Касательная развертка

редактировать

Касательная развертка спирали

В математическом исследовании дифференциальной геометрии поверхностей, касательная развертывающаяся - это особый вид развертывающейся поверхности, полученный из кривой в евклидовом пространстве при перемещении поверхности по касательным к кривой. Такая поверхность также является огибающей касательных плоскостей к кривой.

Содержание

1 Параметризация
2 Свойства
3 История
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Параметризация

Пусть $γ (t) {\ displaystyle \ gamma (t)}$ $\ gamma ( t)$ быть параметризацией гладкой пространственной кривой. То есть, $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - это дважды дифференцируемая функция с производной, не исчезающей нигде, которая отображает свой аргумент $t {\ displaystyle t}$ $t$ (вещественное число ) до точки в пространстве; кривая - это изображение $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ . Тогда двумерная поверхность, касательная разворачивающаяся к $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , может быть параметризована картой

(s, t) ↦ γ (t) + s γ ′ (T). {\ displaystyle (s, t) \ mapsto \ gamma (t) + s \ gamma {\, '} (t).}

(s,t)\mapsto \gamma (t)+s\gamma {\,'}(t).

Исходная кривая образует границу касательной разворачивающейся области и называется ее направляющей или ребром регрессии. Эта кривая получается сначала проявлением поверхности в плоскости, а затем рассмотрением изображения в плоскости образующих линией на поверхности. Огибающая этого семейства линий представляет собой плоскую кривую, развернутый инверсный образ которой является краем регрессии. Интуитивно понятно, что это кривая, по которой поверхность должна складываться в процессе превращения в плоскость.

Свойства

Касательная развертка кривой с нулевым кручением.

Касательная развертка - это развертывающаяся поверхность ; то есть это поверхность с нулевой гауссовой кривизной. Это один из трех основных типов складывающейся поверхности; два других - это обобщенные конусы (поверхность, очерченная одномерным семейством линий через фиксированную точку) и цилиндры (поверхности, очерченные одномерным семейством параллельных линий ). (Плоскость иногда называют четвертым типом, или ее можно рассматривать как частный случай любого из этих двух типов.) Каждая развивающаяся поверхность в трехмерном пространстве может быть образована путем склеивания частей этих три типа; из этого следует, что каждая развертывающаяся поверхность является линейчатой поверхностью, объединением одномерного семейства линий. Однако не всякая линейчатая поверхность поддается развёртыванию; геликоид является контрпримером.

Касательная развертка кривой, содержащей точку нулевого кручения кручения, будет содержать самопересечение.

История

Касательные развертывающиеся элементы были впервые изучены Леонардом Эйлером в 1772 году. До этого времени единственными известными развертывающимися поверхностями были обобщенные конусы и цилиндры. Эйлер показал, что касательные разворачивающиеся поверхности могут разворачиваться и что каждая разворачивающаяся поверхность относится к одному из этих типов.

Примечания

Ссылки

Струик, Дирк Ян (1961), Лекции по классической дифференциальной геометрии, Эддисон-Уэсли.
Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8
Сабитов, И.Х. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Войцеховский, М.И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Tangent Developable». MathWorld.