Средняя кривизна

редактировать

В математике, то средняя кривизна из поверхности является внешней мерой кривизны, которая исходит из дифференциальной геометрии и что локально описывает кривизну встроенной поверхности в некотором окружающем пространстве, например евклидово пространства. ЧАС {\ displaystyle H} S {\ displaystyle S}

Эта концепция была использована Софи Жермен в ее работе по теории упругости. Жан Батист Мари Менье использовал его в 1776 году в своих исследованиях минимальных поверхностей. Это важно при анализе минимальных поверхностей, которые имеют нулевую среднюю кривизну, и при анализе физических границ раздела между жидкостями (такими как мыльные пленки ), которые, например, имеют постоянную среднюю кривизну в статических потоках, с помощью уравнения Юнга-Лапласа.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Поверхности в трехмерном пространстве
    • 1.2 Неявная форма средней кривизны
  • 2 Средняя кривизна в механике жидкости
  • 3 Минимальные поверхности
    • 3.1 Поверхности CMC
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки

Определение

Позвольте быть точкой на поверхности. Каждая плоскость, проходящая через нормальную линию, проходит через (плоскую) кривую. Фиксация выбора единицы измерения нормали дает кривизну со знаком для этой кривой. Поскольку плоскость поворачивается на угол (всегда содержащий нормальную линию), кривизна может изменяться. Максимальная кривизна и минимальная кривизна известны как главные кривизны в. п {\ displaystyle p} S {\ displaystyle S} п {\ displaystyle p} S {\ displaystyle S} S {\ displaystyle S} θ {\ displaystyle \ theta} κ 1 {\ displaystyle \ kappa _ {1}} κ 2 {\ displaystyle \ kappa _ {2}} S {\ displaystyle S}

Тогда средняя кривизна в точке представляет собой среднее значение кривизны со знаком по всем углам: п S {\ displaystyle p \ in S} θ {\ displaystyle \ theta}

ЧАС знак равно 1 2 π 0 2 π κ ( θ ) d θ {\ Displaystyle Н = {\ гидроразрыва {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ kappa (\ theta) \; d \ theta}.

Применяя теорему Эйлера, это равно среднему значению главных кривизны ( Спивак 1999, том 3, глава 2):

ЧАС знак равно 1 2 ( κ 1 + κ 2 ) . {\ displaystyle H = {1 \ over 2} (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}).}

В более общем смысле ( Спивак 1999, том 4, глава 7) для гиперповерхности средняя кривизна задается как Т {\ displaystyle T}

ЧАС знак равно 1 п я знак равно 1 п κ я . {\ displaystyle H = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ kappa _ {i}.}

Говоря более абстрактно, средняя кривизна - это след второй фундаментальной формы, деленный на n (или, что то же самое, оператор формы ).

Кроме того, средняя кривизна может быть записана в терминах ковариантной производной как ЧАС {\ displaystyle H} {\ displaystyle \ nabla}

ЧАС п знак равно г я j я j Икс , {\ displaystyle H {\ vec {n}} = g ^ {ij} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} X,}

используя соотношения Гаусса-Вейнгартена, где это гладко вложенная гиперповерхность, блок вектор нормали, и метрический тензор. Икс ( Икс ) {\ Displaystyle X (х)} п {\ displaystyle {\ vec {n}}} г я j {\ displaystyle g_ {ij}}

Поверхность является минимальной тогда и только тогда, когда средняя кривизна равна нулю. Кроме того, говорят, что поверхность, которая развивается под действием средней кривизны поверхности, подчиняется уравнению теплового типа, называемому уравнением потока средней кривизны. S {\ displaystyle S}

Сфера является единственным встроенной поверхностью постоянной положительной средней кривизны без краев или особенностей. Однако результат неверен, когда условие «погруженная поверхность» ослаблено до «погруженной поверхности».

Поверхности в 3D пространстве

Для поверхности, определенной в трехмерном пространстве, средняя кривизна связана с единичной нормалью к поверхности:

2 ЧАС знак равно - п ^ {\ Displaystyle 2H = - \ набла \ cdot {\ шляпа {п}}}

где выбранная нормаль влияет на знак кривизны. Знак кривизны зависит от выбора нормали: кривизна положительна, если поверхность изгибается «в сторону» нормали. Вышеприведенная формула верна для поверхностей в трехмерном пространстве, определенных любым способом, при условии, что можно вычислить расхождение единичной нормали. Также можно рассчитать среднюю кривизну

2 ЧАС знак равно След ( ( я я ) ( я - 1 ) ) {\ displaystyle 2H = {\ text {Trace}} ((\ mathrm {II}) (\ mathrm {I} ^ {- 1}))}

где I и II обозначают первую и вторую матрицы квадратичной формы соответственно.

Если - параметризация поверхности и два линейно независимых вектора в пространстве параметров, то средняя кривизна может быть записана в терминах первой и второй фундаментальных форм как S ( Икс , у ) {\ Displaystyle S (х, у)} ты , v {\ displaystyle u, v}

л г - 2 м F + п E 2 ( E г - F 2 ) {\ displaystyle {\ frac {lG-2mF + nE} {2 (EG-F ^ {2})}}} где. E знак равно я ( ты , ты ) , F знак равно я ( ты , v ) , г знак равно я ( v , v ) , л знак равно я я ( ты , ты ) , м знак равно я я ( ты , v ) , п знак равно я я ( v , v ) {\ displaystyle E = \ mathrm {I} (u, u), F = \ mathrm {I} (u, v), G = \ mathrm {I} (v, v), l = \ mathrm {II} ( u, u), m = \ mathrm {II} (u, v), n = \ mathrm {II} (v, v)}

Для особого случая поверхности, определенной как функция двух координат, например, и с использованием направленной вверх нормали выражение (удвоенной) средней кривизны имеет вид z знак равно S ( Икс , у ) {\ Displaystyle г = S (х, у)}

2 ЧАС знак равно - ( ( z - S ) | ( z - S ) | ) знак равно ( S - z 1 + | S | 2 ) знак равно ( 1 + ( S Икс ) 2 ) 2 S у 2 - 2 S Икс S у 2 S Икс у + ( 1 + ( S у ) 2 ) 2 S Икс 2 ( 1 + ( S Икс ) 2 + ( S у ) 2 ) 3 / 2 . {\ Displaystyle {\ begin {align} 2H amp; = - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla (zS)} {| \ nabla (zS) |}} \ right) \\ amp; = \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla S- \ nabla z} {\ sqrt {1+ | \ nabla S | ^ {2}}}} \ right) \\ amp; = {\ frac {\ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial x}} \ right) ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial y ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ partial S} {\ partial x}} {\ frac {\ partial S} {\ partial y}} {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial x \ partial y}} + \ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial x ^ { 2}}}} {\ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}. \ end {align}}}

В частности, в точке, где средняя кривизна составляет половину следа матрицы Гессе. S знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла S = 0} S {\ displaystyle S}

Если поверхность дополнительно известно, что аксиально - симметричное с, z знак равно S ( р ) {\ Displaystyle Z = S (г)}

2 ЧАС знак равно 2 S р 2 ( 1 + ( S р ) 2 ) 3 / 2 + S р 1 р ( 1 + ( S р ) 2 ) 1 / 2 , {\ displaystyle 2H = {\ frac {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial r ^ {2}}} {\ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} + {\ frac {\ partial S} {\ partial r}} {\ frac {1} {r \ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {1/2}}},}

где происходит от производной от. S р 1 р {\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial r}} {\ frac {1} {r}}} z знак равно S ( р ) знак равно S ( Икс 2 + у 2 ) {\ displaystyle z = S (r) = S \ left (\ scriptstyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}

Неявная форма средней кривизны

Среднюю кривизну поверхности, заданной уравнением, можно вычислить с помощью градиента и матрицы Гессе. F ( Икс , у , z ) знак равно 0 {\ Displaystyle F (х, y, z) = 0} F знак равно ( F Икс , F у , F z ) {\ displaystyle \ nabla F = \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial F} {\ partial y}}, {\ frac {\ partial F} {\ частичный z}} \ right)}

Hess ( F ) знак равно ( 2 F Икс 2 2 F Икс у 2 F Икс z 2 F у Икс 2 F у 2 2 F у z 2 F z Икс 2 F z у 2 F z 2 ) . {\ displaystyle \ textstyle {\ t_dv {Hess}} (F) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial x ^ {2}}} amp; {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial x \ partial y}} amp; {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial x \ partial z}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial y \ partial x}} amp; {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial y ^ {2}}} amp; {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial y \ partial z}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial z \ partial x}} amp; {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial z \ partial y} } amp; {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial z ^ {2}}} \ end {pmatrix}}.}

Средняя кривизна определяется как:

ЧАС знак равно F   Hess ( F )   F Т - | F | 2 След ( Hess ( F ) ) 2 | F | 3 {\ displaystyle H = {\ frac {\ nabla F \ {\ t_dv {Hess}} (F) \ \ nabla F ^ {\ mathsf {T}} - | \ nabla F | ^ {2} \, {\ text {След}} ({\ t_dv {Hess}} (F))} {2 | \ nabla F | ^ {3}}}}

Другая форма - это дивергенция как единичная норма. Единичная нормаль равна, а средняя кривизна равна F | F | {\ displaystyle {\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}}}

ЧАС знак равно - 1 2 ( F | F | ) . {\ displaystyle H = - {\ frac {1} {2}} \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}} \ right).}

Средняя кривизна в механике жидкости

В механике жидкости иногда используется альтернативное определение, чтобы избежать двух факторов:

ЧАС ж знак равно ( κ 1 + κ 2 ) {\ Displaystyle Н_ {е} = (\ каппа _ {1} + \ каппа _ {2}) \,}.

Это приводит к тому, что давление согласно уравнению Юнга-Лапласа внутри равновесной сферической капли составляет времена поверхностного натяжения ; две кривизны равны обратной величине радиуса капли ЧАС ж {\ displaystyle H_ {f}}

κ 1 знак равно κ 2 знак равно р - 1 {\ Displaystyle \ каппа _ {1} = \ каппа _ {2} = г ^ {- 1} \,}.

Минимальные поверхности

Визуализация минимальной поверхности Косты. Основная статья: Минимальная поверхность

Минимальная поверхность является поверхностью, которая имеет нулевую среднюю кривизну во всех точках. Классические примеры включают катеноид, геликоид и поверхность Эннепера. Недавние открытия включают минимальную поверхность Косты и гироид.

CMC поверхности

Основная статья: Поверхность постоянной средней кривизны

Расширением идеи минимальной поверхности являются поверхности постоянной средней кривизны. Поверхности единичной постоянной средней кривизны в гиперболическом пространстве называются поверхностями Брайанта.

Смотрите также

Ноты

Рекомендации

  • Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Тома 3-4) (3-е изд.), Publish or Perish Press, ISBN   978-0-914098-72-0, (Том 3), (Том 4).
  • П. Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей. Springer. ISBN   978-1-4614-7866-9.
Последняя правка сделана 2024-01-02 04:10:48
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте