Войти
Два многогранника равного объема, разрезанные на две части, которые можно собрать в любой многогранник. Третья из списка математических задач Гильберта, представленного в 1900 году, была решена первой. Проблема связана со следующим вопросом: для любых двух многогранников равного объема всегда ли возможно разрезать первый на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить вторую? Основываясь на более ранних работах Гаусса, Гильберт предположил, что это не всегда возможно. Это было подтверждено в течение года его учеником Максом Деном, который доказал, что в целом ответ - «нет», приведя контрпример.
Ответ на аналогичный вопрос о многоугольниках в двух измерениях - «да», и он был известен давно; это теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена.
Неизвестная Гильберту и Дену, третья задача Гильберта была также независимо предложена Владиславом Кретковским на математическом конкурсе 1882 года Краковской Академией художеств и наук и была решена Людвиком Антони Биркенмайером другим методом, чем Ден. Биркенмайер не опубликовал результат, и оригинальная рукопись, содержащая его решение, была обнаружена заново спустя годы.
Формула объема пирамиды,
был известен Евклиду, но все его доказательства включают некоторую форму ограничивающего процесса или исчисления, особенно метод исчерпания или, в более современной форме, принцип Кавальери. Подобные формулы в плоской геометрии могут быть доказаны более элементарными средствами. Гаусс сожалел об этом недостатке в двух своих письмах Кристиану Людвигу Герлингу, который доказал, что два симметричных тетраэдра равно составны.
Письма Гаусса послужили мотивацией для Гильберта: можно ли доказать равенство объема элементарными методами «разрезания и склеивания»? Потому что в противном случае невозможно элементарное доказательство результата Евклида.
Доказательство Дена - это случай, когда абстрактная алгебра используется для доказательства невозможности результата в геометрии. Другие примеры - удвоение куба и деление угла пополам.
Два многогранника называются конгруэнтными ножницами, если первый можно разрезать на конечное число многогранников, которые можно собрать заново, чтобы получить второе. Любые два ножниц-конгруэнтных многогранника имеют одинаковый объем. Гильберт спрашивает об обратном.
Для каждого многогранника P Ден определяет значение, теперь известное как инвариант Дена D ( P), со следующим свойством:
Из этого следует
и в частности
Затем он показывает, что каждый куб имеет нулевой инвариант Дена, в то время как каждый правильный тетраэдр имеет ненулевой инвариант Дена. Это решает вопрос.
Инвариант многогранника определяется на основе длин его ребер и углов между его гранями. Обратите внимание, что если многогранник разрезан на две части, некоторые ребра разрезаются на две части, и поэтому соответствующие вклады в инварианты Дена должны быть аддитивными в длинах ребер. Точно так же, если многогранник разрезан по ребру, соответствующий угол разрезается пополам. Однако при обычном разрезании многогранника появляются новые ребра и углы; мы должны убедиться, что их вклады сокращаются. Сумма двух введенных углов всегда будет равна π ; поэтому мы определяем наш инвариант Дена так, что кратные углам π дают нулевой чистый вклад.
Все вышеперечисленные требования могут быть удовлетворены, если мы определим D ( P) в качестве элемента тензорного произведения из действительных чисел R и фактор - пространство R / ( Q П), в которой все рациональные кратные П равны нулю. Для наших целей достаточно рассматривать это как тензорное произведение Z -модулей (или, что то же самое, абелевых групп). Однако, тем труднее Доказательство обратного (см ниже) использует векторное пространство структуры: Так как оба из факторов являются векторными пространствами над Q, тензор продукт может быть взят Q.
Пусть ℓ ( e) - длина ребра e, а θ ( e) - двугранный угол между двумя гранями, пересекающимися в точке e, измеренный в радианах. Тогда инвариант Дена определяется как
где сумма берется по всем ребрам е многогранника Р. Это оценка.
В свете приведенной выше теоремы Дена можно спросить, «какие многогранники конгруэнтны ножницам»? Сидлер (1965) показал, что два многогранника конгруэнтны ножницам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена. Позже Бёрге Йессен расширил результаты Сидлера до четырех измерений. В 1990 году Дюпон и Сах представили более простое доказательство результата Сидлера, переосмыслив его как теорему о гомологии некоторых классических групп.
Debrunner показал в 1980 году, что инвариант Дена любого многогранника, с которой все три пространства могут быть плиточными периодически равен нуль.
Нерешенная задача по математике:В сферической или гиперболической геометрии должны ли многогранники с одинаковым объемом и инвариантом Дена быть конгруэнтными по ножницам?
(больше нерешенных задач по математике)Джессен также поставил вопрос о том, остается ли аналог результатов Джессена верным для сферической геометрии и гиперболической геометрии. В этих геометриях метод Дена продолжает работать и показывает, что, когда два многогранника конгруэнтны ножницам, их инварианты Дена равны. Однако остается открытым вопрос, всегда ли пары многогранников с одинаковым объемом и одним и тем же инвариантом Дена в этих геометриях конгруэнтны по принципу ножниц.
Первоначальный вопрос Гильберта был более сложным: для любых двух тетраэдров T 1 и T 2 с равной площадью основания и равной высотой (и, следовательно, равным объемом) всегда можно найти конечное число тетраэдров, так что, когда эти тетраэдры склеены друг с другом, каким-то образом к Т 1 и тоже приклеиваем к Т 2, получившиеся многогранники ножницы конгруэнтны?
Инвариант Дена можно использовать для получения отрицательного ответа и на этот более сильный вопрос.
|journal=( помощь )