Интеграл секанс в кубе

Интеграл секансного куба - часто встречающийся и сложный неопределенный интеграл элементарного исчисление :

$\int \; sec\; 3\; \; xdx\; =\; 1\; 2\; (sec\; \; x\; tan\; \; x\; +\; ln\; \; |\; sec\; \; x\; +\; tan\; \; x\; |)\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sec\; x\; +\; \backslash \; tan\; x\; \backslash \; right\; |)\; +\; C.\}$

Есть ряд причин, по которым эта конкретная первообразная заслуживает особого внимания:

• Техника, используемая для приведения интегралов от старших нечетных степеней секанса к более низким, полностью присутствует в этом простейшем случае. Остальные случаи делаются таким же образом.
• Полезность гиперболических функций при интегрировании может быть продемонстрирована в случаях нечетных степеней секанса (также могут быть включены степени касательной).
• Это является одним из нескольких интегралов, обычно выполняемых в течение первого года курса математики, в котором наиболее естественный способ продолжения включает интегрирование по частям и возврат к тому же интегралу, с которого был начат (другой - интеграл от произведения экспоненциальная функция с функцией синуса или косинуса; еще один интеграл от степени функции синуса или косинуса).
• Этот интеграл используется при вычислении любого интеграла формы

$\int \; a\; 2\; +\; x\; 2\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx,\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- постоянная величина. В частности, он появляется в задачах:

• исправления параболы и спирали Архимеда
• , нахождения площади поверхности геликоид.

• 1 Выводы
  • 1.1 Интегрирование по частям
  • 1.2 Приведение к интегралу рациональной функции
  • 1.3 Гиперболические функции
• 2 Высшие нечетные степени секущей
• 3 См. также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Интеграция по частям

Этот первообразный может быть найден с помощью интегрирования по частям, следующим образом:

$\int \; sec\; 3\; \; xdx\; =\; \int \; udv\; =\; uv\; -\; \int \; vdu\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; u\; \backslash ,\; dv\; =\; uv-\; \backslash \; int\; v\; \backslash ,\; du\}$

где

$u\; =\; sec\; \; x,\; dv\; =\; sec\; 2\; \; xdx,\; v\; =\; tan\; \; x,\; du\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; xdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; sec\; x,\; \backslash \; quad\; dv\; =\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; quad\; v\; =\; \backslash \; tan\; x,\; \backslash \; quad\; du\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x\; \backslash ,\; dx.\}$

Тогда

$\int \; sec\; 3\; \; xdx\; =\; \int \; (sec\; \; x)\; (sec\; 2\; \; x)\; dx\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; x\; -\; \int \; tan\; \; x\; (sec\; \; x\; tan\; \; x)\; dx\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; x\; -\; \int \; sec\; \; x\; tan\; 2\; \; xdx\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; x\; -\; \int \; sec\; \; x\; (sec\; 2\; \; x\; -\; 1)\; dx\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; x\; -\; (\int \; sec\; 3\; \; xdx\; -\; \int \; sec\; \; xdx)\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; x\; -\; \int \; sec\; 3\; \; xdx\; +\; \int \; sec\; \; xdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; \backslash \; int\; (\backslash \; sec\; x)\; (\backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x-\; \backslash \; int\; \backslash \; tan\; x\; \backslash ,\; (\backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x-\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x-\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; x\; \backslash ,\; (\backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; x-1)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x-\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx-\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; x\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x-\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; x\; \backslash ,\; dx.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Затем добавьте $\int \; sec\; 3\; \; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\}$к обеим частям только что полученного равенства:

$2\; \int \; sec\; 3\; \; xdx\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; x\; +\; \int \; sec\; \; xdx\; =\; sec\; \; x\; tan\; \; x\; +\; ln\; \; |\; сек\; \; x\; +\; tan\; \; x\; |\; +\; С,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 2\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x\; +\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; x\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sec\; x\; +\; \backslash \; tan\; x\; \backslash \; right\; |\; +\; C,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

с учетом того, что интеграл функции секущей равен $\int \; sec\; \; xdx\; =\; ln\; \; |\; сек\; \; x\; +\; tan\; \; x\; |\; +\; С.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; sec\; x\; +\; \backslash \; tan\; x\; |\; +\; C.\}$

Наконец, разделите обе стороны на 2:

$\int \; sec\; 3\; \; xdx\; =\; 1\; 2\; (sec\; \; Икс\; загар\; \; Икс\; +\; пер\; \; |\; сек\; \; Икс\; +\; загар\; \; Икс\; |)\; +\; C,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sec\; x\; +\; \backslash \; tan\; x\; \backslash \; right\; |)\; +\; C,\}$

, который должен был быть получен.

Приведение к интегралу рациональной функции

$\int \; сек\; 3\; \; xdx\; =\; \int \; dx\; cos\; 3\; \; x\; =\; \int \; cos\; \; xdx\; cos\; 4\; \; x\; =\; \int \; cos\; \; xdx\; (1\; -\; sin\; 2\; \; x)\; 2\; =\; \int \; du\; (1\; -\; u\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; x\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; x\; \backslash ,\; dx\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; x\; \}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; x\; \backslash ,\; dx\}\; \{(1-\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{(1-u\; ^\; \{\; 2\})\; ^\; \{2\}\}\}$

где $u\; =\; sin\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; sin\; x\}$, так что $du\; =\; cos\; \; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; du\; =\; \backslash \; соз\; х\; \backslash ,\; dx\}$. Это допускает разложение на частичные дроби :

$1\; (1\; -\; u\; 2)\; 2\; =\; 1\; (1\; +\; u)\; 2\; (1\; -\; u)\; 2\; =\; 1/4\; 1\; +\; u\; +\; 1/4\; (1\; +\; u)\; 2\; +\; 1/4\; 1\; -\; u\; +\; 1/4\; (1\; -\; u)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-u\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; u)\; ^\; \{2\}\; (1-u)\; ^\; \{2\; \}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1/4\}\; \{1\; +\; u\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1/4\}\; \{(1\; +\; u)\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1/4\}\; \{1\; -u\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1/4\}\; \{(1-u)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Антидифференцируя член за термином, получаем

$∫ sec 3 ⁡ xdx = 1 4 ln ⁡ | 1 + u | - 1/4 1 + u - 1 4 ln ⁡ | 1 - u | + 1/4 1 - u + C = 1 4 ln ⁡ | 1 + u 1 - u | + 1 2 (u 1 - u 2) + C = 1 4 ln ⁡ | 1 + грех ⁡ х 1 - грех ⁡ х | + 1 2 (sin ⁡ x cos 2 ⁡ x) + C = 1 4 ln ⁡ | 1 + грех ⁡ х 1 - грех ⁡ х | + 1 2 секунды ⁡ x загар ⁡ x + C = 1 4 ln ⁡ | (1 + sin ⁡ x) 2 1 - sin 2 ⁡ x | + 1 2 секунды ⁡ x загар ⁡ x + C = 1 4 ln ⁡ | (1 + sin ⁡ x) 2 cos 2 x | + 1 2 секунды ⁡ x загар ⁡ x + C = 1 4 ln ⁡ | 1 + sin ⁡ x cos ⁡ x | 2 + 1 2 секунды ⁡ x загар ⁡ x + C = 1 2 ln ⁡ | 1 + sin ⁡ x cos ⁡ x | + 1 2 секунды ⁡ x загар ⁡ x + C = 1 2 (ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + sec ⁡ x tan ⁡ x) + C. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ sec ^ {3} x \, dx = {\ frac {1} {4}} \ ln | 1 + u | - {\ frac {1/4} {1 + u}} - {\ frac {1} {4}} \ ln | 1-u | + {\ frac {1/4} {1-u}} + C \\ [6pt] = {\ frac { 1} {4}} \ ln {\ Biggl |} {\ frac {1 + u} {1-u}} {\ Biggl |} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac { u} {1-u ^ {2}}} \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {4}} \ ln {\ Biggl |} {\ frac {1+ \ sin x } {1- \ sin x}} {\ Biggl |} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ sin x} {\ cos ^ {2} x}} \ right) + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {4}} \ ln \ left | {\ frac {1+ \ sin x} {1- \ sin x}} \ right | + {\ frac {1 } {2}} \ sec x \ tan x + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {4}} \ ln \ left | {\ frac {(1+ \ sin x) ^ {2} } {1- \ sin ^ {2} x}} \ right | + {\ frac {1} {2}} \ sec x \ tan x + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {4 }} \ ln \ left | {\ frac {(1+ \ sin x) ^ {2}} {\ cos ^ {2} x}} \ right | + {\ frac {1} {2}} \ sec x \ tan x + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {4}} \ ln \ left | {\ frac {1+ \ sin x} {\ cos x}} \ right | ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sec x \ tan x + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left | {\ frac {1+ \ sin x } {\ cos x}} \ right | + {\ frac {1} {2}} \ sec x \ tan x + C \\ [6pt] = {\ frac {1} {2}} (\ ln | \ sec x + \ tan x | + \ sec x \ tan x) + C. \ end {align}}}$

Гиперболические функции

Интегралы вида: $\int \; sec\; n\; \; x\; tan\; m\; \; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{n\}\; x\; \backslash \; tan\; ^\; \{m\}\; x\; \backslash ,\; dx\}$можно уменьшить, используя пифагорейская идентичность, если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$четное или $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$оба нечетные. Если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$нечетно, а $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$четно, можно использовать гиперболические подстановки для замены вложенной интеграции частями с формулы уменьшения гиперболической мощности.

$sec\; \; x\; =\; cosh\; \; u\; tan\; \; x\; =\; sh\; \; u\; sec\; 2\; \; xdx\; =\; cosh\; \; udu\; или\; sec\; \; x\; tan\; \; xdx\; =\; sinh\; \; udu\; sec\; \; xdx\; =\; du\; или\; dx\; =\; sech\; \; uduu\; =\; arcosh\; \; (сек\; \; x)\; =\; arsinh\; \; (tan\; \; x)\; =\; ln\; \; |\; сек\; \; x\; +\; tan\; \; x\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sec\; x\; \{\}\; =\; \backslash \; cosh\; u\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; tan\; x\; \{\}\; =\; \backslash \; sinh\; u\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; \backslash \; cosh\; u\; \backslash ,\; du\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; sinh\; u\; \backslash ,\; du\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; sec\; x\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; \backslash ,\; du\; \{\backslash \; text\; \{\; или\}\}\; dx\; =\; \backslash \; operatorname\; \{sech\}\; u\; \backslash ,\; du\; \backslash \backslash \; [6pt]\; u\; \{\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{arcosh\}\; (\backslash \; sec\; x)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{arsinh\}\; (\backslash \; tan\; x)\; =\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; sec\; x\; +\; \backslash \; tan\; x\; |\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что $\int \; sec\; \; xdx\; =\; ln\; \; |\; сек\; \; x\; +\; tan\; \; x\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; sec\; x\; +\; \backslash \; tan\; x\; |\}$следует непосредственно из этой замены.

$\int \; sec\; 3\; \; xdx\; =\; \int \; ch\; 2\; \; udu\; =\; 1\; 2\; \int \; (cosh\; \; 2\; u\; +\; 1)\; du\; =\; 1\; 2\; (1\; 2\; sinh\; \; 2\; u\; +\; u)\; +\; C\; =\; 1\; 2\; (sinh\; \; u\; cosh\; \; U\; +\; U)\; +\; C\; =\; 1\; 2\; (sec\; \; x\; tan\; \; x\; +\; ln\; \; |\; sec\; \; x\; +\; tan\; \; x\; |)\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash ,\; dx\; \{\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; cosh\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash ,\; du\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \{\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; (\backslash \; cosh\; 2u\; +\; 1)\; \backslash ,\; du\; \backslash \; \backslash \; [6pt]\; \{\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sinh\; 2u\; +\; u\; \backslash \; right)\; +\; C\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \{\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; sinh\; u\; \backslash \; ch\; u\; +\; u)\; +\; C\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \{\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sec\; x\; +\; \backslash \; tan\; x\; \backslash \; right\; |)\; +\; C\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Так же, как интегрирование по частям, указанным выше, уменьшило интеграл секанса куба до интеграла от секанса до первой степени, поэтому аналогичный процесс уменьшает интеграл от старших нечетных степеней секанса до более низких. Это формула сокращения секанса, которая следует синтаксису:

$\int \; sec\; n\; \; xdx\; =\; sec\; n\; -\; 2\; \; x\; tan\; \; xn\; -\; 1\; +\; n\; -\; 2\; n\; -\; 1\; \int \; sec\; n\; -\; 2\; \; xdx\; (для\; n\; \ne \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{n\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sec\; ^\; \{n-2\}\; x\; \backslash \; tan\; x\}\; \{n-1\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\; n-2\}\; \{n-1\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{n-2\}\; x\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{(для\}\}\; n\; \backslash \; neq\; 1\; \{\backslash \; text\; \{)\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

В качестве альтернативы:

$\int \; sec\; n\; \; xdx\; =\; sec\; n\; -\; 1\; \; x\; sin\; \; xn\; -\; 1\; +\; n\; -\; 2\; n\; -\; 1\; \int \; sec\; n\; -\; 2\; \; xdx\; (для\; n\; \ne \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{n\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sec\; ^\; \{n-1\}\; x\; \backslash \; sin\; x\}\; \{n-1\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{n-2\}\; \{n-\; 1\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; sec\; ^\; \{n-2\}\; x\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{(for\}\}\; n\; \backslash \; neq\; 1\; \{\backslash \; text\; \{)\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Четные степени касательных можно приспособить, используя биномиальное разложение для формирования нечетного полинома секанса и используя эти формулы для наибольшего члена и комбинируя подобные члены.

• Списки интегралов