Симметричный полином

Эта статья посвящена отдельным симметричным многочленам. Для кольца симметричных многочленов см кольцо симметрических функций.

В математике, A симметрический полином является полиномом Р ( Х 1, Х 2,..., Х п) в п переменных, таких, что, если любой из переменных поменять местами, получаем тот же полином. Формально P является симметричным многочленом, если для любой перестановки σ индексов 1, 2,..., n выполняется P ( X σ (1), X σ (2),…, X σ ( n)) =  P ( X 1, X 2,…, X n).

Симметричные многочлены естественным образом возникают при изучении связи между корнями многочлена от одной переменной и его коэффициентами, поскольку коэффициенты могут быть заданы полиномиальными выражениями в корнях, и все корни играют аналогичную роль в этом случае. С этой точки зрения элементарные симметричные многочлены являются наиболее фундаментальными симметричными многочленами. А теорема утверждает, что любой симметричный полином может быть выражен в терминах элементарных симметрических полиномов, что подразумевает, что каждое симметричное полиномиальное выражение в корнях унитарного полинома в качестве альтернативы может быть дано как полиномиальное выражение в коэффициентах полинома.

Симметричные многочлены также образуют интересную структуру сами по себе, независимо от какого-либо отношения к корням многочлена. В этом контексте другие наборы конкретных симметричных многочленов, такие как полные однородные, степенные суммы и многочлены Шура, играют важную роль наряду с элементарными. Полученные структуры, и в частности кольцо симметрических функций, имеют большое значение в комбинаторике и теории представлений.

• 1 Примеры
• 2 Приложения
  • 2.1 Теория Галуа
• 3 Связь с корнями однозначного многочлена одной переменной
• 4 Специальные виды симметричных многочленов
  • 4.1 Элементарные симметричные многочлены
  • 4.2 Мономиальные симметрические многочлены
  • 4.3 Симметричные полиномы степенной суммы
  • 4.4 Полные однородные симметрические многочлены
  • 4.5 Полиномы Шура
• 5 Симметричные многочлены в алгебре
• 6 Чередующиеся многочлены
• 7 См. Также
• 8 ссылки

Следующие многочлены от двух переменных X 1 и X 2 симметричны:

${\ displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} -7}$

${\ displaystyle 4X_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} ^ {3} X_ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {3} + (X_ {1 } + X_ {2}) ^ {4}}$

как следующий многочлен от трех переменных X 1, X 2, X 3:

${\ displaystyle X_ {1} X_ {2} X_ {3} -2X_ {1} X_ {2} -2X_ {1} X_ {3} -2X_ {2} X_ {3}}$

Есть много способов сделать определенные симметричные многочлены от любого числа переменных (см. Различные типы ниже). Пример несколько иного вкуса:

${\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq я lt;j \ leq n} (X_ {i} -X_ {j}) ^ {2}}$

где сначала строится многочлен, который меняет знак при каждом обмене переменными, а взятие квадрата делает его полностью симметричным (если переменные представляют собой корни монического многочлена, этот многочлен дает его дискриминант ).

С другой стороны, многочлен от двух переменных

${\ displaystyle X_ {1} -X_ {2}}$

не является симметричным, так как если один обмен и один получает другой многочлен,. Аналогично в трех переменных ${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle X_ {2} -X_ {1}}$

${\ displaystyle X_ {1} ^ {4} X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {4} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} X_ {3} ^ {4}}$

имеет только симметрию относительно циклических перестановок трех переменных, чего недостаточно, чтобы быть симметричным многочленом. Однако симметрично следующее:

${\ displaystyle X_ {1} ^ {4} X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {4} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} X_ {3} ^ {4} + X_ {1} ^ {4} X_ {2} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} X_ {3} ^ {4} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {4} X_ {3}}$

Теория Галуа

Основная статья: теория Галуа

Одним из контекстов, в котором встречаются симметричные полиномиальные функции, является изучение однозначных одномерных многочленов степени n, имеющих n корней в данном поле. Эти n корней определяют полином, и когда они рассматриваются как независимые переменные, коэффициенты полинома являются симметричными полиномиальными функциями от корней. Более того, из фундаментальной теоремы о симметричных полиномах следует, что полиномиальная функция f от n корней может быть выражена как (другая) полиномиальная функция коэффициентов полинома, определяемого корнями, тогда и только тогда, когда f задается симметричным полиномом.

Это дает подход к решению полиномиальных уравнений путем инвертирования этого отображения, «нарушая» симметрию - учитывая коэффициенты полинома ( элементарные симметричные полиномы в корнях), как можно восстановить корни? Это приводит к изучению решений многочленов с использованием группы перестановок корней, первоначально в форме резольвент Лагранжа, позже развитой в теории Галуа.

Рассмотрим монический многочлен от t степени n

${\ displaystyle P = t ^ {n} + a_ {n-1} t ^ {n-1} + \ cdots + a_ {2} t ^ {2} + a_ {1} t + a_ {0}}$

с коэффициентами a i в некотором поле  k. Существует n корней x 1,…, x n из P в некотором, возможно, более крупном поле (например, если k - поле действительных чисел, корни будут существовать в поле комплексных чисел ); некоторые из корней могут быть равны, но тот факт, что у одного есть все корни, выражается соотношением

${\ displaystyle P = t ^ {n} + a_ {n-1} t ^ {n-1} + \ cdots + a_ {2} t ^ {2} + a_ {1} t + a_ {0} = ( t-x_ {1}) (t-x_ {2}) \ cdots (t-x_ {n}).}$

Путем сравнения коэффициентов находим, что

${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {n-1} amp; = - x_ {1} -x_ {2} - \ cdots -x_ {n} \\ a_ {n-2} amp; = x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + \ cdots + x_ {2} x_ {3} + \ cdots + x_ {n-1} x_ {n} = \ textstyle \ sum _ {1 \ leq i lt; j \ leq n} x_ {i} x_ {j} \\ amp; {} \ \, \ vdots \\ a_ {1} amp; = (- 1) ^ {n-1} (x_ {2} x_ {3} \ cdots x_ {n} + x_ {1} x_ {3} x_ {4} \ cdots x_ {n} + \ cdots + x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n-2} x_ {n} + x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n-1}) = \ textstyle (-1) ^ {n-1} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j \ neq i } x_ {j} \\ a_ {0} amp; = (- 1) ^ {n} x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}. \ end {выровнено}}}$

На самом деле это всего лишь примеры формул Виете. Они показывают, что все коэффициенты полинома задаются в терминах корней с помощью симметричного полиномиального выражения : хотя для данного полинома P могут быть качественные различия между корнями (например, лежащие в базовом поле  k или нет, простые или кратные roots), ничто из этого не влияет на то, как корни встречаются в этих выражениях.

Теперь можно изменить точку зрения, взяв корни, а не коэффициенты в качестве основных параметров для описания P, и рассматривая их как неопределенные, а не как константы в соответствующем поле; тогда коэффициенты a i становятся просто конкретными симметричными многочленами, задаваемыми приведенными выше уравнениями. Эти многочлены, без знака, известны как элементарные симметрические многочлены в х 1,..., х п. Основной факт, известный как фундаментальная теорема о симметричных многочленах, утверждает, что любой симметричный многочлен от n переменных может быть задан полиномиальным выражением в терминах этих элементарных симметричных многочленов. Отсюда следует, что любое симметричное полиномиальное выражение в корнях монического полинома может быть выражено как полином от коэффициентов полинома, и, в частности, его значение лежит в базовом поле k, которое содержит эти коэффициенты. Таким образом, при работе только с такими симметричными полиномиальными выражениями в корнях нет необходимости знать что-либо конкретное об этих корнях или производить вычисления в каком-либо поле большего размера, чем k, в котором эти корни могут находиться. Фактически сами значения корней становятся неактуальными, и необходимые соотношения между коэффициентами и симметричными полиномиальными выражениями могут быть найдены путем вычислений только в терминах симметричных полиномов. Примером таких отношений являются тождества Ньютона, которые выражают сумму любой фиксированной степени корней в терминах элементарных симметричных многочленов. ${\ displaystyle (-1) ^ {ni}}$

Существует несколько типов симметричных многочленов от переменных X 1, X 2,…, X n, которые являются фундаментальными.

Элементарные симметричные полиномы

Основная статья: Элементарный симметричный многочлен

Для каждого неотрицательного целого числа k элементарный симметричный многочлен e k ( X 1,…, X n) является суммой всех различных произведений k различных переменных. (Некоторые авторы обозначают это вместо σ k.) Для k  = 0 существует только пустой продукт, поэтому e 0 ( X 1,…, X n) = 1, в то время как для k  gt;  n никакие продукты не могут быть сформированы вообще, поэтому e k ( X 1, X 2,…, X n) = 0 в этих случаях. Оставшиеся n элементарных симметричных многочленов являются строительными блоками для всех симметричных многочленов от этих переменных: как упоминалось выше, любой симметричный многочлен от рассматриваемых переменных может быть получен из этих элементарных симметричных многочленов только с помощью умножения и сложения. На самом деле есть следующие более подробные факты:

• любой симметричный многочлен Р в X 1,..., X п можно записать в виде полинома выражение в полиномы е к ( Х 1,..., X п) с 1 ≤  K  ≤  N ;
• это выражение уникально с точностью до эквивалентности полиномиальных выражений;
• если P имеет целые коэффициенты, то полиномиальное выражение также имеет целые коэффициенты.

Например, для n = 2 соответствующими элементарными симметричными многочленами являются e 1 ( X 1, X 2) = X 1 + X 2 и e 2 ( X 1, X 2) = X 1 X 2. Тогда первый многочлен в приведенном выше списке примеров можно записать как

${\ displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} -7 = e_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3} -3e_ {2} (X_ { 1}, X_ {2}) e_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) - 7}$

(доказательство того, что это всегда возможно, см. в основной теореме о симметричных многочленах ).

Мономиальные симметричные многочлены

Степени и произведения элементарных симметричных многочленов сводятся к довольно сложным выражениям. Если кто-то ищет базовые аддитивные строительные блоки для симметричных многочленов, более естественным выбором будет взять те симметричные многочлены, которые содержат только один тип одночлена, и только те копии, которые требуются для получения симметрии. Любой моном из X 1,…, X n может быть записан как X 1 ^{α 1} … X n ^{α n,} где показатели α i - натуральные числа (возможно, нулевые); записав α = (α 1,…, α n), это можно сократить до X ^α. Мономиальный симметрический многочлен м α ( X 1,..., Х п) определяются как сумма всех одночленов х ^β, где β пробегает все различные перестановки (α 1,..., amp; alpha ; п). Например, у одного есть

${\ displaystyle m _ {(3,1,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = X_ {1} ^ {3} X_ {2} X_ {3} + X_ {1 } X_ {2} ^ {3} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} X_ {3} ^ {3}}$,

${\ displaystyle m _ {(3,2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = X_ {1} ^ {3} X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} ^ {3} X_ {2} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {3} X_ {3} + X_ {1} ^ {2 } X_ {2} X_ {3} ^ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {3} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} X_ {3 } ^ {3}.}$

Ясно, что m α  =  m β, когда β является перестановкой α, поэтому обычно рассматриваются только те m α, для которых α 1  ≥ α 2  ≥… ≥ α n, другими словами, для которых α является разбиением целого числа. Эти мономиальные симметричные многочлены образуют базис векторного пространства: каждый симметричный многочлен P может быть записан как линейная комбинация мономиальных симметричных многочленов. Для этого достаточно, чтобы отделить различные типы монома, входящего в P. В частности, если P имеет целочисленные коэффициенты, то будет линейная комбинация.

Элементарные симметричные многочлены являются частными случаями мономиальных симметрических многочленов: для 0 ≤  k  ≤  n выполняется

${\ displaystyle e_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = m _ {\ alpha} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$где α - разбиение k на k частей 1 (за которыми следуют n  -  k нулей).

Симметричные полиномы с суммой степеней

Основная статья: Симметричный многочлен с суммой степеней

Для каждого целого числа k  ≥ 1 особый интерес представляет мономиальный симметричный многочлен m ( k, 0,…, 0) ( X 1,…, X n). Это симметричный полином степенной суммы, определяемый как

${\ displaystyle p_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = X_ {1} ^ {k} + X_ {2} ^ {k} + \ cdots + X_ {n} ^ {k }.}$

Все симметричные полиномы могут быть получены из первых n симметричных полиномов с суммой степеней сложением и умножением, возможно с использованием рациональных коэффициентов. Точнее,

Любой симметричный многочлен от X 1,…, X n может быть выражен как полиномиальное выражение с рациональными коэффициентами в степенной сумме симметрических многочленов p 1 ( X 1,…, X n),…, p n ( X 1,…, X п).

В частности, оставшиеся полиномы суммы степеней p k ( X 1,…, X n) для k  gt;  n могут быть выражены таким образом в первых n полиномах суммы степеней; Например

${\ displaystyle p_ {3} (X_ {1}, X_ {2}) = \ textstyle {\ frac {3} {2}} p_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) - {\ frac {1} {2}} p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3}.}$

В отличие от ситуации для элементарных и полных однородных многочленов, симметричный многочлен от n переменных с целыми коэффициентами не обязательно должен быть полиномиальной функцией с целыми коэффициентами симметричных многочленов степенной суммы. Например, для n  = 2 симметричный многочлен

${\ displaystyle m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}) = X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {2}}$

имеет выражение

${\ Displaystyle м _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}) = \ textstyle {\ frac {1} {2}} p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3} - {\ frac {1} {2}} p_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}).}$

Используя три переменные, мы получаем другое выражение

${\ displaystyle {\ begin {align} m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) amp; = X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ { 1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2} \\ amp; = p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) p_ {2} (X_ {1}, X_ {2}), X_ {3}) - p_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}). \ End {выравнивается}}}$

Соответствующее выражение было действительным и для двух переменных (достаточно установить X 3 равным нулю), но, поскольку оно включает p 3, его нельзя было использовать для иллюстрации утверждения для n  = 2. Пример показывает, что независимо от того, Выражение для данного мономиального симметричного полинома через первые n полиномов степенной суммы включает рациональные коэффициенты, которые могут зависеть от n. Но рациональные коэффициенты всегда необходимы, чтобы выразить элементарные симметричные полиномы (кроме постоянных и e 1, который совпадает с суммой первой степени) в терминах полиномов суммы степеней. В тождества Ньютона дают явный способ сделать это; он включает деление на целые числа до n, что объясняет рациональные коэффициенты. Из-за этих делений упомянутое утверждение обычно не работает, когда коэффициенты берутся в поле конечной характеристики ; однако это действительно с коэффициентами в любом кольце, содержащем рациональные числа.

Полные однородные симметричные многочлены

Основная статья: Полный однородный симметричный многочлен

Для каждого неотрицательного целого числа k полный однородный симметричный многочлен h k ( X 1,…, X n) является суммой всех различных одночленов степени k от переменных X 1,…, X n. Например

${\ displaystyle h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = X_ {1} ^ {3} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ { 2} ^ {3} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2} + X_ {3} ^ {3}.}$

Полином ч к ( Х 1,..., Х п) также сумма всех отдельных мономиальных симметричных многочленов степени к в X 1,..., х п, например, для данного примера

${\ displaystyle {\ begin {align} h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) amp; = m _ {(3)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ { 3}) + m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) + m _ {(1,1,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) \\ amp; = (X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + X_ {3} ^ {3}) + (X_ {1} ^ {2} X_ {2 } + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2}) + (X_ {1} X_ {2} X_ {3}). \\\ конец {выровнено}}}$

Все симметричные многочлены от этих переменных могут быть построены из полных однородных: любой симметричный многочлен от X 1,…, X n может быть получен из полных однородных симметрических многочленов h 1 ( X 1,…, X n),…, h n ( X 1,…, X n) посредством умножения и сложения. Точнее:

Любой симметрический многочлен Р в X 1,..., X п можно записать в виде полинома выражение в многочлены ч к ( Х 1,..., Х п) с 1 ≤  K  ≤  п.

Если P имеет целые коэффициенты, то полиномиальное выражение также имеет целые коэффициенты.

Например, для n = 2 соответствующими полными однородными симметричными многочленами являются h 1 ( X 1, X 2) = X 1 + X 2 и h 2 ( X 1, X 2) = X 1 ² + X 1 X 2 + Х 2 ². Тогда первый многочлен в приведенном выше списке примеров можно записать как

${\ displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} -7 = -2h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3} + 3h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) - 7.}$

Как и в случае степенных сумм, данное утверждение применяется, в частности, к полным однородным симметричным многочленам за пределами h n ( X 1,…, X n), позволяя выразить их через единицы до этой точки; снова результирующие идентификаторы становятся недействительными при увеличении числа переменных.

Важным аспектом полных однородных симметричных многочленов является их связь с элементарными симметричными многочленами, которые могут быть выражены как тождества

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} e_ {i} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) h_ {ki} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = 0}$, для всех k  gt; 0 и любого числа переменных  n.

Поскольку e 0 ( X 1,…, X n) и h 0 ( X 1,…, X n) оба равны 1, можно выделить либо первый, либо последний член этих суммирований; первый дает набор уравнений, который позволяет рекурсивно выразить последовательные полные однородные симметричные многочлены через элементарные симметричные многочлены, а последний дает набор уравнений, позволяющих делать обратное. Это неявно показывает, что любой симметричный многочлен может быть выражен через h k ( X 1,…, X n) с 1 ≤  k  ≤  n: сначала симметричный многочлен выражается через элементарные симметричные многочлены, а затем выражаются эти в терминах указанных полных однородных.

Полиномы Шура

Основная статья: многочлен Шура

Другой класс симметричных многочленов - это многочлены Шура, которые имеют фундаментальное значение в приложениях симметричных многочленов к теории представлений. Однако их не так легко описать, как другие виды специальных симметрических многочленов; подробности см. в основной статье.

Симметричные полиномы имеют важное значение для линейной алгебры, теории представлений и теории Галуа. Они также важны в комбинаторике, где они в основном изучаются через кольцо симметричных функций, что позволяет избежать необходимости постоянно переносить фиксированное количество переменных.

Основная статья: Альтернативные многочлены

Аналогичными симметричным многочленам являются чередующиеся многочлены : многочлены, которые вместо того, чтобы быть инвариантными относительно перестановки элементов, меняются в зависимости от знака перестановки.

Все они являются произведениями многочлена Вандермонда и симметричного многочлена и образуют квадратичное расширение кольца симметрических многочленов: многочлен Вандермонда является квадратным корнем из дискриминанта.

• Симметричная функция
• Личности Ньютона
• Симметричная функция Стэнли
• Неравенство Мюрхеда

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4, MR   1878556, Zbl   0984.00001
• Макдональд И.Г. (1979), Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press.
• И. Г. Макдональд (1995), Симметричные функции и многочлены Холла, второе изд. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN   0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998).
• Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика, Vol. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-56069-1