Конус

Геометрическая форма Правый круговой конус и наклонный круговой конус Двойной конус (не показан бесконечно вытянутым) 3D-модель конуса

A конус представляет собой трехмерную геометрическую форму, которая плавно сужается от плоского основания (часто, но не обязательно, круглого) к точка, называемая вершиной или вершиной.

Конус образован набором отрезков линии, полутонов или линий соединение общей точки, вершины, со всеми точками на основании, которое находится в плоскости , не содержащей вершины. В зависимости от автора, основание может быть ограничено окружностью, любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой, или любой из вышеперечисленных плюс все заключенные пункты. Если заключенные точки включены в основание, конус является твердым объектом ; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью; если боковая поверхность не ограничена, это коническая поверхность.

В случае линейных сегментов конус не выходит за пределы основания, тогда как в случае полупрямой он простирается бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обоих направлениях от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом. Любая половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом.

Ось конуса - это прямая линия (если есть), проходящая через вершину, относительно которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию.

В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются правильными круговыми, где круговые означает, что основание - это круг, а правые означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. Если конус прямоугольный, то пересечение плоскости с боковой поверхностью представляет собой коническое сечение . В целом, однако, основание может иметь любую форму, а вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и поэтому имеет конечную площадь , а вершина лежит вне плоскости основание). В отличие от правых конусов, это косые конусы, ось которых проходит через центр основания неперпендикулярно.

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой.

В зависимости от контекста, «конус» может также означать, в частности, выпуклый конус или проекционный конус.

Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения.

• 1 Дополнительная терминология
• 2 Измерения и уравнения
  • 2.1 Объем
  • 2.2 Центр масс
  • 2.3 Правый круговой конус
    • 2.3.1 Объем
    • 2.3.2 Наклонная высота
    • 2.3.3 Площадь поверхности
    • 2.3.4 Круговой сектор
    • 2.3.5 Форма уравнения
  • 2.4 Эллиптический конус
• 3 Проекционная геометрия
• 4 Большие размеры
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Периметр основания конуса называется «направляющей», а каждый из отрезков линии между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующая» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «направляющая» и направляющей конического сечения см. сферы Данделина.)

«Базовый радиус» круговой конус - это радиус его основания; часто это просто называют радиусом конуса. Апертура правильного кругового конуса - это максимальный угол между двумя линиями образующей; если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2θ.

Иллюстрация из Problemata mathematica... опубликована в Acta Eruditorum, 1734

Конус с областью, включая его вершину, отрезанную плоскостью, называется "усеченным конусом "; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, она называется усеченной вершиной. «Эллиптический конус» - это конус с эллиптическим основанием. «Обобщенный конус» - это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку на границе (также см. визуальную оболочку ).

Объем

volume $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$любого конического тела одна треть произведения площади основания $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{B\}\}$на высоту $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$

$V\; =\; 1\; 3\; AB\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; A\_\; \{B\}\; h.\}$

В современной математике эту формулу легко вычислить с помощью исчисления - это, с точностью до масштабирования, интеграл $\int \; х\; 2\; дх\; знак\; равно\; 1\; 3\; х\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; x\; ^\; \{2\}\; dx\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; x\; ^\; \{3\}.\}$Без использования исчисления формулу можно доказать, сравнив конус с пирамида и применение принципа Кавальери - в частности, сравнение конуса с (вертикально масштабированной) прямоугольной пирамидой, которая составляет одну треть куба. Эта формула не может быть доказана без использования таких бесконечно малых аргументов - в отличие от двумерных формул для площади многогранника, хотя и аналогичной площади круга - и, следовательно, допускала менее строгие доказательства до появления математического анализа, когда древние греки использовали метод истощения. Это, по сути, содержание третьей проблемы Гильберта - точнее, не все полиэдральные пирамиды конгруэнтны по принципу ножниц (их можно разрезать на конечные части и переставить в другие), и, таким образом, объем не может быть вычислен только с помощью аргумент разложения.

Центр масс

Центр масс конического твердого тела с однородной плотностью находится на четверти расстояния от центра основания до вершина, на прямой линии, соединяющей два.

Правый круговой конус

Объем

Для кругового конуса с радиусом r и высотой h основание представляет собой круг площадью $\pi \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\}$, поэтому формула для объема принимает вид

$V\; =\; 1\; 3\; \pi \; r\; 2\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; h.\}$

Наклонная высота

Наклонная высота правого кругового конуса - это расстояние от любой точки на окружности от ее основания до вершины через отрезок линии вдоль поверхности конуса. Он задается выражением $r\; 2\; +\; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\}$, где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- это радиус основания, а $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора.

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности правого кругового конуса равна $LSA\; =\; \pi \; rl\; \{\backslash \; displaystyle\; LSA\; =\; \backslash \; pi\; rl\}$где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- радиус круга в нижней части конуса, а $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$- наклонная высота конуса. Площадь нижнего круга конуса такая же, как и у любого другого круга: $\pi \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\}$. Таким образом, общая площадь поверхности правого кругового конуса может быть выражена следующим образом:

• Радиус и высота

$\pi \; r\; 2\; +\; \pi \; rr\; 2\; +\; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; pi\; r\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\}$

(площадь основания плюс площадь боковой поверхности; член $r\; 2\; +\; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\}$- высота наклона)

$\pi \; r\; (r\; +\; r\; 2\; +\; h\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; r\; \backslash \; left\; (r\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- радиус, а $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- высота.

• Радиус и наклонная высота

$\pi \; r\; 2\; +\; \pi \; rl\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; pi\; rl\}$

$\pi \; r\; (r\; +\; l)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; r\; (r\; +\; l)\}$

где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- радиус, а $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$- высота наклона.

• Окружность и высота наклона

$c\; 2\; 4\; \pi \; +\; cl\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{cl\}\; \{2\}\}\}$

$(c\; 2)\; (c\; 2\; \pi \; +\; l)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \}\}\; +\; l\; \backslash \; right)\}$

, где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- окружность, а $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$- высота наклона

• Угол и высота при вершине

$\pi \; h\; 2\; tan\; \; \Theta \; 2\; (tan\; \; \Theta \; 2\; +\; sec\; \; \Theta \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; h\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sec\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$

где $\Theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\}$- угол при вершине, а $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- высота.

Круглый сектор

Круглый сектор полученная разверткой поверхности одной оболочки конуса имеет:

• радиус R

$R\; =\; r\; 2\; +\; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\; \}$

• длина дуги L

$L\; =\; c\; =\; 2\; \pi \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; c\; =\; 2\; \backslash \; pi\; r\}$

• центральный угол φ в радианах

$\varphi \; =\; LR\; =\; 2\; \pi \; rr\; 2\; +\; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{R\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; r\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

Уравнение форма

Правый сплошной круговой конус с высотой $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$и апертурой $2\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; theta\}$, ось которого является осью координат $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, а вершиной является начало координат, параметрически описывается как

$F\; (s,\; t,\; u)\; =\; (u\; tan\; \; s\; соз\; \; t,\; u\; загар\; \; s\; грех\; \; t,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s,\; t,\; u)\; =\; \backslash \; left\; (u\; \backslash \; tan\; s\; \backslash \; cos\; t,\; u\; \backslash \; tan\; s\; \backslash \; sin\; t,\; u\; \backslash \; right)\}$

где $s,\; t,\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; s,\; t,\; u\}$диапазон более $[0,\; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; theta)\}$, $[0,\; 2\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi)\}$и $[0,\; h]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; h]\}$соответственно.

В неявной форме одно и то же твердое тело определяется неравенствами

$\{F\; (x,\; y,\; z)\; \le \; 0,\; z\; \ge \; 0,\; z\; \le \; h\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{F\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; leq\; 0,\; z\; \backslash \; geq\; 0,\; z\; \backslash \; leq\; h\; \backslash \},\}$

где

$F\; (x,\; y,\; z)\; =\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; (соз\; \; \theta )\; 2\; -\; z\; 2\; (грех\; \; \theta )\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (х,\; y,\; z)\; =\; (х\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; (\backslash \; соз\; \backslash \; тета)\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; грех\; \backslash \; тета)\; ^\; \{2\; \}.\; \backslash ,\}$

В более общем смысле это правый круговой конус с вершиной в начале координат, осью, параллельной вектору $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$, и апертурой $2\; \theta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; theta\}$, задается неявным векторным уравнением $F\; (u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u)\; =\; 0\}$где

$F\; (u)\; =\; (u\; \cdot \; d)\; 2\; -\; (d\; \cdot \; d)\; (u\; \cdot \; u)\; (соз\; \; \theta )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u)\; =\; (u\; \backslash \; cdot\; d)\; ^\; \{2\; \}\; -\; (d\; \backslash \; cdot\; d)\; (u\; \backslash \; cdot\; u)\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; ^\; \{2\}\}$или $F\; (u)\; =\; u\; \cdot \; d\; -\; |\; d\; |\; |\; u\; |\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u)\; =\; u\; \backslash \; cdot\; d-\; |\; d\; ||\; u\; |\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$

где $u\; =\; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; (x,\; y,\; z)\}$и $u\; \cdot \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; cdot\; d\}$обозначает скалярное произведение.

Эллиптический конус

Квадрическая поверхность эллиптического конуса

В декартовой системе координат эллиптический конус является геометрическим местом уравнения вида

$x\; 2\; a\; 2\; +\; y\; 2\; b\; 2\; =\; z\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; z\; ^\; \{2\}.\}$

Это аффинное изображение прямоугольного единичного конуса с уравнением $x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; z\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; z\; ^\; \{2\}\; \backslash .\}$Из того факта, что аффинное изображение конического сечения является коникой сечение того же типа (эллипс, парабола,...) получается:

• Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, любой правильный круговой конус содержит круги. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

В проективной геометрии, цилиндр - это просто конус, вершина которого находится на бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, который выглядит как конус к небу.

В проективной геометрии, цилиндр - это просто конус, вершина которого находится на бесконечности. Интуитивно, если сохранить фиксированное основание и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, можно получить цилиндр, угол стороны которого увеличивается как arctan, в пределе, образующем прямой угол. Это полезно при определении вырожденных коник, которые требуют рассмотрения.

Согласно Г. Б. Холстеда, конус создается аналогично конике Штейнера только с проективностью и осевыми пучками (не в перспективе), а не с проективными диапазонами, используемыми для коники Штейнера. :

«Если два копунктуальных непрямых осевых карандаша являются проективными, но не перспективными, точки пересечения коррелированных плоскостей образуют« коническую поверхность второго порядка »или« конус ».

Определение конуса может быть расширено до более высоких размеров (см. выпуклые конусы ). В этом случае говорят, что выпуклое множество C в real векторном пространстве Rявляется конусом (с вершиной в начале координат), если для каждого вектора x в C и каждое неотрицательное действительное число a, вектор ax находится в C. В этом контексте аналоги круговых конусов обычно не являются специальными; на самом деле часто интересуют многогранные конусы.

• Биконус
• Конус (линейная алгебра)
• Конус (топология)
• Цилиндр (геометрия)
• Демокрит
• Обобщенный конус
• Гиперболоид
• Список форм
• Пирометрический конус
• Квадрик
• Вращение осей
• Линейчатая поверхность
• Смещение осей

• Проттер, Мюррей Х.; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Колледж по исчислению с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, LCCN 76087042

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Cones.

• Weisstein, Eric W. "Cone". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Двойной конус». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Обобщенный конус». MathWorld.
• Интерактивный Вращающийся конус из Maths Is Fun
• Конус бумажной модели
• Площадь боковой поверхности наклонного конуса
• Вырезать конус Интерактивная демонстрация пересечение конуса с плоскостью