Поверхность канала

редактировать

поверхность канала: направляющая - это спираль, с ее образующими сферами

поверхность трубы: направляющая - это спираль с образующими сферами

поверхность трубы: направляющая - спираль

A канал или поверхность канала - поверхность, образованная как оболочка семейства сфер, центры лежат на пространственной кривой, ее директрисе. Если радиусы образующих сфер постоянны, поверхность канала называется поверхностью трубы . Простые примеры:

правый круговой цилиндр (поверхность трубы, директриса - линия, ось цилиндра)
тор (поверхность трубы, директриса - окружность),
правая окружность конус (поверхность канала, директриса - линия (ось), радиусы сфер непостоянны),
поверхность вращения (поверхность канала, директриса - линия),

поверхность канала играет существенная роль в начертательной геометрии, потому что в случае ортогональной проекции ее контурная кривая может быть нарисована как огибающая окружностей.

В технической области поверхности каналов могут быть использованы для плавного смешивания поверхностей.

Содержание

1 Огибающая пучка неявных поверхностей
2 Поверхность канала
3 Параметрическое представление поверхности канала
4 Примеры
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Огибающая пучка неявных поверхностей

Дан пучок неявных поверхностей

Φ c: f (x, c) Знак равно 0, c ∈ [c 1, c 2] {\ displaystyle \ Phi _ {c}: f ({\ mathbf {x}}, c) = 0, c \ in [c_ {1}, c_ {2} ]}

{\ displaystyle \ Phi _ {c}: f ({\ mathbf {x}}, c) = 0, c \ in [c_ {1}, c_ {2}]}

две соседние поверхности $Φ c {\ displaystyle \ Phi _ {c}}$ $\ Phi _ {c}$ и $Φ c + Δ c {\ displaystyle \ Phi _ {c + \ Delta c} }$ ${\ displaystyle \ Phi _ {c + \ Delta c} }$ пересекаются по кривой, которая удовлетворяет уравнениям

f (x, c) = 0 {\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}, c) = 0}

{\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}, c) = 0}

f (x, c + Δ c) = 0 {\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}, c + \ Delta c) = 0}

{ \ displaystyle f ({\ mathbf {x}}, c + \ Delta c) = 0}

для предела $Δ c → 0 { \ displaystyle \ Delta c \ to 0}$ ${\ displaystyle \ Delta c \ to 0}$ получается $fc (x, c) = lim Δ c → 0 f (x, c) - f (x, c + Δ c) Δ c Знак равно 0 {\ displaystyle f_ {c} ({\ mathbf {x}}, c) = \ lim _ {\ Delta c \ to \ 0} {\ frac {f ({\ mathbf {x}}, c) -f ({\ mathbf {x}}, c + \ Delta c)} {\ Delta c}} = 0}$ ${\ displaystyle f_ {c} ({\ mathbf {x}}, c) = \ lim _ {\ Delta c \ to \ 0} {\ frac {f ({\ mathbf {x}}, c) -f ({\ mathbf {x}}, c + \ Delta c)} {\ Delta c}} = 0}$ . Последнее уравнение является причиной следующего определения.

Пусть $Φ c: f (x, c) = 0, c ∈ [c 1, c 2] {\ displaystyle \ Phi _ {c}: f ({\ mathbf {x}}, c) = 0, c \ in [c_ {1}, c_ {2}]}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {c}: f ({\ mathbf {x}}, c) = 0, c \ in [c_ {1}, c_ {2}]}$ быть однопараметрическим пучком регулярных неявных $C 2 {\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ { 2}$ поверхности ( $f {\ displaystyle f}$ $f$ как минимум дважды непрерывно дифференцируемые). Поверхность, определяемая двумя уравнениями
$f (x, c) = 0, fc (x, c) = 0 {\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}, c) = 0, \ quad f_ {c } ({\ mathbf {x}}, c) = 0}$ ${\ displaystyle f ({\ mathbf { x}}, c) = 0, \ quad f_ {c} ({\ mathbf {x}}, c) = 0}$

- огибающая данного пучка поверхностей.

Поверхность канала

Пусть $Γ: Икс знак равно с (U) знак равно (a (u), b (u), c (u)) ⊤ {\ displaystyle \ Gamma: {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {c}} ( u) = (a (u), b (u), c (u)) ^ {\ top}}$ ${\ displaystyle \ Gamma: {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {c}} (u) = (a (u), b (u), c (u)) ^ {\ top}}$ быть кривой регулярного пространства и $r (t) {\ displaystyle r (t)}$ $r (t)$ a $C 1 {\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ {1}$ -функция с $r>0 {\ displaystyle r>0}$ $r>0$ и $| r ˙ | < ‖ c ˙ ‖ {\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$ ${\ displaystyle | { \ dot {r}} | <\ | {\ dot {\ mathbf {c}}} \ |}$ . Последнее условие означает, что кривизна кривой меньше кривизны соответствующей сферы. Огибающая однопараметрического пучка сфер

f (x; u): = ‖ x - c (u) ‖ 2 - р (и) 2 знак равно 0 {\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}; u): = {\ big \ |} {\ mathbf {x}} - {\ mathbf { c}} (u) {\ big \ |} ^ {2} -r (u) ^ {2} = 0}

{\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}; u): = {\ big \ |} {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {c}} (u) { \ big \ |} ^ {2} -r (u) ^ {2} = 0}

называется поверхностью канала и $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ его директриса . Если радиусы постоянны, это называется поверхностью трубы .

Параметрическое представление поверхности канала

Условие оболочки

fu (x, u) = 2 (- (x - c (и)) ⊤ с ˙ (и) - р (и) р ˙ (и)) = 0 {\ displaystyle f_ {u} ({\ mathbf {x}}, u) = 2 {\ Big (} - { \ big (} {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {c}} (u) {\ big)} ^ {\ top} {\ dot {\ mathbf {c}}} (u) -r (u) {\ dot {r}} (u) {\ Big)} = 0}

{\ displaystyle f_ {u} ({\ mathbf {x}}, u) = 2 {\ Big (} - {\ big (} {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {c}} (u) {\ big)} ^ {\ top} {\ dot {\ mathbf {c}}} (u) -r (u) {\ dot {r}} (u) {\ Big)} = 0}

поверхности канала выше для любого значения $u {\ displaystyle u}$ $u$ уравнение плоскость, которая ортогональна касательной $c ˙ (u) {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {c}}} (u)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {c}}} (u)}$ направляющей. Следовательно, конверт представляет собой набор кругов. Это свойство является ключевым для параметрического представления поверхности канала. Центр круга (для параметра $u {\ displaystyle u}$ $u$ ) находится на расстоянии $d: = rr ˙ ‖ c ˙ ‖ < r {\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}$ ${\ displaystyle d: = {\ frac {r {\ dot {r}}} {\ | {\ dot {\ mathbf {c}}} \ |}} <r}$ (см. Условие выше) от центра. соответствующей сферы и ее радиус равен $r 2 - d 2 {\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} -d ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} -d ^ {2} }}}$ . Следовательно,

$x = x (u, v): = c (u) - r (u) r ˙ (u) ‖ c ˙ (u) ‖ 2 c ˙ (u) + r (u) 1 - r ˙ (и) 2 ‖ с ˙ (и) ‖ 2 (е 1 (и) соз ⁡ (v) + е 2 (и) грех ⁡ (v)), {\ displaystyle {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {x}} (u, v): = {\ mathbf {c}} (u) - {\ frac {r (u) {\ dot {r}} (u)} {\ | {\ dot {\ mathbf) {c}}} (u) \ | ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {c}}} (u) + r (u) {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {r) }} (u) ^ {2}} {\ | {\ dot {\ mathbf {c}}} (u) \ | ^ {2}}}}} {\ big (} {\ mathbf {e}} _ {1} (u) \ cos (v) + {\ mathbf {e}} _ {2} (u) \ sin (v) {\ big)},}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {x}} (u, v): = {\ mathbf {c}} (u) - {\ frac {r (u) {\ dot {r}} (u)} {\ | {\ dot {\ mathbf {c}}} (u) \ | ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {c}}} (u) + r (u) {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {r}} (u) ^ {2}} {\ | {\ dot {\ mathbf {c}}} (u) \ | ^ {2}}}}} {\ big (} {\ mathbf {e}} _ {1} (u) \ cos (v) + {\ mathbf {e}} _ {2} (u) \ sin ( v) {\ big)},}$

где векторы $e 1, e 2 {\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e }} _ {2}}$ и касательный вектор $c ˙ / ‖ c ˙ ‖ { \ displaystyle {\ dot {\ mathbf {c}}} / \ | {\ dot {\ mathbf {c}}} \ |}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {c}}} / \ | {\ dot {\ mathbf {c}}} \ |}$ образуют ортонормированный базис, представляет собой параметрическое представление поверхности канала.

Для $r ˙ = 0 {\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}$ получается параметрическое представление поверхности трубы :

$х = х (u, v): = c (u) + r (e 1 (u) cos ⁡ (v) + e 2 (u) sin ⁡ (v)). {\ displaystyle {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {x}} (u, v): = {\ mathbf {c}} (u) + r {\ big (} {\ mathbf {e}} _ {1} (u) \ cos (v) + {\ mathbf {e}} _ {2} (u) \ sin (v) {\ big)}.}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {x}} (u, v): = {\ mathbf {c}} (u) + г {\ big (} {\ mathbf {e}} _ {1} (u) \ cos (v) + {\ mathbf {e}} _ {2} (u) \ sin (v) {\ big)}.}$

узел трубы

поверхность канала: Dupin циклид

Примеры

a) На первом рисунке показана поверхность канала с

спиралью $(cos ⁡ (u), sin ⁡ (u), 0,25 u), u ∈ [0, 4] {\ displaystyle (\ cos (u), \ sin (u), 0,25u), u \ in [0,4]}$ ${\ displaystyle (\ cos (u), \ sin (u), 0,25 u), u \ in [0,4]}$ как директриса и
функция радиуса $r (u): = 0,2 + 0,8 u / 2 π {\ displaystyle r (u): = 0,2 + 0,8u / 2 \ pi}$ ${\ displaystyle r (u): = 0,2 + 0,8u / 2 \ pi}$ .
Выбор для $e 1, e 2 {\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e }} _ {2}}$ имеет следующий вид: