В трехмерной геометрии, наклонные линии - это две линии, которые не пересекают и являются не параллельный. Простым примером пары косых прямых является пара прямых, проходящих через противоположные края правильного тетраэдра. Две прямые, лежащие в одной плоскости, должны либо пересекать друг друга, либо быть параллельны, поэтому наклонные линии могут существовать только в трех или более измерениях . Две линии перекосятся тогда и только тогда, когда они не копланарны.
Если четыре точки выбраны случайным образом равномерно в пределах единицы куба, они почти наверняка определить пару косых линий. После выбора первых трех точек четвертая точка будет определять линию без перекоса, если и только если она копланарна с первыми тремя точками. Однако плоскость, проходящая через первые три точки, образует подмножество нулевой меры куба, и вероятность того, что четвертая точка лежит на этой плоскости, равна нулю. В противном случае линии, определяемые точками, будут наклонены.
Точно так же в трехмерном пространстве очень небольшое возмущение любых двух параллельных или пересекающихся линий почти наверняка превратит их в кривые. Следовательно, любые четыре точки в общем положении всегда образуют косые линии.
В этом смысле наклонные линии являются «обычным» случаем, а параллельные или пересекающиеся прямые - частными случаями.
Если каждая линия в паре наклонных линий определяется двумя точками, через которые она проходит, то эти четыре точки не должны быть копланарными, поэтому они должны быть вершинами тетраэдра ненулевого объема. И наоборот, любые две пары точек, определяющие тетраэдр ненулевого объема, также определяют пару косых линий. Следовательно, проверка того, определяют ли две пары точек косые линии, заключается в применении формулы для объема тетраэдра через четыре его вершины. Обозначая одну точку как вектор 1 × 3 a, три элемента которого являются тремя значениями координат точки, и аналогичным образом обозначая b, cи d для других точек, мы можем проверить, линия через a и b перекошена к линии через c и d, если посмотреть, дает ли формула объема тетраэдра не- нулевой результат:
Для вычисления расстояния между двумя наклонными линиями может быть выражено с помощью векторов:
Здесь вектор 1 × 3 x представляет произвольную точку на линии, проходящей через определенную точку a с b, представляющим направление линии, и значением действительного числа , определяющим, где находится точка на линии, и аналогично для произвольной точки y на линии, проходящей через конкретную точку c в направлении d.
, векторное произведение of b и d перпендикулярно линиям, как и единичный вектор
Расстояние между строки тогда
(если | b× d| равно нулю, линии параллельны, и этот метод не может быть используемый).
Выражение двух линий как векторов:
Линия 1:
Строка 2:
перекрестное произведение из и перпендикулярно линиям.
Плоскость, образованная переводами строки 2 вдоль содержит точку и перпендикулярно .
Таким образом, точка пересечения прямой 1 с вышеупомянутая плоскость, которая также является ближайшей к линии 2 точкой на линии 1, задается формулой
Аналогично задается точка на строке 2, ближайшая к строке 1 по (где )
Теперь и образуют самый короткий отрезок линии, соединяющий линию 1 и линию 2.
Конфигурация наклонных линий - это набор линий, в которых все пары наклонены. Две конфигурации называются изотопными, если можно непрерывно преобразовывать одну конфигурацию в другую, сохраняя на протяжении всего преобразования инвариант, что все пары линий остаются перекосами. Любые две конфигурации из двух линий легко увидеть как изотопные, а конфигурации с одинаковым количеством линий в размерах больше трех всегда изотопны, но существует несколько неизотопных конфигураций из трех или более линий в трех измерениях (Виро и Виро 1990). Количество неизотопных конфигураций n строк в R, начиная с n = 1, составляет
Если повернуть линию L вокруг другой линии M, наклоненной, но не перпендикулярной ей, поверхность вращения сместится на L - это гиперболоид одного листа. Например, три гиперболоида, видимые на иллюстрации, могут быть сформированы таким образом, вращая линию L вокруг центральной белой вертикальной линии M. Копии L на этой поверхности образуют Regulus ; гиперболоид также содержит второе семейство линий, которые также наклонены к M на том же расстоянии, что и L от него, но с противоположным углом, которые образуют противоположный регулятор. Два регуляра отображают гиперболоид как линейчатая поверхность.
аффинное преобразование этой линейчатой поверхности дает поверхность, которая обычно имеет эллиптическое поперечное сечение, а не круговое поперечное сечение, полученное вращением L вокруг L '; такие поверхности также называют гиперболоидами одного листа, и они снова управляются двумя семействами взаимно наклонных линий. Третий тип линейчатой поверхности - это гиперболический параболоид. Подобно гиперболоиду одного листа, гиперболоидный параболоид имеет два семейства наклонных линий; в каждом из двух семейств линии параллельны общей плоскости, но не друг другу. Любые три косые линии в R лежат ровно на одной линейчатой поверхности одного из этих типов (Hilbert Cohn-Vossen 1952).
Если все три наклонные прямые пересекаются с тремя другими наклонными линиями, любая трансверсаль первого набора из трех встречает любую трансверсаль второго набора.
более высоких измерений В пространстве более высоких измерений квартира размерности k называется k-плоскостью. Таким образом, линию можно также назвать 1-бемольской.
Обобщая концепцию косых линий на d-мерное пространство, i-плоскость и j-плоскость могут быть перекосом, если i + j < d. As with lines in 3-space, skew flats are those that are neither parallel nor intersect.
In affine d- пробел, две плоскости любой размерности могут быть параллельны. Однако в проективном пространстве параллелизма не существует; две квартиры должны либо пересекаться, либо быть перекошены. Пусть I - множество точек на i-плоскости, а J - множество точек на j-плоскости. В проективном d-пространстве, если i + j ≥ d, то пересечение I и J должно содержать (i + j − d) -плоскость. (0-плоскость - это точка.)
В любой геометрии, если I и J пересекаются в k-плоскости при k ≥ 0, то точки I ∪ J определяют a (i + j− л) -плоскость.