьшим членам. Например:

2 3 × 3 4 = 2 1 3 1 × 3 1 4 2 = 1 1 × 1 2 = 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {{\ cancel {2}} ^ {~ 1}} {{\ cancel {3}} ^ {~ 1}}} \ times {\ tfrac {{\ cancel {3}} ^ {~ 1}} {{\ cancel {4 }} ^ {~ 2}}} = {\ tfrac {1} {1}} \ times {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {{\ cancel {2}} ^ {~ 1}} {{\ cancel {3}} ^ {~ 1}}} \ times {\ tfrac {{\ cancel {3}} ^ {~ 1}} {{\ cancel {4}} ^ {~ 2}}} = {\ tfrac {1} {1}} \ times {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {1} {2}}

Двойка - это общий множитель как в числителе левой дроби, так и в знаменателе правой дроби и делится на обе части. Три является общим множителем левого знаменателя и правого числителя и делится на оба.

Умножение дроби на целое число

Поскольку целое число можно переписать как само деленное на 1, обычные правила умножения дробей все еще могут применяться.

6 × 3 4 = 6 1 × 3 4 = 18 4 {\ displaystyle 6 \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {1}} \ times {\ tfrac {3 } {4}} = {\ tfrac {18} {4}}}6 \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {1}} \ times {\ tfrac { 3} {4}} = {\ tfrac {18} {4}}

Этот метод работает, потому что дробь 6/1 означает шесть равных частей, каждая из которых является целым.

Умножение смешанных чисел

При умножении смешанных чисел считается предпочтительным преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Например:

3 × 2 3 4 = 3 × (8 4 + 3 4) = 3 × 11 4 = 33 4 = 8 1 4 {\ displaystyle 3 \ times 2 {\ tfrac {3} {4}}. = 3 \ times \ left ({\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} \ right) = 3 \ times {\ tfrac {11} {4}} = {\ tfrac { 33} {4}} = 8 {\ tfrac {1} {4}}}3 \ times 2 {\ tfrac {3} {4}} = 3 \ times \ left ({\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} \ right) = 3 \ times {\ tfrac {11} {4}} = {\ tfrac {33} {4}} = 8 {\ tfrac {1} {4}}

Другими словами, 2 3 4 {\ displaystyle 2 {\ tfrac {3} {4}}}2 {\ tfrac {3} {4}} то же самое, что и 8 4 + 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}}}{\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} , то есть 11 четвертей всего (поскольку 2 торта, каждое разделенное на четверти, составляет всего 8 четвертей), а 33 четверти - это 8 1 4 {\ displaystyle 8 {\ tfrac {1} {4}}}8 {\ tfrac {1} {4}} , поскольку 8 Всего тортов, состоящих из четвертинок, составляет 32 четверти.

Деление

Чтобы разделить дробь на целое число, вы можете либо разделить числитель на число, если оно входит в числитель равномерно, либо умножить знаменатель на число. Например, 10 3 ÷ 5 {\ displaystyle {\ tfrac {10} {3}} \ div 5}{\ tfrac {10} {3}} \ div 5 равно 2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3 }}}{\ tfrac {2} {3}} и также равняется 10 3 ⋅ 5 = 10 15 {\ displaystyle {\ tfrac {10} {3 \ cdot 5}} = {\ tfrac {10} {15}}}{\ tfrac {10} {3 \ cdot 5}} = {\ tfrac {10} {15}} , что сокращается до 2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}{\ tfrac {2} {3}} . Чтобы разделить число на дробь, умножьте это число на , обратное этой дроби. Таким образом, 1 2 ÷ 3 4 = 1 2 × 4 3 = 1 ⋅ 4 2 ⋅ 3 = 2 3 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ div {\ tfrac {3} {4} } = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {4} {3}} = {\ tfrac {1 \ cdot 4} {2 \ cdot 3}} = {\ tfrac {2} {3 }}}{\ tfrac {1} {2}} \ div {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {4} {3}} = {\ tfrac {1 \ cdot 4} {2 \ cdot 3}} = {\ tfrac {2} {3}} .

Преобразование десятичных дробей в дробные

Чтобы преобразовать обычную дробь в десятичную, сделайте длинное деление десятичных представлений числителя на знаменатель (это идиоматически также формулируется как «разделить знаменатель в числитель ") и округлим ответ до желаемой точности. Например, чтобы преобразовать ¼ в десятичную дробь, разделите 1,00 {\ displaystyle 1.00}1,00 на 4 {\ displaystyle 4}4 ("4 {\ displaystyle 4}4 в 1,00 {\ displaystyle 1.00}1,00 "), чтобы получить 0,25 {\ displaystyle 0.25}{ \ displaystyle 0.25} . Чтобы преобразовать ⅓ в десятичное, разделите 1.000... {\ displaystyle 1.000...}{\ displaystyle 1.000...} by 3 {\ displaystyle 3}3 ("3 {\ displaystyle 3}3 в 1.0000... {\ displaystyle 1.0000...}{\ displaystyle 1.0000...} "), и остановитесь, когда будет достигнута желаемая точность, например, при 4 {\ displaystyle 4}4 десятичных дробях с 0,3333 {\ displaystyle 0.3333}{\ displaystyle 0.3333} . Дробь ¼ может быть записана точно с двумя десятичными цифрами, а дробь ⅓ не может быть записана точно как десятичная дробь с конечным числом цифр. Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, запишите в знаменателе 1 {\ displaystyle 1}1 , за которым следует столько нулей, сколько цифр справа от десятичной точки, и запишите в числитель все цифры исходного десятичного разделителя, просто опуская десятичную точку. Таким образом, 12,3456 = 123456 10000. {\ displaystyle 12.3456 = {\ tfrac {123456} {10000}}.}{\ displaystyle 12.3456 = {\ tfrac {123456} {10000}}.}

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичные числа, хотя, возможно, более полезны для работы при выполнении вычислений, иногда не хватает точности, которая общие дроби есть. Иногда для достижения той же точности требуется бесконечное повторяющееся десятичное число. Таким образом, часто бывает полезно преобразовывать повторяющиеся десятичные дроби в дроби.

Предпочтительный способ указать повторяющийся десятичный разделитель - это поместить полосу (известную как vinculum ) над повторяющимися цифрами, например 0,789 = 0,789789789... Для повторяющихся шаблонов, где повторяющийся образец начинается сразу после десятичной точки, достаточно простого деления образца на то же количество девяток, что и числа, которые в нем есть. Например:

0,5 = 5/9
0,62 = 62/99
0,264 = 264/999
0,6291 = 6291/9999

В случае начальные нули предшествуют шаблону, к девяткам добавляется такое же количество конечных нулей :

0,05 = 5/90
0,000392 = 392/999000
0,0012 = 12/9900

Если шаблону предшествует неповторяющийся набор десятичных знаков (например, 0,1523987), мы можем записать его как сумму неповторяющихся и повторяющихся частей соответственно:

0,1523 + 0,0000987

Затем преобразуйте обе части в дроби и сложите их, используя методы, описанные выше:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

В качестве альтернативы можно использовать алгебру, например:

  1. Пусть x = повторяющееся десятичное число:
    x = 0,1523987
  2. Умножьте обе стороны на степень 10, достаточно большую (в данном случае 10), чтобы переместить десятичную точку непосредственно перед повторяющейся частью десятичной дроби. число:
    10,000x = 1523,987
  3. Умножьте обе стороны на степень 10 (в данном случае 10) t это то же самое, что и количество повторяющихся разрядов:
    10,000,000x = 1,523,987,987
  4. Вычтите два уравнения друг из друга (если a = b и c = d, то a - c = b - d):
    10,000,000x - 10,000x = 1,523,987,987 - 1,523,987
  5. Продолжите операцию вычитания, чтобы очистить повторяющуюся десятичную дробь:
    9,990,000x = 1,523,987 - 1,523
    9,990,000x = 1,522,464
  6. Разделите обе части на 9,990,000, чтобы представить x в виде дроби
    x = 1522464/9990000

Дроби в абстрактной математике

Помимо того, что дроби имеют большое практическое значение, также изучаются математиками, которые проверяют, что приведенные выше правила для дробей непротиворечивы и надежны. Математики определяют дробь как упорядоченную пару (a, b) {\ displaystyle (a, b)}(a, b) из целых чисел a {\ displaystyle a}a и b ≠ 0, {\ displaystyle b \ neq 0,}{\ displaystyle b \ neq 0,} , для которых выполняются операции сложение, вычитание, умножение и деление определяются следующим образом:

(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) {\ displaystyle (a, b) + ( с, d) знак равно (ad + bc, bd) \,}(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) \,
(a, b) - (c, d) = (ad - bc, bd) {\ displaystyle (a, b) - (c, d) знак равно (ad-bc, bd) \,}(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,
(a, b) ⋅ (c, d) = (ac, bd) {\ displaystyle (a, b) \ cdot (c, d) = (ac, bd)}(a, b) \ cdot (c, d) = (ac, bd)
(a, b) ÷ (c, d) = (ad, bc) (дополнительно с c ≠ 0) {\ displaystyle (a, b) \ div (c, d) = ( ad, bc) \ quad ({\ text {, кроме того,}} c \ neq 0)}{\ displaystyle (a, b) \ div (c, d) = (ad, bc) \ quad ({\ text {, кроме того,}} c \ neq 0)}

Эти определения во всех случаях совпадают с определениями, данными выше; только обозначения другие. В качестве альтернативы, вместо определения вычитания и деления как операций, «обратные» дроби по отношению к сложению и умножению могут быть определены как:

- (a, b) = (- a, b) аддитивные обратные дроби с (0, b) как аддитивные единицы, и (a, b) - 1 = (b, a) мультипликативные обратные дроби, если a ≠ 0, с (b, b) как мультипликативные единицы. {\ displaystyle {\ begin {align} - (a, b) = (- a, b) {\ text {аддитивные обратные дроби,}} \\ {\ text {with}} (0, b) { \ text {как аддитивные единицы, и}} \\ (a, b) ^ {- 1} = (b, a) {\ text {мультипликативные обратные дроби, для}} a \ neq 0, \\ { \ text {with}} (b, b) {\ text {как мультипликативные единицы}}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} - (a, b) = (- a, b) {\ text {аддитивные обратные дроби,}} \\ {\ text {with}} (0, b) {\ text {как аддитивные единицы, и}} \\ (a, b) ^ {- 1} = (b, a) {\ text {мультипликативные обратные дроби, для}} a \ neq 0, \\ {\ text {with}} (b, b) {\ text {как мультипликативные единицы}}. \ end {align}}}

Кроме того, отношение , заданное как

(a, б) ∼ (c, d) ⟺ ad = bc, {\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ quad \ iff \ quad ad = bc,}{\ dis playstyle (a, b) \ sim (c, d) \ quad \ iff \ quad ad = bc,}

является отношением эквивалентности фракций. Каждую фракцию из одного класса эквивалентности можно рассматривать как представителя всего класса, а каждый целый класс можно рассматривать как одну абстрактную фракцию. Эта эквивалентность сохраняется указанными выше операциями, т. Е. Результаты работы с дробями не зависят от выбора представителей из их класса эквивалентности. Формально для сложения дробей

(a, b) ∼ (a ′, b ′) {\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b') \ quad}{\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }и (c, d) ∼ (c ', d') {\ displaystyle \ quad (c, d) \ sim (c ', d') \ quad}{\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }подразумевает
((a, б) + (с, d)) ∼ ((a ', b') + (c ', d')) {\ displaystyle ((a, b) + (c, d)) \ sim ((a ', b ') + (c', d '))}{\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}

и аналогично для других операций.

В случае дробей целых чисел дроби a / b с a и b взаимно простыми и b>0 часто рассматриваются как однозначно определенные представители для их эквивалентных дробей, которые считаются быть таким же рациональным числом. Таким образом, дроби целых чисел составляют поле рациональных чисел.

В более общем смысле, a и b могут быть элементами любой области целостности R, и в этом случае дробь является элементом поля дробей из R. Например, полиномы от одного неопределенного, с коэффициентами из некоторой области целостности D, сами являются областью целостности, назовем ее P. Таким образом, для элементов a и b из P, сгенерированное поле дробей является полем рациональные дроби (также известное как поле рациональных функций ).

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь - это указанное частное двух алгебраических выражений. Как и в случае с дробями целых чисел, знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю. Два примера алгебраических дробей: 3 xx 2 + 2 x - 3 {\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}}{\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}} и x + 2 x 2 - 3 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}}}{\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}} . Алгебраические дроби подчиняются тем же свойствам поля , что и арифметические дроби.

Если числитель и знаменатель являются многочленами, как в 3 xx 2 + 2 x - 3 {\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}}{\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}} , алгебраическая дробь называется рациональной дробью (или рациональным выражением). Иррациональная дробь - это дробь, которая не является рациональной, как, например, та, которая содержит переменную под дробным показателем или корнем, как в x + 2 x 2-3 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x +2}} {x ^ {2} -3}}}{\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}} .

Терминология, используемая для описания алгебраических дробей, аналогична терминологии, используемой для обычных дробей. Например, алгебраическая дробь находится в младших членах, если единственными общими для числителя и знаменателя множителями являются 1 и -1. Алгебраическая дробь, числитель или знаменатель которой, или и то, и другое содержат дробь, например 1 + 1 x 1 - 1 x {\ displaystyle {\ frac {1 + {\ tfrac {1} {x}}} {1 - {\ tfrac {1} {x}}}}}{\ frac {1 + {\ tfrac {1} {x}}} {1 - {\ tfrac {1} {x}}}} , называется комплексной дробью .

Поле рациональных чисел - это поле дробей целые числа, в то время как сами целые числа не являются полем, а скорее областью целостности. Аналогично, рациональные дроби с коэффициентами в поле образуют поле дробных частей многочленов с коэффициентами в этом поле. Принимая во внимание рациональные дроби с действительными коэффициентами, радикальные выражения, представляющие числа, например 2/2, {\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {2}} / 2,}{\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {2}} / 2,} также являются рациональными дробями, как и трансцендентные числа, такие как π / 2, {\ textstyle \ pi / 2,}{\ textstyle \ pi / 2,} , поскольку все 2, π, {\ displaystyle {\ sqrt {2}}, \ pi,}{\ displaystyle {\ sqrt {2}}, \ pi,} и 2 {\ displaystyle 2}2 являются действительными числами и поэтому считаются в качестве коэффициентов. Однако эти же числа не являются рациональными дробями с целыми коэффициентами.

Термин частичная дробь используется при разложении рациональных дробей на суммы более простых дробей. Например, рациональная дробь 2 xx 2 - 1 {\ displaystyle {\ frac {2x} {x ^ {2} -1}}}{\ displaystyle {\ frac {2x} {x ^ {2} -1}}} может быть разложена как сумма двух дробей: 1 х + 1 + 1 х - 1. {\ displaystyle {\ frac {1} {x + 1}} + {\ frac {1} {x-1}}.}{\ displaystyle {\ frac {1} {x + 1}} + {\ frac {1} {x-1}}.} Это полезно для вычисления первообразных рациональных функций (подробнее см. разложение на частичную дробь ).

Радикальные выражения

Дробь может также содержать радикалы в числителе и / или знаменателе. Если знаменатель содержит радикалы, может быть полезно рационализировать его (сравните упрощенную форму радикального выражения ), особенно если дальнейшие операции, такие как сложение или сравнение этой дроби с другой, должны быть выполнены. Также удобнее, если деление будет производиться вручную. Когда знаменатель представляет собой квадратный корень монома , его можно рационализировать, умножив верхнюю и нижнюю часть дроби на знаменатель:

3 7 = 3 7 7 7 = 3 7 7 { \ displaystyle {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} = {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}} } = {\ frac {3 {\ sqrt {7}}} {7}}}{\ frac {3} {\ sqrt {7}}} = {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}} } = {\ frac {3 {\ sqrt {7}}} {7}}

Процесс рационализации биномиальных знаменателей включает в себя умножение верхней и нижней части дроби на спрягите знаменателя так, чтобы знаменатель стал рациональным числом. Например:

3 3 - 2 5 = 3 3 - 2 5 ⋅ 3 + 2 5 3 + 2 5 = 3 (3 + 2 5) 3 2 - (2 5) 2 = 3 (3 + 2 5). 9–20 = - 9 + 6 5 11 {\ displaystyle {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}} }} \ cdot {\ frac {3 + 2 {\ sqrt {5}}} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 (3 + 2 {\ sqrt {5}}) } {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 (3 + 2 {\ sqrt {5}})} {9-20} } = - {\ frac {9 + 6 {\ sqrt {5}}} {11}}}{\ displaystyle {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {3 + 2 {\ sqrt {5}}} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 (3 + 2 {\ sqrt {5}})} {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 ( 3 + 2 {\ sqrt {5}})} {9-20}} = - {\ frac {9 + 6 {\ sqrt {5}}} {11}}}
3 3 + 2 5 = 3 3 + 2 5 ⋅ 3 - 2 5 3 - 2 5 = 3 (3 - 2 5) 3 2 - (2 5) 2 = 3 (3 - 2 5) 9 - 20 = - 9 - 6 5 11 {\ displaystyle {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}} }} = {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {3-2 {\ sqrt {5}}} {3-2 {\ sqrt {5}} }} = {\ frac {3 (3-2 {\ sqrt {5}})} {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 (3-2 {\ sqrt {5}})} {9-20}} = - {\ frac {9-6 {\ sqrt {5}}} {11}}}{\ displaystyle {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {3-2 {\ sqrt {5}}} {3-2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 (3-2 {\ sqrt {5}})} {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 ( 3-2 {\ sqrt {5}})} {9-20}} = - {\ frac {9-6 {\ sqrt {5}}} {11}}}

Даже если этот процесс приводит к тому, что числитель становится иррациональным, как и в приведенных выше примерах, процесс все же может облегчить последующие манипуляции за счет уменьшения количества иррациональных чисел, с которыми нужно работать в знаменателе.

Типографские варианты

В компьютерных дисплеях и типографике простые дроби иногда печатаются как один символ, например ½ (половина ). См. Статью Числовые формы для получения информации о том, как сделать это в Unicode.

. В научных публикациях различают четыре способа установки дробей, а также рекомендации по использованию:

  • специальные дроби: дроби которые представлены в виде одного символа с наклонной полосой примерно такой же высоты и ширины, как и другие символы в тексте. Обычно используется для простых дробей, таких как: ½, ⅓, ⅔, ¼ и ¾. Поскольку цифры меньше, разборчивость может быть проблемой, особенно для шрифтов небольшого размера. Они не используются в современных математических обозначениях, но используются в других контекстах.
  • case дроби: аналогично специальным дробям, они отображаются как один типографский символ, но с горизонтальной полосой, что делает их вертикальными. Например, 1 2 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}{\ tfrac {1} {2}} , но отображается с той же высотой, что и другие символы. Некоторые источники включают все отображение дробей как падежных дробей, если они занимают только один типографский пробел, независимо от направления полосы.
  • шиллинг или дроби солидуса: 1/2, так называемые, потому что это обозначение использовалось для недесятичной британской валюты (£ sd ), как в 2/6 для полкроны, что означает два шиллинга и шесть пенсов. В то время как запись «два шиллинга и шесть пенсов» не означала дробь, косая черта теперь используется в дробях, особенно для дробей, встроенных в прозу (а не отображаемых), чтобы избежать неровных строк. Он также используется для дробей внутри дробей (сложные дроби) или внутри показателей степени для повышения разборчивости. Дроби, записанные таким образом, также известные как дроби, записываются на одной типографской строке, но занимают 3 или более типографских пробела.
  • составные дроби: 1 2 {\ displaystyle {\ frac { 1} {2}}}{\ frac {1} {2}} . Эта нотация использует две или более строк обычного текста и приводит к изменению интервала между строками при включении в другой текст. Хотя они большие и разборчивые, они могут быть разрушительными, особенно для простых дробей или внутри сложных дробей.

История

Самые ранние дроби были обратными целыми числами : древние символы, представляющие одну часть из двух, одну часть из трех, одну часть из четырех и так далее. Египтяне использовали египетские фракции c. 1000 г. до н.э. Около 4000 лет назад египтяне разделили на фракции, используя несколько иные методы. Они использовали наименьшее общее кратное с дробями единиц. Их методы дали тот же ответ, что и современные методы. У египтян также были разные обозначения для диадических дробей в деревянной табличке Ахмима и нескольких задач Математический папирус Райнда.

греки использовали единичные дроби и (позже) непрерывные дроби. Последователи греческого философа Пифагора (ок. 530 г. до н.э.) обнаружили, что квадратный корень из двух не может быть выражено в виде дроби целых чисел. (Это обычно, хотя, вероятно, ошибочно приписывается Гиппасу из Метапонтума, который, как говорят, был казнен за раскрытие этого факта.) В 150 г. до н.э. джайнские математики в Индия написала «Стхананга сутру », которая содержит работы по теории чисел, арифметическим операциям и операциям с дробями.

Современное выражение дробей, известное как бхиннараси, похоже, возникло в Индии в работах Арьябхатты (около 500 г. н.э.), Брахмагупты (ок. 628) и Бхаскара (ок. 1150). Их работы формируют дроби, помещая числители (санскрит : амса) над знаменателями (чеда), но без черты между ними. В санскритской литературе дроби всегда выражались как сложение или вычитание целого числа. Целое число было записано в одной строке, а дробь в двух его частях - в следующей строке. Если дробь была отмечена кружком ⟨०⟩ или крестиком ⟨+⟩, она вычитается из целого числа; если такой знак не появляется, считается, что он добавляется. Например, Бхаскара I пишет:

६ १ २
१ १ १ ०
४ ५ ९

, что эквивалентно

6 1 2
1 1 −1
4 5 9

и будет записан в современных обозначениях как 61/4, 11/5 и 2 - 1/9 (т. Е. 18/9).

Горизонтальная черта дроби впервые засвидетельствована в работе Аль-Хассара (эт. 1200), мусульманского математика. из Феса, Марокко, который специализировался на исламском праве наследования. В своем обсуждении он пишет: «... например, если вам говорят написать три пятых и одну треть пятой, напишите так: 3 1 5 3 {\ displaystyle {\ frac {3 \ quad 1 } {5 \ quad 3}}}{\ frac {3 \ quad 1} {5 \ quad 3}} . " Такое же дробное представление - с дробью перед целым - появляется вскоре после этого в работе Леонардо Фибоначчи в 13 веке.

При обсуждении происхождения десятичных дробей, Дирк Ян Струик заявляет:

«Введение десятичных дробей в качестве общей вычислительной практики может быть датировано фламандской брошюрой De Thiende, опубликованной на Лейден в 1585 году вместе с французским переводом «Дисме» фламандского математика Саймона Стевина (1548–1620), затем поселился в северных Нидерландах. Это правда что десятичные дроби использовались китайцами за много веков до Стевина и что персидский астроном Аль-Каши с большой легкостью использовал и десятичные, и шестидесятеричные дроби в своем Ключе в арифметику (Самарканд, начало пятнадцатого века).

Хотя персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что открыл десятичную дробь Сам в 15 веке Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби были впервые использованы за пять веков до него Багдади математиком Абу'л-Хасаном аль-Уклидиси еще в 10 веке.

В формальном образовании

Педагогические инструменты

В начальных школах фракции были продемонстрированы через Cuisenaire стержни, фракционные полосы, дробные полосы, дробные круги, бумага (для складывания или вырезания), блоки шаблона, кусочки в форме пирога, пластиковые прямоугольники, сетка, геоборды, счетчики и программное обеспечение.

Документы для учителей

Несколько штатов США приняли учебные траектории из руководящих принципов Common Core State Standards Initiative для математического образования. Помимо последовательного изучения дробей и операций с дробями, в документе дается следующее определение дроби: «Число, выражаемое в форме ⁄ b {\ displaystyle b}bгде a {\ displaystyle a}a - целое число, а b {\ displaystyle b}b- положительное целое число. (Слово «дробь» в этих стандартах всегда относится к не -отрицательное число.) «Сам документ также относится к отрицательным дробям.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Дроби.
Найдите знаменатель в Викисловаре, бесплатном словаре.
Найдите числитель. в Викисловаре, бесплатный словарь.
Последняя правка сделана 2021-05-20 13:13:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте