Коноид

правый круговой коноид: директриса (красная) представляет собой круг, ось (синяя) перпендикулярна плоскости директрисы (желтая)

В геометрии коноид (греч. Κωνος конус и -ειδης аналогичный) - это линейчатая поверхность, линии которой удовлетворяют дополнительным условиям

(1) Все линии параллельны плоскости, плоскости директрисы.

(2) Все линии пересекают фиксированную линию, ось.

• Коноид - это правый коноид, если его ось перпендикулярна плоскости директрисы. Следовательно, все линейки перпендикулярны оси.

Из-за (1) любой коноид является каталонской поверхностью и может быть параметрически представлен как

• $x\; (u,\; v)\; знак\; равно\; c\; (u)\; +\; vr\; (u),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; (u)\; +\; v\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (u)\; \backslash ,\}$

любой кривая $x\; (u\; 0,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (u\_\; \{0\},\; v)\}$с фиксированным параметром $u\; =\; u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; u\_\; \{0\}\}$- определение, $c\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; (u)\}$описывает директрису и векторы $r\; (\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (u)\}$все параллельны плоскости направляющей. Планарность векторов $r\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (u)\}$может быть представлена ​​как

$det\; (r,\; r\; \dot{},\; r\; ¨)\; =\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\})\; =\; 0\}$.

• Если направляющая - круг, коноид называется круговой коноид .

Термин коноид уже использовался Архимедом в его трактате «О коноидах и сфероидах».

• 1 Примеры
  • 1.1 Правый круговой коноид
  • 1.2 Параболический коноид
  • 1.3 Дополнительные примеры
• 2 Приложения
  • 2.1 Математика
  • 2.2 Архитектура
• 3 Внешние ссылки
• 4 Ссылки

Правый круговой коноид

Параметрическое представление

описывает правый круговой коноид с единичной окружностью плоскости xy в качестве направляющей и плоскостью направляющей, которая параллельна плоскости y - z. Его ось - прямая $(x,\; 0,\; z\; 0)\; x\; \in \; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; 0,\; z\_\; \{0\})\; \backslash \; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash .\}$

Особенности:

1. Пересечение с горизонтальной плоскостью представляет собой эллипс.
2. $(1\; -\; Икс\; 2)\; (Z\; -\; Z\; 0)\; 2\; -\; Y\; 2\; Z\; 0\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; (z-z\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; z\_\; \{\; 0\}\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$- неявное представление. Следовательно, правый круговой коноид - это поверхность степени 4.
3. Правило Кеплера дает правильный круговой коноид с радиусом $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и высотой $h\; \{\; \backslash \; displaystyle\; h\}$точный объем: $V\; =\; \pi \; 2\; r\; 2\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; r\; ^\; \{2\}\; h\}$.

Неявное представление также выполняется точками линии $(x,\; 0,\; z\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; 0,\; z\_\; \{0\})\}$. Для этих точек не существует касательных плоскостей. Такие точки называются особыми.

Параболический коноид

параболический коноид: директриса - это парабола

Параметрическое представление

$x\; (u,\; v)\; =\; (1,\; u,\; -\; u\; 2)\; +\; v\; (-\; 1,\; 0,\; u\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; left\; (1,\; u,\; -u\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; v\; \backslash \; left\; (-1,0,\; u\; ^\; \{2\}\; \backslash \; справа)\}$

$=\; (1\; -\; v,\; u,\; -\; (1\; -\; v)\; u\; 2),\; u,\; v\; \in \; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; left\; (1-v,\; u,\; -\; (1-v)\; u\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; u,\; v\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash ,\}$

описывает параболический коноид с уравнением $z\; =\; -\; xy\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; -xy\; ^\; \{2\; \}\}$. Коноид имеет параболу в качестве направляющей, ось y в качестве оси и плоскость, параллельную плоскости x-z, в качестве плоскости направляющей. Он используется архитекторами в качестве кровельного покрытия (см. Ниже).

Параболический коноид не имеет особых точек.

Дополнительные примеры

1. гиперболический параболоид
2. коноид Плюккера
3. зонтик Уитни
4. геликоид

• 

  гиперболический параболоид

• 

  коноид Плюккера

• 

  зонтик Уитни

коноид в архитектуре коноиды в архитектуре

Математика

Существует множество коноидов с особыми точками, которые исследуются в алгебраической геометрии.

Архитектура

Как и другие линейчатые Коноиды поверхностей вызывают большой интерес у архитекторов, потому что они могут быть построены с использованием балок или стержней. Правые коноиды могут быть легко изготовлены: стержни навинчиваются на ось, так что они могут вращаться только вокруг этой оси. После этого стержни отклоняются по направляющей и образуется коноид (т.н. параболический коноид).

• mathworld: коноид Плюккера
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

• A. Грей, Э. Аббена, С. Саламон, Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, 3-е изд. Бока Ратон, Флорида: CRC Press, 2006. [1 ] (ISBN 978-1-58488-448-4 )
• Владимир Ю. Ровенский, Геометрия кривых и поверхностей с КЛЕНОМ [2 ] (ISBN 978-0-8176-4074-3 )