. В классических теориях поля, лагранжева спецификация поля потока - это способ взглянуть на движение жидкости, когда наблюдатель следует за индивидуальной частицей жидкости, когда она движется в пространстве и времени. Построение графика положения отдельного участка во времени дает линию пути участка. Это можно представить себе, как будто вы сидите в лодке и плывете по реке.
Эйлерова спецификация поля потока - это способ взглянуть на движение жидкости, которое фокусируется на определенных местах в пространстве, через которое жидкость течет с течением времени. Это можно визуализировать, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода проходит через определенное место.
Лагранжевые и эйлеровы спецификации поля потока иногда условно обозначаются как лагранжевые и эйлеровы системы отсчета . Однако, как правило, как лагранжева, так и эйлерова спецификация поля потока может применяться в любой системе отсчета наблюдателя и в любой системе координат, используемой в выбранной системе отсчета.
Эти спецификации отражены в вычислительной гидродинамике, где в «эйлеровом» моделировании используется фиксированная сетка, а в «лагранжевых» (например, модели без сетки ), которые могут перемещаться вслед за полем скорости .
В спецификации Эйлера поля поле поле представлено как функция положения x и время t. Например, скорость потока представлена функцией
С другой стороны, в лагранжевой спецификации отдельные частицы жидкости отслеживаются во времени. Частицы жидкости помечены некоторым (не зависящим от времени) векторным полем x0. (Часто x0выбирается как положение центра масс участков в некоторый начальный момент времени t 0. Он выбирается именно таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы на Таким образом, центр масс является хорошей параметризацией скорости потока u посылки.) В лагранжевом описании поток описывается функцией
, задающий положение частицы с меткой x0в момент времени t.
Эти две спецификации связаны следующим образом:
, потому что обе стороны описывают скорость частицы с меткой x0в момент времени t.
В выбранной системе координат x0и x упоминаются как лагранжевые координаты и эйлеровы координаты потока.
Лагранжевые и эйлеровы спецификации кинематики и динамики поля потока связаны материальной производной (также называемая производной Лагранжа, конвективной производной, субстанциальной производной или производной частиц).
Предположим, у нас есть поле потока u, и нам также дано общее поле с эйлеровым спецификация F(x, т). Теперь можно спросить об общей скорости изменения F, испытываемой конкретным участком потока. Это можно вычислить как
где ∇ обозначает оператор набла по отношению к x, а оператор u ⋅∇ должен применяться к каждому компоненту F . Это говорит нам о том, что общая скорость изменения функции F по мере того, как частицы жидкости движутся через поле потока, описываемое ее эйлеровой спецификацией u, равна сумме локальной скорости изменение и конвективная скорость изменения F . Это является следствием правила цепочки , поскольку мы дифференцируем функцию F(X(x0, t), t) по t.
Законы сохранения для единицы массы имеют лагранжеву форму, которая вместе с сохранением массы дает эйлерово сохранение; напротив, когда частицы жидкости могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только законы сохранения Эйлера.