Войти
Аполлоновские круги, два ортогональных пучка окружностей В геометрии, карандаш - это семейство геометрических объектов с общим свойством, например набор линий, проходящих через данную точку на плоскости плоскости, или набор кругов, которые проходят через две заданные точки на плоскости.
Хотя определение карандаша довольно расплывчато, общей характеристикой является то, что карандаш полностью определяется любыми двумя его элементами. Аналогично, набор геометрических объектов, который определяется любыми тремя его членами, называется связкой. Таким образом, набор всех прямых, проходящих через точку в трехмерном пространстве, представляет собой пучок прямых, любые две из которых определяют пучок прямых. Чтобы подчеркнуть двухмерность такого карандаша, его иногда называют плоским карандашом
В карандаше можно использовать любой геометрический объект. Наиболее распространенными являются линии, плоскости, круги, коники, сферы и общие кривые. Можно использовать даже очки. Пучок точек - это множество всех точек на заданной прямой. Более общий термин для этого набора - диапазон точек.
В плоскости пусть u и v будут двумя разными пересекающимися линиями. Для конкретности предположим, что u имеет уравнение aX + bY + c = 0, а v имеет уравнение a'X + b'Y + c ′ = 0. Тогда
представляет, для подходящих скаляров λ и μ, любая прямая, проходящая через пересечение u = 0 и v = 0. Этот набор прямых, проходящих через общую точку, называется пучком прямых . Точка пересечения пучка прямых называется вершиной пучка.
В аффинной плоскости с рефлексивным вариантом параллелизма набор параллельных прямых образует класс эквивалентности, называемый карандашом. параллельных прямых . Эта терминология согласуется с приведенным выше определением, поскольку в единственном проективном расширении аффинной плоскости до проективной плоскости к каждой прямой в пучке добавляется одна точка (точка на бесконечности ). параллельных прямых, что делает его пучком в указанном выше смысле на проективной плоскости.
A карандаш плоскостей - это набор плоскостей, проходящих через заданную прямую линию в трехмерном пространстве, называемую осью карандаша. Карандаш иногда называют осевым карандашом, или веером, или связкой. Например, меридианы земного шара определяются набором плоскостей на оси вращения Земли.
Две пересекающиеся плоскости встречаются на одной линии в трех пространствах, и таким образом определяют ось и, следовательно, все плоскости в карандаше.
В пространствах более высоких измерений пучок гиперплоскостей состоит из всех гиперплоскостей, содержащих подпространство коразмерности 2. Такой пучок определяется любыми двумя его членами.
Любые две окружности на плоскости имеют общую радикальную ось, которая представляет собой линию, состоящую из всех точек, имеющих одинаковую степень . по отношению к двум окружностям. Пучок окружностей (или коаксиальная система ) - это совокупность всех окружностей на плоскости с одной и той же радикальной осью. Говорят, что концентрические окружности содержат линию на бесконечности в качестве радикальной оси.
Существует пять типов карандашей кругов, два семейства аполлонических кругов на иллюстрации выше представляют два из них. Каждый тип определяется двумя кружками, называемыми образующими карандаша. При алгебраическом описании уравнения могут допускать мнимые решения. Типы следующие:
Окружность, ортогональная двум фиксированным окружностям, ортогональна каждой окружности в карандаше, который они определяют.
Окружности, ортогональные двум фиксированным окружностям, образуют пучок окружностей.
Два круга определяют два пучка: единственный пучок, который их содержит, и пучок окружностей, ортогональных им. Коренная ось одного карандаша состоит из центров окружностей другого карандаша. Если один пучок имеет эллиптический тип, другой - гиперболический, и наоборот.
Радикальная ось любого пучка окружностей, интерпретируемого как окружность бесконечного радиуса, принадлежит этому пучку. Любые три окружности принадлежат одному пучку, если все три пары имеют одну и ту же радикальную ось, а их центры коллинеарны.
Между окружностями на плоскости и точками существует естественное соответствие в трехмерном проективном пространстве ; прямая в этом пространстве соответствует одномерному непрерывному семейству окружностей, поэтому пучок точек в этом пространстве - это пучок окружностей на плоскости.
В частности, уравнение круга радиуса r с центром в точке (p, q),
можно переписать как
где α = 1, β = p, γ = q и δ = p + q - r. В этой форме умножение четверки (α, β, γ, δ) на скаляр дает другую четверку, которая представляет тот же круг; таким образом, эти четверки можно рассматривать как однородные координаты для пространства окружностей. Прямые линии также могут быть представлены уравнением этого типа, в котором α = 0, и их следует рассматривать как вырожденную форму круга. Когда α ≠ 0, мы можем найти p = β / α, q = γ / α и r = √ (p + q - δ / α); последняя формула может дать r = 0 (в этом случае окружность вырождается в точку) или r равным мнимому числу (в этом случае четверка (α, β, γ, δ) называется равной представляют собой воображаемый круг).
Набор аффинных комбинаций двух окружностей (α 1,β1,γ1,δ1), (α 2,β2,γ2,δ2), то есть набор кругов, представленный четверкой
для некоторого значения параметра z образует карандаш; два круга - образующие карандаша.
кардиоида как огибающая пучка кругов Другой тип пучка кругов можно получить следующим образом. Рассмотрим данную окружность (называемую образующей окружностью) и выделенную точку P на образующей окружности. Набор всех окружностей, которые проходят через точку P и имеют свои центры на образующей окружности, образуют пучок окружностей. Огибающая этого карандаша представляет собой кардиоид.
Сфера однозначно определяется четырьмя точками, которые не копланарны. В более общем плане сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. Д. Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарных точки определяют уникальный круг в самолет.
Следовательно, сфера однозначно определяется окружностью (то есть проходит через нее) и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.
Изучив общие решения уравнений двух сфер, можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, и плоскость, содержащая этот круг, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, окружность может быть мнимой (у сфер нет общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке).
Если f (x, y, z) = 0 и g (x, y, z) = 0 - уравнения двух различных сфер, тогда
также является уравнением сферы для произвольных значений параметров λ и μ. Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер, определяемым двумя исходными сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, тогда все сферы пучка являются плоскостями, в противном случае в плоскости есть только одна плоскость (радикальная плоскость). карандаш.
Если пучок сфер не состоит из всех плоскостей, то есть три типа пучков:
Все касательные от фиксированной точки радикальной плоскости к сферам карандаша имеют одинаковую длину.
Коренная плоскость - это геометрическое место центров всех сфер, ортогональных всем сферам в пучке. Более того, сфера, ортогональная любым двум сферам пучка сфер, ортогональна всем из них, а ее центр лежит в радикальной плоскости пучка.
A (не -вырожденная) коника полностью определяется пятью точками в общем положении (без трех коллинеарных) на плоскости и системой коник, которые проходят через фиксированный набор из четырех точек (опять же в плоскости, а не трех коллинеарных).) называется пучком коник . Четыре общие точки называются базовыми точками карандаша. Через любую точку, кроме базовой, проходит единственная коника карандаша. Это понятие обобщает пучок окружностей.
В проективной плоскости, определенной над алгебраически замкнутым полем, любые две коники пересекаются в четырех точках (с учетом кратности), и поэтому определите пучок коник на основе эти четыре точки. Кроме того, четыре базовые точки определяют три пары прямых (вырожденные коники через базовые точки, каждая линия пары содержит ровно две базовые точки), и поэтому каждый пучок коник будет содержать не более трех вырожденных коник.
Пучок коник алгебраически можно представить следующим образом. Пусть C 1 и C 2 - две различные коники на проективной плоскости, определенные над алгебраически замкнутым полем K. Для любой пары λ, μ элементов K, не равных нулю, выражение:
представляет собой конус в карандаше, определяемый C 1 и C 2. Это символическое представление может быть конкретизировано с небольшим злоупотреблением нотацией (используя ту же нотацию для обозначения объекта, а также уравнение, определяющее объект.) Думая о C 1, скажем, как о троичном квадратичная форма, то C 1 = 0 является уравнением «коники C 1 ». Другая конкретная реализация может быть получена, если рассматривать C 1 как симметричную матрицу 3 × 3, которая его представляет. Если C 1 и C 2 имеют такие конкретные реализации, то каждый член вышеупомянутого карандаша также будет. Поскольку в настройке используются однородные координаты на проективной плоскости, два конкретных представления (уравнения или матрицы) дают одну и ту же конику, если они отличаются ненулевой мультипликативной константой.
В более общем смысле, карандаш - это частный случай линейной системы делителей, в которой пространство параметров представляет собой проекционная линия. Типичные пучки кривых на проективной плоскости, например, записываются как
где C = 0, C ′ = 0 - плоские кривые.
Дезаргу приписывают изобретение термина «карандаш линий» (ordonnance de lignes).
Ранний автор современной проективной геометрии Г. Б. Хальстед ввел много терминов, большинство из которых теперь считаются архаичными. Например, «Прямые с одним и тем же крестом - соучастны». Также «Совокупность всех копланарных копунктальных прямых называется плоским карандашом» и «Часть плоского карандаша, ограниченная двумя прямыми как сторонами, называется углом».
