Обратный многочлен

редактировать

В алгебре, обратный многочлен или отраженный многочлен p или p, полинома p степени n с коэффициентами из произвольного поля , например

p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 Икс 2 + ⋯ + тревога, {\ Displaystyle р (х) = а_ {0} + а_ {1} х + а_ {2} х ^ {2} + \ cdots + а_ {п} х ^ {п}, \, \!}

p (x) = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ cdots + a_nx ^ n, \, \!

- многочлен

p ∗ (x) = an + an - 1 x + ⋯ + a 0 xn = xnp (x - 1). {\ displaystyle p ^ {*} (x) = a_ {n} + a_ {n-1} x + \ cdots + a_ {0} x ^ {n} = x ^ {n} p (x ^ {- 1}).}

p ^ * (x) = a_n + a_ { n-1} x + \ cdots + a_0x ^ n = x ^ np (x ^ {- 1}).

По сути, коэффициенты записываются в обратном порядке. Они естественным образом возникают в линейной алгебре как характеристический многочлен для , обратный матрице.

. В частном случае, когда многочлен p имеет комплексные коэффициенты, то есть

p (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + anzn, {\ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ { 1} z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}, \, \!}

p (z) = a_0 + a_1z + a_2z ^ 2 + \ cdots + a_nz ^ n, \, \!

сопряженный обратный многочлен, p, заданный как,

p † (z) = an ¯ + an - 1 ¯ z + ⋯ + a 0 ¯ zn = znp (z ¯ - 1) ¯, {\ displaystyle p ^ {\ dagger} (z) = {\ overline {a_ {n}}} + {\ overline {a_ {n-1}}} z + \ cdots + {\ overline {a_ {0}}} z ^ {n} = z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}},}

p ^ {\ dagger} (z) = \ overline {a_n } + \ overline {a_ {n-1}} z + \ cdots + \ overline {a_0} z ^ n = z ^ n \ overline {p (\ bar {z} ^ {- 1})},

где $ai ¯ {\ displaystyle {\ overline {a_ {i}}}}$ $\ overline {a_i}$ обозначает комплексно-сопряженное из $ai {\ displaystyle a_ {i} \, \!}$ $a_i \, \!$ также называется обратным многочленом, когда не может возникнуть путаницы.

Многочлен p называется самовзаимным или палиндромным, если p (x) = p (x). Коэффициенты самовзаимного полинома удовлетворяют a i = a n-i. В сопряженном обратном случае коэффициенты должны быть действительными, чтобы удовлетворять условию.

Содержание

1 Свойства
2 Палиндромные и антипалиндромные многочлены
- 2.1 Примеры
- 2.2 Свойства
- 2.3 Действительные коэффициенты
3 Сопряженные взаимные многочлены
4 Применение в теории кодирования
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Свойства

Взаимные многочлены имеют несколько связей со своими исходными многочленами, включая:

p (x) = xp (x)
α является корнем многочлена p тогда и только тогда, когда α является корнем p.
Если p (x) ≠ x, то p неприводимо тогда и только тогда, когда p неприводимо.
p является примитивным тогда и только тогда, когда p примитивно.

Могут быть получены другие свойства обратных многочленов, например:

Если многочлен самовзаимодействующий и неприводимый, то он должен иметь четную степень.

Палиндромные и антипалиндромные многочлены

Самовзаимный многочлен также называется палиндромным, потому что его коэффициенты, когда многочлен записывается в порядке восходящей или нисходящей p owers, образуют палиндром. То есть, если

P (x) = ∑ i = 0 naixi {\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}

P (x) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}

является многочленом степени n, тогда P палиндромный, если a i = a n - i для i = 0, 1,..., n. Некоторые авторы используют термины палиндромный и взаимозаменяемый.

Точно так же P, многочлен степени n, называется антипалиндромным, если a i = −a n - i для i = 0, 1,... п. То есть многочлен P антипалиндромен, если P (x) = - P (x).

Примеры

Из свойств биномиальных коэффициентов следует, что многочлены P (x) = (x + 1) являются палиндромными для всех натуральных чисел n, в то время как многочлены Q (x) = (x - 1) являются палиндромными, когда n четно, и антипалиндромными, когда n нечетно.

Другие примеры палиндромных многочленов включают циклотомические многочлены и эйлеровы многочлены.

Свойства

Если a является корнем полинома, который является палиндромным или антипалиндромным, то 1 / a также является корнем и имеет ту же самую кратность.
Верно и обратное: если многочлен таков, что если a является корнем, то 1 / a также является корнем той же кратности, тогда многочлен равен либо палиндромный, либо антипалиндромный.
Для любого многочлена q многочлен q + q является палиндромным, а многочлен q - q антипалиндромным.
Любой многочлен q может быть записан как сумма палиндромного и антипалиндромный полином.
Произведение двух палиндромных или антипалиндромных полиномов является палиндромным.
Произведение палиндромного полинома и антипалиндромного полинома является антипалиндромным полиномом.
Палиндромный полином. нечетной степени делится на x + 1 (корень имеет –1), и его частное по x + 1 также палиндромно.
Антипалиндромный многочлен делится на x - 1 (у него 1 в качестве корня), а его частное по x - 1 является палиндромным.
Антипалиндромный многочлен четной степени делится на x - 1 (он имеет -1 и 1 как корень), а его фактор по x - 1 палиндромный.
Если p (x) - палиндромный многочлен четной степени 2d, то существует многочлен q степени d такой, что p (x) = xq (x + 1 / x) (Durand 1961).
Если p (x) - монический антипалиндромный многочлен четной степени 2d над полем k с нечетной характеристикой, то его можно однозначно записать как p (x) = x (Q (x) - Q (1 / x)), где Q - монический многочлен степени d без постоянного члена.
Если антипалиндромный многочлен P имеет четную степень 2n, тогда его "средний" коэффициент (степени n) равен 0, поскольку a n = −a 2n - n.

Действительные коэффициенты

Многочлен с действительными коэффициентами, все комплексные корни которого лежат на единичной окружности в комплексной плоскости (все корни унимодулярны), либо pal индромный или антипалиндромный.

Сопряженные обратные многочлены

Многочлен является сопряженным обратным, если $p (x) ≡ p † (x) {\ displaystyle p (x) \ Equiv p ^ {\ dagger} (x)}$ $p (x) \ Equiv p ^ {\ dagger} (x)$ и самообращение, если $p (x) = ω p † (x) {\ displaystyle p (x) = \ omega p ^ {\ dagger} (x)}$ $p (x) = \ omega p ^ {\ dagger} (x)$ для коэффициента масштабирования ω на единичной окружности.

Если p (z) - минимальный многочлен of z 0 с | z 0 | = 1, z 0 ≠ 1 и p (z) имеет действительные коэффициенты, тогда p (z) взаимно взаимно. Это следует потому, что

z 0 np (1 / z 0 ¯) ¯ = z 0 np (z 0) ¯ = z 0 n 0 ¯ = 0. {\ displaystyle z_ {0} ^ {n} {\ overline { p (1 / {\ bar {z_ {0}}})}} = z_ {0} ^ {n} {\ overline {p (z_ {0})}} = z_ {0} ^ {n} {\ bar {0}} = 0.}

z_0 ^ n \ overline {p ( 1 / \ bar {z_0})} = z_0 ^ n \ overline {p (z_0)} = z_0 ^ n \ bar {0} = 0.

Итак, z 0 является корнем многочлена $znp (z ¯ - 1) ¯ {\ displaystyle z ^ {n} {\ overline { p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}}}$ $z ^ n \ overline {p (\ bar {z} ^ {- 1})}$ со степенью n. Но минимальный многочлен уникален, поэтому

cp (z) = znp (z ¯ - 1) ¯ {\ displaystyle cp (z) = z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}) } ^ {- 1})}}}

cp (z) = z ^ n \ overline {p (\ bar {z} ^ {- 1})}

для некоторой константы c, т.е. $cai = an - i ¯ = an - i {\ displaystyle ca_ {i} = {\ overline {a_ {ni}}} = a_ {ni}}$ $ca_i = \ overline {a_ {ni}} = a_ {ni}$ . Суммируйте от i = 0 до n и обратите внимание, что 1 не является корнем p. Мы заключаем, что c = 1.

Следствием этого является то, что циклотомические многочлены Φnвзаимно обратны для n>1. Это используется в специальном числовом поле сито, чтобы разрешить факторизацию чисел вида x ± 1, x ± 1, x ± 1 и x ± 1 с использованием алгебраических факторов с использованием полиномов степени 5, 6, 4 и 6 соответственно - обратите внимание, что φ (функция Эйлера ) экспонент равняется 10, 12, 8 и 12.

Применение в теории кодирования

Обратный многочлен находит применение в теории циклических кодов исправления ошибок. Предположим, что x - 1 можно разложить на произведение двух многочленов, скажем, x - 1 = g (x) p (x). Когда g (x) генерирует циклический код C, то обратный многочлен p генерирует C, ортогональное дополнение к C. Кроме того, C самоортогонален (то есть C ⊆ C), если и только если p делит g (x).

См. также

Теорема Кона

Примечания

Ссылки

Плесс, Вера (1990), Введение в теорию Коды исправления ошибок (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
Роман, Стивен (1995), Теория поля, New Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
Эмиль Дюран (1961) Solutions numériques des équations algrébriques I, Masson et Cie: XV - полиномы не имеют коэффициентов sont symétriques ou antisymétriques, стр. 140-141.

Внешние ссылки

«Основная теорема для палиндромных многочленов». MathPages.com.
Взаимный многочлен (на MathWorld )