Поверхность вращения

редактировать
Часть кривой x = 2 + cos z вращается вокруг оси z.

Поверхность вращения является поверхность в евклидовом пространстве, создаваемого вращением кривой (The образующую) вокруг оси вращения.

Примерами поверхностей вращения, образованных прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности в зависимости от того, параллельна ли линия оси. Окружность, которая вращается вокруг любого диаметра, образует сферу, из которой он затем является большим кругом, и если круг вращается вокруг оси, которая не пересекает внутреннюю часть круга, тогда он генерирует тор, который не пересекает сам себя ( кольцо тора ).

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Недвижимость
  • 2 Формула площади
  • 3 Координатные выражения
  • 4 Геодезические
  • 5 тороидов
  • 6 приложений
  • 7 См. Также
  • 8 ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Характеристики

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями. Любое меридиональное сечение можно рассматривать как образующую в плоскости, определяемой им и осью.

Участки поверхности вращения, образованные плоскостями, перпендикулярными оси, представляют собой окружности.

Некоторые частные случаи гиперболоидов (одного или двух листов) и эллиптических параболоидов являются поверхностями вращения. Их можно идентифицировать как те квадратные поверхности, все поперечные сечения которых перпендикулярны оси, являются круговыми.

Формула площади

Если кривая описывается параметрическими функциями x ( t), y ( t), где t находится в некотором интервале [ a, b ], а ось вращения является осью y, то площадь A y задается формулой интеграл

А у знак равно 2 π а б Икс ( т ) ( d Икс d т ) 2 + ( d у d т ) 2 d т , {\ displaystyle A_ {y} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x (t) \, {\ sqrt {\ left ({dx \ over dt} \ right) ^ {2} + \ left ({dy \ over dt} \ right) ^ {2}}} \, dt,}

при условии, что x ( t) никогда не бывает отрицательным между конечными точками a и b. Эта формула является исчислительным эквивалентом теоремы Паппа о центроидах. Количество

( d Икс d т ) 2 + ( d у d т ) 2 {\ displaystyle {\ sqrt {\ left ({dx \ over dt} \ right) ^ {2} + \ left ({dy \ over dt} \ right) ^ {2}}}}

происходит из теоремы Пифагора и представляет собой небольшой сегмент дуги кривой, как в формуле длины дуги. Величина 2π x ( t) - это путь (центр тяжести) этого небольшого отрезка, как того требует теорема Паппа.

Точно так же, когда осью вращения является ось x и при условии, что y ( t) никогда не бывает отрицательным, площадь задается как

А Икс знак равно 2 π а б у ( т ) ( d Икс d т ) 2 + ( d у d т ) 2 d т . {\ displaystyle A_ {x} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} y (t) \, {\ sqrt {\ left ({dx \ over dt} \ right) ^ {2} + \ left ({dy \ over dt} \ right) ^ {2}}} \, dt.}

Если непрерывная кривая описывается функцией y = f ( x), a ≤ x ≤ b, то интеграл принимает вид

А Икс знак равно 2 π а б у 1 + ( d у d Икс ) 2 d Икс знак равно 2 π а б ж ( Икс ) 1 + ( ж ( Икс ) ) 2 d Икс {\ displaystyle A_ {x} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} y {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} \, dx = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + {\ big (} f '(x) {\ big)} ^ {2}}} \, dx}

для вращения вокруг оси x, и

А у знак равно 2 π а б Икс 1 + ( d у d Икс ) 2 d Икс {\ displaystyle A_ {y} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} \, dx}

для вращения вокруг оси y (при условии a ≥ 0). Они взяты из приведенной выше формулы.

Например, сферическая поверхность с единичным радиусом образована кривой y ( t) = sin ( t), x ( t) = cos ( t), когда t пробегает [0, π]. Следовательно, его площадь

А знак равно 2 π 0 π грех ( т ) ( потому что ( т ) ) 2 + ( грех ( т ) ) 2 d т знак равно 2 π 0 π грех ( т ) d т знак равно 4 π . {\ displaystyle {\ begin {align} A amp; {} = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (t) {\ sqrt {{\ big (} \ cos (t) {\ big) } ^ {2} + {\ big (} \ sin (t) {\ big)} ^ {2}}} \, dt \\ amp; {} = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (t) \, dt \\ amp; {} = 4 \ pi. \ end {align}}}

Для случая сферической кривой с радиусом г, у ( х) = √ г 2 - х 2 повернуты примерно х Оу

А знак равно 2 π - р р р 2 - Икс 2 1 + Икс 2 р 2 - Икс 2 d Икс знак равно 2 π р - р р р 2 - Икс 2 1 р 2 - Икс 2 d Икс знак равно 2 π р - р р d Икс знак равно 4 π р 2 {\ displaystyle {\ begin {align} A amp; {} = 2 \ pi \ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \, {\ sqrt { 1 + {\ frac {x ^ {2}} {r ^ {2} -x ^ {2}}}}} \, dx \\ amp; {} = 2 \ pi r \ int _ {- r} ^ { r} \, {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \, {\ sqrt {\ frac {1} {r ^ {2} -x ^ {2}}}} \, dx \\ amp; {} = 2 \ pi r \ int _ {- r} ^ {r} \, dx \\ amp; {} = 4 \ pi r ^ {2} \, \ end {выровнено}}}

Минимальная поверхность вращения является поверхностью вращения кривого между двумя заданными точками, которые сводят к минимуму площади поверхности. Основная проблема вариационного исчисления - найти кривую между двумя точками, которая дает эту минимальную поверхность вращения.

Есть только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения, которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид.

Координатные выражения

Поверхность вращения, задаваемая вращением кривой, описываемой вокруг оси x, проще всего описать в цилиндрических координатах с помощью. В декартовых координатах это дает параметризацию в терминах и as. Если вместо этого мы повернем кривую вокруг оси y, тогда кривая будет описана в цилиндрических координатах с помощью, давая выражение в терминах параметров и. у знак равно ж ( Икс ) {\ Displaystyle у = е (х)} р знак равно ж ( z ) {\ Displaystyle г = е (г)} z {\ displaystyle z} θ {\ displaystyle \ theta} ( ж ( z ) потому что ( θ ) , ж ( z ) грех ( θ ) , z ) {\ Displaystyle (е (г) \ соз (\ тета), е (г) \ грех (\ тета), г)} z знак равно ж ( р ) {\ Displaystyle г = е (г)} ( р потому что ( θ ) , р грех ( θ ) , ж ( р ) ) {\ Displaystyle (р \ соз (\ тета), г \ грех (\ тета), е (г))} р {\ displaystyle r} θ {\ displaystyle \ theta}

Если x и y определены в терминах параметра, то мы получаем параметризацию в терминах и. Если и являются функциями от, то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается в цилиндрических координатах параметрическим уравнением, а поверхность вращения, полученной вращением кривой вокруг оси y, описывается как. В декартовых координатах они (соответственно) становятся и. Приведенные выше формулы для площади поверхности затем следуют путем вычисления поверхностного интеграла постоянной функции 1 по поверхности с использованием этих параметризаций. т {\ displaystyle t} т {\ displaystyle t} θ {\ displaystyle \ theta} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} т {\ displaystyle t} ( р , θ , z ) знак равно ( у ( т ) , θ , Икс ( т ) ) {\ Displaystyle (г, \ тета, г) = (у (т), \ тета, х (т))} ( р , θ , z ) знак равно ( Икс ( т ) , θ , у ( т ) ) {\ Displaystyle (г, \ тета, г) = (х (т), \ тета, у (т))} ( у ( т ) потому что ( θ ) , у ( т ) грех ( θ ) , Икс ( т ) ) {\ Displaystyle (у (т) \ соз (\ тета), у (т) \ грех (\ тета), х (т))} ( Икс ( т ) потому что ( θ ) , Икс ( т ) грех ( θ ) , у ( т ) ) {\ Displaystyle (х (т) \ соз (\ тета), х (т) \ грех (\ тета), у (т))}

Геодезические

Меридианы - это всегда геодезические на поверхности вращения. Остальные геодезические регулируются соотношением Клеро.

Тороиды

Основная статья: Тороид Тороид, образованный из квадрата

Поверхность вращения с отверстием, ось вращения которой не пересекает поверхность, называется тороидом. Например, когда прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной одному из его краев, получается полое кольцо квадратного сечения. Если вращающаяся фигура представляет собой круг, то объект называется тором.

Приложения

Использование поверхностей вращения необходимо во многих областях физики и техники. Когда определенные объекты проектируются в цифровом виде, такие обороты можно использовать для определения площади поверхности без использования измерения длины и радиуса проектируемого объекта.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Мидлмисс; Метки; Умная. «15-4. Поверхности революции». Аналитическая геометрия (3-е изд.). п. 378. LCCN   68015472.
  2. ^ Уилсон, Вашингтон; Трейси, JI (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренное издание), DC Heath and Co., стр. 227
  3. ^ Томас, Джордж Б. "6.7: Площадь поверхности вращения; 6.11: Теоремы Паппа". Исчисление (3-е изд.). С. 206–209, 217–219. LCCN   69016407.
  4. Перейти ↑ Singh, RR (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN   0-07-014615-2.
  5. ^ Swokowski, Earl W. (1983), исчисление с аналитической геометрии (Alternate ред.), Prindle, Weber amp; Schmidt, стр.  617, ISBN   0-87150-341-7
  6. ^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Минимальная поверхность вращения". MathWorld.
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Катеноид". MathWorld.
  8. ^ Прессли, Эндрю. «Глава 9 - Геодезические». Элементарная дифференциальная геометрия, 2-е изд., Springer, London, 2012, стр. 227–230.
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Тороид". MathWorld.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-29 08:41:13
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте