Параболоид

редактировать
Параболоид революции

В геометрии, A параболоида является поверхность второго порядка, которая имеет ровно одну ось симметрии и нет центра симметрии. Термин «параболоид» происходит от слова « парабола», обозначающего коническое сечение, обладающее аналогичным свойством симметрии.

Каждое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если любое другое плоское сечение является либо гиперболой, либо двумя пересекающимися линиями (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если любое другое непустое сечение плоскости является либо эллипсом, либо единственной точкой (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид бывает эллиптическим или гиперболическим.

Эквивалентно параболоид может быть определен как квадратная поверхность, которая не является цилиндром, и имеет неявное уравнение, часть второй степени которого может быть разложена на комплексные числа на два различных линейных фактора. Параболоид является гиперболическим, если факторы действительны; эллиптический, если множители комплексно сопряжены.

Эллиптический параболоид имеет форму овальной чашки и имеет точку максимума или минимума, когда его ось вертикальна. В подходящей системе координат с тремя осями x, y и z его можно представить уравнением

z знак равно Икс 2 а 2 + у 2 б 2 . {\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}

где a и b - константы, которые определяют уровень кривизны в плоскостях xz и yz соответственно. В этом положении эллиптический параболоид открывается вверх.

Гиперболический параболоид

Гиперболоидный параболоид (не путать с гиперболоидом ) - это поверхность с двойной линией, имеющая форму седла. В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением

z знак равно у 2 б 2 - Икс 2 а 2 . {\ displaystyle z = {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

В этом положении гиперболический параболоид открывается вниз по оси x и вверх по оси y (то есть парабола в плоскости x = 0 открывается вверх, а парабола в плоскости y = 0 открывается вниз).

Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является трансляционной поверхностью, так как он может быть создан движущейся параболой, направленной второй параболой.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Свойства и приложения
    • 1.1 Эллиптический параболоид
      • 1.1.1 Параболический отражатель
    • 1.2 Гиперболический параболоид
      • 1.2.1 Примеры в архитектуре
  • 2 Цилиндр между карандашами эллиптических и гиперболических параболоидов
  • 3 Кривизна
  • 4 Геометрическое представление таблицы умножения
  • 5 Размеры параболоидальной тарелки
  • 6 См. Также
  • 7 ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Свойства и приложения

Эллиптический параболоид

Многоугольная сетка кругового параболоида Круговой параболоид

В подходящей декартовой системе координат эллиптический параболоид имеет уравнение

z знак равно Икс 2 а 2 + у 2 б 2 . {\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}

Если a = b, эллиптический параболоид - это круговой параболоид или параболоид вращения. Это поверхность вращения, полученная путем вращения параболы вокруг своей оси.

Очевидно, круговой параболоид содержит круги. Это верно и в общем случае (см. Раздел Циркуляр ).

С точки зрения проективной геометрии, эллиптический параболоид является эллипсоидом, что является касательной к плоскости на бесконечности.

Плоские секции

Плоские сечения эллиптического параболоида могут быть:

  • парабола, если плоскость параллельна оси,
  • точка, если плоскость является касательной плоскостью.
  • эллипс или опорожнить, в противном случае.

Параболический отражатель

Основные статьи: параболический рефлектор и параболическая антенна

На оси кругового параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокусной точкой), так что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч., параллельно оси параболоида. Это также работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокусной точке. Для доказательства см. Парабола § Доказательство отражательного свойства.

Поэтому форма круглого параболоида широко используется в астрономии для параболических отражателей и параболических антенн.

Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круговой параболоид. Это используется в телескопах с жидкостными зеркалами и в изготовлении твердых зеркал телескопов (см. Вращающуюся печь ).

  • Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидальное зеркало, отражаются к фокусной точке F или наоборот.

  • Параболический отражатель

  • Вращающаяся вода в стакане

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид с содержащимися в нем прямыми Жареные закуски Pringles имеют форму гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид - это двояковыпуклая поверхность : он содержит два семейства взаимно наклонных линий. Линии в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид - коноид.

Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид - это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей две фиксированные наклонные линии.

Это свойство упрощает изготовление гиперболического параболоида из различных материалов и для различных целей, от бетонных крыш до закусок. В частности, жареные закуски Pringles напоминают усеченный гиперболический параболоид.

Гиперболический параболоид - это седловая поверхность, так как его кривизна Гаусса отрицательна в каждой точке. Таким образом, хотя это линейчатая поверхность, она не поддается развёртыванию.

С точки зрения проективной геометрии, гиперболический параболоид один гиперболоид, который является касательной к плоскости на бесконечности.

Гиперболическое параболоид уравнения или (это то же самое до с вращением осей ) можно назвать прямоугольной гиперболический параболоид, по аналогии с прямоугольными гиперболы. z знак равно а Икс у {\ displaystyle z = axy} z знак равно а 2 ( Икс 2 - у 2 ) {\ displaystyle z = {\ tfrac {a} {2}} (x ^ {2} -y ^ {2})}

Плоские секции
Гиперболический параболоид с гиперболами и параболами

Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением

z знак равно Икс 2 а 2 - у 2 б 2 {\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

может быть

  • линии, если плоскость параллельна г оси х, и имеет уравнение вида, б Икс ± а у + б знак равно 0 {\ displaystyle bx \ pm ay + b = 0}
  • парабола, если плоскость параллельна г оси х, а секция не является прямой,
  • пара пересекающихся прямых, если плоскость касается касательной,
  • в противном случае гипербола.
Модель гиперболического параболоида STL

Примеры в архитектуре

Седловидные крыши часто представляют собой гиперболические параболоиды, поскольку их легко построить из прямых участков материала. Некоторые примеры:

  • Железнодорожная станция Варшава Охота, пример конструкции гиперболического параболоида

  • Поверхность, изображающая гиперболический параболоид

  • Restaurante Los Manantiales, Сочимилько, Мексика

  • Гиперболические параболоидные тонкостенные крыши в L'Oceanogràfic, Валенсия, Испания (снято в 2019 г.)

Цилиндр между карандашами эллиптических и гиперболических параболоидов

эллиптический параболоид, параболический цилиндр, гиперболический параболоид

Карандаш эллиптического параболоида

z знак равно Икс 2 + у 2 б 2 ,   б gt; 0 , {\ displaystyle z = x ^ {2} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}, \ bgt; 0,}

и пучок гиперболических параболоидов

z знак равно Икс 2 - у 2 б 2 ,   б gt; 0 , {\ displaystyle z = x ^ {2} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}, \ bgt; 0,}

подходить к той же поверхности

z знак равно Икс 2 {\ Displaystyle г = х ^ {2}}

для, который представляет собой параболический цилиндр (см. изображение). б {\ displaystyle b \ rightarrow \ infty}

Кривизна

Эллиптический параболоид, параметризованный просто как

σ ( ты , v ) знак равно ( ты , v , ты 2 а 2 + v 2 б 2 ) {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (u, v) = \ left (u, v, {\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ right)}

имеет гауссову кривизну

K ( ты , v ) знак равно 4 а 2 б 2 ( 1 + 4 ты 2 а 4 + 4 v 2 б 4 ) 2 {\ Displaystyle К (и, v) = {\ гидроразрыва {4} {a ^ {2} b ^ {2} \ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {2}}}}

и средняя кривизна

ЧАС ( ты , v ) знак равно а 2 + б 2 + 4 ты 2 а 2 + 4 v 2 б 2 а 2 б 2 ( 1 + 4 ты 2 а 4 + 4 v 2 б 4 ) 3 {\ Displaystyle H (u, v) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} {\ sqrt {\ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}) }} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {3}}}}}}

которые всегда положительны, имеют максимум в начале координат, становятся меньше по мере удаления точки на поверхности от начала координат и асимптотически стремятся к нулю по мере того, как указанная точка бесконечно удаляется от начала координат.

Гиперболический параболоид, параметризованный как

σ ( ты , v ) знак равно ( ты , v , ты 2 а 2 - v 2 б 2 ) {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (u, v) = \ left (u, v, {\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ right)}

имеет гауссову кривизну

K ( ты , v ) знак равно - 4 а 2 б 2 ( 1 + 4 ты 2 а 4 + 4 v 2 б 4 ) 2 {\ displaystyle K (u, v) = {\ frac {-4} {a ^ {2} b ^ {2} \ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}}) } + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {2}}}}

и средняя кривизна

ЧАС ( ты , v ) знак равно - а 2 + б 2 - 4 ты 2 а 2 + 4 v 2 б 2 а 2 б 2 ( 1 + 4 ты 2 а 4 + 4 v 2 б 4 ) 3 . {\ displaystyle H (u, v) = {\ frac {-a ^ {2} + b ^ {2} - {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac { 4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} {\ sqrt {\ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4 }}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {3}}}}}.}

Геометрическое представление таблицы умножения

Если гиперболический параболоид

z знак равно Икс 2 а 2 - у 2 б 2 {\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

поворачивается на угол π/4в направлении + z (согласно правилу правой руки ) результатом является поверхность

z знак равно ( Икс 2 + у 2 2 ) ( 1 а 2 - 1 б 2 ) + Икс у ( 1 а 2 + 1 б 2 ) {\ displaystyle z = \ left ({\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2}} \ right) \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} - { \ frac {1} {b ^ {2}}} \ right) + xy \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} \Правильно)}

и если a = b, то это упрощается до

z знак равно 2 Икс у а 2 {\ displaystyle z = {\ frac {2xy} {a ^ {2}}}}.

Наконец, полагая a = √ 2, мы видим, что гиперболический параболоид

z знак равно Икс 2 - у 2 2 . {\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}.}

конгруэнтно поверхности

z знак равно Икс у {\ displaystyle z = xy}

которую можно рассматривать как геометрическое представление (как бы трехмерную номограмму ) таблицы умножения.

Две параболоидальные ℝ 2 → функции

z 1 ( Икс , у ) знак равно Икс 2 - у 2 2 {\ displaystyle z_ {1} (x, y) = {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}}

а также

z 2 ( Икс , у ) знак равно Икс у {\ Displaystyle Z_ {2} (х, у) = ху}

являются гармонически сопряженными и вместе образуют аналитическую функцию

ж ( z ) знак равно z 2 2 знак равно ж ( Икс + у я ) знак равно z 1 ( Икс , у ) + я z 2 ( Икс , у ) {\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {2}} {2}} = f (x + yi) = z_ {1} (x, y) + iz_ {2} (x, y)}

который является аналитическим продолжением из ℝ → ℝ параболической функции F ( х) =х 2/2.

Размеры параболоидальной тарелки

Размеры симметричной параболоидальной тарелки связаны уравнением

4 F D знак равно р 2 , {\ displaystyle 4FD = R ^ {2},}

где F - фокусное расстояние, D - глубина тарелки (измеренная по оси симметрии от вершины до плоскости обода), R - радиус обода. Все они должны быть одной длины. Если известны две из этих трех длин, это уравнение можно использовать для расчета третьей.

Чтобы найти диаметр тарелки, измеренный по ее поверхности, требуется более сложный расчет. Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, который имеет правильный размер, который нужно разрезать и согнуть, чтобы сделать блюдо. При расчетах полезны два промежуточных результата: P = 2 F (или эквивалент: P =R 2/2 Д) и Q = √ P 2 + R 2, где F, D и R определены выше. Диаметр тарелки, измеренный по поверхности, тогда определяется как

р Q п + п пер ( р + Q п ) , {\ displaystyle {\ frac {RQ} {P}} + P \ ln \ left ({\ frac {R + Q} {P}} \ right),}

где ЛУ х означает, что натуральный логарифм от х, то есть ее логарифм основания е.

Объем блюда, количество жидкости, которое оно могло бы удержать, если бы край был горизонтальным, а вершина находилась на дне (например, вместимость параболоидального вок ), определяется выражением

π 2 р 2 D , {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {2} D,}

где символы определены, как указано выше. Это можно сравнить с формулами для объемов цилиндра ( π R 2D), полусферы (2π/3R 2D, где D = R), и конус (π/3R 2D). π R 2 - это площадь апертуры тарелки, площадь, ограниченная ободком, которая пропорциональна количеству солнечного света, которое рефлекторная тарелка может перехватить. Площадь параболической тарелки можно найти с помощью формулы площади поверхности вращения, которая дает

А знак равно π р ( ( р 2 + 4 D 2 ) 3 - р 3 ) 6 D 2 . {\ displaystyle A = {\ frac {\ pi R \ left ({\ sqrt {(R ^ {2} + 4D ^ {2}) ^ {3}}} - R ^ {3} \ right)} {6D ^ {2}}}.}

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

  • СМИ, связанные с Параболоидом на Викискладе?
Последняя правка сделана 2023-03-29 11:49:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте