В математике, таблица умножения (иногда, менее формальный языке, раз таблица) является математической таблица используется для определения умножения операции для алгебраической системы.
Десятичная таблица умножения традиционно преподаются в качестве неотъемлемой части элементарной арифметики во всем мире, так как она закладывает основу для арифметических операций с базовыми-десятью номерами. Многие педагоги считают, что таблицу нужно запоминать до 9х9.
Самые старые известные таблицы умножения использовались вавилонянами около 4000 лет назад. Однако они использовали основание 60. Самые старые известные таблицы с основанием 10 - это китайская десятичная таблица умножения на бамбуковых полосках, датируемая примерно 305 г. до н.э., во время периода Сражающихся царств Китая.
"Таблица Пифагора" на костях НапьераТаблицу умножения иногда приписывают древнегреческому математику Пифагору (570–495 до н.э.). Ее также называют Таблицей Пифагора на многих языках (например, французском, итальянском и русском), иногда на английском. Греко-римский математик Nichomachus (60-120 н.э.), последователь Неопифагореизм, включал в себя таблицу умножения в его Введении в арифметику, в то время как старейшая греческая таблица умножения на восковые таблетках, приуроченных к 1 веку нашей эре и в настоящее время размещена в Британский музей.
В 493 году нашей эры Викториус Аквитанский написал таблицу умножения из 98 столбцов, которая давала ( римскими цифрами ) произведение каждого числа от 2 до 50 раз, а строки представляли собой «список чисел, начинающийся с тысячи, убывающий по сотням до единицы. сто, затем по убыванию от десятков до десяти, затем от единиц до одного, а затем до дробей до 1/144 ".
В своей книге 1820 года «Философия арифметики» математик Джон Лесли опубликовал таблицу умножения размером до 99 × 99, которая позволяет умножать числа попарно за один раз. Лесли также рекомендовала юным ученикам заучивать таблицу умножения до 50 × 50.
На приведенном ниже рисунке показана таблица размером до 12 × 12, которая в наши дни широко используется в школах с английским языком.
× | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 год | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 год | 32 | 36 | 40 | 44 год | 48 |
5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 год | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
7 | 0 | 7 | 14 | 21 год | 28 год | 35 год | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 год | 90 | 99 | 108 |
10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
11 | 0 | 11 | 22 | 33 | 44 год | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 |
12 | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 |
Однако в Китае, поскольку умножение целых чисел коммутативно, многие школы используют меньшую таблицу, как показано ниже. Некоторые школы даже удаляют первый столбец, поскольку 1 - это мультипликативная идентичность.
1 | 1 | ||||||||
2 | 2 | 4 | |||||||
3 | 3 | 6 | 9 | ||||||
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | |||||
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | ||||
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | |||
7 | 7 | 14 | 21 год | 28 год | 35 год | 42 | 49 | ||
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 год |
× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Традиционное заучивание умножения основывалось на запоминании столбцов в таблице в такой форме, как
1 × 10 = 10 2 × 10 = 20 3 × 10 = 30 4 × 10 = 40 5 × 10 = 50 6 × 10 = 60 7 × 10 = 70 8 × 10 = 80 9 × 10 = 90
Эта форма записи таблицы умножения в столбцы с полными числовыми предложениями все еще используется в некоторых странах, таких как Босния и Герцеговина, вместо современных сеток, описанных выше.
В таблице умножения есть образец, который помогает людям легче запоминать таблицу. Он использует цифры ниже:
→ | → | |||||||||
↑ | 1 | 2 | 3 | ↓ | ↑ | 2 | 4 | ↓ | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 5 | 6 | ||||||||
7 | 8 | 9 | 6 | 8 | ||||||
← | ← | |||||||||
0 | 5 | 0 | ||||||||
Рисунок 1: Нечетный | Рисунок 2: Даже |
Рисунок 1 используется для кратных 1, 3, 7 и 9. Рисунок 2 используется для кратных 2, 4, 6 и 8. Эти шаблоны можно использовать для запоминания кратных любых чисел от 0 до 10, кроме 5. Так же, как вы начинаете с числа, которое вы умножаете, при умножении на 0 вы остаетесь на 0 (0 является внешним, поэтому стрелки не влияют на 0, в противном случае 0 используется в качестве ссылки для создания вечного цикла.). Шаблон также работает с числами, кратными 10, начиная с 1 и просто добавляя 0, что дает вам 10, а затем просто применяйте каждое число в шаблоне к единице «десятки», как вы обычно делаете, как обычно, к единице «единицы».
Например, чтобы вспомнить все числа, кратные 7:
Умножая два целых числа, каждое от 6 до 10, можно получить с помощью пальцев следующим образом:
Умножение 9 на целое число от 1 до 10 также может быть достигнуто следующим образом:
Таблицы также могут определять бинарные операции над группами, полями, кольцами и другими алгебраическими системами. В таком контексте они называются таблицами Кэли. Вот таблицы сложения и умножения для конечного поля Z 5:
|
|
Для других примеров см группы и октонион.
Китайская таблица умножения состоит из восьмидесяти одного предложения с четырьмя или пятью китайскими иероглифами в каждом предложении, что позволяет детям легко заучивать наизусть. Более короткая версия таблицы состоит всего из сорока пяти предложений, так как такие термины, как «девять восьмерок порождают семьдесят два», идентичны «восемь девяток порождают семьдесят два», поэтому нет необходимости заучивать их дважды. Минимальная версия, удаляющая все предложения типа «одно», состоит всего из тридцати шести предложений, что чаще всего используется в школах Китая. Часто это в таком порядке: 2x2 = 4, 2x3 = 6,..., 2x8 = 16, 2x9 = 18, 3x3, 3x4,..., 3x9, 4x4,..., 4x9, 5x5,..., 9x9
Связка из 21 бамбуковой палочки, датированная 305 годом до нашей эры в период Сражающихся царств, в коллекции Цинхуа Бамбуковые палочки (清华 简) - это самый ранний известный пример десятичной таблицы умножения в мире.
Современное представление десятичной таблицы умножения воюющих государств, используемой для вычисления 12 × 34,5.В 1989 году Национальный совет учителей математики (NCTM) разработал новые стандарты, основанные на убеждении, что все учащиеся должны овладевать навыками мышления более высокого порядка, что рекомендовало уменьшение акцента на преподавании традиционных методов, основанных на механическом запоминании, таких как как таблицы умножения. В широко распространенных текстах, таких как « Исследования в числах, данных и пространстве» (широко известные как TERC, по названию исследовательских центров технического образования), в ранних изданиях не использовались вспомогательные средства, такие как таблицы умножения. NCTM разъяснили в своих фокусах 2006 года, что основные математические факты необходимо усвоить, хотя нет единого мнения о том, является ли механическое запоминание лучшим методом. В последние годы был разработан ряд нетрадиционных методов, помогающих детям усвоить факты умножения, в том числе приложения в стиле видеоигр и книги, нацеленные на обучение таблицам умножения с помощью историй, основанных на персонажах.