Основная кривизна

Максимальная и минимальная кривизна в точке поверхности Седловая поверхность с нормальными плоскостями в направлениях основных кривизны

В дифференциальной геометрии две основные кривизны в заданной точке поверхности поверхности являются собственными значениями формы оператор в точке. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях в этой точке.

• 1 Обсуждение
• 2 Формальное определение
  • 2.1 Обобщения
• 3 Классификация точек на поверхности
• 4 Линия кривизны
• 5 Приложения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

В каждой точке p дифференцируемой поверхности в трехмерном Евклидово пространство можно выбрать единичный вектор нормали. Нормальная плоскость в точке p - это плоскость, которая содержит вектор нормали и, следовательно, также будет содержать уникальное касательное направление к поверхности и разрезать поверхность по кривой плоскости, называемой нормальным сечением. Эта кривая, как правило, будет иметь разные кривизны для разных нормальных плоскостей на p. главные кривизны в точке p, обозначенные k 1 и k 2, являются максимальным и минимальным значениями этой кривизны.

Здесь кривизна кривой по определению является обратной радиусу соприкасающейся окружности. Кривизна считается положительной, если кривая поворачивается в том же направлении, что и выбранная нормаль к поверхности, и в противном случае отрицательной. Направления в нормальной плоскости, где кривизна принимает максимальные и минимальные значения, всегда перпендикулярны, если k 1 не равно k 2, результат Euler (1760), и называются главными направлениями . С современной точки зрения эта теорема следует из спектральной теоремы, потому что эти направления являются главными осями симметричного тензора - второй фундаментальной формы. Систематический анализ главных искривлений и главных направлений был проведен Гастоном Дарбу с использованием рамок Дарбу.

Произведение k 1k2двух главных кривизны - это гауссова кривизна, K, а среднее значение (k 1 + k 2) / 2 - это средняя кривизна, H.

Если при по крайней мере одна из главных кривизны равна нулю в каждой точке, тогда гауссова кривизна будет равна 0, и поверхность будет разворачивающейся поверхностью. Для минимальной поверхности средняя кривизна равна нулю в каждой точке.

Пусть M - поверхность в евклидовом пространстве со второй фундаментальной формой $II\; (X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash !\; I\; (X,\; Y)\}$. Зафиксируем точку p∈M и ортонормированный базис X1, X 2 касательных векторов в точке p. Тогда главные кривизны - это собственные значения симметричной матрицы

$[II\; ij]\; =\; [II\; (X\; 1,\; X\; 1)\; II\; (X\; 1,\; X\; 2)\; II\; (X\; 2,\; X\; 1)\; II\; (X\; 2,\; X\; 2)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [I\; \backslash !\; I\_\; \{ij\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; I\; \backslash !\; I\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{1\})\; I\; \backslash !\; I\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{\; 2\})\; \backslash \backslash \; I\; \backslash !\; I\; (X\_\; \{2\},\; X\_\; \{1\})\; I\; \backslash !\; I\; (X\_\; \{2\},\; X\_\; \{2\})\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Если X 1 и X 2 выбираются так, чтобы матрица $[II\; ij]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [I\; \backslash !\; I\_\; \{ij\}\; \backslash \; right]\}$- диагональная матрица, то они называются главными направлениями . Если поверхность ориентирована, то часто требуется, чтобы пара (X 1, X 2) была положительно ориентирована относительно данной ориентации.

Без ссылки на конкретный ортонормированный базис, главные кривизны - это собственные значения оператора формы, а главными направлениями являются его собственные векторы.

Обобщения

Для гиперповерхностей в многомерных евклидовых пространствах главные кривизны могут быть определены прямо аналогичным образом. Главные кривизны - это собственные значения матрицы второй фундаментальной формы $II\; (X\; i,\; X\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash !\; I\; (X\_\; \{i\},\; X\_\; \{j\})\}$в ортонормированном базисе касательного пространства. Основные направления - это соответствующие собственные векторы.

Аналогично, если M - гиперповерхность в римановом многообразии N, то главные кривизны являются собственными значениями его второй фундаментальной формы. Если k 1,..., k n являются n главными кривизнами в точке p ∈ M и X 1,..., X n - соответствующие ортонормированные собственные векторы (главные направления), тогда секционная кривизна M в точке p определяется как

$K\; (X\; i,\; X\; j)\; =\; kikj\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (X\_\; \{i\},\; X\_\; \{j\})\; =\; k\_\; \{i\}\; k\_\; \{j\}\}$

для всех $i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j\}$с $i\; \ne \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; neq\; j\}$.

• В эллиптических точках обе основные кривизны имеют один и тот же знак, а поверхность локально выпуклый.
  • В омбилических точках обе главные кривизны равны, и каждый касательный вектор может считаться главным направлением. Обычно это происходит в изолированных точках.
• В гиперболических точках главные кривизны имеют противоположные знаки, а поверхность локально будет иметь форму седла.
• В параболической точек, одна из главных кривизны равна нулю. Параболические точки обычно лежат на кривой, разделяющей эллиптические и гиперболические области.
  • В плоских точках шлангокабеля обе основные кривизны равны нулю. Общая поверхность не будет содержать плоских омбилических точек. седло обезьяны представляет собой одну поверхность с изолированной плоской пуповиной.

Классы точек поверхности

	k1>0	k1= 0	k1< 0
k2>0	Вогнутый эллипсоид	Вогнутый цилиндр	Гиперболоидная поверхность
k2= 0	Вогнутый цилиндр	Плоскость	Выпуклый цилиндр
k2< 0	Гиперболоидная поверхность	Выпуклый цилиндр	Выпуклый эллипсоид

Линии кривизны или линии кривизны - это кривые, которые всегда касаются главное направление (это интегральные кривые для полей главных направлений). Через каждую непупочную точку будут проходить две линии кривизны, и эти линии будут пересекаться под прямым углом.

В непосредственной близости от пуповины линии кривизны обычно образуют одну из трех конфигураций: звезда, лимон и монстар (происходит от лимон- звезда). Эти точки также называются дарбуковской пуповиной в честь Гастона Дарбу, первого, кто провел систематическое исследование в Vol. 4, стр. 455, из его Leçons (1896 г.).

• Конфигурации линий кривизны около пуповины
• 

  Лимон

• 

  Монстар

• 

  Звезда

На этих рисунках красные кривые представляют собой линии кривизны для одного семейства основных направлений, а синие кривые - для Другие.

Когда линия кривизны имеет локальный экстремум той же главной кривизны, тогда кривая имеет точку гребня . Эти точки выступов образуют кривые на поверхности, называемые гребнями . Изгибы гребня проходят через шлангокабель. Для звездообразного рисунка через пупок проходят либо 3, либо 1 линия гребня, для монстры и лимона проходит только один гребень.

Основные направления кривизны вместе с нормалью к поверхности определяют Рамка 3D-ориентации в точке поверхности. Например, в случае цилиндрической поверхности, физически касаясь или визуально наблюдая, мы знаем, что вдоль одного определенного направления поверхность является плоской (параллельной оси цилиндра), и, следовательно, обращаем внимание на ориентацию поверхности. Применение такой рамки ориентации в каждой точке поверхности означает, что любое вращение поверхностей во времени может быть определено просто путем рассмотрения изменения соответствующих рамок ориентации. Это привело к созданию алгоритмов оценки движения одной точки и сегментации в компьютерном зрении.

• Радиус Земли # Основные разделы

• Darboux, Gaston (1887,1889,1896). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces. Готье-Виллар. Проверить значения даты в: | year =()
• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия. Дувр. ISBN 0-486-63433-7.
• Kobayashi, Shoshichi Nomizu, Katsumi (1996). Основы дифференциальной геометрии, том 2 (новая редакция). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
• Майкл Спивак (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том 3). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-72-1.

• Исторические комментарии к эллипсоиду Монжа и конфигурации линий кривизны на поверхностях, погруженных в R