Войти
Вложенные соприкасающиеся круги архимедова спираль. Сама спираль не показана, но видна там, где окружности более плотные. В дифференциальной геометрии, теорема Тейта – Кнезера утверждает, что если гладкая плоская кривая имеет монотонную кривизну, тогда соприкасающиеся окружности кривой не пересекаются и вложены друг в друга. логарифмическая спираль или изображенная на рисунке архимедова спираль представляют собой примеры кривых, кривизна которых является монотонной для всей кривой. Такой монотонности не может быть для простой замкнутой кривой (по теореме о четырех вершинах, есть по крайней мере четыре вершины, где кривизна достигает крайней точки), но для таких кривых теорема применима к дугам кривых между ее вершинами.
Теорема названа в честь Питера Тейта, который опубликовал ее в 1896 году, и Адольфа Кнезера, который заново открыл ее и опубликовал в 1912 году. Доказательство Тейта следует просто из свойства evolute, кривая, начерченная центрами соприкасающихся кругов. Для кривых с монотонной кривизной длина дуги по эволюции между двумя центрами равна разности радиусов соответствующих окружностей. Эта длина дуги должна быть больше, чем расстояние по прямой между теми же двумя центрами, поэтому две окружности имеют центры ближе друг к другу, чем разница их радиусов, из чего следует теорема.
Аналогичные теоремы о дизъюнкции могут быть доказано для семейства многочленов Тейлора заданной гладкой функции и для соприкасающихся коник заданной гладкой кривой.
