Оскулирующий круг

круг непосредственно соответствующей кривизны кривой в точке Оскулирующий круг Оскулирующие круги Архимедова спираль, вложенная по теореме Тейта – Кнезера. «Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, где окружности особенно близки друг к другу».

В дифференциальной геометрии кривых соприкасающаяся окружность достаточно гладкой плоскости кривая в данной точке p на кривой традиционно определялась как окружность, проходящая через точку p, и пара дополнительных точек на кривой бесконечно близкой к p. Его центр лежит на внутренней нормальной линии, а его кривизна определяет кривизну данной кривой в этой точке. Эта окружность, которая является единственной среди всех касательных окружностей в данной точке, которая наиболее сильно приближается к кривой, назвал circleus osculans (латинское слово "круг поцелуев") Лейбниц.

Центр и радиус соприкасающейся окружности в данной точке называются центром кривизны и радиусом кривизны кривая в этой точке. Геометрическая конструкция была описана Исааком Ньютоном в его Principia :

. В любых местах задана скорость, с которой тело описывает данную фигуру, посредством сил, направленных на некоторые общие центр: найти этот центр.

— Исаак Ньютон, Начала; ПРЕДЛОЖЕНИЕ V. ПРОБЛЕМА I.

• 1 Нетехническое описание
• 2 Математическое описание
  • 2.1 Декартовы координаты
• 3 Свойства
• 4 Примеры
  • 4.1 Парабола
  • 4.2 Кривая Лиссажу
  • 4.3 Циклоида
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Представьте себе автомобиль, движущийся по извилистой дороге на обширной равнине. самолет. Внезапно в какой-то момент на дороге рулевое колесо фиксируется в своем текущем положении. После этого машина движется по кругу, «целуя» дорогу в точке блокировки. Кривизна окружности равна кривизне дороги в этой точке. Этот круг представляет собой соприкасающийся круг дорожного поворота в этой точке.

Пусть $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$(s) будет регулярной параметрической кривой на плоскости, где s - длина дуги (естественный параметр ). Это определяет единичный касательный вектор T (s), единичный вектор нормали N (s), знаковую кривизну k (s) и радиус кривизны R (s) в каждой точке, для которой составлено s:

$T\; (s)\; =\; \gamma \; \prime \; (s),\; T\; \prime \; (s)\; =\; k\; (s)\; N\; (s),\; R\; (s)\; =\; 1\; |\; k\; (s)\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; T\; (s)\; =\; \backslash \; gamma\; \text{'}(s),\; \backslash \; quad\; T\text{'}\; (s)\; =\; k\; (s)\; N\; (s),\; \backslash \; quad\; R\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; |\; k\; (s)\; \backslash \; right\; |\}\}.\}$

Предположим, что P - точка на γ, где k ≠ 0. Соответствующий центр кривизны - это точка Q на расстоянии R вдоль N в том же направлении, если k положительно и в обратном направлении, если k отрицательно. Окружность с центром в Q и радиусом R называется соприкасающейся окружностью кривой γ в точке P.

Если C - регулярная пространственная кривая, то соприкасающаяся окружность определена в аналогичным образом, используя вектор главной нормали N. Она лежит в соприкасающейся плоскости, плоскости, натянутой на касательную и главные нормали T и N в точке P.

Плоская кривая также может быть задана в другой регулярной параметризации

$\gamma \; (T)\; знак\; равно\; (Икс\; 1\; (T)\; Икс\; 2\; (T))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\_\; \{1\}\; (t)\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\; \}\; (t)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,\}$

где обычный означает, что $\gamma \; \prime \; (t)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash \; neq\; 0\}$для все $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Тогда формулы для знаковой кривизны k (t), нормального единичного вектора N (t), радиуса кривизны R (t) и центра Q (t) соприкасающейся окружности равны

$k\; (t)\; =\; x\; 1\; \prime \; (t)\; \cdot \; x\; 2\; ″\; (t)\; -\; x\; 1\; ″\; (t)\; \cdot \; x\; 2\; \prime \; (t)\; (x\; 1\; \prime \; (t)\; 2\; +\; x\; 2\; \prime \; (t)\; 2)\; 3\; 2\; N\; (t)\; Знак\; равно\; 1\; \Vert \; \gamma \; \prime \; (t)\; \Vert \; \cdot \; (-\; x\; 2\; \prime \; (t)\; x\; 1\; \prime \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\; \text{'}(t)\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{2\; \}\; \text{'}\text{'}\; (t)\; -x\_\; \{1\}\; \text{'}\text{'}\; (t)\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{2\}\; \text{'}(t)\}\; \{\{\backslash \; Big\; (\}\; x\_\; \{1\}\text{'}\; (t)\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; \text{'}(t)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; Big)\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; N\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; |\; \backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash \; |\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -x\_\; \{2\}\text{'}\; (t)\; \backslash \backslash \; x\_\; \{1\}\; \text{'}(t)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

$R\; (t)\; =\; |\; (x\; 1\; \prime \; (t)\; 2\; +\; x\; 2\; \prime \; (t)\; 2)\; 3\; 2\; x\; 1\; \prime \; (t)\; \cdot \; x\; 2\; ″\; (t)\; -\; x\; 1\; ″\; (t)\; \cdot \; x\; 2\; \prime \; (t)\; |\; a\; n\; d\; Q\; (t)\; =\; \gamma \; (t)\; +\; 1\; k\; (t)\; \cdot \; \Vert \; \gamma \; \prime \; (t)\; \Vert \; \cdot \; (-\; x\; 2\; \prime \; (t)\; x\; 1\; \prime \; (t)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (t)\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; Big\; (\}\; x\_\; \{1\}\; \text{'}(t)\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\text{'}\; (t)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; Big)\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\; \{x\_\; \{1\}\; \text{'}(t)\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{2\}\text{'}\; \text{'}(t)\; -x\_\; \{1\}\text{'}\; \text{'}(t)\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{2\}\text{'}\; (\; t)\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{and\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; Q\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; gamma\; (t)\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; (t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; \backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash \; |\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -x\_\; \{2\}\text{'}\; (t)\; \backslash \backslash \; x\_\; \{1\}\; \text{'}(t)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,.\; \}$

Декартовы координаты

Мы можем получить центр соприкасающейся окружности в декартовых координатах, если подставим $t\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; x\}$и $y\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x)\}$для некоторой функции f. Если мы проведем вычисления, то результаты для координат X и Y центра соприкасающегося круга будут:

$xc\; =\; x\; -\; f\; \prime \; 1\; +\; f\; \prime \; 2\; f\; ″\; и\; yc\; =\; f\; +\; 1\; +\; f\; \prime \; 2\; f\; ″.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{c\}\; =\; x-f\; \text{'}\{\backslash \; frac\; \{1\; +\; f\text{'}\; ^\; \{2\}\}\; \{f\; \text{'}\text{'}\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; y\_\; \{c\}\; =\; f\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; f\; \text{'}^\; \{2\}\}\; \{f\text{'}\; \text{'}\}\}\}$

Для кривой C, заданной достаточно гладкими параметрическими уравнениями (дважды непрерывно дифференцируемыми), соприкасающаяся окружность может быть получена с помощью процедуры ограничения: это предел окружностей, проходящих через три различные точки на C по мере приближения этих точек к P. Это полностью аналогично построению касательной к кривой как предел секущих линий через пары различных точек на C, приближающихся к P.

Прилегающая окружность S к плоской кривой C в регулярной точке P может быть охарактеризована следующими свойствами:

• Окружность S проходит через P.
• Окружность S и кривая C имеют общую касательную линию в точке P, и перед общей нормальной линией.
• Ближе к P расстояние между точками кривой C и окружности S в нормальном направлении уменьшается как куб или более высокая степень расстояния до P в тангенциальном направлении.

Обычно это выражается как «кривая и ее соприкасающийся круг имеют второй или более высокий порядок контакт » в точке P. Грубо говоря, векторные функции, представляющие C и S, согласуются вместе с их первым и вторым производные в точке P.

Если производная кривизны по s отлична от нуля в точке P, то соприкасающаяся окружность пересекает кривую C в точке P. Точки P, в которых производная кривизны равна нулю, называются вершины. Если P - вершина, то C и его соприкасающаяся окружность контактируют не менее третьего порядка. Если, кроме того, кривизна имеет ненулевой локальный максимум или минимум в точке P, тогда соприкасающийся круг касается кривой C в точке P, но не пересекает ее.

Кривая C может быть получена как огибающая однопараметрического семейства ее соприкасающихся окружностей. Их центры, то есть центры кривизны, образуют другую кривую, называемую эволютой кривой C. Вершины кривой C соответствуют особым точкам на ее эволюции.

Внутри любой дуги кривой C, внутри которой кривизна является монотонной (т. Е. От любой вершины кривой), соприкасающиеся круги не пересекаются и вложены друг в друга. Этот результат известен как теорема Тейта-Кнезера.

Парабола

Прилегающая окружность параболы в ее вершине имеет радиус 0,5 и контакт четвертого порядка.

Для параболы

$\gamma \; (t)\; =\; (tt\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; t\; \backslash \backslash \; t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

радиус кривизны равен

$R\; (t)\; =\; |\; (1\; +\; 4\; \cdot \; t\; 2)\; 3\; 2\; 2\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (t)\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; 4\; \backslash \; cdot\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; |\; \}$

В вершине $\gamma \; (0)\; =\; (0\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (0)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$радиус кривизны равен R (0) = 0,5 (см. рисунок). Здесь парабола имеет контакт четвертого порядка со своим соприкасающимся кругом. При больших t радиус кривизны увеличивается ~ t, т. Е. Кривая все больше выпрямляется.

Кривая Лиссажу

A Кривая Лиссажу с соотношением частот (3: 2) может быть параметризована следующим образом

$\gamma \; (t)\; =\; (cos\; \; (3\; t)\; sin\; \; (2\; t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; (3t)\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; (2t)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,.\}$

Он имеет кривизну со знаком k ( t), нормальный единичный вектор N (t) и радиус кривизны R (t), определяемые как

$k\; (t)\; =\; 6\; cos\; \; (t)\; (8\; (cos\; \; t)\; 4-10\; (cos\; \; t)\; 2\; +\; 5)\; (232\; (соз\; \; t)\; 4\; -\; 97\; (соз\; \; t)\; 2\; +\; 13\; -\; 144\; (соз\; \; t)\; 6)\; 3/2,\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{6\; \backslash \; cos\; (\; t)\; (8\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{4\}\; -10\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{2\}\; +5)\}\; \{(232\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{4\}\; -97\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{2\; \}\; +\; 13-144\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{6\})\; ^\; \{3/2\}\}\}\; \backslash ,,\}$

$N\; (t)\; =\; 1\; \Vert \; \gamma \; \prime \; (t)\; \Vert \; \cdot \; (-\; 2\; cos\; \; (\; 2\; t)\; -\; 3\; грех\; \; (3\; t))\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; \backslash \; |\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; -2\; \backslash \; cos\; (2t)\; \backslash \backslash \; -\; 3\; \backslash \; sin\; (3t)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

и

$R\; (t)\; =\; |\; (232\; (cos\; \; t)\; 4\; -\; 97\; (cos\; \; t)\; 2\; +\; 13\; -\; 144\; (cos\; \; t)\; 6)\; 3/2\; 6\; cos\; \; (t)\; (8\; (cos\; \; t)\; 4-10\; (cos\; \; t))\; 2\; +\; 5)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (t)\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{(232\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{4\}\; -97\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{2\}\; +\; 13-144\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{6\}))\; ^\; \{3/2\}\}\; \{6\; \backslash \; cos\; (t)\; (8\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{4\}\; -10\; (\backslash \; cos\; t)\; ^\; \{2\}\; +5)\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,.\}$

См. Рисунок для анимации. Здесь "вектор ускорения" является второй производной $d\; 2\; \gamma \; (s)\; ds\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; gamma\; (s)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; s\; ^\; \{2\}\}\}\}$относительно длины дуги $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$.

Циклоида

Циклоида (синий), ее соприкасающийся круг ( красный) и эволютный (зеленый).

A циклоида с радиусом r может быть параметризована следующим образом:

$\gamma \; (t)\; =\; (r\; (t\; -\; sin\; \; t)\; r\; (1\; -\; cos\; \; t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; r\; (t-\; \backslash \; sin\; t)\; \backslash \backslash \; r\; (1-\; \backslash \; cos\; t)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Его кривизна задается следующей формулой:

$\kappa \; (t)\; =\; -\; |\; csc\; \; (1\; 2\; т)\; |\; 4\; р\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (t)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; csc\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\}\; \{4r\}\}\}$

что дает:

$R\; (t)\; =\; 4\; r\; |\; csc\; \; (1\; 2\; т)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4r\}\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; csc\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\}\}\}$

• Теорема об упаковке круга
• Оскулирующая кривая
• Оскулирующая сфера

1. ^ Гиз, Этьен ; Табачников Сергей ; Тиморин, Владлен (2013). «Оскулирующие кривые: вокруг теоремы Тейта-Кнезера». Математический интеллект. 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662. doi : 10.1007 / s00283-012-9336-6. MR 3041992. S2CID 18183204.
2. ^Фактически, точка P плюс две дополнительные точки, по одной по обе стороны от P. См. Lamb (on line): Horace Lamb (1897). Элементарный курс исчисления бесконечно малых. University Press. п. 406. соприкасающийся круг.
3. ^Вайсштейн, Эрик У. «Циклоида». MathWorld.

Некоторые исторические заметки по изучению кривизны см. В

• Grattan-Guinness H. J. M. Bos (2000). От исчисления к теории множеств 1630-1910: Введение в историю. Издательство Принстонского университета. п. 72. ISBN 0-691-07082-2.
• Рой Портер, редактор (2003). Кембриджская история науки: v4 - Наука восемнадцатого века. Издательство Кембриджского университета. п. 313. ISBN 0-521-57243-6.

Для применения к маневрирующим транспортным средствам см.

• Дж. К. Александер и Дж. Х. Мэддокс (1988): О маневрировании транспортных средств doi : 10.1137 / 0148002
• Мюррей С. Кламкин (1990). Задачи по прикладной математике: отрывки из обзора SIAM. Общество промышленной и прикладной математики. п. 1. ISBN 0-89871-259-9.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Оскулирующими кругами.

• Вайсштейн, Эрик У. "Оскулирующий круг". MathWorld.
• math3d: osculating_circle