Helicoid

редактировать

Геликоид с α = 1, −1 ≤ ρ ≤ 1 и −π ≤ θ ≤ π.

Геликоид после плоскости и катеноида , это третья минимальная поверхность, которая должна быть известна.

Содержание

1 Описание
2 Геликоид и катеноид
3 См. Также
4 Примечания
5 Внешние ссылки

Описание

Он был описан Эйлер в 1774 году и Жан Батист Мюзнье в 1776 году. Его название происходит от его сходства со спиралью : на каждую точку на геликоиде есть спираль, содержащаяся в геликоиде, который проходит через эту точку. Поскольку считается, что планарный диапазон простирается через отрицательную и положительную бесконечности, близкое наблюдение показывает появление двух параллельных или зеркальных плоскостей в том смысле, что, если прослеживается наклон одной плоскости, можно увидеть, что параллельная плоскость обходится или пропущено, хотя на самом деле соплоскость также прослеживается с противоположной точки зрения.

Геликоид также является линейчатой поверхностью (и правым коноидом ), что означает, что это след линии. В качестве альтернативы, для любой точки на поверхности есть линия на поверхности, проходящая через нее. Действительно, каталонский доказал в 1842 году, что геликоид и плоскость были единственными линейчатыми минимальными поверхностями..

Геликоид также является трансляционной поверхностью В смысле дифференциальной геометрии.

Геликоид и катеноид являются частями семейства минимальных поверхностей геликоид-катеноид.

Геликоид по форме напоминает винт Архимеда, но тянется бесконечно во всех направлениях. Его можно описать следующими параметрическими уравнениями в декартовых координатах :

x = ρ cos ⁡ (α θ), {\ displaystyle x = \ rho \ cos (\ alpha \ theta), \}

x = \ rho \ cos (\ alpha \ theta), \

Y = ρ грех ⁡ (α θ), {\ displaystyle y = \ rho \ sin (\ alpha \ theta), \}

y = \ rho \ грех (\ альфа \ тета), \

z = θ, {\ displaystyle z = \ theta, \}

z = \ theta, \

, где ρ и θ находятся в диапазоне от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, а α является константой. Если α положительно, то геликоид правосторонний, как показано на рисунке; если отрицательный, то левша.

Геликоид имеет основные кривизны $± α / (1 + α 2 ρ 2) {\ displaystyle \ pm \ alpha / (1+ \ alpha ^ {2} \ rho ^ {2}) \}$ ${\ displaystyle \ pm \ alpha / (1+ \ alpha ^ {2} \ rho ^ {2 }) \}$ . Сумма этих величин дает среднюю кривизну (ноль, поскольку геликоид является минимальной поверхностью), а произведение дает гауссову кривизну.

Геликоид гомеоморфен поверхности плоскость $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ . Чтобы увидеть это, позвольте альфа-каналу непрерывно уменьшаться от заданного значения до нуля. Каждое промежуточное значение α будет описывать другой геликоид, пока не будет достигнуто α = 0 и геликоид не станет вертикальной плоскостью.

И наоборот, плоскость можно превратить в геликоид, выбрав линию или ось на плоскости, а затем повернуть самолет вокруг этой оси.

Если геликоид радиуса R вращается на угол θ вокруг своей оси, поднимаясь на высоту h, площадь поверхности определяется как

θ 2 [RR 2 + c 2 + c 2 пер ⁡ (р + р 2 + с 2 с)], с = час θ {\ displaystyle {\ frac {\ theta} {2}} \ left [R {\ sqrt {R ^ {2} + c ^ {2 }}} + c ^ {2} \ ln \ left ({\ frac {R + {\ sqrt {R ^ {2} + c ^ {2}}}} {c}} \ right) \ right], \ c = {\ frac {h} {\ theta}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ theta} {2}} \ left [R {\ sqrt {R ^ {2} + c ^ {2}}} + c ^ {2} \ ln \ left ({\ frac {R + {\ sqrt { R ^ {2} + c ^ {2}}}} {c}} \ right) \ right], \ c = {\ frac {h} {\ theta}}}

Геликоид и катеноид

Анимация, показывающая преобразование геликоида в катеноид.

Геликоид и катеноид локально изометричны поверхности; см. Преобразование катеноида № геликоида.

См. также

Примечания

^Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей в Трехмерное пространство Автор А. Т. Фоменко, А.А. Тужилин Автор А.А. Тужилин Издается Книжным магазином АМС, 1991 ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218 -4552-3, с. 33
^Вайсштейн, Эрик У. «Геликоид». MathWorld. Проверено 8 июня 2020 г.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Helicoids.