Общий многочлен

В математике, общий многочлен обычно относится к многочлену, коэффициенты которого не определяет. Например, если a, b и c являются неопределенными, общий многочлен второй степени от x равен $a\; x\; 2\; +\; b\; x\; +\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c.\}$

Однако в теории Галуа, ветви алгебры, и в этой статье термин общий многочлен имеет разные, хотя и связанные, значения: общий многочлен для конечной группы G и поля F является моническим многочленом P с коэффициентами в поле рациональных функций L = F (t 1,..., t n) in n не определяется над F, так что поле расщепления M поля P имеет группу Галуа G над L и такое, что каждое расширение K / F с группой Галуа G может быть получено как поле расщепления многочлена, который является специализацией P, в результате от установки n неопределенностей на n элементов F. Иногда это называют F-родовым или относительным к полю F; Q -общий многочлен, который является общим по отношению к рациональным числам, называется просто общим.

Существование, и особенно построение, типичного многочлена для данной группы Галуа обеспечивает полное решение обратной задачи Галуа для этой группы. Однако не все группы Галуа имеют полиномы общего положения, контрпримером является циклическая группа восьмого порядка.

• 1 Группы с универсальными многочленами
• 2 Примеры универсальных многочленов
• 3 Общие измерения
• 4 Публикации

• Симметрическая группа Sn. Это тривиально, так как

$xn\; +\; t\; 1\; xn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; tn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; +\; t\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; t\_\; \{n\}\}$

- общий многочлен для S n.

• Циклических групп C n, где n не делится на восемь. Ленстра показал, что циклическая группа не имеет общего многочлена, если n делится на восемь, и GW Smith явно строит такой многочлен, если n не делится на восемь.
• Циклический групповое построение приводит к другим классам общих многочленов; в частности, группа диэдра Dnимеет общий многочлен тогда и только тогда, когда n не делится на восемь.
• группа кватернионов Q8.
• группы Гейзенберга $H\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{p\; ^\; \{3\}\}\}$для любого нечетного простого числа p.
• Альтернативная группа A 4.
• Альтернативная группа A 5.
• Группы отражений, определенные Q, включая, в частности, группы корневых систем для E 6, E 7 и E 8.
• Любая группа, которая является прямым продуктом двух групп, каждая из которых имеет общие многочлены.
• Любая группа, которая является сплетением двух групп, каждая из которых имеет общие многочлены.

Группа	Общий многочлен
C2	$x\; 2\; -\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -t\}$
C3	$x\; 3\; -\; tx\; 2\; +\; (t\; -\; 3)\; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -tx\; ^\; \{2\}\; +\; (t-3)\; x\; +\; 1\}$
S3	$x\; 3\; -\; t\; (x\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -t\; (x\; +\; 1)\}$
V	$(Икс\; 2\; -\; s)\; (x\; 2\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; -s)\; (x\; ^\; \{2\}\; -t)\}$
C4	$x\; 4\; -\; 2\; s\; (t\; 2\; +\; 1)\; x\; 2\; +\; s\; 2\; t\; 2\; (t\; 2\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; -2s\; (t\; ^\; \{2\}\; +1)\; x\; ^\; \{2\}\; +\; s\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; (t\; ^\; \{2\}\; +1)\}$
D4	$x\; 4\; -\; 2\; stx\; 2\; +\; s\; 2\; t\; (t\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; -2stx\; ^\; \{2\}\; +\; s\; ^\; \{2\}\; t\; (t-1)\}$
S4	$x\; 4\; +\; sx\; 2\; -\; t\; (x\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; +\; sx\; ^\; \{2\}\; -t\; (x\; +\; 1)\}$
D5	$x\; 5\; +\; (t\; -\; 3)\; x\; 4\; +\; (s\; -\; t\; +\; 3)\; x\; 3\; +\; (t\; 2\; -\; t\; -\; 2\; s\; -\; 1)\; x\; 2\; +\; sx\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{5\}\; +\; (t-3)\; x\; ^\; \{4\}\; +\; (s-t\; +\; 3)\; x\; ^\; \{3\}\; +\; (t\; ^\; \{2\}\; -t-2s-1)\; x\; ^\; \{2\}\; +\; sx\; +\; t\}$
S5	$x\; 5\; +\; sx\; 3\; -\; t\; (x\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{5\}\; +\; sx\; ^\; \{3\}\; -\; t\; (x\; +\; 1)\}$

Общие многочлены известны для всех транзитивных групп степени 5 или меньше.

Общее измерение для конечной группы G над полем F, обозначенное $gd\; FG\; \{\backslash \; displaystyle\; gd\_\; \{F\}\; G\}$определяется как минимальное количество параметров в универсальном многочлене для G над F или $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$, если универсального многочлена не существует.

Примеры:

• $gd\; QA\; 3\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; gd\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; A\_\; \{3\}\; =\; 1\}$
• $gd\; QS\; 3\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; gd\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{\; Q\}\}\; S\_\; \{3\}\; =\; 1\}$
• $gd\; QD\; 4\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; gd\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; D\_\; \{4\}\; =\; 2\}$
• $gd\; QS\; 4\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; gd\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; S\_\; \{4\}\; =\; 2\}$
• $gd\; QD\; 5\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; gd\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; D\_\; \{5\}\; =\; 2\}$
• $gd\; QS\; 5\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; gd\_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; S\_\; \{5\}\; =\; 2\}$

• Дженсен, Кристиан У., Ледет, Арне и Юи, Норико, Общие полиномы, Cambridge University Press, 2002