Дифференциальная геометрия поверхностей

Карл Фридрих Гаусс в 1828 году

В математике дифференциал Геометрия поверхностей имеет дело с дифференциальной геометрией гладких поверхностей с различными дополнительными структурами, чаще всего римановой метрикой. Поверхности были тщательно изучены с различных точек зрения: внешне, в связи с их встраиванием в евклидово пространство, и по сути, отражая их свойства, определяемые исключительно расстоянием внутри поверхности, измеренным по кривым на поверхность. Одной из фундаментальных концепций исследования является гауссова кривизна, впервые подробно изученная Карлом Фридрихом Гауссом, который показал, что кривизна является внутренним свойством поверхности, независимо от ее изометрического вложения в Евклидово пространство.

Поверхности естественно возникают как графики из функций пары переменных, а иногда появляются в параметрической форме или как локусы, связанные с Космические кривые. Важную роль в их исследовании сыграли группы Ли (в духе программы Эрлангена ), а именно группы симметрии евклидовой плоскость, сфера и гиперболическая плоскость . Эти группы Ли можно использовать для описания поверхностей постоянной гауссовой кривизны; они также являются важным компонентом современного подхода к внутренней дифференциальной геометрии через соединения. С другой стороны, внешние свойства, основанные на вложении поверхности в евклидово пространство, также широко изучаются. Это хорошо иллюстрируется нелинейными уравнениями Эйлера – Лагранжа в вариационном исчислении : хотя Эйлер разработал уравнения с одной переменной для понимания геодезических, определенных независимо Вложения, одно из основных приложений Лагранжа двух уравнений с переменными было к минимальным поверхностям, концепция, которая может быть определена только в терминах вложения.

Содержание

• 1 История
• 2 Обзор
• 3 Правильные поверхности в евклидовом пространстве
  • 3.1 Определение
  • 3.2 Касательные векторы и векторы нормалей
  • 3.3 Первая и вторая фундаментальные формы, оператор формы, и кривизна
  • 3.4 символы Кристоффеля, уравнения Гаусса – Кодацци и теорема Egregium
  • 3.5 Изометрии
  • 3.6 Ковариантные производные
• 4 Примеры
  • 4.1 Поверхности вращения
  • 4.2 Квадрические поверхности
  • 4.3 Линейчатые поверхности
  • 4.4 Минимальные поверхности
  • 4.5 Поверхности постоянной гауссовой кривизны
• 5 Локальная метрическая структура
  • 5.1 Оператор формы
• 6 Геодезические кривые на поверхности
  • 6.1 Геодезические
  • 6.2 Геодезическая кривизна
  • 6.3 Ортогональные координаты
• 7 Геодезические полярные координаты
  • 7.1 Экспоненциальная карта
  • 7.2 Вычисление нормальных координат
  • 7.3 Лемма Гаусса
  • 7.4 Теорема Egregium
  • 7.5 Уравнение Гаусса – Якоби
  • 7.6 Оператор Лапласа – Бельтрами
• 8 Теорема Гаусса – Бонне
  • 8.1 Геодезические треугольники
  • 8.2 Гаусс – B Теорема оннет
  • 8.3 Кривизна и вложения
• 9 Поверхности постоянной кривизны
  • 9.1 Евклидова геометрия
  • 9.2 Сферическая геометрия
  • 9.3 Гиперболическая геометрия
  • 9.4 Униформизация
• 10 Риманова связь и параллельный перенос
  • 10.1 Ковариантная производная
  • 10.2 Параллельный перенос
  • 10.3 Соединение 1-формы
• 11 Глобальная дифференциальная геометрия поверхностей
• 12 Руководство для чтения
• 13 См. Также
• 14 Примечания
• 15 Ссылки
• 16 Внешние ссылки

История

Бернхард Риман (1826-1866)

Объемы некоторых квадратичных поверхностей оборотов были рассчитаны по Архимед. Развитие исчисления в семнадцатом веке предоставило более систематический способ их вычисления. Кривизну общих поверхностей впервые изучил Эйлер. В 1760 году он доказал формулу кривизны плоского сечения поверхности, а в 1771 году он рассмотрел поверхности, представленные в параметрической форме. Монж заложил основы их теории в своих классических мемуарах L'application de l'analyse à la géometrie, появившихся в 1795 году. Определяющий вклад в теорию поверхностей внес Гаусс в двух замечательных статьях, написанных в 1825 и 1827 годах. Это ознаменовало новый отход от традиции, потому что впервые Гаусс рассмотрел внутреннюю геометрию поверхности, свойства, которые определяются только геодезическими расстояниями между точками на поверхности независимо от особый способ, которым поверхность расположена в окружающем евклидовом пространстве. Главный результат, теорема Egregium Гаусса, установил, что гауссова кривизна является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий. Эта точка зрения была распространена на многомерные пространства Риманом и привела к тому, что сегодня известно как риманова геометрия. Девятнадцатый век был золотым веком теории поверхностей, как с топологической, так и с дифференциально-геометрической точки зрения, и большинство ведущих геометров посвятили себя их изучению. Дарбу собрал множество результатов в своих четырехлетних исследованиях. объемный трактат Теория поверхностей (1887–1896).

Обзор

Интуитивно довольно привычно сказать, что лист растения, поверхность стекла или форма лица искривлены определенным образом, и что все Эти формы, даже после игнорирования каких-либо отличительных знаков, имеют определенные геометрические особенности, которые отличают одна от другой. Дифференциальная геометрия поверхностей занимается математическим пониманием таких явлений. Изучение этой области, которое было начато в ее современной форме в 1700-х годах, привело к развитию многомерной и абстрактной геометрии, такой как риманова геометрия и общая теория относительности.

существенным математическим объектом является регулярная поверхность. Хотя соглашения различаются по точному определению, они образуют общий класс подмножеств трехмерного евклидова пространства (ℝ), которые захватывают часть знакомое понятие «поверхность». Анализируя класс кривых, лежащих на такой поверхности, и степень, в которой поверхности заставляют их изгибаться в, можно сопоставить каждой точке поверхности два числа, называемых главными кривизнами. Их сумма называется средней кривизной поверхности, а их произведение - гауссовой кривизной.

Существует множество классических примеров регулярных поверхностей, в том числе:

• знакомые примеры, такие как плоскости, цилиндры и сферы
• минимальные поверхности, которые определяются тем свойством, что их средняя кривизна равна нулю в каждой точке. Наиболее известными примерами являются катеноиды и геликоиды, хотя было обнаружено гораздо больше. Минимальные поверхности также могут быть определены свойствами, относящимися к площади поверхности, в результате чего они обеспечивают математическую модель формы мыльных пленок при растяжении через проволочный каркас
• линейчатые поверхности, которые представляют собой поверхности, в каждой точке которых проходит по крайней мере одна прямая линия; примеры включают цилиндр и гиперболоид одного листа.

Удивительный результат Карла Фридриха Гаусса, известный как теорема egregium, показал, что гауссовский кривизна поверхности, которая по своему определению связана с тем, как кривые на поверхности меняют направление в трехмерном пространстве, на самом деле может быть измерена длиной кривых, лежащих на поверхностях, вместе с углами, образованными при пересечении двух кривых на поверхности.. Терминологически это говорит о том, что гауссова кривизна может быть вычислена из первой фундаментальной формы (также называемой метрическим тензором ) поверхности. Вторая фундаментальная форма, напротив, представляет собой объект, который кодирует, как длина и углы кривых на поверхности искажаются, когда кривые отталкиваются от поверхности.

Несмотря на измерение различных аспектов длины и угла, первая и вторая основные формы не являются независимыми друг от друга и удовлетворяют определенным ограничениям, называемым уравнениями Гаусса-Кодацци . Основная теорема, часто называемая фундаментальной теоремой дифференциальной геометрии поверхностей, утверждает, что всякий раз, когда два объекта удовлетворяют ограничениям Гаусса-Кодацци, они возникают как первая и вторая фундаментальные формы регулярной поверхности.

Используя первую фундаментальную форму, можно определять новые объекты на регулярной поверхности. Геодезические - это кривые на поверхности, которые удовлетворяют определенному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, которое задается первой фундаментальной формой. Они очень напрямую связаны с изучением длин кривых; геодезическая достаточно короткой длины всегда будет кривой самой короткой длины на поверхности, соединяющей два ее конца. Таким образом, геодезические являются фундаментальными для задачи оптимизации определения кратчайшего пути между двумя заданными точками на регулярной поверхности.

Можно также определить параллельный перенос вдоль любой заданной кривой, который дает рецепт, как деформировать касательный вектор к поверхности в одной точке кривой до касательных векторов во всех других точках. кривой. Рецепт определяется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, которое задается первой фундаментальной формой.

По сути, все вышеперечисленные концепции относятся к многомерному исчислению. Теорема Гаусса-Бонне является более глобальным результатом, который связывает гауссову кривизну поверхности с ее топологическим типом. В нем утверждается, что среднее значение гауссовой кривизны полностью определяется эйлеровой характеристикой поверхности вместе с ее площадью поверхности.

Понятия риманова многообразия и риманова поверхность являются двумя обобщениями регулярных поверхностей, обсуждавшихся выше. В частности, практически вся обсуждаемая здесь теория регулярных поверхностей имеет обобщение в теории римановых многообразий. Это не относится к римановым поверхностям, хотя каждая регулярная поверхность дает пример римановой поверхности.

Правильные поверхности в евклидовом пространстве

Определение

Интуитивно ясно, что сфера гладкая, а конус или пирамида из-за их вершины или ребер не являются. Понятие «регулярная поверхность» является формализацией понятия гладкой поверхности. В определении используется локальное представление поверхности с помощью карт между евклидовыми пространствами. Для таких отображений существует стандартное понятие гладкости; отображение между двумя открытыми подмножествами евклидова пространства является гладким, если его частные производные любого порядка существуют в каждой точке области.

Ниже приведены три эквивалентных способа представления определения; среднее определение, пожалуй, наиболее наглядно интуитивно понятное, поскольку оно по существу говорит о том, что регулярная поверхность - это подмножество, которое локально является графиком гладкой функции (будь то в области в плоскости yz, плоскости xz или плоскости xy).

Локальная параметризация формы пятна Монжа для верхней полусферы 2-сферы, полученная путем проецирования на плоскость xy

Объекты, используемые в определении	Регулярная поверхность в евклидовом пространстве ℝ является подмножество S в такое, что каждая точка S имеет...
локальную параметризацию	... открытую окрестность U ⊂ S, для которой существует открытое подмножество V в и гомеоморфизм f: V → U такое, что f, как функция V → ℝ, бесконечно дифференцируема (т.е. гладкая) для каждой точки V, две частные производные ∂ u f и ∂ v f являются линейно независимыми как элементы ℝ.
патчи Монжа	...открытая окрестность U ⊂ ℝ, для которой существует открытое подмножество V в ℝ и гладкая функция h: V → ℝ такая, что выполняется одно из следующих условий: S ∩ U = {(h (u, v), u, v): (u, v) ∈ V} S ∩ U = {(u, h (u, v), v): (u, v) ∈ V} S ∩ U = {(u, v, h (u, v)): (u, v) ∈ V}.
Неявные функции	... открытая окрестность U ⊂ ℝ, для которой существует гладкая функция F: U → ℝ такая, что: S ∩ U = {(x, y, z) ∈ U: F ( x, y, z) = 0} в каждой точке S ∩ U по крайней мере одна частная производная F отлична от нуля.

Гомеоморфизмы, появляющиеся в первом определении, известны как локальные параметризации или локальных систем координат или локальных карт на S. Эквивалентность первых двух определений утверждает, что вокруг любой точки на регулярной поверхности всегда существуют локальные параметризации форма (u, v) ↦ (h (u, v), u, v), (u, v) ↦ (u, h (u, v), v) или (u, v) ↦ (u, v, h (u, v)), известные как патчи Монжа. Функции F, как в третьем определении, называются локальными определяющими функциями . Эквивалентность всех трех определений следует из теоремы о неявной функции.

Изменения координат между разными локальными картами должны быть плавными

Для любых двух локальных параметризаций f: V → U и f ′: V ′ → U ′ регулярная поверхность, композиция f ∘ f ′ обязательно гладкая как отображение между открытыми подмножествами ℝ. Это показывает, что любая регулярная поверхность естественным образом имеет структуру гладкого многообразия, причем гладкий атлас задается обратными локальными параметризациями.

В классической теории дифференциальной геометрии поверхности обычно изучаются только в регулярном случае. Однако также распространено изучение нерегулярных поверхностей, в которых две частные производные ∂ u f и ∂ v f локальной параметризации могут не быть линейно независимый. В этом случае S может иметь особенности, такие как ребра возврата. Такие поверхности обычно изучаются в теории особенностей. Другие ослабленные формы регулярных поверхностей встречаются в автоматизированном проектировании, где поверхность разбивается на непересекающиеся части, при этом производные локальной параметризации не могут быть даже непрерывными вдоль границ.

Гиперболоид два листа Тор Геликоид

Простые примеры. Простым примером регулярной поверхности является двумерная сфера {(x, y, z) | х + у + z = 1}; эта поверхность может быть покрыта шестью пятнами Монжа (по два каждого из трех типов, указанных выше), принимая h (u, v) = ± (1 - u - v). Его также можно охватить двумя локальными параметризациями, используя стереографическую проекцию. Множество {(x, y, z): ((x + y) - r) + z = R} представляет собой тор вращения с радиусами r и R. Это регулярная поверхность; локальные параметризации могут быть заданы в виде

$f\; (s,\; t)\; =\; ((R\; cos\; \; s\; +\; r)\; cos\; \; t,\; (R\; cos\; \; s\; +\; r)\; sin\; \; t,\; R\; sin\; \; s).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (s,\; t)\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; (R\; \backslash \; cos\; s\; +\; r)\; \backslash \; cos\; t,\; (R\; \backslash \; cos\; s\; +\; r)\; \backslash \; sin\; t,\; R\; \backslash \; sin\; s\; \{\backslash \; big)\}.\}$

гиперболоид на двух листах {(x, y, z): z = 1 + x + y} - регулярная поверхность; он может быть покрыт двумя патчами Монжа с h (u, v) = ± (1 + u + v). Геликоид появляется в теории минимальных поверхностей. Он покрывается единственной локальной параметризацией, f (u, v) = (u sin v, u cos v, v).

Касательные векторы и векторы нормалей

Пусть S - регулярная поверхность в, а p - элемент S. Используя любое из приведенных выше определений, можно выделить определенные векторы в как касательные к S в точке p, а некоторые векторы в как ортогональные к S в точке p.

Объекты, используемые в определении	Вектор X в ℝ касается S в точке p, если...	Вектор n в нормален к S в точке p, если...
Локальные параметризации	... для любой локальной параметризации f: V → S с p ∈ f (V), X является линейной комбинацией $\partial \; f\; \partial \; u\; |\; f\; -\; 1\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\}\}$и $\partial \; f\; \partial \; v\; |\; е\; -\; 1\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\}\}$	... это ортогонален каждому касательному вектору к S в p
патчи Монжа	... для любого патча Монжа (u, v) ↦ (u, v, h (u, v)), диапазон которого включает p, один имеет $Икс\; 1\; \partial \; час\; \partial \; u\; +\; Икс\; 2\; \partial \; час\; \partial \; v\; -\; Икс\; 3\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; +\; X\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; -\; X\; ^\; \{3\}\; =\; 0,\}$ с частными производными, вычисленными в точке (p 1, p 2). Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.	... для любого фрагмента Монжа (u, v) ↦ (u, v, h (u, v)), диапазон которого включает p, n кратно (∂h / ∂u, ∂h / ∂v, -1), как оценено в точке (p 1, p 2). Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.
Неявные функции	... для любой локальной определяющей функции F, область определения которой содержит p, X ортогонален ∇F (p)	... для любой локальной определяющей функции F, чья домен содержит p, n кратно ∇F (p)

Видно, что касательное пространство к S в точке p, которое определяется как состоящее из всех касательных векторов к S в точке p, является двумерное линейное подпространство в; его часто обозначают Т р S. нормальное пространство к S в точке p, которое определяется как состоящее из всех нормальных векторов к S в точке p, является одномерным линейным подпространством в, которое ортогонально касательному пространству T p С. Таким образом, в каждой точке p на S есть два вектора нормалей единичной длины, называемые единичными векторами нормалей. Полезно отметить, что единичные векторы нормалей в p могут быть заданы в терминах локальной параметризации, Пятна Монжа, или локальные определяющие функции, с помощью формул

$\pm \; \partial \; f\; \partial \; u\; \times \; \partial \; f\; \partial \; v\; \Vert \; \partial \; f\; \partial \; u\; \times \; \partial \; f\; \partial \; v\; |\; f\; -\; 1\; (p),\; \pm \; (\partial \; h\; \partial \; u,\; \partial \; h\; \partial \; v,\; -\; 1)\; 1\; +\; (\partial \; h\; \partial \; u)\; 2\; +\; (\partial \; h\; \partial \; v)\; 2\; |\; (п\; 1,\; п\; 2)\; или\; \pm \; \nabla \; F\; (p)\; \Vert \; \nabla \; F\; (p)\; \Vert ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; раз\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\}\; \{\{\backslash \; big\; \backslash \; |\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \{\backslash \; big\; \backslash \; |\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; pm\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h)\; \}\; \{\backslash \; partial\; u\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\},\; -\; 1\; \{\backslash \; big)\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\})\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{(p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2\})\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; F\; (p)\}\; \{\{\backslash \; big\; \backslash \; |\}\; \backslash \; nabla\; F\; (\; p)\; \{\backslash \; big\; \backslash \; |\}\}\},\}$

в тех же обозначениях, что и в предыдущих определениях.

Также полезно отметить «внутреннее» определение касательных векторов, которое типично для обобщения теории регулярных поверхностей для случая гладких многообразий. Он определяет касательное пространство как абстрактное двумерное вещественное векторное пространство, а не как линейное подпространство. В этом определении говорится, что касательный вектор к S в точке p является присвоением каждой локальной параметризации f: V → S с p ∈ f (V) двух чисел X и X, так что для любой другой локальной параметризации f ′: V → S с p ∈ f (V) (и с соответствующими числами (X ′) и(X ′)), то

$(X\; 1\; X\; 2)\; =\; A\; f\; \prime \; (p)\; ((X\; \prime )\; 1\; (X\; \text{'})\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; X\; ^\; \{1\}\; \backslash \backslash \; X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; A\_\; \{f\; \text{'}(p)\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; (X\text{'})\; ^\; \{1\}\; \backslash \backslash \; (X\; \text{'})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\; \}\},\}$

где A f ′ (p) - матрица Якоби отображения f ∘ f ′, вычисленного в точке f ′ (p). Набор касательных векторов к S в точке p естественным образом имеет структуру двумерного пространства. Касательный вектор в этом смысле соответствует касательному вектору в предыдущем смысле, если рассматривать вектор

$X\; 1\; \partial \; f\; \partial \; u\; +\; X\; 2\; \partial \; f\; \partial \; v.\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; +\; X\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}.\}$

в ℝ. Условие Якоби на X и X гарантирует, что с помощью цепочки этот вектор не зависит от правил f.

Для гладких функций на поверхности обрабатывают поля (т. Е. Касательные установки поля) восстанавливают как операторы или производные первого порядка. Пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет регулярной поверхностью, $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$открытым подмножеством плоскости и $f:\; U\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; rightarrow\; S\}$координатная диаграмма. Если $V\; =\; f\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; f\; (U)\}$, пробел $C\; \infty \; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (U)\}$можно отождествить с $C\; \infty \; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (V)\}$. Точно так же $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$указывает на поля на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$с векторными полями на . Принимая стандартные переменные u и v, поле имеет вид $X\; =\; a\; \partial \; u\; +\; b\; \partial \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; a\; \backslash \; partial\; \_\; \{u\}\; +\; b\; \backslash \; partial\; \_\; \{v\}\}$, с гладкими функциями a и b. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- новое поле, а $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- плавная функция, то $X\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; Xg\; \}$также является функцией гладкой. Дифференциальный оператор первого порядка $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является производным, т.е. он удовлетворяет правилау Лейбница $X\; (g\; h)\; =\; (X\; g)\; h\; +\; h\; (X\; h).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (gh)\; =\; (Xg)\; h\; +\; h\; (Xh).\}$

Для векторных полей X и Y просто проверить, что оператор $[X,\; Y]\; =\; XY\; -\; YX\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; XY-YX\}$- производное, соответствующее векторному полю. Она называется скобкой Ли $[X,\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\}$. Он кососимметричен $[X,\; Y]\; =\; -\; [Y,\; X]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; -\; [Y,\; X]\}$и удовлетворяет тождеству Якоби:

$[[X,\; Y],\; Z]\; +\; [[Y,\; Z],\; X]\; +\; [[Z,\; X],\; Y]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [[X,\; Y],\; Z]\; +\; [[Y,\; Z],\; X\; »\; ]\; +\; [[Z,\; X],\; Y]\; =\; 0.\}$

Таким образом, мы используем поля на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$или $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$образуют алгебру Ли под скобкой Ли.

Первая и вторая фундаментальные формы, оператор формы и кривизна

Пусть S - регулярная поверхность в. Учитывая локальные параметры f: V → S и единичное поле нормальное значение n к f (V), можно определить следующие объекты как действующие или матричнозначные функции на V. Первая фундаментальная форма зависит только от f, а не от по п. В четвертом столбце записано, каким образом эти функции зависят от f, связывая функции E ′, F ′, G ′, L ′ и т. Д., Возникающие при выборе других параметров, f ′: V ′ → S, тем, различающим для f. Здесь A обозначает матрицу Якоби функции f ∘ f ′. Ключевым формулом создания при установлении четвертого столбца является

$(\partial \; f\; \prime \; \partial \; u\; \partial \; f\; \prime \; \partial \; v)\; =\; A\; (\partial \; f\; \partial \; u\; \partial \; f\; \partial \; v),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; A\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\; \backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

в соответствии с правилами цепочки .

Терминология	Обозначение	Определение	Зависимость от стандартных параметров
Первая фундаментальная форма	E	$E\; =\; \partial \; f\; \partial \; u\; \cdot \; \partial \; f\; \partial \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; \}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\}$	$(E\; \prime \; F\; \prime \; F\; \prime \; G\; \prime )\; =\; A\; (EFFG)\; AT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; pmatrix\}\; E\; \text{'}F\text{'}\; \backslash \backslash \; F\; \text{'}G\text{'}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; A\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; EF\; \backslash \backslash \; FG\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; A\; ^\; \{T\}\}$
	F	$F\; =\; \partial \; е\; \partial \; U\; \cdot \; \partial \; е\; \partial \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\}$
	G	$G\; =\; \partial \; е\; \partial \; v\; \cdot \; \partial \; е\; \partial \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\}$
Вторая фундаментальная форма	L	$L\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; u\; 2\; \cdot \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; n\}$	$(L\; \prime \; M\; \prime \; M\; \prime \; N\; \prime )\; =\; A\; (LMMN)\; AT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; L\; \text{'}M\text{'}\; \backslash \backslash \; M\; \text{'}N\text{'}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; A\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; LM\; \backslash \backslash \; MN\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; A\; ^\; \{T\}\}$
	M	$M\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; u\; \partial \; v\; \cdot \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\; \}\; \{\backslash \; partial\; u\; \backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; cdot\; n\}$
	N	$N\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; v\; 2\; \cdot \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; частичный\; v\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; n\}$
Оператор формы	P	$P\; =\; (LMMN)\; (EFFG)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; LM\; \backslash \backslash \; MN\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; EF\; \backslash \backslash \; FG\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$	$P\; \prime \; =\; APA\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \text{'}=\; APA\; ^\; \{-\; 1\}\}$
Гауссова кривизна	K	$K\; =\; LN\; -\; M\; 2\; EG\; -\; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; frac\; \{LN-M\; ^\; \{2\}\}\; \{EG-F\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$K\; \text{'}=\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\text{'}\; =\; K\}$
Средняя кривизна	H	$H\; =\; GL\; -\; 2\; FM\; +\; ENEG\; -\; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GL-2FM\; +\; EN\}\; \{EG\; -F\; ^\; \{2\}\}\}\}$	$H\; \text{'}=\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\text{'}\; =\; H\}$
Основные кривизны	$\kappa \; \pm \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}$	$H\; \pm \; ЧАС\; 2–4\; К\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{H\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{H\; ^\; \{2\}\; -4K\}\}\}\; \{2\}\}\}$	$\kappa \; \pm \; \prime \; =\; \kappa \; \pm \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; \text{'}=\; \backslash \; kappa\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}$

Путем прямого вычисления с матрицей, определяющей оператор формы, можно проверить, что гауссовский кривизна - это детерминант оператора формы, средняя кривизна - это след оператора формы, а основные кривизны - это собственные значения оператора формы; кроме того, гауссова кривизна - это произведение главного кривизн, а средняя кривизна - их сумма. Эти наблюдения также можно определить как определения этих объектов. Эти наблюдения также показывают, что последние три строки четвертого столбца следуют непосредственно за предыдущей строкой, так как похожие матрицы имеют идентичные определитель, след и собственные значения. Важно отметить, что E, G и EG - F обязательно положительны. Это гарантирует, что матрица, обратная оценка оператора формы, хорошо определена, и что главные кривизны являются действительными числами.

Также обратите внимание, что отрицание выбора единичного нормального поля отрицает вторую фундаментальную форму, оператор формы, среднюю кривизну и основную кривизну, но оставит гауссову кривизну неизменной. Таким образом, это показало, что для регулярной поверхности S гауссова кривизна S может рассматриваться как действительная функция на S; относительно единичного нормального поля на всей S, две главные кривизны и средний кривизна также являются действующими функциями на S.

второй фундаментальной формы Главные кривизны в точке на поверхности

Геометрически первые и вторую фундаментальные формы можно рассматривать как информация о том, как f (u, v) перемещается в, когда (u, v) перемещается в V. В частности, первая фундаментальная форма кодирует, как быстро движется f, в то время как вторая фундаментальная форма кодирует степень, в которой его движение происходит в направлении движения нормали n. Другими словами, вторая фундаментальная форма в точке p кодирует длину ортогональной проекции от S на касательную плоскость к S в p; в частности, он дает квадратичную функцию, которая наилучшим образом приближает эту длину. Это мышление может быть уточнено формулами

$lim\; (h,\; k)\; \to \; (0,\; 0)\; |\; f\; (u\; +\; h,\; v\; +\; k)\; -\; f\; (u,\; v)\; |\; 2\; -\; (E\; h\; 2\; +\; 2\; F\; hk\; +\; G\; k\; 2)\; h\; 2\; +\; k\; 2\; =\; 0\; lim\; (h,\; k)\; \to \; (0,\; 0)\; (f\; (u\; +\; h,\; v\; +\; k)\; -\; f\; (u,\; v))\; \cdot \; N\; -\; 1\; 2\; (L\; h\; 2\; +\; 2\; M\; hk\; +\; NK\; 2)\; h\; 2\; +\; k\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{(h,\; k)\; \backslash \; to\; (0,\; 0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; big\; |\}\; f\; (u\; +\; h,\; v\; +\; k)\; -f\; (u,\; v)\; \{\backslash \; big\; |\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; big\; (\}\; Эх\; ^\; \{2\}\; +\; 2Fhk\; +\; Gk\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big)\}\}\; \{h\; ^\; \{2\}\; +\; k\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; lim\; \_\; \{(h,\; k)\; \backslash \; to\; (0,0)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; big\; (\}\; f\; (u\; +\; h,\; v\; +\; k)\; -f\; (u,\; v)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; n\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; Lh\; ^\; \{2\}\; +\; 2Mhk\; +\; Nk\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big)\}\}\; \{h\; ^\; \{2\}\; +\; k\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

следующим образом прямо из определений основных форм и теоремы Тейлора в двух измерениях. Основные кривизны можно увидеть следующим образом. В данной точке p на S рассмотрим набор всех плоскостей, которые содержат прямую, перпендикулярную S. Каждая такая плоскость имеет кривую пересечения с S, которую можно рассматривать как плоскую кривую внутри Самолета. Две рассматриваемые плоскость вращается вокруг нормали.

Ниже представлена ​​сводная информация о приведенных выше сводках относительно участка Монжа f (u, v) = (u, v, h (u, v)). Здесь h u и h v обозначают две частные производные от h с аналогичными функциями для вторых частных производных. Вторая фундаментальная форма и все последующие величины относительно данного выбора единичного нормального поля.

Количество	Формула
Единичное новое поле нормали	$n\; =\; (-\; hu,\; -\; hv,\; 1)\; 1\; +\; hu\; 2\; +\; hv\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-\; h\_\; \{u\},\; -\; h\_\; \{v\},\; 1)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{2\}\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$
Первая фундаментальная форма	$(EFFG)\; =\; (1\; +\; hu\; 2\; huhvhuhv\; 1\; +\; hv\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; EF\; \backslash \backslash \; FG\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{2\; \}\; h\_\; \{u\}\; h\_\; \{v\}\; \backslash \backslash \; h\_\; \{u\}\; h\_\; \{v\}\; 1\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$
Вторая фундаментальная форма	$(LMMN)\; =\; 1\; 1\; +\; hu\; 2\; +\; hv\; 2\; (huuhuvhuvhvv)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; LM\; \backslash \backslash \; MN\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; h\_\; \{uu\}\; h\_\; \{uv\}\; \backslash \backslash \; h\_\; \{uv\}\; h\_\; \{vv\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$
Оператор формы	$P\; =\; 1\; (1\; +\; hu\; 2\; +\; hv\; 2)\; 3/2\; (huu\; (1\; +\; hv\; 2)\; -\; huvhuhvhuv\; (1\; +\; hu\; 2)\; -\; huuhuhvhuv\; (1\; +\; hv\; 2)\; -\; hvvhuhvhvv\; (1\; +\; hu\; 2)\; -\; huvhuhv)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{2\}\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3/2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{\; pmatrix\}\; h\_\; \{uu\}\; (1\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\})\; -\; h\_\; \{uv\}\; h\_\; \{u\}\; h\_\; \{v\}\; h\_\; \{uv\}\; (1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{2\})\; -\; h\_\; \{uu\}\; h\_\; \{u\}\; h\_\; \{v\}\; \backslash \backslash \; h\_\; \{uv\}\; (1\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\})\; -\; h\_\; \{vv\}\; h\_\; \{u\}\; h\_\; \{v\}\; h\_\; \{vv\}\; (1\; +\; h\_\; \{u\; \}\; ^\; \{2\})\; -\; h\_\; \{uv\}\; h\_\; \{u\}\; h\_\; \{v\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$
Гауссова кривизна	$K\; =\; huuhvv\; -\; huv\; 2\; (1\; +\; hu\; 2\; +\; hv\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; frac\; \{h\_\; \{uu\}\; h\_\; \{vv\}\; -h\_\; \{uv\}\; ^\; \{2\}\}\; \{(1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{2\})\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$
Средняя кривизна	$H\; =\; (1\; +\; hv\; 2)\; huu\; -\; 2\; huhvhuv\; +\; (1\; +\; hu\; 2)\; hvv\; (1\; +\; hu\; 2)\; +\; hv\; 2)\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\})\; h\_\; \{uu\}\; -2h\_\; \{u\}\; h\_\; \{v\}\; h\_\; \{uv\}\; +\; (1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{2\})\; h\_\; \{vv\}\}\; \{(1\; +\; h\_\; \{u\}\; ^\; \{2\}\; +\; h\_\; \{v\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3/2\}\}\}\}$

символы Кристоффеля, Уравнения Гаусса - Кодацци и теорема Egregium

Пусть S - регулярная поверхность в. Символы Кристоффеля присваивают каждую индивидуальную параметризацию f: V → S восемь функций на V, определенные как

$(Γ 11 1 Γ 12 1 Γ 21 1 Γ 22 1 Γ 11 2 Γ 12 2 Γ 21 2 Γ 22 2) = (EFFG) - 1 (1 2 ∂ E ∂ u 1 2 ∂ E ∂ v 1 2 ∂ E ∂ v ∂ F ∂ v - 1 2 ∂ G ∂ u ∂ F ∂ u - 1 2 ∂ E ∂ v 1 2 ∂ G ∂ u 1 2 ∂ G ∂ u 1 2 ∂ G ∂ v). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ Gamma _ {11} ^ {1} \ Gamma _ {12} ^ {1} \ Gamma _ {21} ^ {1} \ Gamma _ {22} ^ { 1} \\\ Gamma _ {11} ^ {2} \ Gamma _ {12} ^ {2} \ Gamma _ {21} ^ {2} \ Gamma _ {22} ^ {2} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} EF \\ FG \ end {pmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} { \ partial u}} {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} { \ partial v}} {\ frac {\ partial F} {\ partial v}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} \\ {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} и {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} и {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} и {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial v}} \ end {pmatrix}}.}$

Их также можно определить по следующим формулам, в которых n - единичное нормальное векторное поле вдоль f (V) и L, M, N - соответствующие компоненты второй фундаментальной формы:

$\partial \; 2\; f\; \partial \; u\; 2\; =\; \Gamma \; 11\; 1\; \partial \; f\; \partial \; u\; +\; \Gamma \; 11\; 2\; \partial \; f\; \partial \; v\; +\; L\; n\; \partial \; 2\; f\; \partial \; u\; \partial \; v\; =\; \Gamma \; 12\; 1\; \partial \; f\; \partial \; u\; +\; \Gamma \; 12\; 2\; \partial \; f\; \partial \; v\; +\; M\; n\; \partial \; 2\; f\; \partial \; v\; 2\; =\; \Gamma \; 22\; 1\; \partial \; f\; \partial \; u\; +\; \Gamma \; 22\; 2\; \partial \; f\; \partial \; v\; +\; N\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; \}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; +\; Ln\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; частичное\; u\; \backslash \; partial\; v\}\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; +\; Mn\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{22\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{22\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; +\; Nn.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Ключ согласно этому определению, ∂f / ∂u, ∂f / ∂v и n образуют основу ℝ в каждой точке, относительно которой каждое из трех уравнений однозначно определяет символы Кристоффеля как координаты вторых частных производных f. Выбор единичной нормали не влияет на символы Кристоффеля, так как если n заменяется на его отрицание, то компоненты второй основной формы также инвертируются, и поэтому знаки Ln, Mn, Nn остаются неизменными.

Второе определение показывает, в контексте локальной параметризации, что символы Кристоффеля геометрически естественны. Хотя формулы в первом определении кажутся менее естественными, они важны для демонстрации того, что символы Кристоффеля могут быть вычислены из первой фундаментальной формы, что не сразу видно из второго определения. Эквивалентность определений можно проверить, напрямую подставив первое определение во второе и используя определения E, F, G.

В уравнениях Кодацци утверждается, что

$\partial \; L\; \partial \; v\; -\; \partial \; M\; \partial \; u\; =\; L\; \Gamma \; 12\; 1\; +\; M\; (\Gamma \; 12\; 2\; -\; \Gamma \; 11\; 1)\; -\; N\; \Gamma \; 11\; 2\; \partial \; M\; \partial \; v\; -\; \partial \; N\; \partial \; u\; =\; L\; \Gamma \; 22\; 1\; +\; M\; (\Gamma \; 22\; 2\; -\; \Gamma \; 12\; 1)\; -\; N\; \Gamma \; 12\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; M\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; =\; L\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{1\; \}\; +\; M\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{1\})\; -\; N\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; M\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; N\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; =\; L\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{22\}\; ^\; \{1\}\; +\; M\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{22\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\; 12\}\; ^\; \{1\})\; -\; N\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Эти уравнения могут быть непосредственно выведены из второго определения символов Кристоффеля, приведенного выше; например, первое уравнение Кодацци получается дифференцированием первого уравнения по v, второго уравнения по u, вычитания двух и взятия скалярного произведения с n. Уравнение Гаусса утверждает, что

$KE = ∂ Γ 11 2 ∂ v - ∂ Γ 21 2 ∂ u + Γ 21 2 Γ 11 1 + Γ 22 2 Γ 11 2 - Γ 11 2 Γ 21 1 - Γ 12 2 Γ 21 2 KF = ∂ Γ 12 2 ∂ v - ∂ Γ 22 2 ∂ u + Γ 21 2 Γ 12 1 - Γ 11 2 Γ 22 1 KG = ∂ Γ 22 1 ∂ u - ∂ Γ 12 1 ∂ v + Γ 11 1 Γ 22 1 + Γ 12 1 Γ 22 2 - Γ 21 1 Γ 12 1 - Γ 22 1 Γ 12 2 {\ displaystyle {\ begin {align} KE = {\ frac {\ partial \ Gamma _ { 11} ^ {2}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {21} ^ {2}} {\ partial u}} + \ Gamma _ {21} ^ {2} \ Gamma _ {11} ^ {1} + \ Gamma _ {22} ^ {2} \ Gamma _ {11} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {2} \ Gamma _ {21} ^ {1} - \ Gamma _ {12} ^ {2} \ Gamma _ {21} ^ {2} \\ KF = {\ frac {\ partial \ Gamma _ {12} ^ {2}} {\ partial v}} - { \ frac {\ partial \ Gamma _ {22} ^ {2}} {\ partial u}} + \ Gamma _ {21} ^ {2} \ Gamma _ {12} ^ {1} - \ Gamma _ {11} ^ {2} \ Gamma _ {22} ^ {1} \\ KG = {\ frac {\ partial \ Gamma _ {22} ^ {1}} {\ partial u}} - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {12} ^ {1}} {\ partial v}} + \ Gamma _ {11} ^ {1} \ Gamma _ {22} ^ {1} + \ Gamma _ {12} ^ {1} \ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {21} ^ {1} \ Gamma _ {12} ^ {1} - \ Gamma _ {22} ^ {1} \ Gamma _ {12} ^ {2} \ конец {выровнен}}}$

Эти ок. n выводится аналогично уравнениям Кодацци, с использованием уравнения Вейнгартена вместо скалярного произведения с n. Хотя они записаны как три отдельных уравнения, они идентичны, когда определения символов Кристоффеля в терминах первых фундаментальных форм, подставляются в. Есть много способов записать результирующее выражение, один из них был получен в 1852 году Бриоши с умелым использованием определителей:

$K = 1 (EG - F 2) 2 det (- 1 2 ∂ 2 E ∂ v 2 + ∂ 2 F ∂ u ∂ v - 1 2 ∂ 2 G ∂ u 2 1 2 ∂ E ∂ v ∂ F ∂ v - 1 2 ∂ E ∂ v ∂ F ∂ u - 1 2 ∂ G ∂ u EF 1 2 ∂ G ∂ u FG) - 1 (EG - F 2) 2 det (0 1 2 ∂ E ∂ v 1 2 ∂ G ∂ u 1 2 ∂ E ∂ v EF 1 2 ∂ G ∂ u FG). {\ displaystyle K = {\ frac {1} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ det {\ begin {pmatrix} - {1 \ over 2} {\ frac {\ partial ^ { 2} E} {\ partial v ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial u \ partial v}} - {1 \ over 2} {\ frac {\ partial ^ {2} G} {\ partial u ^ {2}}} {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} {\ frac {\ partial F} {\ partial v} } - {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} \\ {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} - {1 \ over 2} {\ frac {\ частичный G} {\ partial u}} EF \\ {1 \ over 2} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} FG \ end {pmatrix}} - {\ frac {1} {( EG- F ^ {2}) ^ {2}}} \ det {\ begin {pmatrix} 0 {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} {1 \ over 2 } {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} \\ {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} EF \\ {1 \ over 2} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} FG \ end {pmatrix}}.}$

Когда символы Кристоффеля считаются определяемыми первой фундаментальной формой, уравнения Гаусса и ацци предоставляет собой ограничения между первой и второй фундаментальной формойми. Уравнение Гаусса заслуживает особого внимания, поскольку оно показывает, что кривизна Гаусса может быть вычислена непосредственно из первой фундаментальной формы, без необходимости в какой-либо другой информации; эквивалентно, это означает, что LN - M может быть записано как функция от E, F, G, даже если отдельные компоненты L, M, N не могут. Это известно как теорема egregium и было крупным открытием Карла Фридриха Гаусса. Это особенно поразительно, если вспомогательное геометрическое определение гауссовой кривизны определяется максимальным и минимальным радиусами соприкасающихся окружностей; они кажутся фундаментально определяемыми геометрией того, как S изгибается внутри. Тем не менее, теорема показывает, что их произведение может быть определено из «внутренней» геометрии S, имея дело только с длиной кривых вдоль S и углами, образованными на их пересечении. Как сказал Марсель Бергер :

Эта теорема сбивает с толку. [...] Это такая теорема, которая могла бы подождать еще несколько десятков лет, прежде чем ее обнаружит другой математик, поскольку в отличие от части интеллектуальной истории, она абсолютно не витала в воздухе. [...] Насколько нам известно, сегодня не существует простого геометрического доказательства теоремы эгрегиум.

Уравнения Гаусса-Кодацци также могут быть лаконично выражены и получены на языке формальные связи из-за Эли Картана. На языке тензорного исчисления, используя естественные метрики и связи на тензорных связках, уравнение Гаусса может быть записано как H - | h | = R и два уравнения Кодацци могут быть записаны как ∇ 1h12= ∇ 2h11и ∇ 1h22= ∇ 2h12; сложные, связанные с символами Кристоффеля и первой фундаментальной формы, полностью поглощаются определениями ковариантной производной тензора ∇h и скалярной кривизны R. Пьер Бонне доказал, что две квадратичные формы, удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Кодацци, всегда однозначно определяют вложенную поверхность локально. По этой причине уравнения Гаусса-Кодацци часто называют фундаментальными уравнениями для вложенных поверхностей, точно определяя, откуда берутся внутренняя и внешняя кривизна. Они допускают обобщения на поверхности, вложенные в более общие римановы многообразия.

Изометрии

Диффеоморфизм $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$между открытыми множествами $U\; \{\; \backslash \; displaystyle\; U\}$и $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$на регулярной поверхности $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$называется изометрия, если она сохраняет метрику, т.е. первую фундаментальную форму. Таким образом, для каждой точки $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и касательных векторов $w\; 1,\; w\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; w\_\; \{2\}\}$в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, есть равенства

$E\; (p)\; w\; 1\; \cdot \; w\; 1\; +\; 2\; F\; (p)\; w\; 1\; \cdot \; w\; 2\; +\; G\; (p)\; w\; 2\; \cdot \; w\; 2\; =\; E\; (\phi \; (p))\; \phi \; \prime \; (w\; 1)\; \cdot \; \phi \; \prime \; (w\; 1)\; +\; 2\; F\; (\phi \; (p))\; \phi \; \prime \; (w\; 1)\; \cdot \; \phi \; \prime \; (w\; 2)\; +\; G\; (\phi \; (p))\; \phi \; \prime \; (w\; 1)\; \cdot \; \phi \; \prime \; (w\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (p)\; w\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; w\_\; \{1\}\; +\; 2F\; (p)\; w\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; w\_\; \{2\}\; +\; G\; (p)\; w\_\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; w\_\; \{2\}\; =\; E\; (\; \backslash \; varphi\; (p))\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{1\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{1\})\; +\; 2F\; (\backslash \; varphi\; (p))\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{1\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{2\})\; +\; G\; (\backslash \; varphi\; (p))\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{1\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{2\}).\}$

В терминах внутреннего произведения, полученного из первой фундаментальной формы, это можно переписать как

$(w\; 1,\; w\; 2)\; p\; =\; (\phi \; \prime \; (w\; 1)\; \phi \; \text{'}(вес\; 2))\; \phi \; (п)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (w\_\; \{1\},\; w\_\; \{2\})\; \_\; \{p\}\; =\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{1\}),\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\; \backslash \; prime\}\; (w\_\; \{2\}))\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (p)\}\}$.

Катеноид - это правильная поверхность вращения

С другой стороны, длина параметризованной кривой $\gamma \; (t)\; знак\; равно\; (x\; (t),\; y\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t))\}$можно вычислить как

$L\; (\gamma )\; Знак\; равно\; \int \; ab\; E\; Икс\; \dot{}\; \cdot \; Икс\; \dot{}\; +\; 2\; F\; Икс\; \dot{}\; \cdot \; Y\; \dot{}\; +\; G\; Y\; \dot{}\; \cdot \; Y\; \dot{}\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{E\; \{\; \backslash \; dot\; \{x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; +\; 2F\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; +\; G\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\; \}\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

и, если t кривая лежит в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$, правила замены переменных показывают, что

$L\; (\phi \; \circ \; \gamma )\; =\; L\; (\gamma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; \backslash \; gamma)\; =\; L\; (\backslash \; gamma).\}$

И наоборот, если $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$сохраняет длины всех параметризованных в кривых, тогда $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$- изометрия. Действительно, для подходящего выбора $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$касательные векторы $x\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\}$и $y\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\}$задает произвольные касательные векторы $w\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\}\}$и $w\; 2\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; w\_\; \{2\}\}$. Равенства должны выполняться для любого выбора касательных векторов $w\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\}\}$и $w\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{2\}\}$как а также $\phi \; \prime \; (w\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{1\})\}$и $\phi \; \prime \; (w\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{2\})\}$, так что $(\phi \; \prime \; (w\; 1),\; \phi \; \prime \; (w\; 2))\; \phi \; (p)\; =\; (w\; 1,\; w\; 1)\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{1\}),\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (w\_\; \{2\}))\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (p)\}\; =\; (w\_\; \{1\},\; w\_\; \{\; 1\})\; \_\; \{p\}\}$.

Простой пример изометрии дается двумя параметризациями $f\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\}$и $f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\}$открытого множества $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$на регулярные поверхности $S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\}\}$и $S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2\}\}$. Если $E\; 1\; =\; E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\; =\; E\_\; \{2\}\}$, $F\; 1\; =\; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\; =\; F\_\; \{2\}\}$и $G\; 1\; =\; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\}\; =\; G\_\; \{2\}\}$, затем $\phi \; =\; f\; 2\; \circ \; f\; 1\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; f\_\; \{2\; \}\; \backslash \; circ\; f\_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$- изометрия $f\; 1\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (U)\}$на $f\; 2\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\; (U)\}$.

Цилиндр и плоскость являются примерами поверхностей, которые являются локально изометрическими, но которые не могут быть расширены до изометрии по топологическим причинам. В качестве другого примера, катеноид и геликоид являются локально изометрическими.

Ковариантные производные

A тангенциальное векторное поле X на S присваивается каждому p в S, касательный вектор X p к S в p. Согласно "внутреннему" определению касательных векторов, данному выше, касательное векторное поле X затем назначает каждой локальной параметризации f: V → S две вещественнозначные функции X и X на V, так что

$X\; p\; =\; X\; 1\; (f\; -\; 1\; (p))\; \partial \; f\; \partial \; u\; |\; f\; -\; 1\; (p)\; +\; X\; 2\; (f\; -\; 1\; (p))\; \partial \; f\; \partial \; v\; |\; е\; -\; 1\; (п)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{p\}\; =\; X\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\; \}\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\}\; +\; X\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\}\}$

для каждого p в S. Говорят, что X является гладким, если функции X и X гладкие, для любого выбора f. Согласно другим определениям касательных векторов, данным выше, можно также рассматривать касательное векторное поле X на S как отображение X: S → ℝ такое, что X (p) содержится в касательном пространстве T p S ⊂ ℝ для каждого p из S. Как это часто бывает в более общей ситуации гладких многообразий, касательные векторные поля также могут быть определены как некоторые дифференциальные операторы на пространстве гладких функций по S.

ковариантные производные (также называемые «тангенциальные производные») Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро обеспечивают средства дифференцирования гладких касательных векторных полей. Учитывая касательное векторное поле X и касательный вектор Y к S в точке p, ковариантная производная ∇ Y X является некоторым касательным вектором к S в точке p. Следовательно, если X и Y оба являются касательными векторными полями, то ∇ Y X также можно рассматривать как тангенциальное векторное поле; итеративно, если X, Y и Z - тангенциальные векторные поля, можно вычислить ∇ Z∇YX, которое будет другим касательным векторным полем. Есть несколько способов определить ковариантную производную; в первом ниже используются символы Кристоффеля и «внутреннее» определение касательных векторов, а во втором - более явно геометрическая форма.

Учитывая касательное векторное поле X и касательный вектор Y к S в точке p, определяется ∇ Y X как касательный вектор к p, который назначается локальной параметризации f: V → S два числа

$(\nabla \; YX)\; k\; =\; D\; (Y\; 1,\; Y\; 2)\; X\; k\; |\; f\; -\; 1\; (p)\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; 2\; \sum \; j\; =\; 1\; 2\; (\Gamma \; i\; j\; k\; X\; j)\; |\; е\; -\; 1\; (п)\; Y\; я,\; (к\; =\; 1,\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; X)\; ^\; \{k\}\; =\; D\; \_\; \{(Y\; ^\; \{1\},\; Y\; ^\; \{2\})\}\; X\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big\; (\; \}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; X\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\}\; Y\; ^\; \{i\},\; \backslash \; qquad\; (k\; =\; 1,\; 2)\}$

где D (Y, Y) - производная по направлению . Это часто сокращается в менее громоздкой форме (∇ Y X) = ∂ Y (X) + YΓ. ijX, используя нотацию Эйнштейна и с неявным пониманием местоположения оценки функции. Это следует стандартному предписанию в римановой геометрии для получения связи из римановой метрики. Это фундаментальный факт, что вектор

$(\nabla \; YX)\; 1\; \partial \; f\; \partial \; u\; +\; (\nabla \; YX)\; 2\; \partial \; f\; \partial \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; X)\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; +\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; X)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\}$

в ℝ не зависит от выбора локальная параметризация f, хотя это довольно утомительно проверять.

Также можно определить ковариантную производную с помощью следующего геометрического подхода, который не использует символы Кристоффеля или локальные параметризации. Пусть X - векторное поле на S, рассматриваемое как функция S → ℝ. Для любой кривой c: (a, b) → S можно рассмотреть композицию X ∘ c: (a, b) → ℝ. Как карта между евклидовыми пространствами, его можно дифференцировать при любом входном значении, чтобы получить элемент (X ∘ c) ′ (t) из ℝ. Ортогональная проекция этого вектора на T c (t) S определяет ковариантную производную ∇ c ′ (t) X. Хотя это очень геометрически чистое определение, необходимо показать, что результат зависит только от c ′ (t) и X, а не от c и X; Для этого небольшого технического аргумента можно использовать локальные параметризации.

Из второго определения не сразу видно, что ковариантное дифференцирование зависит только от первой фундаментальной формы S; однако это непосредственно следует из первого определения, поскольку символы Кристоффеля могут быть определены непосредственно из первой фундаментальной формы. Несложно проверить эквивалентность этих двух определений. Суть в том, что если рассматривать X∂f / ∂u + X∂f / ∂v как-значную функцию, ее дифференцирование по кривой приводит к вторым частным производным ∂f; символы Кристоффеля входят с ортогональной проекцией в касательное пространство из-за формулировки символов Кристоффеля как тангенциальных компонентов вторых производных f относительно базиса ∂f / ∂u, ∂f / ∂v, n. Это обсуждается в предыдущем разделе.

Правая часть трех уравнений Гаусса может быть выражена с помощью ковариантного дифференцирования. Например, правая часть

$\partial \; \Gamma \; 11\; 2\; \partial \; v\; -\; \partial \; \Gamma \; 21\; 2\; \partial \; u\; +\; \Gamma \; 21\; 2\; \Gamma \; 11\; 1\; +\; \Gamma \; 22\; 2\; \Gamma \; 11\; 2\; -\; \Gamma \; 11\; 2\; \Gamma \; 21\; 1\; -\; \Gamma \; 12\; 2\; \Gamma \; 21\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{21\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; \}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{21\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{1\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{22\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\; \}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{21\}\; ^\; \{1\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{21\}\; ^\; \{2\}\}$

можно распознать как вторую координату

$\nabla \; \partial \; е\; \partial \; v\; \nabla \; \partial \; е\; \partial \; u\; \partial \; f\; \partial \; u\; -\; \nabla \; \partial \; f\; \partial \; u\; \nabla \; \partial \; f\; \partial \; v\; \partial \; f\; \partial \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; -\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\}$

относительно базиса ∂f / ∂u, ∂f / ∂v, что можно непосредственно проверить, используя определение ковариантного дифференцирования с помощью символов Кристоффеля. На языке римановой геометрии это наблюдение можно также сформулировать как утверждение, что правые части уравнений Гаусса являются различными компонентами кривизны Риччи уравнения Леви. -Civita соединение первой фундаментальной формы, при интерпретации как риманова метрика.

Примеры

Поверхность вращения, полученная путем вращения кривой x = 2 + cos z вокруг оси z.

Поверхности вращения

Поверхность вращения получается вращением кривой в плоскости xz вокруг оси z. К таким поверхностям относятся сферы, цилиндры, конусы, торы и катеноид. Общие эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды не являются. Предположим, что кривая параметризована следующим образом:

$x\; =\; c\; 1\; (s),\; z\; =\; c\; 2\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; c\_\; \{1\}\; (s),\; \backslash ,\; \backslash ,\; z\; =\; c\_\; \{2\}\; (s)\}$

с s, взятым из интервала (a, b). Если c 1 никогда не равно нулю, если c 1 ′ и c 2 ′ оба никогда не равны нулю, и если c 1 и c 2 оба гладкие, тогда соответствующая поверхность вращения

$S\; =\; \{(c\; 1\; (s)\; cos\; \; t,\; c\; 1\; (s)\; sin\; \; t,\; c\; 2\; (t))\; :\; s\; \in \; (a,\; b)\; и\; t\; \in \; R\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; \{\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; c\_\; \{1\}\; (s)\; \backslash \; cos\; t,\; c\_\; \{1\}\; (s)\; \backslash \; sin\; t,\; c\_\; \{2\}\; (t)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; двоеточие\; s\; \backslash \; in\; (a,\; b)\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \}\}\}$

будет регулярная поверхность в. Локальная параметризация f: (a, b) × (0, 2π) → S задается как

$f\; (s,\; t)\; =\; (c\; 1\; (s)\; cos\; \; t,\; c\; 1\; (s)\; sin\; \; t,\; c\; 2\; (s)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (s,\; t)\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; c\_\; \{1\}\; (s)\; \backslash \; cos\; t,\; c\_\; \{1\}\; (s)\; \backslash \; sin\; t,\; c\_\; \{2\}\; (s)\; \{\backslash \; big)\}.\; \}$

По отношению к этой параметризации геометрические данные:

Количество	Формула
Единичное векторное поле нормали	$n\; =\; (-\; c\; 2\; \prime \; (s)\; cos\; \; t,\; -\; c\; 2\; \prime \; (s)\; грех\; \; t,\; c\; 1\; \prime \; (s))\; c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; big\; (\}\; -c\_\; \{\; 2\}\; \text{'}(s)\; \backslash \; cos\; t,\; -c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\; \backslash \; sin\; t,\; c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; \{\backslash \; big)\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\_\; \{1\}\text{'}\; (s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$
Первая фундаментальная форма	$(EFFG)\; =\; (c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2\; 0\; 0\; c\; 1\; (s)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; EF\; \backslash \backslash \; FG\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\; \}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; c\_\; \{1\}\; (s)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$
Вторая фундаментальная форма	$(LMMN)\; =\; (c\; 1\; \prime \; (s)\; c\; 2\; ″\; (s)\; -\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; ″\; (s)\; c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2\; 0\; 0\; c\; 1\; (s)\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; LM\; \backslash \backslash \; MN\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; c\_\; \{2\}\; \text{'}\text{'}\; (s)\; -c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; c\_\; \{1\}\text{'}\; \text{'}(s)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\_\; \{1\}\text{'}\; (s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\}\}\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{1\}\; (s)\; c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\; \}\; +\; c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$
Основные кривизны	$c\; 1\; \prime \; (s)\; c\; 2\; ″\; (s)\; -\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; ″\; (s)\; (c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2)\; 3/2\; и\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; (s)\; c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; c\_\; \{2\}\text{'}\; \text{'}(s)\; -c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\; c\_\; \{1\}\; \text{'}\text{'}\; (s)\}\; \{\{\backslash \; большой\; (\}\; c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{3/2\}\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\}\; \{c\_\; \{1\}\; (s)\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\_\; \{1\}\text{'}\; (s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{\; 2\}\}\}\}\}\}$
Гауссова кривизна	$K\; =\; c\; 2\; \prime \; (s)\; (c\; 1\; \prime \; (s)\; c\; 2\; ″\; (s)\; -\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; ″\; (s))\; c\; 1\; (s)\; (c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; \{\backslash \; big\; (\}\; c\_\; \{1\}\text{'})\; (s)\; c\_\; \{2\}\; \text{'}\text{'}\; (s)\; -c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; c\_\; \{1\}\text{'}\; \text{'}(s)\; \{\backslash \; big)\}\}\; \{c\_\; \{1\}\; (s)\; \{\backslash \; big\; (\}\; c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$
Средняя кривизна	$H\; =\; c\; 1\; \prime \; (\; s)\; c\; 2\; ″\; (s)\; -\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; ″\; (s)\; (c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2)\; 3/2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; (s)\; c\; 1\; \prime \; (s)\; 2\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; c\_\; \{2\}\text{'}\; \text{'}(s)\; -c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\; c\_\; \{1\}\; \text{'}\text{'}\; (s)\}\; \{\{\backslash \; big\; (\; \}\; c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{3/2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\; \text{'}(\; s)\}\; \{c\_\; \{1\}\; (s)\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$

В особый случай, когда исходная кривая параметризована длиной дуги, то есть (c 1 ′ (s)) + (c 1 ′ (s)) = 1, можно дифференцировать, чтобы найти c 1 ′ (s) c 1 ′ ′ (s) + c 2 ′ (s) c 2 ′ ′ (s) = 0. При подстановке в гауссову кривизну получаем упрощенное

$K\; =\; -\; c\; 1\; ″\; (s)\; c\; 1\; (s)\; и\; H\; =\; c\; 1\; \prime \; (s)\; c\; 2\; ″\; (s)\; -\; c\; 2\; \prime \; (S)\; c\; 1\; ″\; (s)\; +\; c\; 2\; \prime \; (s)\; c\; 1\; (s).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{1\}\; \text{'}\text{'}\; (s)\}\; \{c\_\; \{1\}\; (s)\}\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; qquad\; H\; =\; c\_\; \{1\}\; \text{'}(s)\; c\_\; \{2\}\; \text{'}\text{'}\; (s)\; -c\_\; \{2\}\; \text{'}(s)\; c\_\; \{1\}\text{'}\; \text{'}(s)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\text{'}\; (s)\}\; \{c\_\; \{1\}\; (s)\; \}\}.\}$

Простота этой формулы делает особенно простым изучение класса осесимметричных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной. Сведением к альтернативному случаю, когда c 2 (s) = s, можно изучать вращательно-симметричные минимальные поверхности, в результате чего любая такая поверхность является частью плоскости или масштабированного катеноида.

Каждая кривая с постоянным t на S может быть параметризована как геодезическая; кривая постоянной s на S может быть параметризована как геодезическая тогда и только тогда, когда c 1 ′ (s) равно нулю. Как правило, геодезические на S регулируются соотношением Клеро.

Квадрика эллипсоид

Квадрические поверхности

Рассмотрим квадратичную поверхность, определенную как

$x\; 2\; a\; +\; y\; 2\; b\; +\; z\; 2\; c\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; a\}\; +\; \{y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; b\}\; +\; \{z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; c\}\; =\; 1.\}$

Эта поверхность допускает параметризацию

$x\; =\; a\; (a\; -\; u)\; (a\; -\; v)\; (a\; -\; b)\; (a\; -\; c),\; y\; =\; b\; (b\; -\; u)\; (b\; -\; v)\; (b\; -\; a)\; (b\; -\; c),\; z\; =\; c\; (c\; -\; u)\; (c\; -\; v)\; (c\; -\; b)\; (c\; -\; a).\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; (au)\; (av)\; \backslash \; over\; (ab)\; (ac)\}\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\; (bu)\; (bv)\; \backslash \; over\; (ba)\; (\; bc)\}\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; z\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\; (cu)\; (cv)\; \backslash \; over\; (cb)\; (ca)\}\}.\}$

Гауссова кривизна и средняя кривизна определяются как

$K\; =\; abcu\; 2\; v\; 2,\; K\; m\; =\; -\; (u\; +\; v)\; abcu\; 3\; v\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{abc\; \backslash \; over\; u\; ^\; \{2\}\; v\; ^\; \{2\}\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; K\_\; \{m\}\; =\; -\; (u\; +\; v)\; \{\backslash \; sqrt\; \{abc\; \backslash \; over\; u\; ^\; \{3\}\; v\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

Однолистовая квадрика гиперболоид, которая представляет собой линейчатую поверхность двумя разными способами.

Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность - это поверхность, которая может генерироваться движением прямой линии в E . Выбрав направляющую на поверхности, то есть гладкую кривую единичной скорости c (t), ортогональную прямым линиям, а затем выбрав u (t) в качестве единичных векторов вдоль кривой в направлении линий, вектор скорости v = c t и u удовлетворяет

$u\; \cdot \; v\; =\; 0,\; \Vert \; u\; \Vert \; =\; 1,\; \Vert \; v\; \Vert \; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; cdot\; v\; =\; 0,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; |\; u\; \backslash \; |\; Знак\; равно\; 1,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\; =\; 1.\}$

Поверхность состоит из точек

$c\; (t)\; +\; s\; \cdot \; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (t)\; +\; s\; \backslash \; cdot\; u\; (t)\}$

при изменении s и t.

Тогда, если

$a\; =\; \Vert \; ut\; \Vert ,\; b\; =\; ut\; \cdot \; v,\; \alpha \; =\; -\; ba\; 2,\; \beta \; =\; a\; 2\; -\; b\; 2\; a\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \backslash \; |\; u\_\; \{t\; \}\; \backslash \; |,\; \backslash ,\; \backslash ,\; b\; =\; u\_\; \{t\}\; \backslash \; cdot\; v,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; beta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\},\}$

гауссова и средняя кривизна определяются как

$K\; =\; -\; \beta \; 2\; ((s\; -\; \alpha )\; 2\; +\; \beta \; 2)\; 2,\; K\; m\; =\; -\; r\; [(s\; -\; \alpha )\; 2\; +\; \beta \; 2)]\; +\; \beta \; t\; (s\; -\; \alpha )\; +\; \beta \; \alpha \; t\; [(s\; -\; \alpha )\; 2\; +\; \beta \; 2]\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; ((s-\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; K\_\; \{m\}\; =\; -\; \{r\; [(s-\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\})]\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{t\}\; (s-\; \backslash \; alpha)\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; alpha\; \_\; \{t\}\; \backslash \; over\; [(s-\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}]\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}.\}$

Гауссова кривизна линейчатой ​​поверхности равна нулю тогда и только тогда, когда u t и v пропорциональны. Это условие эквивалентно поверхности, являющейся огибающей плоскостей вдоль кривой, содержащей касательный вектор v и ортогональный вектор u, то есть поверхности, являющейся разворачивающейся по кривой. В более общем случае поверхность в E имеет исчезающую гауссову кривизну около точки тогда и только тогда, когда она может развиваться около этой точки. (Эквивалентное условие дано ниже в терминах метрики.)

Минимальные поверхности

В 1760 г. Лагранж расширил результаты Эйлера по вариационному исчислению с участием интегралов от одной переменной до двух. Он имел в виду следующую задачу:

Учитывая замкнутую кривую в E, найти поверхность с кривой в качестве границы с минимальной площадью.

Такая поверхность называется минимальной поверхностью .

В 1776 году Жан Батист Мёзнье показал, что дифференциальное уравнение, выведенное Лагранжем, эквивалентно обращению в нуль средней кривизны поверхности:

Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю.

Минимальные поверхности имеют простую интерпретацию в реальной жизни: они представляют собой форму, которую примет мыльная пленка, если проволочный каркас, имеющий форму кривой, погрузить в мыльный раствор, а затем осторожно вынуть. Вопрос о том, существует ли минимальная поверхность с заданной границей, называется проблемой Плато в честь бельгийского физика Джозефа Плато, который проводил эксперименты с мыльными пленками в середине девятнадцатого века. В 1930 г. Джесси Дуглас и Тибор Радо дали утвердительный ответ на проблему Плато (Дуглас был награжден одной из первых медалей Филдса за эту работу в 1936 г.)

Многие явные примеры минимальной поверхности известны в явном виде, такие как катеноид, геликоид, поверхность Шерка и Эннепер. поверхность. В этой области проводились обширные исследования, обобщенные в Osserman (2002). В частности, результат Оссермана показывает, что если минимальнаяповерхность не плоская, то ее изображение под отображением Гаусса плотно в S.

Поверхности с (от l. До r.) Постоянной отрицательной, нулевой и положительной гауссовой кривизной

Поверхности постоянной гауссовой кривизны

Эухенио Бельтрами (1835-1899)

Если поверхность имеет постоянную гауссову кривизну, она называется поверхность кривизны .

• Единица измерения сфера в E имеет постоянную гауссову кривизну +1.
• Евклидова плоскость и цилиндр имеют постоянную гауссову кривизну 0.
• Поверхности вращения с имеют φ tt = φ постоянную гауссову кривизну –1. Частные случаи получаются, если взять φ (t) = C ch t, ​​C sh t и C e. Последний случай представляет собой классическую псевдосферу , создаваемую вращением трактрисы вокруг центральной оси. В 1868 г. Эухенио Бельтрами показал, что геометрия псевдосферы напрямую связывает с геометрией гиперболической плоскости, независимо открытой Лобачевым (1830) и Бойяи (1832 г.). Уже в 1840 г. ученик Гаусса Ф. Миндинг получил тригонометрические формулы для псевдосферы, идентичные формулам для гиперболической плоскости. Внутренняя геометрия этой поверхности теперь лучше понимается в терминах метрики Пуанкаре на верхней полуплоскости или единичного диска, и была описана другими моделями, такими как модель Клейна или модель гиперболоида, полученная путем рассмотрения двулистного гиперболоида q (x, y, z) = -1 в трехмерном Минковском пространстве, где q (x, y, z) = x + y - z.

Каждая из этих поверхностей постоянной кривизны имеет транзитивную группу Ли симметрий. Этот теоретико-групповой факт имеет далеко идущие последствия, которые эти специальные поверхности играют в геометрии поверхности, в силу теоремы Пуанкаре об униформизации (см. Ниже).

Другие примеры поверхностей с гауссовой визуальной 0 включают в себя конусы, касательные разворачивающиеся элементы и вообще любую разворачивающуюся поверхность.

Для любой поверхности, встроенной в евклидово пространство размерности 3 или выше, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадью области на поверхности. Эта структура кодируется бесконечно малым образом в римановой метрике на поверхности через линейные элементы и элементы площади. Классически в девятнадцатом и начале двадцатого веков рассматривались только поверхности, встроенные в R, а метрика задавалась как положительно определенная матрица 2 × 2 , плавно изменяющаяся от точки к точке в параметрах. поверхности. Идея локальных параметров и изменений координаты были позже формализована через текущее абстрактное понятие многообразия топологического пространства, в котором гладкая структура задается локальными картами на многообразии, как именно планета Земля нанесена на карту атласами сегодня. Изменения координат между разными картами одного и того же региона должны быть плавными. Подобно тому, как контурные линии на реальных картах кодируют изменения высоты с учетом локальных искажений поверхности Земли для вычисления истинных расстояний, так и риманова метрика положения и площади «в малом» на каждой локальной карте. В каждой карте риманова метрика задается гладким сопоставлением положительно определенной матрицы 2 × 2 каждой точке; когда берется другая диаграмма, матрица преобразуется в соответствии с матрицей Якоби изменения координат. Тогда разнообразие имеет структуру двумерного риманова многообразия.

Оператор формы

Вильгельм Блашке (1885-1962)

дифференциал dn отображение Гаусса n может быть для типа внешняя кривизны, известный как оператор формы или карта Вайнгартена. Впервые этот оператор неявно появился в работе Вильгельма Блашке, а затем явно в трактате Бурали-Форти и Бургати. В каждой точке x поверхности касательное пространство является внутренним пространством продукта, оператор формы S x может быть определен как линейный оператор в этом пространстве по формуле

$(S\; xv,\; w)\; =\; (dn\; (v),\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\_\; \{x\}\; v,\; w)\; =\; (dn\; (v),\; w)\}$

для касательных v, w (внутренний вектор имеет смысл, поскольку dn (v) и w оба лежат в E ). Правая часть симметрична по v и w, поэтому оператор формы самосопряжен в касательном изображении. Собственные значения S x - это просто главные кривизны k 1 и k 2 в точке x. В частности, детерминант оператора в точке является гауссовой кривизной, но он также содержит другую информацию, поскольку средняя кривизна составляет половину след оператор формы. Средняя кривизна - внешний инвариант. В внутренней геометрии цилиндр является разворачивающимся, что означает, что каждый его элемент неотличим от части плоскости, поскольку его кривизна Гаусса одинаково равна нулю. Однако его средняя кривизна не равна нулю; Следовательно, внешне он отличается от самолета.

Как правило, собственные формы и собственные значения оператора в каждой точке определяют направления, в которых поверхность изгибается в каждой точке. Собственные значения соответствуют главной кривизне поверхности, а внутренние являются главными направлениями. Главные направления определяют, в которых кривая, встроенная в поверхность должна двигаться, чтобы иметь максимальную и минимальную кривизну, которые задаются главными кривизнами.

Геодезические кривые на поверхности

Кривые на поверхности, минимизирующие длину между конечными точками, называются геодезическими ; они имеют форму, которую примет эластичная лента , натянутая между двумя точками. Математически они описываются с помощью обыкновенных различных уравнений и вариационного исчисления. Дифференциальная геометрия вращается вокруг изучения геодезических. До сих пор остается открытым вопрос, возникает ли временная метрика на 2-мерной локальной карте вложения в 3-мерное евклидово пространство: теория геодезических использовалась, чтобы показать, что это верно в важном случае, когда компоненты метрики аналитический.

Геодезический

Геодезический треугольник на сфере. Геодезические - это дуги большого круга.

Для кусочно-гладкого пути c (t) = (x (t), y (t)) в карте для t в [a, b], его длина определяется как

$L\; (c)\; =\; \int \; ab\; (\; Е\; Икс\; \dot{}\; 2\; +\; 2\; F\; Икс\; \dot{}\; Y\; \dot{}\; +\; G\; Y\; \dot{}\; 2)\; 1\; 2\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (c)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; (E\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; 2F\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; +\; G\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

и энергия на

$E\; (c)\; =\; \int \; ab\; (E\; x\; \dot{}\; 2\; +\; 2\; F\; x\; \dot{}\; y\; \dot{}\; +\; G\; y\; \dot{}\; 2)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (c)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; (E\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; 2F\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; +\; G\; \{\; \backslash \; dot\; \{y\}\}\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; dt.\}$

Длина не зависит от параметров настройки пути. Согласно уравнениям Эйлера - Лагранжа, если c (t) - минимизирующая длина пути, параметризованная длина дуги, она должна удовлетворять уравнениями Эйлера

$x\; ¨\; +\; \Gamma \; 11\; 1\; x\; \dot{}\; 2\; +\; 2\; \Gamma \; 12\; 1\; Икс\; \dot{}\; Y\; \dot{}\; +\; \Gamma \; 22\; 1\; Y\; \dot{}\; 2\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{22\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

$y\; ¨\; +\; \Gamma \; 11\; 2\; x\; \dot{}\; 2\; +\; 2\; \Gamma \; 12\; 2\; x\; \dot{}\; y\; \dot{}\; +\; \Gamma \; 22\; 2\; y\; \dot{}\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; точка\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{22\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\; y\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

где символы Кристоффеля Γ. ijзадаются как

$\Gamma \; ijk\; =\; 1\; 2\; \sum \; mgkm\; (\partial \; jgim\; +\; \partial \; igjm\; -\; \partial \; mgij)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\}\; g\; ^\; \{km\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; g\_\; \{im\}\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; g\_\; \{jm\; \}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{m\}\; g\_\; \{ij\})\}$

где g 11 = E, g 12 = F, g 22 = G, а g - матрица, обратная к g ij. Путь, удовлетворяющий уравнению Эйлера, называется геодезическим. Согласно неравенству Коши – Шварца путь, минимизирующий энергию, является просто геодезической, параметризованной длиной дуги; и для любой геодезической параметр t пропорционален длине дуги.

Геодезическая кривизна

геодезическая кривизна kgв точке кривой c (t), параметризованная Длина дуги на ориентированной поверхности определена как

$кг\; =\; c\; ¨\; (t)\; \cdot \; n\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{g\}\; =\; \{\backslash \; ddot\; \{c\}\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (t).\}$

где n (t) - «основная» единица перпендикулярно кривой на поверхности, построенной путем поворота единичного касательного вектора ċ (t) на угол + 90 °.

• Геодезическая кривизна в точке является внутренним инвариантом, зависящим только от метрики около точки.
• Кривая единичной скорости на поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее геодезическая кривизна равна нулю во всех точках на
• Кривая единичной скорости c (t) во вложенной поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее вектор ускорения c̈ (t) нормален к поверхности.

Геодезическая кривизна точно определяет, насколько кривая на поверхности отличается от геодезической.

Ортогональные координаты

Когда F = 0 на всей карте координат, например, с геодезическими полярными координатами, обсуждаемыми ниже, изображения линий, параллельных осям x и y, будут ортогональные и обеспечивают ортогональные координаты . Если H = (EG), то гауссова кривизна определяется как

$K\; =\; -\; 1\; 2\; H\; [\partial \; x\; (G\; x\; H)\; +\; \partial \; y\; (E\; y\; H)].\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 2H\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{G\_\; \{x\}\}\; \{H\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{y\}\}\; \{H\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right].\}$

Если дополнительно E = 1, так что H = G, то угол φ на пересечении геодезических (x (t), y (t)), а прямая y = constant задается уравнением

$tan\; \; \phi \; =\; H\; \cdot \; y\; \dot{}\; x\; \dot{}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \backslash \; varphi\; =\; H\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\}.\}$

Производная φ задается классической формулой Гаусса для производных:

$\phi \; \dot{}\; =\; -\; H\; x\; \cdot \; y\; \dot{}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; H\_\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}.\}$

Геодезические полярные координаты

Карл Якоби (1804–1851) Контурные линии, отслеживающие движение точек на фиксированной кривой, движущейся по геодезическим к базовой точке

После того, как метрика задана на поверхности и базовая точка зафиксирована, существует уникальная геодезическая, соединяющая базовую точку с каждой достаточно близкой точкой. Направление геодезической в ​​базовой точке и расстояние однозначно определяют другую конечную точку. Эти два бита данных, направление и величина, таким образом, определяют касательный вектор в базовой точке. Карта от касательных векторов к конечным точкам плавно сметает окрестности базовой точки и определяет то, что называется «экспоненциальной картой», определяя локальную карту координат в этой базовой точке. Выметанная окрестность имеет те же свойства, что и шары в евклидовом пространстве, а именно любые две точки в ней соединены единственной геодезической. Это свойство называется «геодезической выпуклостью», а координаты - «нормальными координатами». Явное вычисление нормальных координат может быть выполнено путем рассмотрения дифференциального уравнения, которому удовлетворяют геодезические. Свойства выпуклости являются следствием леммы Гаусса и ее обобщений. Грубо говоря, эта лемма утверждает, что геодезические, начинающиеся в базовой точке, должны разрезать сферы фиксированного радиуса с центром в базовой точке под прямым углом. Геодезические полярные координаты получаются путем объединения экспоненциальной карты с полярными координатами касательных векторов в базовой точке. Гауссова кривизна поверхности тогда определяется отклонением метрики в точке второго порядка от евклидовой метрики. В частности, гауссова кривизна является инвариантом метрики, знаменитой теоремы Гаусса. Удобный способ понять кривизну - это обычное дифференциальное уравнение, сначала рассмотренное Гауссом, а затем обобщенное Якоби, возникающее в результате изменения нормальных координат в двух разных точках. Уравнение Гаусса – Якоби предоставляет другой способ вычисления гауссовой кривизны. Геометрически он объясняет, что происходит с геодезическими от фиксированной базовой точки, когда конечная точка изменяется вдоль небольшого сегмента кривой посредством данных, записанных в поле Якоби, векторное поле вдоль геодезической. Спустя полтора века после Гаусса и Якоби Марстон Морс дал более концептуальную интерпретацию поля Якоби в терминах вторых производных функции энергии на бесконечномерном гильбертовом многообразии

Экспоненциальная карта

Теория обыкновенного дифференциального уравнения показывает, что если f (t, v) является гладким, то дифференциальное уравнение dv / dt = f (t, v) с начальным условием v (0) = v 0 имеет единственное решение для | т | достаточно мало, и решение гладко зависит от t и v 0. Это означает, что для достаточно малых касательных векторов v в данной точке p = (x 0,y0) существует геодезическая c v (t), определенная на (−2,2) с c v (0) = (x 0,y0) и ċ v (0) = v. Более того, если | с | ≤ 1, тогда c sv = c v (st). экспоненциальное отображение определено как

exp p (v) = c v (1)

и дает диффеоморфизм круга discv ‖ < δ and a neighbourhood of p; more generally the map sending (p,v) to expp (v) дает локальный диффеоморфизм на добавление (p, p). Экспоненциальная карта дает геодезические нормальные координаты рядом с п.

Вычисление нормальных координат

Существует стандартный метод (см., Например, Berger (2004)) для вычислений замены чисел к нормальным координатам u, v в точке в виде формального разложения в ряд Тейлора. Если координаты x, y в точке (0,0) локально ортогональны, запишите

x (u, v) = αu + L (u, v) + λ (u, v) +…

y (u, v) = βv + M (u, v) + μ (u, v) +…

где L, M - квадратичные, а λ, μ кубические однородные многочлены от u и v.Если u и v фиксированы, x (t) = x (tu, tv) и y (t) = y (tu, tv) можно рассматривать как формальные степенные ряды решений уравнений Эйлера: это однозначно определить α, β, L, M, λ и μ.

Лемма Гаусса

В геодезических полярных координатах геодезические, исходящие из начала координат, ортогональнозают окружности постоянного радиуса. Расстояния по радиусам - истинные расстояния, но на концентрических окружностях маленькие дуги имеют длину H (r, θ) = G (r, θ), умноженную на угол, который они составляют.

В этих координатах матрица g (x) удовлетворяет условию g (0) = I, а линии t tv являются геодезическими через 0. Из уравнений Эйлера следует матричное уравнение

g (v) v = v,

- ключевой результат, обычно называемый леммой Гаусса. Геометрически это утверждает, что

геодезические, проходящие через 0, разрезают окружности с центром в 0 ортогонально.

Принимая полярные координаты (r, θ), следует, что метрика имеет вид

ds = dr + G (r, θ) dθ.

В геодезических координатах легко проверить, что геодезические до нуля минимизируют длину. Тогда топология на римановом разнообразии задается функцией расстояния d (p, q), а именно точной гранью длинных кусочно гладких путей между p и q. Это расстояние реализуется локально геодезическими, так что в нормальных координатах d (0, v) = ‖v‖. Если радиус δ взять достаточно малым, небольшое уточнение леммы Гаусса покажет, что образ U диска ‖v‖ < δ under the exponential map is геодезически выпуклый, т.е. две точки в U соединены любые единственной геодезической, целиком лежащей внутри U.

Теорема Egregium

Гаусса Теорема Egregium, «Замечательная теорема», показывает, что гауссова критическая поверхность может быть вычислена исключительно в терминах метрики и, таким образом, является внутренним инвариантом поверхности, независимым от любого изометрического вложения в E и неизменным при преобразованиях координат. В частности, изометрии поверхностей сохраняют гауссову кривизну.

Эта теорема может быть выражена в терминах разложения метрики в степенном ряду, ds, дается в нормальных координатах (u, v) как

ds = du + dv - K (u dv - v du) / 12 +….

Уравнение Гаусса - Якоби

Переход от нормальных координат в точку p к нормальным координатам в ближайшей точке q дает Уравнение Штурма - Ли, которому удовлетворяет H (r, θ) = G ( r, θ), обнаруженное Гауссом и с помощью обобщенного с Якоби,

Hrr= –KH

Якобиан этого изменения координаты в q H равенство r. Это дает еще один объект внутренней природы гауссовой кривизны. H (r, θ) можно интерпретировать как длину линейного элемента в направлении θ, уравнение Гаусса - Якоби показывает, что гауссова кривизна измеряет распространение геодезических на геометрической поверхности по мере их удаления от точки.

Оператор Лапласа - Бельтрами

На поверхности с локальной метрикой

$ds\; 2\; =\; E\; dx\; 2\; +\; 2\; F\; dxdy\; +\; G\; dy\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; E\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; 2F\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; +\; G\; \backslash ,\; dy\; ^\; \{2\}\}$

и оператор Лапласа - Бельтрами

$\Delta \; f\; =\; 1\; H\; (\partial \; x\; GH\; \partial \; xf\; -\; \partial \; Икс\; FH\; \partial \; yf\; -\; \partial \; Y\; FH\; \partial \; xf\; +\; \partial \; Y\; EH\; \partial \; yf),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \{1\; \backslash \; over\; H\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; \{G\; \backslash \; over\; H\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\; x\}\; f-\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; \{F\; \backslash \; over\; H\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; f-\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \{F\; \backslash \; over\; H\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; f\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \{E\; \backslash \; over\; H\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; f\; \backslash \; right),\}$

где H = EG - F, гауссова кривизна в точке задается формулой

$K\; =\; -\; 3\; lim\; r\; \to \; 0\; \Delta \; (журнал\; \; r),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -3\; \backslash \; lim\; \_\; \{r\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; log\; r),\}$

где r обозначает геодезическое расстояние от точки.

В изотермических координат, впервые рассмотренных Гауссом, требуется, чтобы метрика имела специальный вид

$d\; s\; 2\; =\; e\; \phi \; (d\; x\; 2\; +\; d\; y\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; (dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}).\; \backslash ,\}$

В этом случае оператор Лапласа - Бельтрами определяется как

$\Delta \; знак\; равно\; е\; -\; \phi \; (\partial \; 2\; \partial \; Икс\; 2\; +\; \partial \; 2\; \partial \; Y\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

и φ удовлетворяет уравнению Лиувилля

$\Delta \; \phi \; =\; -\; 2\; K.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\; =\; -2K.\; \backslash ,\}$

Известно, что изотермические координаты существуют в любой точке поверхности, хотя все доказательства на сегодняшний день основаны на нетривиальных результатах на частных производственных. уравнения. Существуетарное доказательство для минимальных элементов поверхностей.

Теорема Гаусса - Бонне

Триангуляция тора

На сфере или гиперболоиде, площадь геодезического треугольника, т. е. треугольника, все стороны которого являются геодезическими, пропорциональна суммы внутренних углов и π. Константа пропорциональности - это просто гауссова кривизна, постоянная для этих поверхностей. Для тора разница равна нулю, что соответствует факту, что его гауссова кривизна равна нулю. Это стандартные результаты сферической, гиперболической и школьной тригонометрии (см. Ниже). Гаусс обобщил эти результаты на произвольную поверхность, показывающий интеграл гауссовой кривизны по внутренней части геодезического треугольника также равен этой угловой разнице или превышению. Его формула показала, что кривизна Гаусса может быть вычислена около точки как предел площади над угловым превышением для геодезических треугольников, сужающихся к точке. Поскольку любую замкнутую поверхность можно разложить на геодезические треугольники, формулу можно также использовать для вычисления интеграла кривизны по всей поверхности. В качестве частного случая того, что сейчас называется теоремой Гаусса – Бонне, Гаусс доказал, что этот интеграл всегда был 2π, умноженным на целое число, топологический инвариант поверхности, называемый характеристикой Эйлера. Этот инвариант легко вычислить комбинаторно с точки зрения количества вершин, ребер и граней треугольников в разложении, также называемом триангуляцией. Это взаимодействие между анализом и топологией явилось предшественником многих более поздних результатов в геометрии, кульминацией которых стала теорема об индексе Атьи-Зингера. В частности, свойства кривизны накладывают ограничения на топологию поверхности.

Геодезические треугольники

Гаусс доказал, что если Δ - геодезический треугольник на поверхности с углами α, β и γ в вершинах A, B и C, то

$\int \; \Delta \; K\; d\; А\; =\; \alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma \; -\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\; K\; \backslash ,\; dA\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; pi.\}$

Фактически, принимая геодезические полярные координаты с началом A и AB, AC радиусы под полярными углами 0 и α:

$\int \; \Delta \; K\; d\; A\; =\; \int \; \Delta \; KH\; drd\; \theta \; =\; -\; \int \; 0\; \alpha \; \int \; 0\; r\; \theta \; H\; rrdrd\; \theta \; =\; \int \; 0\; \alpha \; 1\; -\; H\; r\; (r\; \theta ,\; \theta )\; d\; \theta \; =\; \int \; 0\; \alpha \; d\; \theta \; +\; \int \; \pi \; -\; \beta \; \gamma \; d\; \phi \; знак\; равно\; \alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma \; -\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\; K\; \backslash ,\; dA\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Delta\}\; KH\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{r\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash !\; H\_\; \{rr\}\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; 1-H\_\; \{r\}\; (r\; \_\; \{\backslash \; theta\},\; \backslash \; theta)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; d\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; pi\; -\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash !\; \backslash !\; d\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; pi,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где второе равенство следует из уравнения Гаусса – Якоби, а четвертая - из формулы производной Гаусса в ортогональных координатах (r, θ).

Формула Гаусса показывает, что кривизна в точке может быть вычислена как предел превышения угла α + β + γ - π над площадью для последовательно уменьшающихся геодезических треугольников около точки. Качественно поверхность имеет положительную или отрицательную кривизну в зависимости от знака превышения угла для произвольно малых геодезических треугольников.

Теорема Гаусса – Бонне

Эйлерова характеристика сферы, триангулированной как икосаэдр, равно V −- E + F = 12-30 + 20 = 2.

Поскольку каждое компактное ориентированное двумерное многообразие M может быть триангулировано небольшими геодезическими треугольниками, отсюда следует, что

$\int \; MK\; d\; A\; =\; 2\; \pi \; \chi \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; KdA\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; chi\; (M)\}$

где χ (M) обозначает эйлерову характеристику поверхности.

На самом деле, если имеется F граней, E ребер и V вершин, то 3F = 2E и левая часть равна 2πV - πF = 2π (V - E + F) = 2πχ (M).

Это знаменитая теорема Гаусса – Бонне : она показывает, что интеграл от гауссовой кривизны является топологическим инвариантом многообразия, а именно характеристикой Эйлера. Эту теорему можно интерпретировать по-разному; возможно, одним из самых далеко идущих результатов стала теорема об индексе для эллиптического дифференциального оператора на M, один из простейших случаев теоремы Атьи-Зингера об индексе. Другой связанный результат, который может быть доказан с помощью теоремы Гаусса – Бонне, - это теорема Пуанкаре-Хопфа об индексах для векторных полей на M, которые обращаются в нуль только в конечном числе точек: сумма индексов в этих точках точки равны эйлеровой характеристике, где индекс точки определяется следующим образом: на маленьком круге вокруг каждого изолированного нуля векторное поле определяет отображение в единичный круг; индекс - это просто число витков этой карты.)

Кривизна и вложения

Если гауссова кривизна поверхности M всюду положительна, то характеристика Эйлера равна положительно, поэтому M гомеоморфно (и, следовательно, диффеоморфно) S . Если, кроме того, поверхность изометрически вложена в E, карта Гаусса обеспечивает явный диффеоморфизм. Как заметил Адамар, в этом случае поверхность выпуклая ; этот критерий выпуклости можно рассматривать как 2-мерное обобщение известного критерия второй производной выпуклости плоских кривых. Гильберт доказал, что каждая изометрически вложенная замкнутая поверхность должна иметь точку положительной кривизны. Таким образом, замкнутое риманово 2-многообразие неположительной кривизны никогда не может быть вложено изометрически в E ; однако, как показал Адриано Гарсия, используя уравнение Бельтрами для квазиконформных отображений, это всегда возможно для некоторой конформно эквивалентной метрики.

Поверхности постоянной кривизны

Односвязные поверхности постоянной кривизны 0, +1 и –1 являются евклидовой плоскостью, единичной сферой в E, и гиперболическая плоскость. Каждый из них имеет транзитивную трехмерную группу Ли сохраняющих ориентацию изометрий G, которые можно использовать для изучения их геометрии. Каждую из двух некомпактных поверхностей можно отождествить с факторпространством G / K, где K - максимальная компактная подгруппа группы G. Здесь K изоморфна SO (2). Любое другое замкнутое риманово 2-многообразие M постоянной гауссовой кривизны после масштабирования метрики постоянным множителем, если необходимо, будет иметь одну из этих трех поверхностей в качестве своего универсального накрывающего пространства. В ориентируемом случае фундаментальная группа Γ группы M может быть отождествлена ​​с свободной от кручения однородной подгруппой группы G, а затем M можно отождествить с двойное пространство смежности Γ \ G / K. В случае сферы и евклидовой плоскости единственными возможными примерами являются сама сфера и торы, полученные как частные от R по дискретному рангу 2. подгруппы. Для замкнутых поверхностей рода g ≥ 2, пространство модулей римановых поверхностей, полученное как Γ, изменяется по всем таким подгруппам, имеет вещественную размерность 6g - 6. По теореме Пуанкаре об униформизации, любое ориентируемое замкнутое двумерное многообразие конформно эквивалентно поверхности постоянной кривизны 0, +1 или –1. Другими словами, умножив показатель на положительный масштабный коэффициент, можно заставить гауссову кривизну принять ровно одно из этих значений (знак характеристики Эйлера M).

Евклидова геометрия

Треугольник в плоскости

В случае евклидовой плоскости группа симметрии - это группа евклидовых движений, полупрямое произведение двумерной группы переводов по группе вращений. Геодезические - это прямые линии, а геометрия закодирована в элементарных формулах тригонометрии, таких как правило косинуса для треугольника со сторонами a, b, c и углами α, β, γ :

$c\; 2\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; 2\; ab\; cos\; \; \gamma .\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -2ab\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; gamma.\}$

Плоские торы могут быть получены путем деления R решеткой , т.е. свободной абелевой подгруппой ранга 2. Эти замкнутые поверхности не имеют изометрических вложений в E . Тем не менее они допускают изометрические вложения в E ; в простейшем случае это следует из того факта, что тор является произведением двух окружностей, и каждая окружность может быть изометрически вложена в E.

Сферическую геометрию

Сферический треугольник Площадь сферического треугольника на единичной сфере - это α + β + γ - π.

Группа изометрии единичной сферы S в E является ортогональной группой O (3), с группа вращения SO (3) как подгруппа изометрий, сохраняющих ориентацию. Это прямое произведение SO (3) на антиподальное отображение, отправляющее x в –x. Группа SO (3) действует транзитивно на S. Подгруппа стабилизатора единичного вектора (0,0,1) может быть отождествлена ​​с SO (2), так что S = SO (3) / SO (2).

Геодезические между двумя точками на сфере - это дуги большого круга с данными конечными точками. Если точки не противоположны друг другу, между ними существует единственная кратчайшая геодезическая. Геодезические также могут быть описаны группой теоретически: каждая геодезическая, проходящая через северный полюс (0,0,1), является орбитой подгруппы вращений вокруг оси через противоположные точки на экваторе.

A сферический треугольник - геодезический треугольник на сфере. Он определяется точками A, B, C на сфере со сторонами BC, CA, AB, образованными дугами большого круга длиной меньше π. Если длины сторон равны a, b, c и углы между сторонами α, β, γ, тогда закон сферического косинуса гласит, что

$cos\; \; c\; =\; cos\; \; a\; cos\; \; b\; +\; sin\; \; a\; sin\; \; b\; cos\; \; \gamma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; c\; =\; \backslash \; cos\; a\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; b\; +\; \backslash \; sin\; a\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; b\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; gamma.\}$

Площадь треугольника определяется как

Area = α + β + γ - π.

Используя стереографическую проекцию с северного полюса, сферу можно отождествить с расширенной комплексной плоскостью C∪ {∞}. Явное отображение дается формулой

$\pi \; (x,\; y,\; z)\; =\; x\; +\; i\; y\; 1\; -\; z\; \equiv \; u\; +\; i\; v.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (x,\; y,\; z)\; =\; \{x\; +\; iy\; \backslash \; over\; 1-z\}\; \backslash \; Equiv\; u\; +\; iv.\}$

При этом соответствии каждое вращение S соответствует преобразованию Мёбиуса в SU (2), уникально до знака. Что касается координат (u, v) в комплексной плоскости, сферическая метрика принимает вид

$d\; s\; 2\; =\; 4\; (d\; u\; 2\; +\; d\; v\; 2)\; (1\; +\; u\; 2\; +\; v\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \{4\; (du\; ^\; \{2\}\; +\; dv\; ^\; \{2\})\; \backslash \; over\; (1\; +\; u\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}.\}$

Единичная сфера - это единственная замкнутая ориентируемая поверхность постоянной кривизны +1. Фактор SO (3) / O (2) можно отождествить с вещественной проективной плоскостью. Он неориентируемый и может быть описан как фактор S по антиподальному отображению (умножение на -1). Сфера односвязна, а реальная проективная плоскость имеет фундаментальную группу Z2. Конечные подгруппы в SO (3), соответствующие конечным подгруппам в O (2) и группам симметрии платоновых тел, не действуют свободно на S, поэтому соответствующие частные - это не 2-многообразия, а просто орбифолды.

Гиперболическая геометрия

Анри Пуанкаре (1854-1912)

Неевклидова геометрия впервые обсуждалась в письмах Гаусса, который сделал обширные вычисления на рубеже девятнадцатого века, которые, хотя и находились в частном обращении, он решил не печатать. В 1830 г. Лобачевский и независимо в 1832 г. Бойяи, сын одного из корреспондентов Гаусса, опубликовали синтетические версии этой новой геометрии, за что подверглись резкой критике. Однако только в 1868 году Бельтрами, за которым последовал Клейн в 1871 году и Пуанкаре в 1882 году, дали конкретные аналитические модели для того, что Клейн назвал гиперболической геометрией. Появились четыре модели двумерной гиперболической геометрии:

• модель Бельтрами-Клейна ;
• диск Пуанкаре ;
• верхняя полуплоскость Пуанкаре ;
• модель гиперболоида Вильгельма Киллинга в трехмерном пространстве Минковского.

Первая модель, основанная на диске, имеет то преимущество, что геодезические на самом деле являются отрезками прямых (т. Е. пересечения евклидовых прямых с открытым единичным кругом). Последняя модель имеет то преимущество, что она дает конструкцию, полностью параллельную конструкции единичной сферы в трехмерном евклидовом пространстве. Однако из-за их применения в комплексном анализе и геометрии наиболее широко используются модели Пуанкаре: они взаимозаменяемы благодаря преобразованиям Мёбиуса между диском и верхней полуплоскостью.

Пусть

- диск Пуанкаре в комплексной плоскости с метрикой Пуанкаре

$d\; s\; 2\; =\; 4\; (d\; x\; 2\; +\; d\; y\; 2)\; (1\; -\; x\; 2\; -\; y\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \{4\; (dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\})\; \backslash \; over\; (1-x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}.\}$

В полярных координатах (r, θ) метрика определяется как

$ds\; 2\; =\; 4\; (dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2)\; (1\; -\; r\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \{4\; (dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\})\; \backslash \; over\; (1-r\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}.\; \}$

Длина кривой γ: [a, b] → D определяется формулой

$\ell \; (\gamma )\; =\; \int \; ab\; 2\; |\; \gamma \; \prime \; (t)\; |\; d\; t\; 1\; -\; |\; \gamma \; (t)\; |\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; (\backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{2\; |\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (t)\; |\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; over\; 1-\; |\; \backslash \; gamma\; (t)\; |\; ^\; \{\; 2\}\}.\}$

Группа G = SU (1,1), заданная формулой

$G\; =\; \{(\alpha \; \beta \; \beta \; ¯\; \alpha \; ¯):\; \alpha ,\; \beta \; \in \; C,\; |\; \alpha \; |\; 2\; -\; |\; \beta \; |\; 2\; =\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}:\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\},\; \backslash ,\; |\; \backslash \; alpha\; |\; ^\; \{2\}\; -\; |\; \backslash \; beta\; |\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

действует транзитивно посредством преобразований Мёбиуса на D и стабилизирующая подгруппа в 0 - это группа вращений

$K\; =\; \{(\zeta \; 0\; 0\; \zeta \; ¯):\; \zeta \; \in \; C,\; |\; \zeta \; |\; =\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; zeta\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; zeta\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}:\; \backslash \; zeta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\},\; \backslash ,\; |\; \backslash \; zeta\; |\; =\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Фактор-группа SU (1,1) / ± I является группой сохраняющих ориентацию изометрий D. Любые две точки z, w в D соединены единственной геодезической, задаваемый частью окружности или прямой линии, проходящей через z и w и ортогональной граничной окружности. Расстояние между z и w определяется как

$d\; (z,\; w)\; =\; 2\; tanh\; -\; 1\; \; |\; z\; -\; w\; |\; |\; 1\; -\; w\; ¯\; z\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (z,\; w)\; =\; 2\; \backslash \; tanh\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; zw\; |\}\; \{|\; 1\; -\; \{\backslash \; overline\; \{w\}\}\; z\; |\}\}.\}$

В частности, d ( 0, r) = 2 th r и c (t) = 1 / 2tanh t - геодезическая, проходящая через 0 вдоль вещественной оси, параметризованная длиной дуги.

Топология, определяемая этой метрикой, эквивалентна обычной евклидовой топологии, хотя как метрическое пространство (D, d) является полным.

Гиперболический треугольник в модели диска Пуанкаре

A гиперболический треугольник является геодезическим треугольником для этой метрики: любые три точки в D являются вершинами гиперболического треугольника. Если стороны имеют длину a, b, c с соответствующими углами α, β, γ, то правило гиперболического косинуса утверждает, что

$ch\; \; c\; =\; ch\; \; a\; ch\; \; b\; -\; sinh\; \; a\; sinh\; h\; b\; cos\; \; \gamma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cosh\; c\; =\; \backslash \; cosh\; a\; \backslash ,\; \backslash \; cosh\; b-\; \backslash \; sinh\; a\; \backslash ,\; \backslash \; sinh\; b\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; gamma.\}$

Площадь гиперболического треугольника определяется как

Area = π - α - β - γ.

Единичный круг и верхняя полуплоскость

$H\; =\; \{w\; =\; x\; +\; iy:\; y>0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \backslash \; \{w\; =\; x\; +\; iy\; \backslash ,\; \backslash \; двоеточие\; \backslash ,\; y>0\; \backslash \}\}$

конформно эквивалентны преобразованиям Мёбиуса

$w\; =\; i\; 1\; +\; z\; 1\; -\; z,\; z\; =\; w\; -\; iw\; +\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; i\; \{1\; +\; z\; \backslash \; over\; 1-z\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; z\; =\; \{wi\; \backslash \; over\; w\; +\; i\}.\}$

При этом соответствии действие SL (2, R) преобразованиями Мёбиуса на H соответствует действию SU (1, 1) на D. Метрика на H становится

$ds\; 2\; =\; dx\; 2\; +\; dy\; 2\; y\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \{dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; y\; ^\; \{2\}\}.\}$

Поскольку прямые или окружности сохраняются при преобразованиях Мёбиуса, геодезические снова описываются линиями или окружностями, ортогональными к действительной оси.

Единица Диск с метрикой Пуанкаре - это единственное односвязное ориентированное двумерное риманово многообразие постоянной кривизны −1. Любая ориентированная замкнутая поверхность M с этим свойством имеет D как универсальное накрывающее пространство. Ее фундаментальная группа может быть отождествлена ​​с компактной подгруппой без кручения Γ группы SU (1,1) таким образом, что

$M\; =\; \Gamma \; \setminus \; G\; /\; K.\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; backslash\; G\; /\; K.\}$

В этом случае Γ является конечно представленной группой. Генераторы и отношения кодируются в геодезически выпуклом фундаментальном геодезическом многоугольнике в D (или H), геометрически соответствующем замкнутым геодезическим на M.

Примеры .

• поверхность Больца род 2;
• квартика Клейна рода 3;
• поверхность Макбита рода 7;
• Первый триплет Гурвица рода 14.

Униформизация

Учитывая ориентированную замкнутую поверхность M с гауссовой кривизной K, метрику на M можно изменить конформно, масштабируя ее в e раз. Новая гауссова кривизна K 'тогда определяется как

$K\text{'}\; (x)\; =\; e\; -\; 2\; u\; (K\; (x)\; -\; \Delta \; u),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (x)\; =\; e\; ^\; \{-\; 2u\}\; (K\; (x)\; -\; \backslash \; Delta\; u),\}$

где Δ - лапласиан для исходной метрики. Таким образом, чтобы показать, что данная поверхность конформно эквивалентна метрике постоянной кривизны K ′, достаточно решить следующий вариант уравнения Лиувилля :

$\Delta \; u\; =\; K\; \prime \; e\; 2\; u\; +\; K\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; u\; =\; K\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; e\; ^\; \{2u\}\; +\; K\; (x).\}$

Когда M имеет эйлерову характеристику 0, поэтому он диффеоморфен тору , K ′ = 0, поэтому это сводится к решению

$\Delta \; u\; =\; K\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; u\; =\; K\; (x).\}$

Согласно стандартной эллиптической теории, это возможно, потому что интеграл от K по M равен нулю по теореме Гаусса – Бонне.

Когда M имеет отрицательная эйлерова характеристика, K ′ = −1, поэтому решаемое уравнение:

$\Delta \; u\; =\; -\; e\; 2\; u\; +\; K\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; u\; =\; -e\; ^\; \{2u\}\; +\; K\; (x).\}$

Используя непрерывность экспоненциального отображения в пространстве Соболева из-за Нила Трудингера, это нелинейное уравнение всегда можно решить.

Наконец, в случае двумерной сферы K '= 1, и уравнение принимает следующий вид:

$\Delta \; u\; =\; e\; 2\; u\; +\; K\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; u\; =\; e\; ^\; \{2u\}\; +\; K\; (x).\}$

До сих пор это нелинейное уравнение не анализировалось напрямую, хотя классические результаты, такие как теорема Римана-Роха Подразумевается, что всегда есть решение. Метод потока Риччи, разработанный Ричардом С. Гамильтоном, дает другое доказательство существования, основанное на нелинейных уравнениях в частных производных, чтобы доказать существование. Фактически поток Риччи на конформных метриках на S определяется на функциях u (x, t) формулой

$ut\; =\; 4\; \pi \; -\; K\; \prime \; (x,\; t)\; =\; 4\; \pi \; -\; e\; -\; 2\; u\; (K\; (x)\; -\; \Delta \; u).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{t\}\; =\; 4\; \backslash \; pi\; -K\; \text{'}(x,\; t)\; =\; 4\; \backslash \; pi\; -e\; ^\; \{-\; 2u\}\; (K\; (x)\; -\; \backslash \; Delta\; u).\}$

Через конечное время Чоу показал, что K ′ становится положительным; предыдущие результаты Гамильтона затем могут быть использованы, чтобы показать, что K 'сходится к +1. До этих результатов по потоку Риччи Осгуд, Филлипс и Сарнак (1988) предложили альтернативный и технически более простой подход к униформизации, основанный на потоке на римановой метрике g, определяемой как log det Δ g.

Простое Доказательство с использованием только эллиптических операторов, обнаруженных в 1988 г., можно найти в Динг (2001). Пусть G - функция Грина на S, удовлетворяющая ΔG = 1 + 4πδ P, где δ P - точечная мера в фиксированной точке P множества S. уравнение Δv = 2K - 2, имеет гладкое решение v, так как правая часть имеет интеграл 0 по теореме Гаусса – Бонне. Таким образом, φ = 2G + v удовлетворяет Δφ = 2K на расстоянии от P. Отсюда следует, что g 1 = eg является полной метрикой постоянной кривизны 0 на дополнении к P, которая поэтому изометрична плоскости. Составив стереографическую проекцию , следует, что существует гладкая функция u такая, что eg имеет гауссову кривизну +1 на дополнении к P. Функция u автоматически продолжается до гладкой функции на всем S.

Риманова связь ипараллельный перенос

Туллио Леви-Чивита (1873-1941)

Классический подход Гаусса к дифференциальной геометрии поверхностей был стандартным элементарным подходом, предшествовал появлению концепции риманова многообразия, инициированные Бернхардом Риманом в середине девятнадцатого века, и связи, разработанные Туллио Леви-Чивита, Эли Картан и Герман Вейль в начале двадцатого века. Понятие связи, ковариантной производной и параллельного переноса дало более концептуальный и единообразный способ понимания кривизны, который не только позволил обобщить многомасштабность, но и предоставил важный инструмент для определения новые геометрические инварианты, называемые характеристические классами. Подход, использующий ковариантные производные и связи, в настоящее время принят в более сложных учебниках.

Ковариантная производная

Связи на поверхности могут быть применимы с различными эквивалентными, но не менее важными точками зрения. Риманова связь или Связь Леви-Чивита., возможно, легче всего понять в терминах подъема векторных полей, рассматриваемых как дифференциальные операторы, действующие функции на многообразии, к дифференциальным операторам на касательном пучке или связке фреймов. В случае вложенной поверхности подъем к оператору над векторными полями, называемый ковариантной производной, очень просто описывается в терминах ортогональной проекции. Настоящее поле на поверхности, вложенной в R, может действительно рассматриваться как функция от поверхности в R . Другое место установки как дифференциальный оператор покомпонентно. Результирующее поле не будет касаться поверхности, но это можно исправить, взяв его ортогональную проекцию на касательное пространство в каждой точке поверхности. Как Риччи и Леви-Чивита осознал на рубеже двадцатого века, этот процесс зависит только от метрики и может быть локально выражен в терминах символов Кристоффеля.

Параллельный перенос вектора вокруг геодез треугольника на сфере. Длина переносимого вектора и угол, который составляет с каждой стороной, остаются постоянными.

Параллельный перенос

Параллельный перенос касательных векторов вдоль кривой на поверхности следующим достижением в этой области, в связи с Леви-Чивита. Это связано с более ранним понятием ковариантной производной, потому что это монодромия обыкновенного дифференциального уравнения на кривой, определяемой ковариантной производной относительно вектора скорости кривой.. Параллельный перенос по геодезическим, прямым линиям поверхности, также можно легко описать напрямую. Вектор в касательной плоскости переносится по геодезической как единственное поле постоянной длины и составляющее постоянный угол с вектором скорости геодезической. Для общей кривой процесс должен быть изменен с использованием геодезической кривизны, которая измеряет, насколько кривая отклоняется от геодезической.

Векторное поле v (t) вдоль кривой единичной скорости c (t), с геодезической кривизной k g (t), называется параллельной вдоль кривой, если

• имеет постоянную длину
• угол θ (t), который он образует со скоростью вектор ċ (t) удовлетворяет

$\theta \; \dot{}\; (t)\; =\; -\; kg\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; (t)\; =\; -\; k\_\; \{g\}\; (t)\}$

Это возвращает правило параллельного переноса по геодезической или кусочно-геодезической кривой, потому что в этом случае k g = 0, так что угол θ (t) должен оставаться постоянным на любом геодезическом отрезке. Существование параллельного переноса следует из того, что θ (t) может быть вычислено как интеграл геодезической кривизны. Он, следовательно, непрерывно зависит от нормы L для k g, отсюда следует, что параллельный перенос для произвольной кривой может быть получен как предел переноса при аппроксимации кусочно-геодезических кривых.

Таким образом, связь может быть представлена ​​в терминах подъемных путей в множестве путей путям в касательном или ортонормированном расслоении реперов, что формализует классическую теорию «подвижной реперы », предпочитают французские авторы. Подъем петель вокруг точки приводит к возникновению группы голономии в этой точке. Гауссова кривизна в точке может быть восстановлена ​​параллельного переноса вокруг все более мелких петель в точке. Эквивалентно кривизна может быть вычислена непосредственно на бесконечно малом уровне в терминах скобок Ли поднятых векторных полей.

Эли Картан в 1904 году

Форма соединения 1

Подход Картана и Вейля, использующий форму соединения 1 в пакете кадров M, дает третий способ понять риманову связь. Они заметили, что параллельный перенос требует, чтобы путь на поверхности поднимался до пути в связке кадров, так что его касательные векторы лежат в специальном подпространстве коразмерности один в трехмерном касательном пространстве связки кадров. Проекция на это подпространство определяется дифференциальной 1-формой на пучке ортонормированных реперов, формой связи . Это позволило закодировать свойства кривизны поверхности в дифференциальных формах на связке кадров и формулах, включающих их внешние производные.

Этот подход особенно прост для встроенной поверхности. Благодаря результату Кобаяши (1956), 1-форма связности на поверхности, вложенной в евклидово пространство E, является просто откатом под картой Гаусса 1-формы связности на S. Используя отождествление S с однородным пространством SO (3) / SO (2), 1-форма связности является просто компонентом 1-формы Маурера – Картана на SO (3).

Глобальная дифференциальная геометрия поверхностей

Хотя характеристика кривизны включает только локальную геометрию поверхности, существуют важные глобальные аспекты, такие как Gauss– Теорема Бонне, теорема об униформизации, теорема фон Мангольдта-Адамара и теорема о вложимости. Есть и другие важные аспекты глобальной геометрии поверхностей. К ним относятся:

• Радиус приемистости, определяемый как наибольшее значение r, при котором две точки на расстоянии меньше r соединяются уникальной геодезической. Вильгельм Клингенберг доказал в 1959 г., что радиус инъективности замкнутой поверхности ограничен снизу минимумом δ = π / √sup K и длиной ее наименьшей замкнутой геодезической. Это улучшило теорему Бонне, который в 1855 г. показал, что диаметр замкнутой поверхности положительной гауссовой кривизны всегда ограничен сверху величиной δ; другими словами, геодезическая, реализующая метрическое расстояние между двумя точками, не может иметь длину больше δ.
• Жесткость . В 1927 г. Кон-Фоссен доказал, что два овалоида - замкнутые поверхности с положительной гауссовой кривизной - которые являются изометричными, обязательно конгруэнтны по изометрии E . Более того, замкнутая вложенная поверхность с положительной гауссовой кривизной и постоянной средней кривизной обязательно является сферой; аналогично замкнутая вложенная поверхность постоянной гауссовой кривизны должна быть сферой (Liebmann 1899). Хайнц Хопф показал в 1950 году, что замкнутая вложенная поверхность с постоянной средней кривизной и родом 0, т.е. гомеоморфная сфере, обязательно является сферой; пять лет спустя Александров снял топологическое предположение. В 1980-х годах Венте построил погруженные торы постоянной средней кривизны в трехмерном евклидовом пространстве.
• Гипотеза Каратеодори : эта гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая трижды дифференцируемая поверхность допускает по крайней мере две точки пуповины. Первая работа над этой гипотезой была сделана в 1924 году Гансом Гамбургером, который заметил, что она следует из следующего более сильного утверждения: полуцелозначный индекс основного слоения кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.
• Нулевая гауссова кривизна : полная поверхность в E с нулевой гауссовой кривизной должна быть цилиндром или плоскостью.
• Теорема Гильберта (1901): нет полной поверхности с постоянной отрицательная кривизна может быть изометрически погружена в E.

Кратчайшая петля на торе

• Гипотеза Уиллмора. Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, погруженного в E, должен быть ограничен снизу на 2π. Известно, что интеграл инвариант Мебиуса. Она была решена в 2012 году Фернандо Кода Маркес и Андре Невес.
• Изопериметрические неравенства. В 1939 году Шмидт доказал, что классическое изопериметрическое неравенство для кривых в евклидовой плоскости справедливо также на сфере или в гиперболической плоскости: а именно, он показал, что среди всех замкнутых кривых, ограничивающих область фиксированной площади, периметр минимизируется, когда кривая круг для метрики. В одном измерении выше известно, что среди всех замкнутых поверхностей в E, возникающих как граница ограниченной области единичного объема, площадь поверхности минимизирована для евклидова шара.
• Систолические неравенства для кривых на поверхностях. Учитывая замкнутую поверхность, ее систола определяется как наименьшая длина любой несжимаемой замкнутой кривой на поверхности. В 1949 г. Лёвнер доказал неравенство тора для метрик на торе, а именно, что площадь тора над квадратом его систолы ограничена ниже на √3 / 2, с равенством в плоском (постоянной кривизне) случае. Аналогичный результат дает неравенство Путь для действительной проективной плоскости из 1952 г., при этом нижняя граница 2 / π также достигается в постоянной кривизны. Для бутылки Клейна Блаттер и Бавард позже получили нижнюю границу √8 / π. Для замкнутой поверхности рода Хебда и Бураго показали, что отношение снизу ограничено 1/2. Три года спустя Михаил Громов нашел нижнюю границу, заданную постоянным умножением на g, хотя это не оптимально. Астотически точные верхняя и нижняя границы, задаваемые постоянные значениями времени g / (log g), были получены Громовым и Бузером-Сарнаком, и их можно найти в Katz (2007). Также существует версия для метрик на сфере, взяв за систолу длину наименьшей замкнутой геодезической. Громов предположил нижнюю границу 1 / 2√3 в 1980 году: лучший результат до сих пор - это нижняя граница 1/8, полученная Региной Ротман в 2006 году.

Руководство для чтения

Одно из наиболее полных Вводных обзоров предмета, показывающие историческое развитие от Гаусса до наших дней,лены Бергером (2004). Изложение классической теории дано в Эйзенхарт (2004), Крейсциг (1991) и Струик (1988) ; более доступными могут оказаться более современные, обильно иллюстрированные учебники для студентов Грея, Аббены и Саламона (2006), Прессли (2001) и Уилсона (2008). Доступное изложение классической теории можно найти в Hilbert Cohn-Vossen (1952). Более сложные процедуры на уровне выпускников с использованием римановой связи на поверхности можно найти в Singer Thorpe (1967), do Carmo (2016) и О 'Нил (2006).

См. Также

• Поверхность Золла

Примечания

Ссылки

• Эндрюс, Бен; Брайан Пол (2010), «Границы кривизны путем изопериметрического сравнения для нормализованного потока Риччи на двумерной сфере», Calc. Вар. Уравнения в частных производных, 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606, doi : 10.1007 / s00526-010-0315-5
• Арнольд VI (1989), Математические методы классической механики, Тексты для выпускников по математике, 60 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer -Verlag, ISBN 978-0-387-90314-9 ; перевод с русского К. Фогтманна и А. Вайнштейна.
• Бергер, Марсель (2004), Панорамный вид римановой геометрии, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65317-2
• Бергер, Мелвин С.. (1977), Нелинейность и функциональный анализ, Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Бонола, Роберто; Carslaw, H.S.; Энрикес, Ф. (1955), Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития, Дувр, ISBN 978-0-486-60027-7
• Бутби, Уильям М.. (1986), Введение в дифференцируемые Картриджи и риманову геометрию, Чистая и прикладная математика, 120 (2-е изд.), Academic Press, ISBN 0121160521
• ан., Эли (1983), Геометрия римановых пространств, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7 ; переведено из 2-го издания Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) Джеймса Глейзбрука.
• Картан, Эли (2001), Риманова геометрия в ортогональной системе координат (из лекций, прочитанных Э. Картаном в Сорбонна в 1926-1927 гг.) (PDF), World Scientific, ISBN 978-981-02-4746-1 ; перевод с русского В. В. Гольдберга с предисловием С. С. Черн.
• Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском), Герман, ISBN 9780395120330
• Chen, Xiuxiong; Лу, Пэн; Тиан, Ганг (2006), «Заметка об униформизации римановых поверхностей потоком Риччи», Proc. AMS, 134 (11): 3391–3393, doi : 10.1090 / S0002-9939-06-08360-2
• Черн, SS (1967), Кривые и поверхности в евклидовых пространствах, Исследования MAA по математике, Математическая ассоциация Америки
• Чоу Б. (1991), «Поток Риччи на двумерной сфере», Дж. Дифф. Geom., 33 (2): 325–334, doi : 10.4310 / jdg / 1214446319
• Курант, Ричард (1950), Принцип Дирихле, Conformal Mapping and Minimal Surfaces, John Wiley Sons, ISBN 978-0-486-44552-6
• Darboux, Gaston, Leçons sur la théorie générale des are, Gauthier- Виллар Том I (1887), Том II (1915) [1889], Том III (1894), Том IV (1896).
• Динг, В. (2001), «Доказательство теоремы униформизации на S», Дж. Уравнения в частных производных, 14 : 247–250
• ду Карму, Манфредо П. (2016), Диффциальная геометрия кривых и поверхностей (пересмотренное и обновленное 2-е изд.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-80699-5
• do Carmo, Манфредо (1992), риманова геометрия, Математика: теория и приложения, Биркхойзер, ISBN 0-8176-3490-8
• Эйзенхарт, Лютер Пфалер (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхно стей (перепечатка т. изд. 1909 г.), Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-43820-1
• Euler, Leonhard (1760), "Recherches sur la Courbure des поверхностей ", Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin (опубликовано в 1767 г.), 16 : 119–143.
• Эйлер, Леонард (1771), «De solidis quorum superficiem in planum explicare licet», Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (опубликовано в 1772 г.), 16 : 3–34.
• Гаусс, Карл Фридрих (1902)), Общие исследования криволинейных поверхностей 1825 и 1827 гг., Библиотека Принстонского университета перевод AM Hiltebeitel и J.C. Morehead; "Disquisitiones generales около superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), стр. 99–146.
  • Гаусс, Карл Фридрих (1965), Общие исследования криволинейных поверхностей, перевод А.М. Hiltebeitel; JC Morehead, Hewlett, NY: Raven Press, OCLC 228665499.
  • Gauss, Carl Friedrich (2005), General Investigations of Curved Surfaces, отредактированный с новым введением и примечаниями Питера Пешича, Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications, ISBN 978-0-486-44645-5.
• Грей, Альфред; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью системы Mathematica®, Исследования по высшей математике (3-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-448-4
• Хань, Цин; Хун, Цзя-Син (2006), Изометрическое вложение римановых многообразий в евклидовы пространства, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4071-9
• Хельгасон, Сигурдур ( 1978), Дифференциальная геометрия ， группы Ли и симметричные пространства, Academic Press, New York, ISBN 978-0-12-338460-7
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087- 8
• Хитчин, Найджел (2013), Геометрия поверхностей (PDF)
• Хопф, Хайнц (1989), Лекции по дифференциальной геометрии в целом, Конспекты лекций по математике, 1000, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51497-8
• Imayoshi, Y.; Танигучи, М. (1992), Введение в пространство Техмюллера, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-70088-5
• Айви, Томас А.; Ландсберг, Дж. М. (2003), Картан для начинающих: дифференциальная геометрия через подвижные рамки и внешние системы, аспирантура по математике, 61, Американское математическое общество, ISBN 978-0 -8218-3375 -9
• Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология, Математические обзоры и монографии, 137, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4177-8
• Кобаяси, Шошичи (1956), «Индуцированные связи и вложенное риманово пространство», Nagoya Math. J., 10 : 15–25, doi : 10.1017 / S0027763000000052
• Кобаяси, Шошичи (1957), «Теория связей», Annali di Matematica Pura ed Applicata, Series 4, 43 : 119–194, doi : 10.1007 / BF02411907,
• Kobayashi, Shoshichi; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, т. I, Wiley Interscience, ISBN 978-0-470-49648-0
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии, т. II, Wiley Interscience, ISBN 978-0-470-49648-0
• Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-66721-8
• Кюнель, Вольфганг (2006), Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218- 3988-1
• Леви-Чивита, Туллио (1917), «Nozione di parallelismo in una varietà qualunque» (PDF), Rend. Circ. Мат. Палермо, 42 : 173–205, doi : 10.1007 / BF03014898
• О'Нил, Барретт (2006), Элементарная дифференциальная геометрия (пересмотренное 2-е изд.), Амстердам: Elsevier / Academic Press, ISBN 0-12-088735-5
• Osgood, B.; Филлипс, Р.; Сарнак, П. (1988), «Экстремали определителей лапласианов», J. Funct. Anal., 80 : 148–211, doi : 10.1016 / 0022-1236 (88) 90070-5
• Оссерман, Роберт (2002), Обзор минимальных поверхностей, Довер, ISBN 978-0-486-49514-9
• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическая дифференциация: для интеллекта кривых и поверхностей, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8.
• Pressley, Andrew (2001), Elementary Дифференциальная геометрия, Springer, бакалавр математики, Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8
• Sacks, J.; Уленбек, Карен (1981), "Существование минимальных погружений 2-сфер", Ann. математики, 112 (1): 1–24, doi : 10.2307 / 1971131, JSTOR 1971131
• Певец, Исадор М. ; Торп, Джон А. (1967), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90202-9
• Спивак, Майкл ( 1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления, WA Benjamin
• Stillwell, John (1996), Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0558-9
• Struik, Dirk (1987), A Concise History of Mathematics (4-е изд.), Dover Publications, ISBN 0486602559
• Struik, Dirk J. ( 1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии (переиздание 2-го издания), Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-65609-8
• Тейлор, Майкл Э. (1996a), Уравнения в частных производных II: Качественные исследования линейных уравнений, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-7051-0
• Тейлор, Майкл Э. (1996b), Уравнения в частных производных III: Нелинейные уравнения, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-7048-0
• Торп, Джон А. (1994), Элементарный темы по дифференциальной геометрии, Тексты для бакалавриата по математике, Springer-Verlag, ISBN 0387903577
• Топоногов Виктор А. ( 2005), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: Краткое руководство, Springer-Verlag, ISBN 978-0-8176-4384-3
• Валирон, Жорж (1986), Классический дифференциал Геометрия кривых и поверхностей, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-39-2 Полный текст книги
• Warner, Frank W. (1983), Foundations of дифференцируемые многообразия и группы Ли, Graduate Texts in Mathematics, 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Wells, RO (2017), Дифференциальная и сложная геометрия: истоки, абстракции и вложения, Springer, ISBN 9783319581842
• Уилсон, Пелхам (2008), Кривое пространство: от классической геометрии к элементарной дифференциальной геометрии, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71390-0

Внешние ссылки

• СМИ, относящиеся к Дифференциальная геометрия поверхностей на Wikimedia Commons