Обобщенный геликоид

обобщенный геликоид: меридиан - это парабола

В геометрии обобщенный геликоид - это поверхность в евклидовом пространстве, образованная вращением и одновременно смещая кривую, кривую профиля, вдоль линии, ее оси. Любая точка данной кривой является начальной точкой круговой спирали . Если кривая профиля содержится в плоскости, проходящей через ось, она называется меридианом обобщенного геликоида. Простыми примерами обобщенных геликоидов являются геликоиды. Меридиан геликоида - это линия, которая ортогонально пересекает ось.

Основные типы генерализованных геликоидов - это

• линейчатые генерализованные геликоиды . Их профильные кривые представляют собой линии, а поверхности - линейчатые поверхности.
• круговые обобщенные геликоиды . Их профильные кривые представляют собой окружности.

В математике геликоиды играют важную роль как минимальные поверхности. В технической области используются обобщенные геликоиды для лестниц, горок, винтов и труб.

• 1 Аналитическое представление
  • 1.1 Винтовое движение точки
  • 1.2 Винтовое движение кривой
• 2 Линейчатые обобщенные геликоиды
  • 2.1 Типы
  • 2.2 На замкнутых линейчатых обобщенных геликоидах
  • 2.3 По касательному складывающемуся типу
• 3 Круговые обобщенные геликоиды
• 4 См. Также
• 5 Внешние ссылки
• 6 Литература

винтового движения точки. зеленый: шаг,. синий: ось винта

Винтовое движение точки

Перемещение точки на кривой винтового типа означает, что точка поворачивается и смещается вдоль линии (оси) таким образом, что смещение пропорционально к углу поворота. Результатом является круговая спираль.

. Если осью является ось z, движение точки $P\; 0\; =\; (x\; 0,\; y\; 0,\; z\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; =\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\},\; z\_\; \{0\})\}$можно параметрически описать как

$p\; (\phi )\; =\; (x\; 0\; cos\; \; \phi \; -\; y\; 0\; sin\; \; \phi \; x\; 0\; sin\; \; \phi \; +\; y\; 0\; cos\; \; \phi \; z\; 0\; +\; c\; \phi ),\; \phi \; \in \; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; -y\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; x\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; +\; y\_\; \{0\; \}\; \backslash \; соз\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; z\_\; \{0\}\; +\; c\; \backslash ;\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash .\}$

$c\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; neq\; 0\}$называется наклонным, угол $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$, измеренный в радианах, называется углом винта и $h\; =\; c\; 2\; \pi \; \{\; \backslash \; displaystyle\; h\; =\; c\; \backslash ;\; 2\; \backslash \; pi\}$шаг (зеленый). След точки - круговая спираль (красная). Он содержится на поверхности правильного кругового цилиндра. Его радиус - это расстояние от точки $P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\}$до оси z.

В случае $c>0\; \{\backslash \; displaystyle\; c>0\}$спираль называется правосторонней, в противном случае - левой. (В случае $c\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 0\}$движение - это вращение вокруг оси z).

Винтовое движение кривой

Винтовое движение кривой

$x\; (t)\; =\; (x\; (t),\; Y\; (T),\; Z\; (T))\; T,\; T\; 1\; \le \; T\; \le \; T\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t),\; z\; (t))\; ^\; \{T\},\; \backslash \; t\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; t\_\; \{2\}\; \backslash ,\}$

дает обобщенный геликоид с параметрическим представлением

• $S\; (t,\; \phi )\; =\; (x\; (t)\; cos\; \; \phi \; -\; Y\; (T)\; грех\; \; \phi \; Икс\; (T)\; грех\; \; \phi \; +\; Y\; (T)\; соз\; \; \phi \; Z\; (T)\; +\; c\; \phi ),\; T\; 1\; \le \; T\; \le \; T\; 2,\; \phi \; \in \; R.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (t,\; \backslash \; varphi)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; (t)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; -y\; (t)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; x\; (t)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; +\; y\; (t)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; z\; (t)\; +\; c\; \backslash ;\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; quad\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; t\_\; \{2\},\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash .\; \}$

кривые $S\; (t\; =\; constant,\; \phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (t\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\},\; \backslash \; varphi)\}$- круговые спирали.. Кривые $S\; (t,\; \phi \; =\; константа)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (t,\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\})\}$- копии данной кривой профиля.

Пример: На первом изображении выше меридиан представляет собой параболу.

правый линейчатый обобщенный геликоид: закрытый (слева) и открытый (справа) наклонные типы: закрытый (слева) и открытый (справа) касательный развертывающийся тип: определение ( слева) и пример

Типы

Если кривая профиля является прямой, получается линейчатый обобщенный геликоид. Существует четыре типа:

(1) Линия пересекает ось ортогонально. Получается геликоид (замкнутый правосторонний обобщенный геликоид).

(2) Линия пересекает ось, но не ортогонально. Получают тип закрытый наклонный .

Если заданная линия и ось являются наклонными линиями, получается тип открытый, и ось не является частью поверхности (см. Рисунок).

(3) Если заданная линия и ось являются наклонными линиями, и линия содержится в плоскости, перпендикулярной оси, получается правый открытый тип или, кратко, открытый геликоид .

(4) Если линия и ось наклонены и линия не содержится в... (s. 3), получается наклонно-открытый тип .

Наклонные типы пересекаются сами (см. рисунок), правильные типы (геликоиды) - нет.

Получается интересный случай, если линия наклонена к оси и произведение ее расстояния $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$до оси и ее наклон точно $с\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$. В этом случае поверхность является касательной разворачивающейся поверхностью и создается направляющей $(d\; cos\; cos\; \phi ,\; d\; sin\; \; \phi ,\; c\; \phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (d\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi,\; d\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi,\; c\; \backslash \; varphi)\}$.

Примечание:

1. Геликоиды (открытые и закрытые) - это каталонские поверхности. Замкнутый тип (общий геликоид) - это даже коноид
2. Линейчатые обобщенные геликоиды не являются алгебраическими поверхностями.

На замкнутых линейчатых обобщенных геликоидах

на самопересечении замкнутых линейчатых обобщенных геликоидов

Замкнутых линейчатых обобщенный геликоид имеет линию профиля, пересекающую ось. Если линия профиля описана как $(t,\; 0,\; z\; 0\; +\; mt)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; (t,\; 0,\; z\_\; \{0\}\; +\; m\; \backslash ;\; t)\; ^\; \{T\}\}$получаем следующее параметрическое представление

• $S\; (t,\; \phi )\; =\; (t\; cos\; \; \phi \; t\; sin\; \; \phi \; z\; 0\; +\; mt\; +\; c\; \phi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (t,\; \backslash \; varphi)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; t\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; t\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; z\_\; \{0\}\; +\; mt\; +\; c\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}\; \backslash .\}$

Если $m\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 0\}$(обычный геликоид), поверхность не пересекает саму себя.. Если $m\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; neq\; 0\}$(наклонный тип), поверхность пересекает себя и кривые (на поверхности)

$S\; (ti,\; \phi )\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (t\_\; \{i\},\; \backslash \; varphi)\}$с $ti\; =\; h\; 4\; m\; (2\; i\; +\; 1),\; i\; =\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{4m\}\}\; (2i\; +\; 1),\; \backslash \; i\; =\; 1,2,\; \backslash \; ldots\}$

состоят из двойных точек. Существуют бесконечные двойные кривые. Меньший $|\; м\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; m\; |\}$тем больше расстояния между двойными кривыми.

По касательной разворачивающейся типа

касательной разворачивающейся: регулярные части (зеленый и синий) и направляющая (фиолетовая)

Для направляющей (спираль)

$x\; (\phi )\; =\; (r\; соз\; \; \phi ,\; р\; грех\; \; \phi ,\; с\; \phi )\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; (r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi,\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi,\; c\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{T\}\}$

получаем следующее параметрическое представление касательной развертывающейся поверхности:

• $S\; (t,\; \phi )\; =\; x\; (\phi )\; +\; tx\; \dot{}\; (\phi )\; =\; (r\; cos\; \; \phi \; -\; tr\; sin\; \; \phi \; r\; sin\; \; \phi \; +\; tr\; cos\; \; \phi \; c\; (t\; +\; \phi )).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (t,\; \backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\backslash \; varphi)\; +\; t\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; -tr\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; +\; tr\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; c\; (t\; +\; \backslash \; varphi)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash .\}$

Вектор нормали к поверхности равен

$n\; =\; S\; t\; \times \; S\; \phi \; =\; x\; \dot{}\; \times \; (x\; \dot{}\; +\; tx\; ¨)\; =\; t\; (x\; \dot{}\; \times \; x\; ¨)\; =\; t\; (cr\; sin\; \; \phi \; -\; cr\; cos\; \; \phi \; r\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{x\; \}\}\; +\; t\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\})\; =\; t\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\})\; =\; t\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; cr\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; -\; cr\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash .\}$

Для $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$нормальный вектор - это нулевой вектор. Следовательно, направляющая состоит из особых точек. Направляющая разделяет две регулярные части поверхности (см. Рисунок).

меридиан представляет собой круг кривая профиля представляет собой горизонтальный круг

Есть 3 интересных типа круговых обобщенных геликоидов:

(1) Если круг является меридианом и не пересекает ось (см. рисунок).

(2) Плоскость, содержащая круг, ортогональна спирали центров окружности. Получается поверхность трубы

(3) Плоскость окружности ортогональна оси и включает в себя точку оси на ней (см. Рисунок). Этот тип использовался для колонн в стиле барокко.

• 

  лестница, университет Мангейма, Германия

• 

  трубная горка Salinarium

• 

  алтарь (1688), Санкт-Панкратий, Нойенфельде, Германия

• Helicoid
• Минимальная поверхность
• Спираль
• Линейчатая поверхность
• Каталонская поверхность
• Коноид
• Поверхность вращения

• Gfrerrer: Kurven und Flächen, S. 47
• mathcurve.com : круговой обобщенный геликоид
• mathcurve.com: расширяемый обобщенный геликоид
• mathcurve.com: линейчатый обобщенный геликоид
• K3Dsurf: генератор трехмерных поверхностей

• Эльза Аббена, Саймон Саламон, Альфред Грей: Modern Differential Геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, 3. издание, исследования по высшей математике, Chapman Hall, 2006, ISBN 1584884487, p. 470
• E. Крейсциг: Дифференциальная геометрия. Нью-Йорк: Довер, стр. 88, 1991.
• У. Граф, М. Барнер: Darstellende Geometrie. Quelle Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, p.218
• K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, Vandenhoek Ruprecht, Göttingen, 1967, стр. 286