Дискриминант

редактировать

Функция коэффициентов многочлена, дающего информацию о его корнях

В математике, дискриминант полинома является величиной, которая зависит от коэффициентов и определяет различные свойства корней . Дискриминант полинома обычно определяется в терминах полиномиальной функции его коэффициентов. Дискриминант широко используется в факторизации многочленов, теории чисел и алгебраической геометрии.

Дискриминант квадратичного многочлена $ax 2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \,}$ $ax^{2}+bx+c\,$ ( $a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}$ $a\neq 0$ ), часто обозначается символом $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ , это:

b 2–4 ac, {\ displaystyle b ^ {2} -4ac,}

b^{2}-4ac,

который равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет двойной корень. В случае вещественных коэффициентов он положителен и только тогда, когда многочлен имеет два различных действительных корня. Аналогично для кубического многочлена дискриминант имеет равенство нулю тогда и только тогда, когда многочлен кратный корень. В случае действующих коэффициентов дискриминант положительный, если корнями являются три действующих числа, если имеется один действительный корень и два различных комплексно-сопряженных корня.

В более общем смысле, дискриминант многочлена положительной степени равенство нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. Если коэффициенты действительны и кратных корней нет, дискриминант положительный, если количество нереальных корней является кратным из 4 (включая ноль), и отрицательным в случае.

Несколько обобщений дискриминанта (одномерного) полинома также называются дискриминантом: дискриминант поля алгебраических чисел ; дискриминант квадратичной формы ; в более общем смысле, дискриминант формирует, однородный многочлен или проективную гиперповерхность (эти три концепции по существу эквивалентны).

Содержание

1 Происхождение
2 Определение
- 2.1 Выражение в терминах корней
3 Низкие степени
- 3.1 Степень 2
- 3.2 Степень 3
- 3.3 Степень 4
4 Свойства
- 4.1 Нулевой дискриминант
- 4.2 Инвариантность относительно замены заменителей
- 4.3 Инвариантность относительно кольцевых гомоморфизмов
- 4.4 Произведение многочленов
- 4.5 Однородность
5 Действительные корни
6 Однородные двумерный многочлен
7 Использование в алгебраической геометрии
8 Обобщения
- 8.1 Квадратичные формы
- 8.2 Конические сечения
- 8.3 Реальные квадрические поверхности
- 8.4 Дискриминант поля алгебраических чисел
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Происхождение

Термин «дискриминант» был придуман в 1851 году британским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром.

Определение

Пусть

A (х) = тревога + ан - 1 xn - 1 + ⋯ + a 1 Икс + a 0 {\ Displaystyle A (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

быть многочленом степени n (это означает $an ≠ 0 {\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$ $a_{n}\neq 0$ ), такие, что коэффициенты $a 0,…, an {\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ $a_{0},\ldots,a_{n}$ принадлежат полю, или, в более общем смысле, в коммутативное кольцо . , результирующая для A и его производственная $A ′ (x) = nanxn - 1 + (n - 1) an - 1 xn - 2 + ⋯ + a 1 {\ displaystyle A '(x) = na_ {n} x ^ {n-1} + (n-1) a_ {n-1} x ^ {n-2} + \ cdots + a_ {1}}$ $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ - многочлен от $a 0,…, {\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ $a_{0},\ldots,a_{n}$ с целыми коэффициентами, является определителем матрицы Сильвестра для A и A '. Ненулевые элементы первого столбца матрицы Сильвестра: $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ и $nan, {\ displaystyle na_ {n},}$ $na_{n},$ , и результат , таким образом, является кратным из $an. {\ displaystyle a_ {n}.}$ $a_{n}.$ Следовательно, дискриминант - до его знака - определяет как частное от результирующего A и A 'по $an: {\ displaystyle a_ {n}:}$ $a_{n}:$

Диск x ⁡ (A) = (- 1) n (n - 1) / 2 an Res x ⁡ (A, A ′) {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A) = {\ frac {( -1) ^ {n (n-1) / 2}} {a_ {n}}} \ operatorname {Res} _ {x} (A, A ')}

\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')

Исторически этот знак был выбран так, что по действительным численом дискриминант будет положительным, если все корни многочлена действительны. Деление на $a n {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ может быть некорректно определено, если кольцо коэффициентов содержит делители нуля. Этой проблемы можно избежать, заменив $a n {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ на 1 в первом столбце матрицы Сильвестра - перед вычислением определителя. В любом случае дискриминант - это многочлен от $a 0,…, a n {\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ $a_{0},\ldots,a_{n}$ с целыми коэффициентами.

Выражение в терминах корней

Когда полином определяется над полем, фундаментальная теорема алгебры подразумевает, что он имеет n корней, r 1, r 2,..., r n, не обязательно все разные, в алгебраически замкнутом расширении поле.

(Для полинома с действующими коэффициентами это алгебраически замкнутое расширение обычно выбирается как поле комплексных чисел.)

В терминах корней дискриминант равно

Диск x ⁡ (A) = an 2 n - 2 ∏ i < j ( r i − r j) 2 = ( − 1) n ( n − 1) / 2 a n 2 n − 2 ∏ i ≠ j ( r i − r j) {\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={a_{n}}^{2n-2}\prod _{i

\operatorname {Disc} _{x}(A)={a_{n}}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j})

Таким образом, это квадрат полинома Вандермонда, умноженный на n.

Это выражение дискриминанта часто используется как определение. Это дает понять, что если многочлен имеет кратный корень, то его дискриминант равен нулю, а если все корни вещественные и простые, то дискриминант положительный.

Низкие степени

Дискриминант линейного полинома (степень 1) редко изучен. Если его обычно определяют равным 1 (используется соглашение для пустого произведения и необходимо, что один из двух блоков Сильвестра является пустым ). Не существует общего соглашения о дискриминанте постоянного многочлена (т. Е. Многочлена степени 0).

Для малых степеней дискриминант довольно прост (см. Ниже), но для более высоких степеней он может стать громоздким. Например, дискриминант общая категории имеет 16 членов, дискриминант пят - 59 членов, а дискриминант секстики имеет 246 терминов. Это последовательность OEIS A007878.

Степень 2

квадратичный многочлен $ax 2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \,}$ $ax^2+bx+c \,$ имеет дискриминант

b 2 - 4 ac. {\ displaystyle b ^ {2} -4ac \,.}

b^{2}-4ac\,.

Квадратный корень из дискриминанта появляется в квадратной формуле для корней квадратного многочлена:

x 1, 2 = - b ± b 2 - 4 ак 2 а. {\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

где дискриминант равенство нулю тогда и только тогда, когда два корня равны. Если a, b, c являются действительными числами, многочлен имеет два различных действительных корня, если дискриминант положительный, и два комплексно-сопряженных корня, если он отрицательный.

Дискриминант - это произведение и квадрата разности корней.

Если a, b, c являются рациональными числами, то дискриминант является квадратом рационального числа, тогда и только тогда, когда два корня используются рациональными числами.

Степень 3

Нулевой набор дискриминанта кубики x + bx + cx + d, то есть точки, удовлетворяющие bc - 4c - 4bd - 27d + 18bcd = 0.

Кубика многочлен $ax 3 + bx 2 + cx + d {\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d \,}$ $ax^3+bx^2+cx+d \,$ имеет дискриминант

b 2 c 2 - 4 ac 3 - 4 b 3 d - 27 a 2 d 2 + 18 abcd. {\ displaystyle b ^ {2} c ^ {2} -4ac ^ {3} -4b ^ {3} d-27a ^ {2} d ^ {2} + 18abcd \,.}

b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.

В частности, многочлен $x 3 + px + q {\ displaystyle x ^ {3} + px + q}$ $x^{3}+px+q$ имеет дискриминант

- 4 p 3 - 27 q 2. {\ displaystyle -4p ^ {3 } -27q ^ {2} \,.}

-4p^{3}-27q^{2}\,.

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере два корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами и дискриминант не равен нулю, дискриминант будет положительным, если корнями являются три действующих числа, и отрицательным, если есть один действующий корень и два комплексно-сопряженных корни.

квадратный корень из произведений дискриминанта на −3 (и, возможно, также на квадрат рационального числа ) появляется в формулах для корней кубический многочлен.

Если многочлен неприводим и его коэффициенты являются рациональными числами (или принадлежат числовому полю ), то дискриминант представляет собой квадратное рациональное (или число из числового поля), тогда и только тогда, когда группа Галуа кубического уравнения является циклической группой <144 третьего>порядка.

Степень 4

Дискриминант полинома четвертой степени x + cx + dx + e. Поверхность представляет собой точки (c, d, e), в которых многочлен имеет повторяющийся корень. Возврат Ребро соответствует многочленам с тройным корнем, а самопересечение соответствует многочленам с двумя разными повторяющимися корнями.

Многочлен четвертой степени $ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e {\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e \,}$ $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,$ имеет дискриминант

256 a 3 e 3 - 192 a 2 bde 2 - 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 cd 2 e - 27 a 2 d 4 + 144 ab 2 ce 2 - 6 ab 2 d 2 e - 80 abc 2 de + 18 abcd 3 + 16 ac 4 e - 4 ac 3 d 2 - 27 b 4 e 2 + 18 b 3 cde - 4 b 3 d 3 - 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2. {\ displaystyle {\ begin {align} {} 256a ^ {3} e ^ {3} -192a ^ {2} bde ^ {2} -128a ^ {2 } c ^ {2} e ^ {2} + 144a ^ {2} cd ^ {2} e \\ [4pt] {} - 27a ^ {2} d ^ {4} + 144ab ^ {2} ce ^ {2} -6ab ^ {2} d ^ {2} e-80abc ^ {2} de \\ [4pt] {} + 18abcd ^ {3} + 16ac ^ {4} e-4ac ^ {3} d ^ {2} -27b ^ {4} e ^ {2} + 18b ^ {3} cde \\ [4pt] {} - 4b ^ {3} d ^ {3} -4b ^ {2} c ^ { 3} е + Ь ^ {2} с ^ {2} д ^ {2} \,. \ end {align}}}

{\begin{aligned}{}256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}

Дискриминант равенство нулю тогда и только тогда, когда два или более корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами, а дискриминант отрицательный, то есть два действительных корня и два комплексно-сопряженных корня. Аналогично, если дискриминант положительный, то корни либо все действительные, либо все нереальные.

Свойства

Нулевой дискриминант

Дискриминант многочлена по полю равенство нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень в некотором расширении поля.

Дискриминант многочлена в области равенства нулю, если и только если многочлен и его производная имеют непостоянный общий делитель.

В характеристике 0 это эквивалентно утверждению, что многочлен не является бесквадратным (то есть делится на квадрат непостоянного многочлена).

В ненулевой характеристике дискриминант равенство нулю тогда и только, когда многочлен не бесквадратным или имеет неприводимый, не является разделимым (т. Е. Неприводимый множитель многочлен от $xp {\ displaystyle х ^ {p}}$ $x^{p}$ ).

Инвариантность при изменении измен

Дискриминант многочлена от до является масштабированием, инвариантным относительно любым проективным преобразованием изменением. Проективное преобразование может быть разложено на рассмотрение переносов, гомотетий и инверсий, это приводит к следующим формулам для более простых преобразований, где P (x) обозначает многочлен от переменной x степени n, $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ в ведущего качества коэффициента.

Инвариантность по переводу:

Диск x ⁡ (P (x + α)) = Диск x ⁡ (P (x)) {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x + \ alpha)) = \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x))}

\operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))

Это является результатом выражения дискриминанта в терминах корней

Инвариантность по гомотетии:

Диск x ⁡ (P (α Икс)) знак равно α N (N - 1) Диск Икс ⁡ (Р (Икс)) {\ Displaystyle \ OperatorName {Диск} _ {х} (Р (\ альфа х)) = \ альфа ^ {п (п- 1)} \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x))}

\operat orname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))

Это результат выражения в терминах корней или квазиоднородности дискриминанта.

Инвариантность по инверсии:

Диск x ⁡ (P r (x)) = Диск x ⁡ (P (x)) {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (P ^ {r} (x)) = \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x))}

\operatorname {Disc} _{x}(P^{r}(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))

Здесь

P r {\ displaystyle P ^ {r}}

P^{r}

обозначает обратную многочлен от P. То есть, если

P (x) = alarmn + ⋯ + a 0, {\ displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + \ cdots + a_ {0}, }

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

, тогда

P r (x) = xn P (1 / x) = a 0 xn + ⋯ + an. {\ displaystyle P ^ {r} (x) = x ^ {n} P (1 / x) = a_ {0} x ^ {n} + \ cdots + a_ {n}.}

P^{r}(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.

Инвариантность относительно гомоморфизмов колец

Пусть $φ: R → S {\ displaystyle \ varphi \ двоеточие R \ to S}$ $\varphi \colon R\to S$ будет гомоморфизмом кольца коммутативного кольца <144.>. Дан многочлен

A = тревога + an - 1 xn - 1 + ⋯ + a 0 {\ displaystyle A = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}}

A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}

в R [x], гомоморфизм $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ работает на A для достижения многочлена

A φ = φ (an) xn + φ (ан - 1) xn - 1 + ⋯ + φ (a 0) {\ displaystyle A ^ {\ varphi} = \ varphi (a_ {n}) x ^ {n} + \ varphi (a_ {n-1 }) x ^ {n-1} + \ cdots + \ varphi (a_ {0})}

A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})

в S [x].

Дискриминант инвариантен относительно $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ в следующем смысле. Если $φ (an) ≠ 0, {\ displaystyle \ varphi (a_ {n}) \ neq 0,}$ $\varphi (a_{n})\neq 0,$ , то

Disc x ⁡ (A φ) = φ (Disc x ⁡ (А)). {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A ^ {\ varphi}) = \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)).}

\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).

Время дискриминант определяется в терминах детерминант, это вытекает из аналогичного свойства определителей.

Если $φ (an) = 0, {\ displaystyle \ varphi (a_ {n}) = 0,}$ $\varphi (a_{n})=0,$ , то $φ (Disc x ⁡ (A)) {\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A))}$ $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ может быть равно нулю или нет. Если $φ (an) = 0, {\ displaystyle \ varphi (a_ {n}) = 0,}$ $\varphi (a_{n})=0,$

φ (Disc x ⁡ (A)) = φ (an - 1) 2 Disc x ⁡ ( А φ). {\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)) = \ varphi (a_ {n-1}) ^ {2} \ operatorname {Disc} _ {x} (A ^ {\ varphi}).}

\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).$

вас интересует только то, равенство ли дискриминант нулю (как это обычно в алгебраической геометрии ), эти можно резюмировать как свойства:

φ (Disc x ⁡ (A)) Знак равно 0 {\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)) = 0}

\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0

тогда и только тогда, когда либо

Disc x ⁡ (A φ) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A ^ {\ varphi}) = 0}

\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0

или

deg ⁡ (A) - deg ⁡ (A φ) ≥ 2. { \ displaystyle \ deg (A) - \ deg (A ^ {\ varphi}) \ geq 2.}

\deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.

Это часто интерпретируется как указание, что $φ (Disc x ⁡ (A)) = 0 {\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)) = 0}$ $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ , если и только если $A φ {\ displaystyle A ^ {\ varphi}}$ $A^{\varphi }$ имеет кратный корень (возможно, на бесконечности ).

Произведение многочленов

Если R = PQ является произведением многочленов от x, то

disk x ⁡ (R) = disk x ⁡ (P) Res x ⁡ (P, Q) 2 диск Икс ⁡ (Q) = (- 1) pq диск Икс ⁡ (P) Res x ⁡ (P, Q) Res x ⁡ (Q, P) диск x ⁡ (Q), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ operatorname {disc} _ {x} (R) = \ operatorname {disc} _ {x} (P) \ operatorname {Res} _ {x} (P, Q) ^ {2} \ operatorname {disc} _ {x} (Q) \\ [5pt] {} = (- 1) ^ {pq} \ operatorname {disc} _ {x} (P) \ operatorname {Res} _ {x} (P, Q) \ OperatorName {Res} _ {x} (Q, P) \ operatorname {disc} _ {x} (Q), \ end {align}}}

{\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}

где $Res x {\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {x}}$ $\operatorname {Res} _{x}$ обозначает результирующий относительный x, а p и q - соответствующие степени P и Q.

Это свойство следует немедленно, подставляя выражение для результирующего и дискриминанта в терминах корней многочленов.

Однородность

Дискриминант - это однородный полином в коэффициентах; он также является однородным многочленом по корням и таким образом, квазиоднородным по коэффициентам.

Дискриминант полинома степени n однороден степени 2n - 2 по коэффициентам. Это можно увидеть двумя способами. В терминах формулы корней и главного члена, умножение всех коэффициентов на λ не изменяет корни, а умножает главный член на λ. В терминах его выражения в виде определителя матрицы (2n - 1) × (2n - 1) (матрица Сильвестра ), деленной на n, определитель однороден степени 2n - 1 в элементах, и деление на a n дает степень 2n - 2.

Дискриминант многочлена степени n однородной степени n (n - 1) в корни. Это следует из выражения дискриминанта через корни, которое является произведением константы и $(n 2) = n (n - 1) 2 {\ displaystyle {\ binom {n} {2}} = {\ frac {n (n- 1)} {2}}}$ ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ квадрат разностей корней.

Дискриминант полинома степени n квазиоднороден степени n (n - 1) по коэффициенту, если для каждого i коэффициент при $xi {\ displaystyle x ^ {i}}$ $x^{i}$ дается вес n - я. Он также квазиоднороден той же степени, если для каждого i коэффициенту $x i {\ displaystyle x ^ {i}}$ $x^{i}$ присваивается вес $″ i ″. {\ displaystyle 'i' '.}$ $''i''.$ Это следствие того общего факта, что каждый многочлен, который является однородным и симметричным в корнях, может быть выражен как квазиоднородный многочлен в элементарных симметричных функцийх корней.

Рассмотрим многочлен

P = тревожно + an - 1 xn - 1 + ⋯ + a 0. {\ displaystyle P = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}.}

P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.

Из предшествующего следует, что показатели степени в каждом моном a0...., a n, входящие в дискриминант, удовлетворяют двум уравнениям

i 0 + i 1 + ⋯ + in = 2 n - 2 {\ displaystyle i_ {0} + i_ {1} + \ cdots + i_ {n} = 2n-2}

i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2

i 1 + 2 i 2 + ⋯ + nin = n (n - 1), {\ displaystyle i_ {1} + 2i_ {2} + \ cdots + ni_ {n} = n (n-1),}

i_{1}+2i_{2}+\cdot s +ni_{n}=n(n-1),

, а также уравнение

ni 0 + (n - 1) i 1 + ⋯ + in - 1 = n (n - 1), {\ displaystyle ni_ {0} + (n-1) i_ {1} + \ cdots + i_ {n-1} = n (n-1),}

ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),

который получается вычитанием второго уравнения из первого одного умноженный на n.

Это ограничивает возможные члены в дискриминанте. Для общего квадратичного многочлена есть только две возможности и два члена в дискриминанте, в то время как общий однородный многочлен второй степени от трех членов имеет 6 членов. Для более общего многочлена существуют пять возможностей и пять членов в дискриминанте, тогда как общий однородный многочлен степени 4 из 5 70

Для более высоких степеней могут быть одночлены, которые удовлетворяют приведенным выше уравнениям и не фигурируют в дискриминанте. Первый пример - для полинома четвертой степени ax + bx + cx + dx + e, и в этом случае применяемых методов bcd не появляясь в дискриминанте.

Действительные корни

В этом разделе все многочлены действительные коэффициенты.

В § Низкие степени было замечено, что знак дискриминанта обеспечивает полную информацию о природе корней для многочленов степени 2 и 3. Для более высоких степеней информация предоставляет дискриминантом, менее полный, но все же полезный. Точнее, для полинома степени n:

Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
Если дискриминант положительный, невещественных корней кратно 4. То есть существует неотрицательное целое число k ≤ n / 4 такое, что имеется 2k пар комплексно сопряженных корней и n - 4k действующих корней.
Если дискриминант отрицательный, невеще корней не кратно 4. То есть существует неотрицательное целое число k ≤ (n - 2) / 4 такое, что существует 2k + 1 пара комплексно сопряженные корни и н - 4к + 2 действительных корня.

Однородный двумерный многочлен

Пусть

A (x, y) = a 0 xn + a 1 xn - 1 y + ⋯ + anyn = ∑ я = 0 naixn - iyi {\ displaystyle A ( x, y) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} y + \ cdots + a_ {n} y ^ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {ni} y ^ {i}}

A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}

быть однородным многочленом степени п в двух индетерминатах.

Предположим на данный момент, что $a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_{0}$ и $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ оба ненулевые, один имеет

Диск x ⁡ (A (x, 1)) = Диск y ⁡ (A (1, y)). {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A (x, 1)) = \ operatorname {Disc} _ {y} (A (1, y)).}

\operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).

Обозначая это количество как $Диск h ⁡ (A), {\ displaystyle \ operatorname {Disc} ^ {h} (A),}$ $\operatorname {Disc} ^{h}(A),$ один имеет

Disc x ⁡ (A) = yn (n - 1) Disc h ⁡ (A), {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A) = y ^ {n (n-1)} \ operatorname {Disc} ^ {h} (A),}

\operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),

Диск y ⁡ (A) = xn (n - 1) Диск h ⁡ (A). {\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {y} (A) = x ^ {n (n-1)} \ operatorname {Disc} ^ {h} (A).}

\operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).

Из-за этих свойств количество $Диск h ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {Disc} ^ {h} (A)}$ $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ называется дискриминантом или однородным дискриминантом A.

Если $a 0 { \ displaystyle a_ {0}}$ $a_{0}$ и $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ могут быть равны нулю, полиномы A (x, 1) и A (1, y) может иметь степень меньше п. В этом случае приведенные выше формулы и определения остаются в силе, если дискриминанты вычисляются так, как если бы все многочлены имели степень n. Это означает, что дискриминанты должны быть вычислены с $a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_{0}$ и $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_{n}$ неопределенным, замена для них их фактических значений выполняется после этого вычисления. Эквивалентно, Должность | Резолюция из § Инвариантность относительно кольцевых гомоморфизмов.

Использование в алгебраической геометрии

Типичное использование дискриминантов в алгебраической геометрии - для изучения алгебраической кривой и, в более общем смысле, алгебраических гиперповерхностей. Пусть V - такая кривая или гиперповерхность; V определяется как нулевой набор многомерного многочлена . Этот многочлен можно рассматривать как одномерный многочлен от одной из неопределенных величин, с многочленами от других неопределенностей в качестве коэффициентов. Дискриминант по выбранной неопределенности определяет гиперповерхность W в остальных неопределенных. Точки W - это точность проекции точек V (включая точки на бесконечности ), которые либо являются сингулярными, либо имеют касательную гиперплоскость, параллельную оси выбран неопределенный.

Например, пусть f будет двумерным многочленом от X и Y с действительными коэффициентами, так что f = 0 является неявным уравнением плоской алгебраической кривой. Если рассматривать f как одномерный многочлен от Y с коэффициентами, зависящими от X, то дискриминант - это многочлен от X, корни которого являются X-координатами особых точек, точек с касательной, параллельной оси Y, и некоторые из асимптоты параллельны оси Y., вычисление корней Y-дискриминанта и X-дискриминанта позволяет вычислить все замечательные точки кривой, кроме точек перегиба.

Обобщения

Там два класса понятия дискриминанта. Первый класс - это дискриминант поля алгебраических чисел, которое, например, включает квадратичные поля, является дискриминантом полинома, определяющего поле.

Дискриминанты класса возникают для задач, зависящих от коэффициентов, когда вырожденные экземпляры или особенности задачи характеризуются обращением в нуль одного полинома второго коэффициента. Так обстоит дело с дискриминантом многочлена, который равен нулю, когда два корня схлопываются. Большинство случаев, когда определяется такой обобщенный дискриминант, являются примерами следующего.

Пусть A - однородный многочлен от n неопределенностей над полем характеристики 0 или простые характеристики, которая не делит степень многочлена. Многочлен A определяет проективную гиперповерхность, которая имеет особые точки тогда и только тогда, когда n производственных матрицы A имеют нетривиальный общий ноль. этих частных производных равен нулю, и этот результат может рассматриваться как дискриминант A. Однако из-за целочисленных коэффициентов, полученных в результате вывода, эта многомерная результат может делиться на степень n, и лучше взять в качестве дискриминанта примитивную часть результата, вычисленную с помощью общих коэффициентов. Ограничение на производственное состояние необходимо, чтобы не было объявлено об угрозе частной жизни (см. тождество Эйлера для однородных многочленов ).

В случае однородного двумерного полинома степени d этот общий дискриминант в $dd - 2 {\ displaystyle d ^ {d-2}}$ $d^{d-2}$ раз больше дискриминанта определенного в § Однородный двумерный многочлен. Несколько классических типов дискриминантов, которые являются примерами других общих характеристик, используются в следующих разделах.

Квадратичные формы

A квадратичная форма - это функция в векторном пространстве , которая определяет в некотором базисе однородным полиномом степень 2 :

Q (x 1,…, xn) = ∑ i = 1 naiixi 2 + ∑ 1 ≤ i < j ≤ n a i j x i x j, {\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i

Q(x_{1},\ldots,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},

или, в матричной форме,

Q (X) = XAXT, {\ displaystyle Q (X) = XAX ^ {\ mathrm {T}},}

Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },

для $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n\times n$ симметричной матрицы $A = (aij) {\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ $A=(a_{ij})$ , $1 × n {\ displaystyle 1 \ times n}$ $1\times n$ вектор-строка $X = (Икс 1,…, xn) {\ displaystyle X = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $X=(x_{1},\ldots,x_{n})$ и $n × 1 {\ displaystyle n \ times 1}$ $n\times 1$ вектор -столбец $XT {\ displaystyle X ^ {\ mathrm {T}}}$ $X^{\mathrm {T} }$ . В характеристике , отличной от 2, дискриминант или определитель Q является детерминантом A.

детерминант Гессе число Q в $2 n {\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2^{n}$ раз больше его дискриминанта. Результирующая многовариантная частных производных Q соответствует его определителю Гессе. Итак, дискриминант квадратичной формы является частным случаем приведенного выше определения дискриминанта.

Дискриминант квадратичной инвариантной относительно замененных чисел (то есть замены базиса пространства, на котором определена квадратичная форма линейной формы) в следующем смысле: определенная линейная замена числа на невырожденная матрицу S, заменяет матрицу A на $STAS, {\ displaystyle S ^ {\ mathrm {T}} A \, S,}$ $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ и, таким образом, умножает дискриминант на квадрат определителя S. Таким образом, дискриминант хорошо определен только до умножения на квадрат. Другими словами, дискриминант квадратичной формы над полем K является элементом K / (K), частным мультипликативным моноида поля K по подгруппе ненулевых квадратов (то есть два элемента K находятся в одном и том же классе эквивалентности, если один является произведением другого на ненулевой квадрат). Отсюда следует, что для комплексных чисел дискриминант эквивалентен 0 или 1. Для вещественных чисел дискриминант эквивалентен -1, 0 или 1. В случае рациональные числа, дискриминант эквивалентен уникальному целому без квадратов.

По теореме Якоби квадратичная форма над полем характеристик, отличной от 2, может быть выражается после линейной замены крат в диагональной форме как

a 1 x 1 2 + ⋯ + тревога 2. {\ displaystyle a_ {1} x_ {1} ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} ^ {2}.}

a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2.

Точнее, квадратичные формы на могут быть выражены как сумма как сумма как

∑ я = 1 наи L я 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} L_ {i} ^ {2}}

\sum_{i=1}^n a_i L_i^2

где L i - независимые линейные формы, а n - количество чисел (некоторые из a i могут быть нулевыми). Эквивалентно, для любой симметричной матрицы A существует элементарная матрица S такая, что $STAS {\ displaystyle S ^ {\ mathrm {T}} A \, S}$ $S^{\mathrm {T} }A\,S$ является диагональной матрицей. Тогда дискриминант - это произведение a i, которое хорошо определено как класс в K / (K).

С геометрической точки зрения дискриминант квадратичной формы от трех измерений уравнением квадратичной проективной кривой. Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда кривая раскладывается по линии (возможно, по алгебраически замкнутому расширению поля).

Квадратичная форма от четырех чисел это уравнение проективной поверхности. Поверхность имеет особую точку тогда и только тогда, когда ее дискриминант равен нулю. В этом случае поверхность может быть разложена на плоскости, либо она имеет единственную особую точку и представляет собой конус конус или цилиндр. Если рассматривать вещественные числа, если дискриминант положительный, то поверхность либо не имеет реальной точки, либо везде имеет отрицательную отрицательную гауссову кривизну. Если дискриминант отрицательный, имеет действительные точки и имеет отрицательную гауссову кривизну.

Конические сечения

A конические сечения - это плоская кривая, определяемая неявным уравнением формы

ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 dx + 2 ey + f = 0, {\ displaystyle ax ^ {2} + 2bxy + cy ^ {2} + 2dx + 2ey + f = 0,}

ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,

где a, b, c, d, e, f - действительные числа.

Две квадратичные формы и, таким образом, два дискриминанта могут быть связаны с коническим участком.

Первая квадратичная форма:

ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 dxz + 2 eyz + fz 2 = 0. {\ displaystyle ax ^ {2} + 2bxy + cy ^ {2} + 2dxz + 2eyz + fz ^ {2} = 0.}

ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.

Его дискриминант - это определитель

| а б г б в е г д е |. {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a b d \\ b c e \\ d e f \ end {vmatrix}}.}

{\begin{vmatrix}abd\\bce\\def\end{vmatrix}}.

Он равен нулю, если коническое сечение вырождается на две линии, двойную линию или одну точку.

Второй дискриминант, является единственным, используемым во многих элементарных учебниках, является дискриминантом однородной части второй степени уравнения. Он равен

b 2 - a c, {\ displaystyle b ^ {2} -ac,}

b^{2}-ac,

и определяет форму конического сечения. Если этот дискриминант отрицательный, кривая либо не имеет точек, либо представляет эллипс или круг, либо в случае вырождения, сводится к одной точке. Если дискриминант равен нулю, кривая представляет собой параболу или, в случае вырождения, двойную линию или две параллельные линии. Если дискриминант положительный, кривая представляет собой гиперболу или, если вырождена, пару пересекающихся прямых.

Вещественные квадрические поверхности

Реальная квадратичная поверхность в евклидовом пространстве измерения три - это поверхность, которая может быть определена как нули многочлен второй степени от трех переменных. Что касается конических сечений, есть два дискриминанта, которые могут быть определены естественным образом. Оба они полезны для получения информации о природе квадратичной поверхности.

Пусть $P (x, y, z) {\ displaystyle P (x, y, z)}$ $P(x,y,z)$ будет многочленом второй степени от трех переменных, который определяет реальную квадрику поверхность. Первая связанная квадратичная форма, $Q 4, {\ displaystyle Q_ {4},}$ $Q_{4},$ зависит от четырех переменных и получается путем гомогенизации P; то есть

Q 4 (x, y, z, t) = t 2 P (x / t, y / t, z / t). {\ displaystyle Q_ {4} (x, y, z, t) = t ^ {2} P (x / t, y / t, z / t).}

Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).

Обозначим его дискриминант через $Δ 4. {\ displaystyle \ Delta _ {4}.}$ $\Delta _{4}.$

Вторая квадратичная форма, $Q 3, {\ displaystyle Q_ {3},}$ $Q_{3},$ зависит от трех переменных и состоит из термов второй степени Р; то есть

Q 3 (x, y, z) = Q 4 (x, y, z, 0). {\ displaystyle Q_ {3} (x, y, z) = Q_ {4} (x, y, z, 0).}

Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).

Обозначим его дискриминант как $Δ 3. {\ displaystyle \ Delta _ {3}.}$ $\Delta _{3}.$

Если $Δ 4>0, {\ displaystyle \ Delta _ {4}>0,}$ $\Delta _{4}>0,$ и поверхность имеет реальные точки, это либо гиперболический параболоид или однополостный гиперболоид . В обоих случаях это линейчатая поверхность с отрицательной гауссовой кривизной в каждой точке.

If $Δ 4 < 0, {\displaystyle \Delta _{4}<0,}$ $\Delta _{4}<0,$ the surface is either an ellipsoid or a two-sheet hyperboloid or an elliptic paraboloid. In all cases, it has a positive Gaussian curvature at every point.

If $Δ 4 = 0, {\displaystyle \Delta _{4}=0,}$ $\Delta _{4}=0,$ the surface has a singular point, possibly at infinity. If there is only one singular point, the surface is a cylinder or a cone. If there are several singular points the surface consists of two planes, a double plane or a single line.

When $Δ 4 ≠ 0, {\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$ $\Delta _{ 4}\neq 0,$ the sign of $Δ 3, {\displaystyle \Delta _{3},}$ $\Delta _{3},$ if not 0, does not provide any useful information, as changing P into −P does not change the surface, but changes the sign of $Δ 3. {\displaystyle \Delta _{3}.}$ $\Delta _{3}.$ However, if $Δ 4 ≠ 0 {\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$ $\Delta _{4}\neq 0$ and $Δ 3 = 0, {\displaystyle \Delta _{3}=0,}$ $\Delta _{3}=0,$ the surface is a paraboloid, which is elliptic of hyperbolic, depending on the sign of $Δ 4. {\displaystyle \Delta _{4}.}$ $\Delta _{4}.$

Discriminant of an algebraic number field

References

External links