Войти
В геометрии, плоский или Евклидово подпространство - это подмножество евклидова пространства, которое само является евклидовым пространством (нижнего размер ). Плоскости в двумерном пространстве - это точки и линии, а плоскости в трехмерном пространстве - это точки, линии и плоскости.
В n-мерном пространстве есть квартиры любого измерения от 0 до n - 1. Плоскости размерности n - 1 называются гиперплоскостями.
Плоскости - это аффинные подпространства. евклидовых пространств, что означает, что они похожи на линейные подпространства, за исключением того, что им не нужно проходить через начало . Плоскости встречаются в линейной алгебре как геометрические реализации наборов решений систем линейных уравнений.
Плоскость - это многообразие и алгебраическое многообразие, и иногда его называют линейным многообразием или линейным многообразием, чтобы отличить его от других многообразий или многообразий.
Квартира можно описать системой линейных уравнений. Например, линия в двумерном пространстве может быть описана одним линейным уравнением, включающим x и y:
В трех- Пространство измерений, одно линейное уравнение, включающее x, y и z, определяет плоскость, в то время как пара линейных уравнений может использоваться для описания линии. В общем, линейное уравнение от n переменных описывает гиперплоскость, а система линейных уравнений описывает пересечение этих гиперплоскостей. Предполагая, что уравнения согласованы и линейно независимы, система k уравнений описывает плоскость размерности n - k.
Плоский также можно описать системой линейных параметрических уравнений. Линия может быть описана уравнениями с одним параметром :
в то время как описание самолета потребует двух параметров:
В общем случае для параметризации квартиры размерности k требуются параметры t 1,…, t k.
пересечение квартир - это либо квартира, либо пустой набор.
Если каждая линия от одной квартиры параллельна некоторой прямой от другой квартиры, то эти две квартиры параллельны. Две параллельные плоскости одного размера либо совпадают, либо не пересекаются; их можно описать двумя системами линейных уравнений, различающихся только правыми частями.
Если квартиры не пересекаются, и никакая линия от первой квартиры не параллельна линии от второй квартиры, то это наклонные плоскости. Это возможно только в том случае, если сумма их размеров меньше габаритов окружающего пространства.
Для двух плоскостей размеров k 1 и k 2 существует минимальная квартира, которая их содержит, размерности не более k 1 + k 2 + 1. Если две плоскости пересекаются, то размер вмещающей плоскости равен k 1 + k 2 минус размер перекрестка.
Эти две операции (именуемые как встреча и соединение) делают набор всех плоскостей в евклидовом n-пространстве решеткой и могут создавать систематические координаты квартир в любом измерении, ведущие к координатам Грассмана или двойным координатам Грассмана. Например, линия в трехмерном пространстве определяется двумя разными точками или двумя разными плоскостями.
Однако решетка всех квартир не является распределительной решеткой. Если две прямые ℓ 1 и ℓ 2 пересекаются, то ℓ 1 ∩ ℓ 2 является точкой. Если p - точка, не лежащая в одной плоскости, то (ℓ 1 ∩ ℓ 2) + p = (ℓ 1 + p) ∩ (ℓ 2 + p), оба представляют линию. Но когда 1 и ℓ 2 параллельны, эта дистрибутивность не работает, давая p в левой части и третью параллельную линию в правой боковая сторона.
Вышеупомянутые факты не зависят от структуры евклидова пространства (а именно, включают евклидово расстояние ) и верны в любом аффинном пробел. В евклидовом пространстве:
