Сферы Данделина

Сферы Данделина касаются бледно-желтой плоскости, которая пересекает конус.

В геометрии, сферы Данделина представляют собой одну или две сферы, которые касаются как к плоскости, так и к конус, пересекающий плоскость. Пересечение конуса и плоскости представляет собой коническое сечение, а точка, в которой любая сфера касается плоскости, является фокусом конического сечения, поэтому сферы Данделина также иногда так называемые фокусные сферы .

Сферы Данделена были открыты в 1822 году. Они названы в честь французского математика Жерминаля Пьера Данделена, хотя Адольфа Кетле иногда также частично доверяют.

Сферы Данделина можно использовать для элегантных современных доказательств двух классических теорем, известных Аполлонию Пергскому. Первая теорема состоит в том, что замкнутое коническое сечение (т.е. эллипс ) - это геометрическое место точек, так что сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Вторая теорема заключается в том, что для любого конического сечения расстояние от фиксированной точки (фокуса) пропорционально расстоянию от фиксированной линии (направляющая ), а константа пропорциональности называется эксцентриситет.

Коническая секция имеет по одной сфере Данделина для каждого фокуса. Эллипс состоит из двух сфер Данделина, соприкасающихся с одной и той же оболочкой конуса, а в гиперболе две сферы Данделина соприкасаются друг с другом. парабола имеет только одну сферу Данделина.

• 1 Доказательство того, что кривая пересечения имеет постоянную сумму расстояний до фокусов
• 2 Подтверждение свойства focus-directrix
• 3 Примечания
• 4 Внешние ссылки

Рассмотрим иллюстрацию, изображающую плоскость, пересекающую конус по кривой C (с синей внутренней частью). Две коричневые сферы Данделина касаются как плоскости, так и конуса: G 1 над плоскостью, G 2 ниже. Каждая сфера касается конуса по кругу (белого цвета).

Обозначим точку касания плоскости с G 1 через F 1, и аналогично для G 2 и F 2. Пусть P - типичная точка на C.

Доказательство: сумма расстояний $d\; (P,\; F\; 1)\; +\; d\; (P,\; F\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (P,\; F\_\; \{1)\; \})\; +\; d\; (P,\; F\_\; \{2\})\}$остается постоянным, поскольку точка P движется по кривой пересечения C.

• Прямая, проходящая через P и вершину S конуса пересекает две окружности, касаясь G 1 и G 2 соответственно в точках P 1 и P 2.
• Когда P движется по кривой, P 1 и P 2 перемещаются по двум окружностям, и расстояние между ними d (P 1, P 2) остается постоянным.
• Расстояние от P до F 1 такое же, как расстояние от P до P 1, потому что отрезки линии PF 1 и PP 1 оба касаются одной и той же сферы G 1.
• По симметричному аргументу расстояние от P до F 2 такое же, как расстояние от P до P 2.
• Следовательно, мы вычисляем сумму расстояний как $d\; (P,\; F\; 1)\; +\; d\; (P,\; F\; 2)\; =\; d\; (P,\; P\; 1)\; +\; d\; (P,\; P\; 2)\; =\; d\; (\; П\; 1,\; п\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (P,\; F\_\; \{1\})\; +\; d\; (P,\; F\_\; \{\; 2\})\; \backslash \; =\; \backslash \; d\; (P,\; P\_\; \{1\})\; +\; d\; (P,\; P\_\; \{2\})\; \backslash \; =\; \backslash \; d\; (P\_\; \{1\},\; P\_\; \{2\}),\}$который является константа, когда P движется по кривой.

Это дает другое доказательство теоремы Аполлоний Пергский.

Если мы определим эллипс как геометрическое место точек P таких, что d (F 1, P) + d (F 2, P) = константа, тогда приведенный выше аргумент доказывает, что кривая C пересечения действительно является эллипсом. То, что пересечение плоскости с конусом симметрично относительно серединного перпендикуляра прямой, проходящей через F 1 и F 2, может показаться нелогичным, но этот аргумент проясняет это.

Адаптации этого аргумента работают для гипербол и парабол как пересечений плоскости с конусом. Другая адаптация работает для эллипса, реализованного как пересечение плоскости с правильным круговым цилиндром.

сферами Данделина, эллипсом, директрисами (синие линии).

Директриса конического сечения может быть найдена с помощью конструкции Данделина. Каждая сфера Данделина пересекает конус по окружности; пусть оба этих круга определяют свои собственные плоскости. Пересечения этих двух параллельных плоскостей с плоскостью конического сечения будут двумя параллельными линиями; эти прямые являются направляющими конического сечения. Однако парабола имеет только одну сферу Данделина и, следовательно, только одну директрису.

Используя сферы Данделина, можно доказать, что любое коническое сечение является геометрическим местом точек, для которых расстояние от точки (фокуса) пропорционально расстоянию от директрисы. Древнегреческие математики, такие как Папп Александрийский, знали об этом свойстве, но сферы Данделена облегчают доказательство.

Ни Данделин, ни Кетле не использовали сферы Данделена для доказательства свойства фокус-директрисы. Первыми, кто сделал это, возможно, был Пирс Мортон в 1829 году или, возможно, Хью Гамильтон, который заметил (в 1758 году), что сфера касается конуса в окружности, которая определяет плоскость, пересекающуюся с плоскостью конуса. раздел является директрисой. Свойство focus-directrix можно использовать для простого доказательства того, что астрономические объекты движутся вдоль конических участков вокруг Солнца.

1. ^ Тейлор, Чарльз. Введение в древнюю и современную геометрию коник, стр. 196 («фокусные сферы»), стр. 204–205 (история открытия) (Дейтон, Белл и др., 1881 г.).
2. ^Данделин, Г. (1822). «Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique» [Воспоминания о некоторых замечательных свойствах параболического очага [т.е. косого строфоида ]]. Nouveaux mémoires de l'Académie royale des Sciences et belles-lettres de Bruxelles (на французском языке). 2 : 171–200.
3. ^Кендиг, Кейт. Коникс, с. 86 (доказательство для эллипса) и с. 141 (для гиперболы) (Cambridge University Press, 2005).
4. ^Кетле, Адольф (1819 г.) «Dissertatio mathematica inauguralis de quibusdam locis geometryis nec non de curva focali» (Первая математическая диссертация по некоторым геометрическим точкам, а также фокальным кривым), докторская диссертация (Университет Гента ( «Ганд»), Бельгия). (на латыни)
5. ^Godeaux, L. (1928). «Математик Адольф Кетле (1796-1874)». Ciel et Terre (на французском). 44 : 60–64.
6. ^ Хит, Томас. История греческой математики, стр. 119 (свойство фокус-директриса), стр. 542 (сумма расстояний до свойства фокусов) (Clarendon Press, 1921).
7. ^Браннан А. и др. Геометрия, стр. 19 (Cambridge University Press, 1999).
8. ^Биографии Numericana: Мортон, Пирс
9. ^Мортон, Пирс. Геометрия, плоскость, твердое тело и сферическая форма, в шести книгах, стр. 228 (Болдуин и Крэдок, 1830).
10. ^Мортон, Пирс (1830). «В фокусе конического сечения». Труды Кембриджского философского общества. 3 : 185–190.
11. ^Гамильтон, Хью (1758). De Sectionibus Conicis. Tractatus Geometricus. In quo, ex Natura ipsius Coni, Sectionum Affectiones facillime deducuntur. Methodo nova [О конических сечениях. Геометрический трактат. В котором, исходя из природы самого конуса, легче всего вывести отношения сечений. Новым методом.] (На латыни). Лондон, Англия: Уильям Джонстон. С. 122–125. Liber (книга) II, Propositio (предложение) XXXVII (37).
12. ^Хайман, Эндрю. "Простая декартова трактовка движения планет", European Journal of Physics, Vol. 14, стр. 145 (1993).

Викискладе есть медиафайлы, связанные с сферами Данделина.

• страницей сфер Данделина Хоп Дэвид
• Вайсштейн, Эрик У. «Сферы Данделина». MathWorld.
• Страница математической академии на сферах Данделина
• Les théorèmes belges Ксавье Хубо (на французском языке).