Существенная производная

В механике сплошной среды, то материал производная описывает временную скорость изменения некоторых физической величины (например, тепло или импульс ) от материала элемента, который подвергается пространственно-и-зависимое от времени поля макроскопической скорости. Материальная производная может служить связующим звеном между эйлеровым и лагранжевым описаниями деформации сплошной среды.

Например, в гидродинамике поле скорости - это скорость потока, а интересующей величиной может быть температура жидкости. В этом случае производная материала затем описывает изменение температуры определенной частицы жидкости во времени, когда она течет по своей траектории (траектории).

• 1 Другие имена
• 2 Определение
  • 2.1 Скалярные и векторные поля
• 3 Развитие
• 4 Ортогональные координаты
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дальнейшее чтение

Есть много других названий материальных производных, в том числе:

• адвективная производная
• конвективная производная
• производная, следующая за движением
• гидродинамическая производная
• Лагранжева производная
• производная частицы
• существенная производная
• субстантивная производная
• Производная Стокса
• полная производная, хотя материальная производная на самом деле является частным случаем полной производной

Материальная производная определяется для любого тензорного поля y, которое является макроскопическим, в том смысле, что оно зависит только от координат положения и времени, y = y ( x, t):

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} y} {\ mathrm {D} t}} \ Equiv {\ frac {\ partial y} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla y,}$

где ∇ y - ковариантная производная тензора, а u ( x, t) - скорость потока. Обычно конвективная производная поля u ∇ y, содержащая ковариантную производную поля, может интерпретироваться как как включающая тензорную производную линий тока поля u (∇ y), так и как включающую производную по направлению линий тока поля ( u ∇) y, что приводит к тому же результату. Только этот пространственный член, содержащий скорость потока, описывает перенос поля в потоке, в то время как другой описывает собственное изменение поля, независимо от наличия какого-либо потока. Как ни странно, иногда название «конвективная производная» используется для всей материальной производной D / Dt, а не только для пространственного члена u ∇. Влияние не зависящих от времени членов в определениях относится к скалярному и тензорному случаям, соответственно, известным как адвекция и конвекция.

Скалярные и векторные поля

Например, для макроскопического скалярного поля φ ( x, t) и макроскопического векторного поля A ( x, t) определение выглядит следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {D} \ varphi} {\ mathrm {D} t}} amp; \ Equiv {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi, \\ [3pt] {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {A}} {\ mathrm {D} t}} и \ Equiv {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {A}. \ end {align}}}$

В случае скалярного ∇ φ представляет собой просто градиент скаляра, а ∇ ковариантная производная макроскопического вектора (который также может рассматриваться в качестве матрицы Якоби из А в зависимости от й). В частности, для скалярного поля в трехмерной декартовой системе координат ( x 1, x 2, x 3) компоненты скорости u равны u 1, u 2, u 3, и тогда конвективный член равен:

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi = u_ {1} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_ {1}}} + u_ {2} {\ frac {\ partial \ varphi } {\ partial x_ {2}}} + u_ {3} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_ {3}}}.}$

Рассмотрим скалярную величину φ = φ ( x, t), где t - время, а x - положение. Здесь φ может быть некоторой физической переменной, такой как температура или химическая концентрация. Физическая величина, скалярная величина которой равна φ, существует в континууме, а макроскопическая скорость которой представлена ​​векторным полем u ( x, t).

(Полная) производная по времени от φ расширяется с использованием правила многомерной цепочки :

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ varphi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} + {\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla \ varphi.}$

Очевидно, что эта производная зависит от вектора

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} \ Equiv {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}},}$

который описывает выбранный путь x ( t) в пространстве. Например, если выбран вариант, производная по времени становится равной частной производной по времени, что согласуется с определением частной производной : производная, взятая по некоторой переменной (в данном случае по времени), при этом другие переменные остаются постоянными (пробел в этом кейс). Это имеет смысл, потому что если, то производная берется в некоторой постоянной позиции. Эта статическая производная положения называется производной Эйлера. ${\ Displaystyle {\ точка {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = 0}$

Примером этого случая является стоящий на месте пловец, который рано утром чувствует изменение температуры в озере: вода постепенно становится теплее из-за нагрева от солнца. В этом случае этого термина достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры. ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}}}$

Если солнце не нагревает воду (т.е.), но путь x ( t) не является неподвижным, производная по времени φ может измениться из-за пути. Например, представьте, что пловец находится в неподвижном бассейне с водой в помещении и не подвержен влиянию солнца. Один конец находится при постоянной высокой температуре, а другой конец - при постоянной низкой температуре. Плывя из одного конца в другой, пловец ощущает изменение температуры во времени, даже если температура в любой заданной (статической) точке является постоянной. Это связано с тем, что производная берется в месте смены пловца, а второго члена справа достаточно для описания скорости изменения температуры. Датчик температуры, прикрепленный к пловцу, будет показывать изменение температуры со временем просто из-за изменения температуры от одного конца бассейна к другому. ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla \ varphi}$

Материальная производная в конечном итоге получается, когда путь x ( t) выбирается так, чтобы скорость была равна скорости жидкости.

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {u}.}$

То есть путь следует за потоком жидкости, описываемым полем скорости жидкости u. Итак, материальная производная скаляра φ равна

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ varphi} {\ mathrm {D} t}} = {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi.}$

Примером этого случая является легкая, нейтрально плавучая частица, несущаяся вдоль текущей реки и испытывающая при этом изменения температуры. Температура воды локально может повышаться из-за того, что одна часть реки солнечная, а другая - в тени, или вода в целом может нагреваться в течение дня. Изменения, вызванные движением частицы (само вызванное движением жидкости), называется адвекцией (или конвекцией, если переносится вектор).

Вышеприведенное определение основывалось на физической природе потока жидкости; однако никакие законы физики не использовались (например, предполагалось, что легкая частица в реке будет следовать за скоростью воды), но оказалось, что многие физические концепции можно кратко описать с помощью материальной производной. Однако общий случай адвекции основан на сохранении массы потока жидкости; ситуация становится несколько иной, если адвекция происходит в неконсервативной среде.

Для скаляра выше рассматривался только путь. Для вектора градиент становится тензорной производной ; для тензорных полей мы можем захотеть учесть не только перемещение системы координат из-за движения жидкости, но также ее вращение и растяжение. Это достигается за счет верхней конвективной производной по времени.

Может быть показано, что, в ортогональной системе координат, в J -го компонент конвективного члена материальной производной даются

${\ displaystyle [\ left (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {A}] _ {j} = \ sum _ {i} {\ frac {u_ {i}} {h_ {i} }} {\ frac {\ partial A_ {j}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ frac {A_ {i}} {h_ {i} h_ {j}}} \ left (u_ {j } {\ frac {\ partial h_ {j}} {\ partial q ^ {i}}} - u_ {i} {\ frac {\ partial h_ {i}} {\ partial q ^ {j}}} \ right),}$

где h i связаны с метрическими тензорами соотношением

${\ displaystyle h_ {i} = {\ sqrt {g_ {ii}}}.}$

В частном случае трехмерной декартовой системы координат ( x, y, z) это просто

${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} \ displaystyle u_ {x} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} + u_ {y} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} + u_ {z} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} \\\ displaystyle u_ {x } {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} + u_ {y} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + u_ {z} {\ frac {\ частичный A_ {y}} {\ partial z}} \\\ displaystyle u_ {x} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} + u_ {y} {\ frac {\ partial A_ { z}} {\ partial y}} + u_ {z} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix}}.}$

• Уравнения Навье – Стокса
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Производная (обобщения)
• Производная Ли
• Леви-Чивита связь
• Пространственное ускорение
• Пространственный градиент

• Коэн, Ира М.; Кунду, Пижуш К (2008). Механика жидкости (4-е изд.). Академическая пресса. ISBN   978-0-12-373735-9.
• Лай, Майкл; Кремпл, Эрхард; Рубен, Дэвид (2010). Введение в механику сплошной среды (4-е изд.). Эльзевир. ISBN   978-0-7506-8560-3.