Коническая поверхность

В геометрии, a (общее ) коническая поверхность - это неограниченная поверхность, образованная объединением всех прямых прямых, которые проходят через фиксированную точку - вершину или вершину - и любую точку некоторого фиксированного пространственная кривая - направляющая, не содержащая вершины. Каждая из этих линий называется образующей поверхности.

Каждая коническая поверхность линейчатая и развертывающаяся. В общем, коническая поверхность состоит из двух конгруэнтных неограниченных половин, соединенных вершиной. Каждая половина называется покровом и представляет собой объединение всех лучей, которые начинаются на вершине и проходят через точку некоторой фиксированной пространственной кривой. (В некоторых случаях, однако, два покрова могут пересекаться или даже совпадать с полной поверхностью.) Иногда термин «коническая поверхность» используется для обозначения только одного покрова.

Если директрисой является окружность $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, а вершина расположена на оси круга (линия, содержащая центр $C\; \{\; \backslash \; displaystyle\; C\}$и перпендикулярно своей плоскости) получается правая круглая коническая поверхность. Этот частный случай часто называют конусом , потому что это одна из двух различных поверхностей, ограничивающих геометрическое тело с таким именем. Этот геометрический объект также можно описать как набор всех точек, охватываемых линией, которая пересекает ось и вращается вокруг нее; или объединение всех линий, пересекающих ось в фиксированной точке $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и под фиксированным углом $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$. Апертура конуса - это угол $2\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; theta\}$.

В более общем смысле, когда директриса $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$представляет собой эллипс , или любое коническое сечение, а вершина - произвольная точка не на плоскости $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, получается коническая квадрика, которая является частным случаем квадратной поверхности..

A Цилиндрическая поверхность может рассматриваться как предельный случай конической поверхности, вершина которой смещена на бесконечность в определенном направлении. Действительно, в проективной геометрии цилиндрическая поверхность - это просто частный случай конической поверхности.

Коническая поверхность $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$может быть описана параметрически как

$S\; (t,\; u)\; =\; v\; +\; uq\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (t,\; u)\; =\; v\; +\; uq\; (t)\}$,

где $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$- вершина, а $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$- директриса.

Правая круглая коническая поверхность апертуры $2\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; theta\}$, ось которой - $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$координатная ось, вершина которой является началом координат, параметрически она описывается как

$S\; (t,\; u)\; =\; (u\; sin\; \; \theta \; cos\; \; t,\; u\; sin\; \; \theta \; sin\; \; t,\; u\; cos\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (t,\; u)\; =\; (u\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; t,\; u\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; t,\; u\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

где $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$диапазон более $[0,\; 2\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi)\}$и $(-\; \infty ,\; +\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; infty,\; +\; \backslash \; infty)\}$соответственно. В неявной форме та же поверхность описывается как $S\; (x,\; y,\; z)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (x,\; y,\; z)\; =\; 0\}$где

$S\; (x,\; y,\; z)\; =\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; (cos\; \; \theta )\; 2\; -\; z\; 2\; (sin\; \; \theta )\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (Икс,\; Y,\; Z)\; =\; (Икс\; ^\; \{2\}\; +\; Y\; ^\; \{2\})\; (\backslash \; соз\; \backslash \; theta)\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; ^\; \{2\; \}.\}$

В более общем смысле это правая круглая коническая поверхность с вершиной в начале координат, осью, параллельной вектору $d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\}$, и апертурой $2\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; theta\}$, задается неявным векторным уравнением $S\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; 0\}$где

$S\; (x)\; =\; (x\; \cdot \; d)\; 2\; -\; (d\; \cdot \; d)\; (x\; \cdot \; x)\; (cos\; \; \theta )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\})\; ^\; \{2\}\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\})\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\; (\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; ^\; \{2\}\}$

или

$S\; (x)\; =\; x\; \cdot \; d\; -\; |\; d\; |\; |\; х\; |\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; -\; |\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; ||\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$

где $x\; =\; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; (x,\; y,\; z)\}$и $x\; \cdot \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\}$обозначает скалярное произведение.

В трех координатах, x, y и z, коническая поверхность с эллиптической направляющей, с вершиной в начале координат, задается этим однородным уравнением степени 2:

$S\; (x,\; y,\; z)\; =\; ax\; 2\; +\; by\; 2\; +\; cz\; 2\; +\; 2\; uxy\; +\; 2\; vyz\; +\; 2\; wzx\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (x,\; y,\; z)\; =\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; by\; ^\; \{2\}\; +\; cz\; ^\; \{2\}\; +\; 2uxy\; +\; 2vyz\; +\; 2wzx\; =\; 0.\}$

• Коническое сечение
• Разворачивающаяся поверхность
• Квадрик
• Линейчатая поверхность