Логарифмическая спираль

редактировать

Самоподобная спираль роста, характер кривизны которой часто встречается в природе

Логарифмическая спираль (шаг 10 °)

A логарифмическая спираль, равноугольная спираль или спираль роста - это самоподобная спираль кривая, которая часто появляется в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом, а затем подробно исследована Якобом Бернулли, который назвал ее Spira mirabilis, «чудесная спираль».

Логарифмическую спираль можно отличить от спирали Архимеда тем, что расстояния между витками логарифмической спирали увеличиваются в геометрической прогрессии, в то время как в архимедовой спирали спирали эти расстояния постоянны.

Содержание

1 Определение
2 В декартовых координатах
3 Spira mirabilis и Jacob Bernoulli
4 Свойства
5 Особые случаи и приближения
6 В природе
7 Галерея
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определение

В полярных координатах $(r, φ) {\ displaystyle (r, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (r, \ varphi)}$ логарифмическая спираль может быть записана как

r = aek φ, φ ∈ R, {\ displaystyle r = ae ^ {k \ varphi}, \ quad \ varphi \ in \ mathbb {R},}

{\ displaystyle r = ae ^ {k \ varphi}, \ quad \ varphi \ in \ mathbb {R},}

или

φ = 1 k ln ⁡ ra, {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {k}} \ ln {\ frac {r} { a}},}

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {k}} \ ln {\ frac {r} {a}},}

, где $e {\ displaystyle e}$ $e$ является основанием натурального логарифма, а $a>0, k ≠ 0 {\ displaystyle a>0, k \ neq 0}$ $a>0, k \ neq 0$ - вещественные константы.

В декартовых координатах

Логарифмическая спираль с полярным уравнением

r = aek φ {\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi}}

{\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} }

может быть представлен в декартовых координатах $(x = r cos ⁡ φ, y = r sin ⁡ φ) {\ displaystyle (x = r \ cos \ varphi, \, y = r \ sin \ varphi)}$ ${\ displaystyle (Икс = р \ соз \ varphi, \, y = r \ sin \ varphi)}$ по

$x = aek φ cos ⁡ φ, y = aek φ sin ⁡ φ. {\ displaystyle x = ae ^ {k \ varphi} \ cos \ varphi, \ qquad y = ae ^ {k \ varphi} \ sin \ varphi.}$ ${\ displaystyle x = ae ^ {k \ varphi} \ cos \ varphi, \ qquad y = ae ^ {k \ varphi} \ sin \ varphi.}$

В комплексной плоскости $(Z знак равно Икс + IY, еи φ знак равно соз ⁡ φ + я грех ⁡ φ) {\ Displaystyle (г = х + iy, \, е ^ {я \ varphi} = \ соз \ varphi + я \ грех \ varphi) }$ ${\ displaystyle (z = x + iy, \, e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}$ :

$z = п.в. (k + i) φ. {\ displaystyle z = ae ^ {(k + i) \ varphi}.}$ ${\ displaystyle z = ae ^ {(k + i) \ varphi}.}$

Spira mirabilis и Джейкоб Бернулли

Spira mirabilis, латинское для "чудесной спирали", это другое название логарифмической спирали. Хотя эта кривая уже была названа другими математиками, особое название («чудесная» или «чудесная» спираль) дал этой кривой Якоб Бернулли, потому что он был очарован одним из ее уникальных математических свойств. : размер спирали увеличивается, но ее форма не изменяется с каждой последовательной кривой, свойство, известное как самоподобие. Возможно, в результате этого уникального свойства spira mirabilis эволюционировала в природе, появившись в определенных растущих формах, таких как наутилус раковины и подсолнечник. Джейкоб Бернулли хотел, чтобы такая спираль была выгравирована на его надгробии вместе с фразой «Eadem mutata resurgo » («Несмотря на то, что изменилось, я встану таким же»), но по ошибке, вместо него была помещена спираль Архимеда.

Свойства

Определение угла наклона и сектора

Логарифмическая спираль $r = aek φ, k ≠ 0, {\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} \;, \; k \ neq 0, \;}$ ${\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} \;, \; k \ neq 0, \;}$ имеет следующие свойства (см. Spiral ):

Polar наклон : $загар ⁡ α = k (константа!) {\ displaystyle \ \ tan \ alpha = k \ quad ({\ color {red} {\ text {constant!}}})}$ ${\ displaystyle \ \ tan \ alpha = k \ quad ({\ color {red} {\ text {constant!}}})}$

с полярным углом наклона

α {\ displaystyle \ alpha}

\ alpha

(см. диаграмму).

(в случае

k = 0 {\ displaystyle k = 0}

k = 0

угол

α {\ displaystyle \ alpha}

\ alpha

будет равен 0, а кривая представляет собой окружность с радиусом

a {\ displaystyle a}

a

Кривизна : $κ = 1 р 1 + К 2 = соз ⁡ α r {\ displaystyle \; \ kappa = {\ frac {1} {r {\ sqrt {1 + k ^ {2}}}}} = {\ frac { \ cos \ alpha} {r}}}$ ${\ displaystyle \; \ kappa = {\ frac {1} {r {\ sqrt {1 + k ^ {2}}}}} = {\ frac {\ cos \ alpha} {r}}}$

Длина дуги: $L (φ 1, φ 2) = k 2 + 1 k (r (φ 2) - r (φ 1)) = r (φ 2) - r (φ 1) sin ⁡ α {\ displaystyle \ L (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}) = {\ frac {\ sqrt {k ^ {2} +1}} {k}} {\ big (} r ( \ varphi _ {2}) - r (\ varphi _ {1}) {\ big)} = {\ frac {r (\ varphi _ {2}) - r (\ varphi _ {1})} {\ sin \ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ L (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}) = {\ frac {\ sqrt {k ^ {2} +1}} {k}} {\ big (} r (\ varphi _ {2}) - r (\ varphi _ {1}) {\ big)} = {\ frac {r (\ varphi _ {2}) - r (\ varphi _ {1}) } {\ sin \ alpha}}}$ .

В частности:

L (- ∞, φ 2) = r (φ 2) sin ⁡ α (конечно!) {\ displaystyle \ L (- \ infty, \ varphi _ {2}) = {\ frac {r (\ varphi _ {2})} {\ sin \ alpha}} \ quad ({\ color {красный} { \ text {конечный!}}}) \;}

{\ displaystyle \ L (- \ infty, \ varphi _ {2}) = {\ frac {r ( \ varphi _ {2})} {\ sin \ alpha}} \ quad ({\ color {red} {\ text {конечный!}}}) \;}

, если

k>0 {\ displaystyle k>0}

k>0

Впервые это свойство было реализовано Евангелистой Торричелли 90>даже до того, как было изобретено исчисление.

Площадь сектора: $A = r (φ 2) 2 - r (φ 1) 2) 4 k {\ displaystyle \ A = {\ frac {r (\ varphi _ {2}) ^ {2} -r (\ varphi _ {1}) ^ {2})} {4k}}}$ ${\ displaystyle \ A = {\ frac {r (\ varphi _ {2}) ^ {2} -r (\ varphi _ {1}) ^ {2})} {4k}}}$
Inversion:Инверсия круга ( $r → 1 / r {\ displaystyle r \ to 1 / r}$ ${\ displaystyle r \ to 1 / r}$ ) отображает логарифмическую спираль $r = aek φ {\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} \;}$ ${\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} \;}$ на логарифмическую спираль $r = 1 ae - k φ. {\ displaystyle \; r = {\ tfrac {1} {a}} e ^ { -k \ varphi} \.}$ ${\ displaystyle \; r = {\ tfrac {1} {a}} e ^ {- k \ varphi } \.}$

Примеры для

a = 1, 2, 3, 4, 5 {\ displaystyle a = 1,2,3,4,5}

{\ displaystyle a = 1,2,3,4,5}

Поворот, масштабирование : Вращение спирали на угол $φ 0 {\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ $\ varphi _ {0}$ дает спираль $r = ae - k φ 0 ek φ {\ displaystyle r = ae ^ {- k \ varphi _ {0}} e ^ {k \ varphi}}$ ${\ displaystyle r = ae ^ {- k \ varphi _ {0}} e ^ {k \ varphi}}$ , то есть исходная спираль, равномерно масштабируемая (в начале координат) на $e - k φ 0 {\ displaystyle e ^ {- k \ varphi _ {0}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- k \ varphi _ {0}}}$ .

Масштабирование на

ekn 2 π, n = ± 1, ± 2,..., {\ displaystyle \; e ^ {kn2 ​​\ pi} \ ;, n = \ pm 1, \ pm 2,..., \;}

{\ displaystyle \; e ^ {kn2 ​​\ pi} \ ;, n = \ pm 1, \ pm 2,..., \;}

дает ту же кривую.

Самоподобие : Результат предыдущего свойства:

Масштабированная логарифмическая спираль конгруэнтна (по повороту) исходной кривой.

Пример: на диаграмме показаны спирали с углом наклона

α = 20 ∘ {\ displaystyle \ alpha = 20 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle \ alpha = 20 ^ {\ circ}}

a = 1, 2, 3, 4, 5 {\ displaystyle a = 1, 2,3,4,5}

{\ displaystyle a = 1,2,3,4,5}

. Следовательно, все они являются уменьшенными копиями красного. Но они также могут быть сгенерированы путем поворота красного на углы

- 109 ∘, - 173 ∘, - 218 ∘, - 253 ∘ {\ displaystyle -109 ^ {\ circ}, - 173 ^ {\ circ}, -218 ^ {\ circ}, - 253 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle -109 ^ {\ circ}, - 173 ^ {\ circ}, - 218 ^ {\ circ}, - 253 ^ {\ circ}}

соответственно.. Все спирали не имеют общих точек (см. Свойство комплексной экспоненциальной функции).

Связь с другими кривыми: Логарифмические спирали совпадают со своими собственными эвольвентами, эвольвентами и кривыми педали на основе их центров.
Комплексная экспоненциальная функция : экспоненциальная функция точно отображает все линии, не параллельные действительной или мнимой оси в комплексной плоскости, на все логарифмические спирали в комплексной плоскости с центром в $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ :

z (t) = (kt + b) + it ⏟ строка → ez (t) = ekt + b ⋅ eit = ebekt (cos ⁡ t + i sin ⁡ t) ⏟ log. спираль {\ displaystyle z (t) = \ underbrace {(kt + b) \; + it} _ {\ text {line}} \ quad \ to \ quad e ^ {z (t)} = e ^ {kt + b} \ cdot e ^ {it} = \ underbrace {e ^ {b} e ^ {kt} (\ cos t + i \ sin t)} _ {\ text {log. спираль}} \}

{\ displaystyle z (t) = \ underbrace {(kt + b) \; + it} _ {\ text {line}} \ quad \ to \ quad e ^ {z (t)} = e ^ {kt + b} \ cdot e ^ {it} = \ underbrace {e ^ {b} e ^ {kt} (\ cos t + i \ sin t)} _ {\ text {log. спираль}} \}

Полярный угол наклона

α {\ displaystyle \ alpha}

\ alpha

логарифмической спирали - это угол между линией и мнимой осью.

Особые случаи и приближения

золотая спираль - это логарифмическая спираль, которая растет наружу с коэффициентом золотого сечения на каждые 90 градусов вращения (угол наклона полярной оси около 17,03239 градусов). Это может быть аппроксимировано «спиралью Фибоначчи», состоящей из последовательности четвертей окружностей с радиусами, пропорциональными числам Фибоначчи.

В природе

Разрез наутилуса, показывающий расположенные камеры по приблизительно логарифмической спирали. Построенная спираль (пунктирная синяя кривая) основана на параметре скорости роста

b = 0,1759 {\ displaystyle b = 0,1759}

{\ displaystyle b = 0,1759}

, что дает шаг

арктангенса ⁡ b ≈ 10 ∘ {\ displaystyle \ arctan b \ приблизительно 10 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle \ arctan b \ приблизительно 10 ^ {\ circ}}

Брокколи Романеско, которая растет по логарифмической спирали

В нескольких природных явлениях можно найти кривые, близкие к логарифмическим спиралям. Вот несколько примеров и причин:

Приближение ястреба к своей жертве в классическом преследовании, предполагая, что жертва движется по прямой. Их самый острый вид - под углом к направлению полета; этот угол такой же, как и шаг спирали.
Приближение насекомого к источнику света. Они привыкли, что источник света находится под постоянным углом к траектории полета. Обычно солнце (или луна для ночных видов) является единственным источником света, и полет в этом направлении приведет к практически прямой линии.
Рукава спиральных галактик. Наша собственная галактика, Млечный Путь, имеет несколько спиральных рукавов, каждое из которых представляет собой примерно логарифмическую спираль с шагом около 12 градусов.
Нервы роговицы (то есть роговичные нервы субэпителиального слоя оканчиваются около поверхностного эпителиального слоя роговицы в виде логарифмической спирали).
полосы из тропических циклонов, например, ураганы.
Многие биологические структуры, включая раковины моллюсков. В этих случаях причиной может быть конструкция за счет расширения аналогичных форм, как в случае многоугольных фигур.
Пляжи с логарифмической спиралью могут образовываться в результате преломления волн и дифракции на побережье.. Half Moon Bay (Калифорния) является примером такого типа пляжа.

Галерея

Часть множества Мандельброта, следующая по логарифмической спирали
An внетропический циклон над Исландией показывает приблизительно логарифмический спиральный узор
Рукава спиральных галактик часто имеют форму логарифмической спирали, здесь Водоворот Галактика

См. Также

Ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Логарифмическая спираль». MathWorld.
Джим Уилсон, Равноугольная спираль (или логарифмическая спираль) и связанные с ней кривые, Университет Джорджии (1999)
Александр Богомольный, Spira Mirabilis - Wonderful Спираль, разрубленный узел

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Логарифмическими спиралями.

Spira mirabilis история и математика
НАСА Astronomy Picture дня: Ураган Изабель против Галактики Водоворот (25 сентября 2003 г.)
Астрономическое изображение дня НАСА: Тайфун Раммасун против Галактики Вертушка (17 мая 2008 г.)
SpiralZoom.com, образовательный веб-сайт о науке о формировании узоров, спиралях в природе и спиралях в мифическом воображении.
Исследование в Интернете с использованием JSXGraph (JavaScript)