Тензорная производная (механика континуума)

производные от скаляров, векторов, и тензоры второго порядка по отношению к тензорам второго порядка широко используются в механике сплошной среды. Эти производные используются в теориях нелинейной упругости и пластичности, в частности, при разработке алгоритмов для численного моделирования.

производная по направлению обеспечивает систематический способ нахождения этих производных.

• 1 Производные по векторам и тензоры второго порядка
  • 1.1 Производные скалярных функций векторов
  • 1.2 Производные вектора значные функции векторов
  • 1.3 Производные скалярных функций от тензоров второго порядка
  • 1.4 Производные от тензорных функций от тензоров второго порядка
• 2 Градиент тензорного поля
  • 2.1 Декартовы координаты
  • 2.2 Криволинейные координаты
    • 2.2.1 Цилиндрические полярные координаты
• 3 Дивергенция тензорного поля
  • 3.1 Декартовы координаты
  • 3.2 Криволинейные координаты
    • 3.2.1 Цилиндрические полярные координаты
• 4 Завихрение тензора поле
  • 4.1 Ротор тензорного (векторного) поля первого порядка
  • 4.2 Ротор второго порядка тензорное поле
  • 4.3 Тождества, содержащие ротор тензорного поля
• 5 Производная детерминанта тензора второго порядка
• 6 Производные инвариантов тензора второго порядка
• 7 Производная второго тензор идентичности порядка
• 8 Производная тензора второго порядка относительно самого себя
• 9 Производная, обратная тензору второго порядка
• 10 Интегрирование по частям
• 11 См. также
• 12 Ссылки

Определения производных по направлениям для различных ситуаций приведены ниже. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярнозначных функций векторов

Пусть f (v ) будет вещественной функцией вектора v . Тогда производная f (v ) относительно v (или в v ) - это вектор, определенный через его скалярное произведение с любой вектор u

$\partial \; f\; \partial \; v\; \cdot \; u\; =\; D\; f\; (v)\; [u]\; =\; [dd\; \alpha \; f\; (v\; +\; \alpha \; u)]\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; Df\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; [\backslash \; mathbf\; \{u\}]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\; \}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; alpha\}\}\; ~\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\}$

для всех векторов и . Вышеупомянутое скалярное произведение дает скаляр, и если u является единичным вектором, дает производную f по направлению в v в направлении u .

Свойства:

1. Если $f\; (v)\; =\; f\; 1\; (v)\; +\; f\; 2\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; f\_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; +\; f\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\}$, затем $\partial \; f\; \partial \; v\; \cdot \; u\; =\; (\partial \; f\; 1\; \partial \; v\; +\; \partial \; f\; 2\; \partial \; v)\; \cdot \; u\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$
2. Если $f\; (v)\; =\; f\; 1\; (\; v)\; е\; 2\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; f\_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; ~\; f\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\}$затем $\partial \; е\; \partial \; v\; \cdot \; u\; знак\; равно\; (\partial \; f\; 1\; \partial \; v\; \cdot \; u)\; f\; 2\; (v)\; +\; f\; 1\; (v)\; (\partial \; f\; 2\; \partial \; v\; \cdot \; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; справа)\; ~\; f\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; +\; f\_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; ~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\}$
3. Если $f\; (v)\; =\; f\; 1\; (f\; 2\; (v))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; f\_\; \{1\}\; (\; f\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}))\}$затем $\partial \; f\; \partial \; v\; \cdot \; u\; =\; \partial \; f\; 1\; \partial \; f\; 2\; \partial \; f\; 2\; \partial \; v\; \cdot \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$

Производные векторных функций векторов

Пусть f(v) будет векторной функцией вектора v . Тогда производная от f(v) по v (или по v ) - это тензор второго порядка, определенный через его скалярное произведение с любым вектором u быть

$\partial \; е\; \partial \; v\; \cdot \; u\; =\; D\; f\; (v)\; [u]\; =\; [dd\; \alpha \; f\; (v\; +\; \alpha \; u)]\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; D\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; [\backslash \; mathbf\; \{u\}]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; rm\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; alpha\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\; \}$

для всех векторов u . Приведенное выше скалярное произведение дает вектор, и если u является единичным вектором, дает производную по направлению от f в v в направленных свойствах u.

:

1. Если $f\; (v)\; =\; f\; 1\; (v)\; +\; f\; 2\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\}$, затем $\partial \; f\; \partial \; v\; \cdot \; u\; =\; (\partial \; f\; 1\; \partial \; v\; +\; \partial \; f\; 2\; \partial \; v)\; \cdot \; U\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{\; f\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$
2. Если $f\; (v)\; =\; f\; 1\; (v)\; \times \; f\; 2\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\}$, затем $\partial \; f\; \partial \; v\; \cdot \; u\; =\; (\partial \; f\; 1\; \partial \; v\; \cdot \; u)\; \times \; е\; 2\; (v)\; +\; е\; 1\; (v)\; \times \; (\partial \; f\; 2\; \partial \; v\; \cdot \; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{1\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\}$
3. Если $f\; (v)\; =\; f\; 1\; (f\; 2\; (v))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\; f\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}))\}$тогда $\partial \; f\; \partial \; v\; \cdot \; u\; =\; \partial \; f\; 1\; \partial \; f\; 2\; \cdot \; (\partial \; f\; 2\; \partial \; v\; \cdot \; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\}$

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка

Пусть $f\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\}$быть вещественной функцией тензора второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$. Тогда производная от $f\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\}$по $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$(или в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$) в направлении $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$- тензор второго порядка, определяемый как

$\partial \; f\; \partial \; S:\; T\; =\; D\; f\; (S)\; [T]\; =\; [dd\; \alpha \; f\; (S\; +\; \alpha \; T)]\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; Df\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; ]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; alpha\}\}\; ~\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\}$

для всех тензоров второго порядка $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$.

Свойства:

1. Если $f\; (S)\; =\; f\; 1\; (S)\; +\; f\; 2\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; f\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; +\; f\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\; \})\}$затем $\partial \; f\; \partial \; S:\; T\; =\; (\partial \; f\; 1\; \partial \; S\; +\; \partial \; f\; 2\; \partial \; S):\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; :\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$
2. Если $f\; (S)\; =\; f\; 1\; (S)\; f\; 2\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; f\_\; \{1\}\; (\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; ~\; f\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\}$тогда $\partial \; f\; \partial \; S:\; T\; =\; (\partial \; f\; 1\; \partial \; S:\; T)\; f\; 2\; (S)\; +\; е\; 1\; (S)\; (\partial \; е\; 2\; \partial \; S:\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; ~\; f\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\; \})\; +\; f\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; ~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\; \}\; \backslash \; right)\}$
3. Если $f\; (S)\; =\; f\; 1\; (f\; 2\; (S))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; f\_\; \{1\}\; (f\_\; \{2\}\; (\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}))\}$тогда $\partial \; f\; \partial \; S:\; T\; =\; \partial \; f\; 1\; \partial \; f\; 2\; (\partial \; f\; 2\; \partial \; S:\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичное\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\}\; ~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsym\; bol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}$

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка

Пусть $F\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\}$быть тензорнозначной функцией второго порядка от тензора второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$. Тогда производная от $F\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\}$по $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$(или в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$) в направлении $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; T\}\}\}$- это тензор четвертого порядка, определенный как

$\partial \; F\; \partial \; S:\; T\; =\; DF\; (S)\; [T]\; =\; [dd\; \alpha \; F\; (S\; +\; \alpha \; T)]\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; D\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\; \}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; alpha\}\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; F\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\}$

для всех тензоров второго порядка $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$.

Свойства:

1. Если $F\; (S)\; =\; F\; 1\; (S)\; +\; F\; 2\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; S\}\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\}$, затем $\partial \; F\; \partial \; S:\; T\; =\; (\partial \; F\; 1\; \partial \; S\; +\; \partial \; F\; 2\; \partial \; S):\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}\; \backslash \; right):\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$
2. Если $F\; (S)\; =\; F\; 1\; (S)\; \cdot \; F\; 2\; (S)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{\; 2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\}$тогда $\partial \; F\; \partial \; S:\; T\; =\; (\partial \; F\; 1\; \partial \; S:\; T)\; \cdot \; F\; 2\; (S)\; +\; F\; 1\; (S)\; \cdot \; (\partial \; F\; 2\; \partial \; S:\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\; \}\; \_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; F\}\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}$
3. Если $F\; (S)\; =\; F\; 1\; (F\; 2\; (\; S))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; S\}\}))\}$затем $\partial \; F\; \partial \; S:\; T\; =\; \partial \; F\; 1\; \partial \; F\; 2:\; (\partial \; F\; 2\; \partial \; S:\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\}\}:\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; T\}\}\; \backslash \; right)\}$
4. Если $f\; (S)\; =\; f\; 1\; (F\; 2\; (S))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; f\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}))\}$затем $\partial \; f\; \partial \; S:\; T\; =\; \partial \; f\; 1\; \partial \; F\; 2:\; (\partial \; F\; 2\; \partial \; S:\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\}\}:\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; T\}\}\; \backslash \; right)\}$

градиент, $\nabla \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nab\; la\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$тензорного поля $T\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$в направлении произвольного постоянного вектора c определяется как:

$\nabla \; T\; \cdot \; c\; =\; lim\; \alpha \; \to \; 0\; dd\; \alpha \; T\; (x\; +\; \alpha \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; cfrac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\}$

Градиент тензорного поля порядка n является тензорным полем порядка n + 1.

Декартовы координаты

Примечание: соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования повторяющихся индексов используется ниже.

Если $e\; 1,\; e\; 2,\; e\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\}$- базисные векторы в декартовой координате системе с координатами точек, обозначенными ($x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\}$), затем градиент тензорное поле $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$определяется как

$\nabla \; T\; =\; \partial \; T\; \partial \; xi\; \otimes \; ei\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$

Доказательство

Векторы x и c можно записать как $x\; =\; xiei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; x\_\; \{i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \}$и $c\; =\; ciei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; c\_\; \{i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$. Пусть y : = x + α c . В этом случае градиент определяется как $∇ T ⋅ c = d d α T (x 1 + α c 1, x 2 + α c 2, x 3 + α c 3) | α = 0 ≡ d d α T (y 1, y 2, y 3) | α = 0 = [∂ T ∂ y 1 ∂ y 1 ∂ α + ∂ T ∂ y 2 ∂ y 2 ∂ α + ∂ T ∂ y 3 ∂ y 3 ∂ α] α = 0 = [∂ T ∂ y 1 c 1 + ∂ T ∂ y 2 c 2 + ∂ T ∂ y 3 c 3] α = 0 = ∂ T ∂ x 1 c 1 + ∂ T ∂ x 2 c 2 + ∂ T ∂ x 3 c 3 ≡ ∂ T ∂ xici = ∂ T ∂ xi (ei ⋅ c) = [∂ T ∂ xi ⊗ ei] ⋅ c ◻ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {T}} \ cdot \ mathbf { c} = \ left. {\ cfrac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} \ alpha}} ~ {\ boldsymbol {T}} (x_ {1} + \ alpha c_ {1}, x_ {2} + \ alpha c_ {2}, x_ {3} + \ alpha c_ {3}) \ right | _ {\ alpha = 0} \ Equiv \ left. {\ cfrac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} \ alpha}} ~ {\ boldsymbol {T}} (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) \ right | _ {\ alpha = 0} \\ = \ left [{\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial y_ {1}}} ~ {\ cfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial \ alpha}} + {\ cfrac {\ частичный {\ boldsymbol {T}}} {\ partial y_ {2}}} ~ {\ cfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial \ alpha}} + {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T} }} {\ partial y_ {3}}} ~ {\ cfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial \ alpha}} \ right] _ {\ alpha = 0} = \ left [{\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial y_ {1}}} ~ c_ {1} + {\ cfrac {\ partial {\ bo ldsymbol {T}}} {\ partial y_ {2}}} ~ c_ {2} + {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial y_ {3}}} ~ c_ {3} \ справа] _ {\ alpha = 0} \\ = {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial x_ {1}}} ~ c_ {1} + {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial x_ {2}}} ~ c_ {2} + {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial x_ {3}}} ~ c_ {3} \ Equiv {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial x_ {i}}} ~ c_ {i} = {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial x_ {i }}} ~ (\ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {c}) = \ left [{\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {T}}} {\ partial x_ {i}}} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} \ right] \ cdot \ mathbf {c} \ qquad \ square \ end {align}}}$

Поскольку базисные векторы не меняются в декартовой системе координат, мы имеем следующее отношения для градиентов скалярного поля $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, векторного поля v и тензорного поля второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$.

$∇ ϕ = ∂ ϕ ∂ xiei = ϕ, iei ∇ v = ∂ (vjej) ∂ xi ⊗ ei = ∂ vj ∂ xiej ⊗ ei = vj, iej ⊗ ei ∇ S = ∂ (S jkej ⊗ ek) ∂ xi ⊗ ei = ∂ S jk ∂ xiej ⊗ ek ⊗ ei = S jk, iej ⊗ ek ⊗ ei {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi = {\ cfrac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {i}}} ~ \ mathbf {e} _ {i} = \ phi _ {, i} ~ \ mathbf {e} _ {i} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = {\ cfrac {\ partial (v_ {j} \ mathbf {e} _ {j})} {\ partial x_ {i}}} \ otimes \ mathbf {e } _ {i} = {\ cfrac {\ partial v_ {j}} {\ partial x_ {i}}} ~ \ mathbf {e} _ {j} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} = v_ { j, i} ~ \ mathbf {e} _ {j} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ cfrac {\ partial (S_ {jk} \ mathbf {e} _ {j} \ otimes \ mathbf {e} _ {k})} {\ partial x_ {i}}} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} = {\ cfrac {\ partial S_ {jk}} {\ partial x_ {i}}} ~ \ mathbf {e} _ {j} \ otimes \ mathbf {e} _ {k} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} = S_ {jk, i} ~ \ mathbf {e} _ {j} \ otimes \ mathbf {e} _ {k} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} \ end {align}}}$

Криволинейный координаты

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования повторяющихся индексов.

Если $g\; 1,\; g\; 2,\; g\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{3\}\}$являются контравариантами базисные векторы в системе криволинейных координат с координатами точек, обозначенными ($\xi \; 1,\; \xi \; 2,\; \xi \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; ^\; \{1\},\; \backslash \; xi\; ^\; \{\; 2\},\; \backslash \; xi\; ^\; \{3\}\}$), то градиент тензорного поля $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$определяется как ( см. доказательство.)

$\nabla \; T\; =\; \partial \; T\; \partial \; \xi \; я\; \otimes \; gi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; xi\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{i\}\}$

Из этого определения мы получаем следующие соотношения для градиентов скалярного поля $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, векторное поле v и тензорное поле второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$.

$∇ ϕ = ∂ ϕ ∂ ξ igi ∇ v = ∂ (vjgj) ∂ ξ i ⊗ gi = (∂ vj ∂ ξ i + vk Γ ikj) gj ⊗ gi = (∂ vj ∂ ξ i - vk Γ ijk) gj ⊗ gi ∇ S = ∂ (S jkgj ⊗ gk) ∂ ξ i ⊗ gi = (∂ S jk ∂ ξ ​​я - S lk Γ ijl - S jl Γ ikl) gj ⊗ gk ⊗ gi {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi = {\ frac {\ partial \ phi } {\ partial \ xi ^ {i}}} ~ \ mathbf {g} ^ {i} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial \ left (v ^ {j} \ mathbf {g} _ {j} \ right)} {\ partial \ xi ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {g} ^ {i} = \ left ({\ frac {\ partial v ^ {j}} {\ partial \ xi ^ {i}}} + v ^ {k} ~ \ Gamma _ {ik} ^ {j} \ right) ~ \ mathbf {g} _ {j} \ otimes \ mathbf { g} ^ {i} = \ left ({\ frac {\ partial v_ {j}} {\ partial \ xi ^ {i}}} - v_ {k} ~ \ Gamma _ {ij} ^ {k} \ right) ~ \ mathbf {g} ^ {j} \ otimes \ mathbf {g} ^ {i} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ frac {\ partial \ left ( S_ {jk} ~ \ mathbf {g} ^ {j} \ otimes \ mathbf {g} ^ {k} \ right)} {\ partial \ xi ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {g} ^ {i } = \ left ({\ frac {\ partial S_ {jk}} {\ partial \ xi _ {i}}} - S_ {lk} ~ \ Gamma _ {ij} ^ {l} -S_ {jl} ~ \ Гамма _ {ik} ^ {l} \ right) ~ \ mathbf {g} ^ {j} \ otimes \ mathbf {g} ^ {k} \ otimes \ mathbf {g} ^ {i} \ end {выравнивается}} }$

где символ Кристоффеля $\Gamma \; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; \}$определяется с помощью

$\Gamma \; ijkgk\; =\; \partial \; gi\; \partial \; \xi \; j\; ⟹\; \Gamma \; ijk\; =\; \partial \; gi\; \partial \; \xi \; j\; \cdot \; gk\; =\; -\; gi\; \cdot \; \partial \; gk\; \partial \; \xi \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; xi\; ^\; \{j\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; подразумевает\; \backslash \; quad\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; xi\; ^\; \{j\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{k\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; xi\; ^\; \{j\}\}\}\}$

Цилиндрические полярные координаты

В цилиндрических координатах градиент задается как

$∇ ϕ = ∂ ϕ ∂ rer + 1 r ∂ ϕ ∂ θ e θ + ∂ ϕ ∂ zez ∇ v = ∂ vr ∂ rer ⊗ er + ∂ v θ ∂ rer ⊗ e θ + ∂ vz ∂ rer ⊗ ez + 1 r (∂ vr ∂ θ - v θ) e θ ⊗ er + 1 r (∂ v θ ∂ θ + vr) e θ ⊗ e θ + 1 r ∂ vz ∂ θ e θ ⊗ ez + ∂ vr ∂ zez ⊗ er + ∂ v θ ∂ zez ⊗ e θ + ∂ vz ∂ zez ⊗ ez ∇ S = ∂ S rr ∂ rer ⊗ er ⊗ er + ∂ S rr ∂ zer ⊗ er ⊗ ez + 1 r [∂ S rr ∂ θ - (S θ r + S r θ)] er ⊗ er ⊗ e θ + ∂ S r θ ∂ rer ⊗ e θ ⊗ er + ∂ S r θ ∂ zer ⊗ e θ ⊗ ez + 1 r [∂ S r θ ∂ θ + (S rr - S θ θ)] er ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S rz ∂ rer ⊗ ez ⊗ er + ∂ S rz ∂ zer ⊗ ez ⊗ ez + 1 r [∂ S rz ∂ θ - S θ z] er ⊗ ez ⊗ e θ + ∂ S θ r ∂ re θ ⊗ er ⊗ er + ∂ S θ r ∂ ze θ ⊗ er ⊗ ez + 1 r [∂ S θ r ∂ θ + (S rr - S θ θ)] e θ ⊗ er ⊗ e θ + ∂ S θ θ ∂ re θ ⊗ e θ ⊗ er + ∂ S θ θ ∂ ze θ ⊗ e θ ⊗ ez + 1 r [∂ S θ θ ∂ θ + ( S r θ + S θ r)] e θ ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S θ z ∂ re θ ⊗ ez ⊗ er + ∂ S θ z ∂ ze θ ⊗ ez ⊗ ez + 1 r [∂ S θ z ∂ θ + S rz] e θ ⊗ ez ⊗ e θ + ∂ S zr ∂ rez ⊗ er ⊗ er + ∂ S zr ∂ zez ⊗ er ⊗ ez + 1 r [∂ S zr ∂ θ - S z θ] ez ⊗ er ⊗ e θ + ∂ S z θ ∂ rez ⊗ e θ ⊗ er + ∂ S z θ ∂ zez ⊗ e θ ⊗ ez + 1 r [∂ S z θ ∂ θ + S zr] ez ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S zz ∂ rez ⊗ ez ⊗ er + ∂ S zz ∂ zez ⊗ ez ⊗ ez + 1 r ∂ S zz ∂ θ ez ⊗ ez ⊗ е θ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi = {} \ quad {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial r}} ~ \ mathbf {е } _ {r} + {\ frac {1} {r}} ~ {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ частичный \ phi} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = {} \ quad {\ frac {\ partial v_ {r }} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ {} + {} {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial v_ {r}} {\ partial \ theta}} - v_ {\ theta} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial v_ {\ theta} } {\ partial \ theta}} + v_ {r} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ {} + {} {\ frac {\ partial v_ {r}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial v _ {\ theta}} { \ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e } _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {} \ quad {\ frac {\ partial S_ {rr}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {rr}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S_ {rr}} {\ partial \ theta}} - (S _ {\ theta r} + S_ {r \ theta}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S_ {r \ theta}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {r \ theta}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S_ {r \ theta}} {\ partial \ theta}} + (S_ {rr} -S _ {\ theta \ theta}) \ right ] ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S_ {rz}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {rz}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} { r}} \ left [{\ frac {\ partial S_ {rz}} {\ partial \ theta}} - S _ {\ theta z} \ right] ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e } _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S _ {\ theta r}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S _ {\ theta r}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S _ {\ theta r}} {\ partial \ theta}} + (S_ {rr} -S _ {\ theta \ theta}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S _ {\ theta \ theta}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac { \ partial S _ {\ theta \ theta}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S _ {\ theta \ theta}} {\ partial \ theta}} + (S_ {r \ theta} + S _ {\ theta r}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S _ {\ theta z}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S _ {\ theta z}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ { z} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S _ {\ theta z}} {\ partial \ theta}} + S_ {rz} \ right] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S_ {zr}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {zr}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S_ {zr}} {\ partial \ theta} } -S_ {z \ theta} \ right] ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + { } {\ frac {\ partial S_ {z \ theta}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {z \ theta}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S_ {z \ theta}} {\ partial \ theta}} + S_ {zr} \ right] ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S_ {zz }} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {zz }} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} + {\ frac {1} {r} } ~ {\ frac {\ partial S_ {zz}} {\ partial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ end {align}}}$

дивергенция тензорное поле $T\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$определяется с помощью рекурсивного отношения

$(\nabla \; \cdot \; T)\; \cdot \; c\; =\; \nabla \; \cdot \; (c\; \cdot \; TT);\; \nabla \; \cdot \; v\; знак\; равно\; тр\; (\nabla \; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; ~;\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\}$

где c - произвольный постоянный вектор, а v - векторное поле. Если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$- тензорное поле порядка n>1, то дивергенция поля - это тензор порядка n - 1.

Декартовы координаты

Примечание: соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования повторяющихся индексов используется ниже.

В декартовой системе координат у нас есть следующие соотношения для векторного поля v и тензорное поле второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$.

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \partial \; vi\; \partial \; xi\; =\; vi,\; i\; \nabla \; \cdot \; S\; =\; \partial \; S\; ki\; \partial \; xkei\; =\; S\; ки,\; кей\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; =\; v\_\; \{i,\; i\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{ki\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; S\_\; \{ki,\; k\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где нотация тензорного индекса для частных производных используется в крайние правые выражения. Последнее соотношение можно найти в ссылке под соотношением (1.14.13).

Согласно той же статье в случае тензорного поля второго порядка:

$\nabla \; \cdot \; S\; \ne \; div\; \; S\; =\; \nabla \; \cdot \; S\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\; \}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}.\}$

Важно отметить, что существуют другие письменные соглашения о расходимости тензора второго порядка. Например, в декартовой системе координат расходимость тензора второго ранга также может быть записана как

$\nabla \; \cdot \; S\; =\; \partial \; S\; ki\; \partial \; xiek\; =\; S\; ki,\; iek\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{ki\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; =\; S\_\; \{ki,\; i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Разница заключается в том, выполняется ли дифференцирование по строкам или столбцам $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; S\}\}\}$и является обычным. Это демонстрируется на примере. В декартовой системе координат тензор (матрица) второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}$представляет собой градиент векторной функции $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \}$.

$∇ ⋅ (∇ v) = ∇ ⋅ (vi, jei ⊗ ej) = vi, jiei ⋅ ei ⊗ ej = (∇ ⋅ v), jej = ∇ (∇ ⋅ v) ∇ ⋅ [(∇ v) T] знак равно ∇ ⋅ (vj, iei ⊗ ej) = vj, iiei ⋅ ei ⊗ ej = ∇ 2 vjej = ∇ 2 v {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ( {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ right) = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left (v_ {i, j} ~ \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j} \ right) = v_ {i, ji} ~ \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j} = \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) _ {, j} ~ \ mathbf {e} _ {j} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({ \ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left [\ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ right) ^ {\textf {T}} \ right] = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left (v_ {j, i} ~ \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e } _ {j} \ right) = v_ {j, ii} ~ \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j} = {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} v_ {j} ~ \ mathbf {e} _ {j} = {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {v} \ end {align}}}$

Последнее уравнение эквивалентно альтернативному определению / интерпретации

$(\nabla \; \cdot )\; alt\; (\nabla \; v)\; =\; (\nabla \; \cdot )\; alt\; (vi,\; jei\; \otimes \; ej)\; =\; vi,\; jjei\; \otimes \; ej\; \cdot \; ej\; =\; \nabla \; 2\; viei\; Знак\; равно\; \nabla \; 2\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{alt\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{alt\}\}\; \backslash \; left\; (v\_\; \{i,\; j\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; =\; v\_\; \{i,\; jj\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; ^\; \{2\}\; v\_\; \{i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

Криволинейные координаты

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования по повторяющимся индексам.

В криволинейных координатах - расходимости вектора или поле v и тензорное поле второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$равны

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; (\partial \; vi\; \partial \; \xi \; я\; +\; vk\; \Gamma \; iki)\; \nabla \; \cdot \; S\; знак\; равно\; (\partial \; S\; ik\; \partial \; \xi \; i\; -\; S\; lk\; \Gamma \; iil\; -\; S\; il\; \Gamma \; ikl)\; gk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; xi\; ^\; \{i\}\}\}\; +\; v\; ^\; \{k\}\; ~\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{ik\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; xi\; \_\; \{i\}\}\}\; -\; S\_\; \{\; lk\}\; ~\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ii\}\; ^\; \{l\}\; -S\_\; \{il\}\; ~\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{l\}\; \backslash \; right)\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Цилиндрические полярные координаты

В цилиндрические полярные координаты

$∇ ⋅ v = ∂ vr ∂ r + 1 r (∂ v θ ∂ θ + vr) + ∂ vz ∂ z ∇ ⋅ S = ∂ S rr ∂ rer + ∂ S r θ ∂ re θ + ∂ S rz ∂ rez + 1 r [∂ S θ r ∂ θ + (S rr - S θ θ)] er + 1 r [∂ S θ θ ∂ θ + (S r θ + S θ r)] e θ + 1 r [∂ S θ z ∂ θ + S rz] ez + ∂ S zr ∂ zer + ∂ S z θ ∂ ze θ + ∂ S zz ∂ zez {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ m athbf {v} = \ quad {\ frac {\ partial v_ {r}} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial v _ {\ theta} } {\ partial \ theta}} + v_ {r} \ right) + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol { S}} = \ quad {\ frac {\ partial S_ {rr}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {r \ theta}} {\ частичный r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ partial S_ {rz}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \\ {} + {} {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S _ {\ theta r}} {\ partial \ theta}} + (S_ {rr} -S _ {\ theta \ theta}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S _ {\ theta \ theta}} {\ partial \ theta}} + (S_ {r \ theta} + S _ {\ theta r}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S _ {\ theta z}} {\ partial \ theta}} + S_ {rz} \ right] ~ \ mathbf {e} _ {z} \\ {} + {} {\ frac {\ partial S_ {zr}} {\ частичный z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {z \ theta}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac { \ partial S_ {zz}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ end {align}}}$

curl тензорного поля порядка n>1 $T\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$также определяется с помощью рекурсивного отношения

$(\nabla \; \times \; T)\; \cdot \; c\; =\; \nabla \; \times \; (c\; \cdot \; T);\; (\nabla \; \times \; v)\; \cdot \; с\; знак\; равно\; \nabla \; \cdot \; (v\; \times \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; набла\}\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; ~;\; \backslash \; qquad\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\}$

, где c - произвольный постоянный вектор, а v - векторное поле.

Curl тензорного (векторного) поля первого порядка

Рассмотрим векторное поле v и произвольный постоянный вектор c . В индексной нотации перекрестное произведение задается следующим образом:

$v\; \times \; c\; =\; \epsilon \; ijkvjckei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; ~\; v\_\; \{j\}\; ~\; c\_\; \{k\; \}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$

где $\epsilon \; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\}$- это символ перестановки, иначе известный как символ Леви-Чивита. Тогда

$\nabla \; \cdot \; (v\; \times \; c)\; =\; \epsilon \; ijkvj,\; ick\; =\; (\epsilon \; ijkvj,\; iek)\; \cdot \; c\; =\; (\nabla \; \times \; v)\; \cdot \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; ~\; v\_\; \{j,\; i\}\; ~\; c\_\; \{k\}\; =\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; ~\; v\_\; \{j,\; i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\; \}\; \_\; \{k\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\}$

Следовательно,

$\nabla \; \times \; v\; знак\; равно\; \epsilon \; ijkvj,\; iek\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; ~\; v\_\; \{j,\; i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\}$

Curl тензорного поля второго порядка

Для тензора второго порядка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$

$c\; \cdot \; S\; =\; cm\; S\; mjej\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; c\_\; \{m\}\; ~\; S\_\; \{mj\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\}$

Следовательно, используя определение локона первого порядка тензорное поле,

$\nabla \; \times \; (c\; \cdot \; S)\; =\; \epsilon \; ijkcm\; S\; mj,\; iek\; =\; (\epsilon \; ijk\; S\; mj,\; iek\; \otimes \; em)\; \cdot \; c\; =\; (\nabla \; \times \; S)\; \cdot \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\; \}\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; ~\; c\_\; \{m\}\; ~\; S\_\; \{m\; j,\; i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; =\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; ~\; S\_\; \{mj,\; i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{m\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\}$

Следовательно, мы имеем

$\nabla \; \times \; S\; =\; \epsilon \; ijk\; S\; mj,\; iek\; \otimes \; em\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; ~\; S\_\; \{mj,\; i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\; k\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{m\}\}$

Тождества, включающие ротор тензорного поля

Наиболее часто используемые тождества, связанные с ротором тензорного поля, $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$, равно

$\nabla \; \times \; (\nabla \; T)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}\}$

Это тождество выполняется для тензорных полей всех порядков. Для важного случая тензора второго порядка, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$, это тождество означает, что

$\nabla \; \times \; (\nabla \; S)\; =\; 0\; ⟹\; S\; mi,\; j\; -\; S\; mj,\; я\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; implies\; \backslash \; quad\; S\_\; \{mi,\; j\}\; -S\_\; \{mj,\; i\}\; =\; 0\}$

Производная определителя тензора второго порядка $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$задается как

$\partial \; \partial \; A\; det\; (A)\; =\; det\; (A)\; [A\; -\; 1]\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; left\; [\{\; \backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; ~.\}$

В ортонормированном базисе компоненты $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; \}$можно записать как матрицу A . В этом случае правая часть соответствует сомножителям матрицы.

Доказательство

Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$- тензор второго порядка, и пусть $f\; (A)\; =\; det\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\}$. Тогда из определения производной скалярнозначной функции тензора имеем $\partial \; f\; \partial \; A:\; T\; =\; d\; d\; \alpha \; det\; (A\; +\; \alpha \; T)\; |\; \alpha \; =\; 0\; =\; d\; d\; \alpha \; det\; [\alpha \; A\; (1\; \alpha \; I\; +\; A\; -\; 1\; \cdot \; T)]\; |\; \alpha \; =\; 0\; =\; d\; d\; \alpha \; [\alpha \; 3\; det\; (A)\; det\; (1\; \alpha \; I\; +\; A\; -\; 1\; \cdot \; T)]\; |\; \alpha \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rm\; \{d\; \}\}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; [\backslash \; alpha\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; alpha\}\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{I\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; alpha\; ^\; \{3\}\; ~\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; A\}\})\; ~\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{I\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ Определитель тензора может быть выражен в виде характеристического уравнения через инварианты $I\; 1,\; I\; 2,\; I\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\},\; I\_\; \{2\},\; I\_\; \{3\}\}$с использованием $det\; (\lambda \; I\; +\; A)\; =\; \lambda \; 3\; +\; I\; 1\; (A)\; \lambda \; 2\; +\; I\; 2\; (A)\; \lambda \; +\; I\; 3\; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{I\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; +\; I\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; I\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; I\_\; \{3\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}).\}$ Используя это расширение, мы можем написать $∂ f ∂ A: T = dd α [α 3 det (A) (1 α 3 + I 1 (A - 1 ⋅ T) 1 α 2 + I 2 (A - 1 T) 1 α + I 3). (A - 1 ⋅ T))] | α = 0 = det (A) d d α [1 + I 1 (A - 1 ⋅ T) α + I 2 (A - 1 ⋅ T) α 2 + I 3 (A - 1 ⋅ T) α 3] | α = 0 = det (A) [I 1 (A - 1 ⋅ T) + 2 I 2 (A - 1 ⋅ T) α + 3 I 3 (A - 1 ⋅ T) α 2] | α = 0 = det (A) I 1 (A - 1 ⋅ T). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}}: {\ boldsymbol {T}} = \ left. {\ cfrac {\ rm {d }} {{\ rm {d}} \ alpha}} \ left [\ alpha ^ {3} ~ \ det ({\ boldsymbol {A}}) ~ \ left ({\ cfrac {1} {\ alpha ^ { 3}}} + I_ {1} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) ~ {\ cfrac {1} {\ alpha ^ {2} }} + I_ {2} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) ~ {\ cfrac {1} {\ alpha}} + I_ {3 } \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) \ right) \ right] \ right | _ {\ alpha = 0} \\ = \ left. \ det ({\ boldsymbol {A}}) ~ {\ cfrac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} \ alpha}} \ left [1 + I_ {1} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) ~ \ alpha + I_ {2} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol { T}} \ right) ~ \ alpha ^ {2} + I_ {3} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) ~ \ alpha ^ { 3} \ right] \ right | _ {\ alpha = 0} \\ = \ left. \ Det ({\ boldsymbol {A}}) ~ \ left [I_ {1} ({\ boldsymbol {A}} ^ {-1} \ cdot {\ boldsymbol {T}}) + 2 ~ I_ {2} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) ~ \ альфа + 3 ~ I_ {3} \ left ({\ bold символ {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) ~ \ alpha ^ {2} \ right] \ right | _ {\ alpha = 0} \\ = \ det ({ \ boldsymbol {A}}) ~ I_ {1} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {T}} \ right) ~. \ end {align}}}$ Напомним, что инвариант $I\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\}$задается как $I\; 1\; (A)\; =\; tr\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}.\}$ Следовательно, $\partial \; f\; \partial \; A:\; T\; =\; det\; (\; A)\; tr\; (A\; -\; 1\; \cdot \; T)\; =\; det\; (A)\; [A\; -\; 1]\; T:\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\; \}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\; \}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}.\}$ Ссылаясь на произвол $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$тогда имеем $\partial \; f\; \partial \; A\; =\; det\; (A)\; [A\; -\; 1]\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\; \}\; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; ~.\}$

Основные инварианты тензора второго порядка:

$I\; 1\; (A)\; =\; тр\; AI\; 2\; (A)\; =\; 1\; 2\; [(tr\; A)\; 2\; -\; tr\; A\; 2]\; I\; 3\; (A)\; =\; det\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; I\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; A\}\})\; =\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\; (\{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; I\_\; \{3\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Производные этих трех инвариантов по $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; жирный\; символ\; \{A\}\}\}$:

$\partial \; I\; 1\; \partial \; A\; =\; 1\; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; =\; I\; 1\; 1\; -\; AT\; \partial \; I\; 3\; \partial \; A\; =\; det\; (\; A)\; [A\; -\; 1]\; T\; =\; I\; 2\; 1\; -\; AT\; (I\; 1\; 1\; -\; AT)\; =\; (A\; 2\; -\; I\; 1\; A\; +\; I\; 2\; 1)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; I\_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; справа]\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; =\; I\_\; \{2\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; ~\; \backslash \; left\; (I\_\; \{1\; \}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{2\}\; -I\_\; \{\; 1\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; +\; I\_\; \{2\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Доказательство

Из производной определителя мы знаем, что $\partial \; I\; 3\; \partial \; A\; =\; det\; (A)\; [A\; -\; 1]\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-1\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; ~.\}$ Для производных двух других инвариантов вернемся к характеристическому уравнению $det\; (\lambda \; 1\; +\; A)\; =\; \lambda \; 3\; +\; I\; 1\; (A)\; \lambda \; 2\; +\; I\; 2\; (A)\; \lambda \; +\; I\; 3\; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; +\; I\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; I\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; I\_\; \{3\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~.\}$ Используя тот же подход, что и для детерминант тензора, можно показать, что $\partial \; \partial \; A\; det\; (\lambda \; 1\; +\; A)\; =\; det\; (\lambda \; 1\; +\; A)\; [(\lambda \; 1\; +\; A)\; -\; 1]\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; det\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; left\; [(\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\; \}\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; ~.\}$ Теперь левую часть можно разложить как $\partial \; \partial \; A\; det\; (\lambda \; 1\; +\; A)\; =\; \partial \; \partial \; A\; [\lambda \; 3\; +\; I\; 1\; (A)\; \lambda \; 2\; +\; I\; 2\; (A)\; \lambda \; +\; I\; 3\; (A)]\; =\; \partial \; I\; 1\; \partial \; A\; \lambda \; 2\; +\; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; \lambda \; +\; \partial \; I\; 3\; \partial \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; det\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; A\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; +\; I\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; лямбда\; ^\; \{2\}\; +\; I\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; I\_\; \{3\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ Следовательно, $\partial \; I\; 1\; \partial \; A\; \lambda \; 2\; +\; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; \lambda \; +\; \partial \; I\; 3\; \partial \; A\; =\; det\; (\lambda \; 1\; +\; A)\; [(\lambda \; 1\; +\; A)\; -\; 1]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \backslash \; left\; [(\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}$ или, $(\lambda \; 1\; +\; A)\; T\; \cdot \; [\partial \; I\; 1\; \partial \; A\; \lambda \; 2\; +\; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; \lambda \; +\; \partial \; I\; 3\; \partial \; A]\; =\; det\; (\lambda \; 1\; +\; A)\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\})\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; ~.\}$ Раскрытие правой части и разделение членов в левой части дает $(\lambda \; 1\; +\; AT)\; \cdot \; [\partial \; I\; 1\; \partial \; A\; \lambda \; 2\; +\; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; \lambda \; +\; \partial \; I\; 3\; \partial \; A]\; =\; [\lambda \; 3\; +\; I\; 1\; \lambda \; 2\; +\; I\; 2\; \lambda \; +\; I\; 3]\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1)\; \}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; +\; I\_\; \{1\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; I\_\; \{2\}\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; I\_\; \{3\}\; \backslash \; right]\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\}$ или, $[\partial \; I\; 1\; \partial \; A\; \lambda \; 3\; +\; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; \lambda \; 2\; +\; \partial \; I\; 3\; \partial \; A\; \lambda ]\; 1\; +\; AT\; \cdot \; \partial \; I\; 1\; \partial \; A\; \lambda \; 2\; +\; AT\; \cdot \; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; \lambda \; +\; AT\; \cdot \; \partial \; I\; 3\; \partial \; A\; =\; [\lambda \; 3\; +\; I\; 1\; \lambda \; 2\; +\; I\; 2\; \lambda \; +\; I\; 3]\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right.\; \backslash \; left.\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\; \}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; частичный\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\; \}\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; +\; I\_\; \{1\}\; ~\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; I\_\; \{2\}\; ~\; \backslash \; lambda\; +\; I\_\; \{3\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; ~.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ Если мы определим $I\; 0:\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{0\}:\; =\; 1\}$и $I\; 4:\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{4\}:\; =\; 0\}$, мы можем записать это как $[∂ I 1 ∂ A λ 3 + ∂ I 2 ∂ A λ 2 + ∂ I 3 ∂ A λ + ∂ I 4 ∂ A] 1 + AT ⋅ ∂ I 0 ∂ A λ 3 + AT ⋅ ∂ I 1 ∂ A λ 2 + AT ⋅ ∂ I 2 ∂ A λ + AT ⋅ ∂ I 3 ∂ A = [I 0 λ 3 + I 1 λ 2 + I 2 λ + I 3] 1. {\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ frac {\ partial I_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ \ lambda ^ {3} \ right. \ left. + {\ frac {\ partial I_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ \ lambda ^ {2} + {\ frac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {A }}}} ~ \ lambda + {\ frac {\ partial I_ {4}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} \ right] {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + {\ boldsymbol { A}} ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {0}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ \ lambda ^ {3} + {\ boldsymbol {A} } ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ \ lambda ^ {2} + {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ \ lambda + {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T} } \ cdot {\ frac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} \\ = \ left [I_ {0} ~ \ lambda ^ {3} + I_ {1} ~ \ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ \ lambda + I_ {3} \ right] {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} ~. \ end {align}}}$ Сбор терминов, содержащих различные степени из λ, получаем $λ 3 (I 0 1 - ∂ I 1 ∂ A 1 - AT ⋅ ∂ I 0 ∂ A) + λ 2 (I 1 1 - ∂ I 2 ∂ A 1 - AT ⋅ ∂ I 1∂ A) + λ (I 2 1 - ∂ I 3 ∂ A 1 - A T ⋅ ∂ I 2 ∂ A) + (I 3 1 - ∂ I 4 ∂ A 1 - A T ⋅ ∂ I 3 ∂ A) = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} \ lambda ^ {3} \ left (I_ {0} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {0}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} \ right) + \ lambda ^ {2} \ left (I_ {1} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ { 2}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ частичный I_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} \ right) + \\ \ qquad \ qquad \ lambda \ left (I_ {2} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T }} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} \ right) + \ left (I_ {3} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ {4}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T }} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} \ right) = 0 ~. \ end {align}}}$ Затем, вызывая произвольное Если λ, то $I 0 1 - ∂ I 1 ∂ A 1 - AT ⋅ ∂ I 0 ∂ A = 0 I 1 1 - ∂ I 2 ∂ A 1 - I 2 1 - ∂ I 3 ∂ A 1 - AT ⋅ ∂ I 2 ∂ A = 0 I 3 1 - ∂ I 4 ∂ A 1 - AT ⋅ ∂ I 3 ∂ A = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {0} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {0}} {\ partial {\ boldsymbol {A}} }} = 0 \\ I_ {1} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - I_ {2} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {A} }}} = 0 \\ I_ {3} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ frac {\ partial I_ {4}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}}} ~ { \ boldsymbol {\ mathit {1}}} - {\ boldsymbol {A}} ^ {\textf {T}} \ cdot {\ frac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {A}}} } = 0 ~. \ End {align}}}$ Это означает, что $\partial \; I\; 1\; \partial \; A\; =\; 1\; \partial \; I\; 2\; \partial \; A\; =\; I\; 1\; 1\; -\; AT\; \partial \; I\; 3\; \partial \; A\; =\; I\; 2\; 1\; -\; AT\; (I\; 1\; 1\; -\; AT)\; =\; (A\; 2\; -\; I\; 1\; A\; +\; I\; 2\; 1)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; I\_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\; \}\}\}\; =\; I\_\; \{2\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; ~\; \backslash \; left\; (I\_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{2\}\; -I\_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; +\; I\_\; \{2\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Пусть $1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\}$будет тензором идентичности второго порядка. Тогда производная этого тензора по тензору второго порядка $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$дается выражением

$\partial \; 1\; \partial \; A:\; T\; =\; 0:\; T\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{0\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{0\}\}\}\}$

Это потому, что $1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\; \}$не зависит от $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$.

Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$- тензор второго порядка. Тогда

$\partial \; A\; \partial \; A:\; T\; =\; [\partial \; \partial \; \alpha \; (A\; +\; \alpha \; T)]\; \alpha \; =\; 0\; =\; T\; =\; I:\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\; \{\backslash \; частичный\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\})\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$

Следовательно,

$\partial \; A\; \partial \; A\; =\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\; \}$

Здесь $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\}$- тензор идентичности четвертого порядка. В индексной записи относительно ортонормированного базиса

$I\; =\; \delta \; ik\; \delta \; jlei\; \otimes \; ej\; \otimes \; ek\; \otimes \; el\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; ~\; \backslash \; delta\; \_\; \{\; jl\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{l\}\}$

Это результат означает, что

$\partial \; AT\; \partial \; A:\; T\; =\; IT:\; T\; =\; TT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}$

где

$IT\; =\; \delta \; jk\; \delta \; ilei\; \otimes \; ej\; \otimes \; ek\; \otimes \; el\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\}\; ~\; \backslash \; delta\; \_\; \{il\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; \_\; \{l\}\}$

Следовательно, если тензор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$симметричен, то производная также симметрична, и мы получаем

$\partial \; A\; \partial \; A\; =\; I\; (s)\; =\; 1\; 2\; (I\; +\; IT)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\; ^\; \{(s)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\; \}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}$

где симметричный тождественный тензор четвертого порядка равен

$I\; (s)\; =\; 1\; 2\; (\delta \; ik\; \delta \; jl\; +\; \delta \; il\; \delta \; jk)\; ei\; \otimes \; ej\; \otimes \; ek\; \otimes \; el\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathsf\; \{I\}\}\}\; ^\; \{(s)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ~\; (\backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; ~\; \backslash \; delta\; \_\; \{jl\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{il\}\; ~\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\})\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{l\}\}$

Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$и $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$два тензора второго порядка, затем

$\partial \; \partial \; A\; (A\; -\; 1):\; T\; =\; -\; A\; -\; 1\; \cdot \; T\; \cdot \; A\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right):\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \}$

В индексной записи относительно ортонормированного базиса

$\partial \; A\; ij\; -\; 1\; \partial \; A\; kl\; T\; kl\; =\; -\; A\; ik\; -\; 1\; T\; kl\; A\; lj\; -\; 1\; ⟹\; \partial \; A\; ij\; -\; 1\; \partial \; A\; kl\; =\; -\; A\; ik\; -\; 1\; A\; lj\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; A\_\; \{ij\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{kl\}\}\}\; ~\; T\_\; \{kl\}\; =\; -\; A\_\; \{ik\}\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; T\_\; \{kl\}\; ~\; A\_\; \{lj\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; implies\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{ij\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{kl\}\}\}\; =\; -\; A\_\; \{ik\}\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; A\_\; \{lj\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \}$

У нас также есть

$\partial \; \partial \; A\; (A\; -\; T):\; T\; =\; -\; A\; -\; T\; \cdot \; TT\; \cdot \; A\; -\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\; \}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}\; \backslash \; right):\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\}\}$

В индексном обозначении

$\partial \; A\; ji\; -\; 1\; \partial \; A\; kl\; T\; kl\; =\; -\; A\; jk\; -\; 1\; T\; lk\; A\; li\; -\; 1\; ⟹\; \partial \; A\; ji\; -\; 1\; \partial \; A\; kl\; =\; -\; A\; li\; -\; 1\; A\; jk\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; A\_\; \{ji\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{kl\}\}\}\; ~\; T\_\; \{kl\}\; =\; -\; A\_\; \{jk\}\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; T\_\; \{lk\}\; ~\; A\_\; \{li\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; implies\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{ji\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{kl\}\}\}\; =\; -\; A\_\; \{li\}\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; A\_\; \{jk\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \}$

Если тензор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}$симметричен, то

$\partial \; A\; ij\; -\; 1\; \partial \; A\; kl\; =\; -\; 1\; 2\; (A\; ik\; -\; 1\; A\; jl\; -\; 1\; +\; A\; il\; -\; 1\; A\; jk\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{ij\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{kl\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (A\_\; \{ik\}\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; A\_\; \{jl\}\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; A\_\; \{il\; \}\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; A\_\; \{jk\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\}$

Доказательство

Напомним, что $\partial \; 1\; \partial \; A:\; T\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{0\}\}\}\}$ Начиная с $A\; -\; 1\; \cdot \; A\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\}\}$, мы можем написать $\partial \; \partial \; A\; (A\; -\; 1\; \cdot \; A):\; T\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; \backslash \; right):\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{0\}\}\}\}$ Использование правила произведения для тензоры второго порядка $\partial \; \partial \; S\; [F\; 1\; (S)\; \cdot \; F\; 2\; (S)]:\; T\; =\; (\partial \; F\; 1\; \partial \; S:\; T)\; \cdot \; F\; 2\; +\; F\; 1\; \cdot \; (\partial \; F\; 2\; \partial \; S:\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\; \})\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\})]:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}$ получаем $\partial \; \partial \; A\; (A\; -\; 1\; \cdot \; A):\; T\; =\; (\partial \; A\; -\; 1\; \partial \; A:\; T)\; \cdot \; A\; +\; A\; -\; 1\; \cdot \; (\partial \; A\; \partial \; A:\; T)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}):\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\; \}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; :\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathit\; \{0\}\}\}\}$ или, $(\partial \; A\; -\; 1\; \partial \; A:\; T)\; \cdot \; A\; =\; -\; A\; -\; 1\; \cdot \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$ Следовательно, $\partial \; \partial \; A\; (A\; -\; 1):\; T\; =\; -\; A\; -\; 1\; \cdot \; T\; \cdot \; A\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right):\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$

Другой важной операцией, связанной с тензорными производными в механике сплошных сред, является интегрирование по частям. Формулу интегрирования по частям можно записать как

$\int \; \Omega \; F\; \otimes \; \nabla \; G\; d\; \Omega \; =\; \int \; \Gamma \; n\; \otimes \; (F\; \otimes \; G)\; d\; \Gamma \; -\; \int \; \Omega \; G\; \otimes \; \nabla \; F\; d\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Gamma\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\}$

где $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}$и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\}$- дифференцируемые тензорные поля произвольного порядка, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$- единица внешней нормали к области, в которой определены тензорные поля, $\otimes \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; otimes\}$представляет оператор обобщенного тензорного произведения, а $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; nabla\}\}\}$- это обобщенный оператор градиента. Когда $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}$равно тензору идентичности, мы получаем теорему о расходимости

$\int \; \Omega \; \nabla \; G\; d\; \Omega \; =\; \int \; \Gamma \; n\; \otimes \; G\; d\; \Gamma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash ,.\}$

Мы можем выразить формулу интегрирования по частям в декартовой записи индекса как

$\int \; \Omega \; F\; ijk....\; G\; l\; m\; n...,\; p\; d\; \Omega \; =\; \int \; \Gamma \; n\; p\; F\; i\; j\; k...\; G\; l\; m\; n...\; d\; \Gamma \; -\; \int \; \Omega \; G\; l\; m\; n...\; F\; i\; j\; k...,\; p\; d\; \Omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; F\_\; \{ijk....\}\; \backslash ,\; G\_\; \{lmn...,\; p\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; n\_\; \{\; p\}\; \backslash ,\; F\_\; \{ijk...\}\; \backslash ,\; G\_\; \{lmn...\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Gamma\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; G\_\; \{lmn...\}\; \backslash ,\; F\_\; \{\; ijk...,\; p\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; \backslash ,.\}$

Для особого случая, когда операция тензорного произведения является сжатием одного индекса, а операция градиента - дивергенцией, и обе $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}$и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\}$- тензоры второго порядка, мы имеем

$\int \; \Omega \; F\; \cdot \; (\nabla \; \cdot \; G)\; d\; \Omega \; =\; \int \; \Gamma \; n\; \cdot \; (G\; \cdot \; FT)\; d\; \Gamma \; -\; \int \; \Omega \; (\nabla \; F):\; GT\; d\; \Omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{\; d\}\}\; \backslash \; Gamma\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}):\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{G\}\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; \backslash ,.\}$

В индексных обозначениях

$\int \; \Omega \; F\; ij\; G\; pj,\; pd\; \Omega \; =\; \int \; \Gamma \; np\; F\; ij\; G\; pjd\; \Gamma \; -\; \int \; \Omega \; G\; pj\; F\; ij,\; pd\; \Omega .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; F\_\; \{ij\}\; \backslash ,\; G\_\; \{pj,\; p\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; n\_\; \{p\}\; \backslash ,\; F\_\; \{ij\; \}\; \backslash ,\; G\_\; \{pj\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Gamma\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; G\_\; \{pj\}\; \backslash ,\; F\_\; \{ij,\; p\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; Omega\; \backslash ,.\}$

• Ковариантная производная
• Исчисление Риччи