Декартова система координат

редактировать
Система координат

Изображение декартовой координатной плоскости. Отмечены четыре точки с указанием их координат: (2, 3) зеленым, (−3, 1) красным, (−1,5, −2,5) синим и начало координат (0, 0) фиолетовым.

A Декартова система координат (UK :, US : ) - это система координат, которая определяет каждую точку однозначно в плоскости набором числовых координат, которые представляют собой подписанные расстояния до точки от двух фиксированных перпендикулярных ориентированных линий, измеренных на одной и той же единица длины. Каждая точка базовая линия называется координатной осью или просто осью (множественные оси), а каждая точка встречается, является ее исходной точкой в упорядоченной паре (0, 0). Координаты также могут быть определены как положения перпендикулярных проекций точки на две оси, выраженные как расстояния со знаком от начала координат.

Можно использовать тот же принцип, чтобы указать положение любой точки в трехмерном пространстве с помощью трех декартовых координат, ее расстояния со знаком до трех взаимно перпендикулярных плоскостей (или, что то же самое, ее) перпендикулярная проекция на три взаимно перпендикулярные линии). В общем, n декартовых координат (элемент реального n-пространства ) задают точку в n-мерном евклидовом простран для любого измерения n. Эти координаты равны с точностью до знака расстояния от точки до n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей.

декартовой системы координат с кругом радиуса 2 с центром в начале оценки, отмеченном красным. Уравнение окружности (x - a) + (y - b) = r, где a и b - координаты центра (a, b), а r - радиус.

Изобретение декартовых координат в 17 век Рене Декарт (латинизированное имя: Cartesius) произвел революцию в математике, предоставив первую систематическую связь между евклидовой геометрией и алгеброй. Используя декартову систему координат, геометрические фигуры (например, кривые ) могут быть оснащены декартовыми уравнениями : алгебраическими уравнениями, включающими координаты точек, лежащих на фигуре.. Например, окружность радиуса 2 в начале плоскости может быть описана как набор всех точек, координаты x и y, которые удовлетворяют уравнению x + y = 4.

Декарты координаты являются основами аналитической геометрии, а также дает поучительные геометрические интерпретации для многих других разделов математики, таких как линейная алгебра, комплексный анализ, дифференциальная геометрия, многомерное исчисление, теория групп и другие. Знакомый пример - это концепция графика функции. Декартовы-координаторы также являются важными инструментами для сообщества прикладных дисциплин, связанных с геометрией, включая астрономию, физику, инженерию и многие другие другие. Это наиболее распространенная система координат, используемая в компьютерной графике, автоматизированном геометрическом дизайне и другой обработке данных, связанных с геометрией.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Описание
    • 2.1 Одно измерение
    • 2.2 Два измерения
    • 2.3 Три измерения
    • 2.4 Высшие измерения
    • 2.5 Обобщения
  • 3 Обозначения и условные обозначения
    • 3.1 Квадранты и октанты
  • 4 Декартовы формулы для плоскости
    • 4.1 Расстояние между двумя точками
    • 4.2 Евклидовы преобразования
      • 4.2.1 Смещение
      • 4.2.2 Вращение
      • 4.2.3 Отражение
      • 4.2.4 Скользящее отражение
      • 4.2.5 Общая матричная форма преобразований
      • 4.2.6 Аффинное преобразование
      • 4.2.7 Масштабирование
      • 4.2.8 Сдвиг
  • 5 Ориентация и маневренность
    • 5.1 В двух измеренийх
    • 5.2 В трех измерениях
  • 6 Представление вектора в стандартном базисе
  • 7 Приложения
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки
  • 10 Источники
  • 11 Дополнительная литература
  • 12 Внешние ссылки

История

Прилагательное Ca Ртезианец относится к французскому математику и философу Рене Декарту, опубликовавшему эту идею в 1637 году. Она была независимо открыта Пьером де Ферма, который также работал в трех измерениях, хотя Ферма не опубликовал открытие. Французский священнослужитель Николь Орем использовал конструкции, подобные декартовым координатам, задолго до времен Декарта и Ферма.

И Декарт, и Ферма использовали одну ось в своих трактах и ​​имеют переменную длину, измеряемую в ссылку на эту ось. Концепция использования пары осей была введена позже, после того, как La Géométrie Декарта была переведена на латынь в 1649 году Франсом ван Скутеном и его учениками. Эти комментаторы представили несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, пытаясь в работе Декарта.

Развитие декартовой системы координат сыграло бы фундаментальную роль в развитии исчисления по Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Двухкоординатное описание плоскости было обобщено до концепции векторных пространств.

Многие другие системы координат были разработаны со времен Декарта, такие как полярные координаты для плоскости, и сферические и цилиндрические координаты для трехмерного пространства.

Описание

Одно измерение

Выбор декартовой системы координат для одномерного пространства, то есть для прямой линии, включает выбор точки O линии (начало координат), единицу длины и ориентацию линии. Ориентация выбирает, какая из двух полуосей, определяемых буквой O, является положительной, а какая - отрицательной; тогда мы говорим, что линия «ориентирована» (или «указывает») от отрицательной половины к положительной половины. Тогда точка P линии может быть определена на ее расстоянии от O, взятым со знаком + - в зависимости от того, какая половина линии содержит P.

Линия с выбранной декартовой системой называется нумерованная строка . Каждое действительное число имеет уникальное расположение на линии. И наоборот, каждую точку на линии можно интерпретировать как число в упорядоченном континууме, таком как действительные числа.

Два измерения

Декартова система координат в двух измерениях (также называемая прямоугольной системой координат или ортогональной системой координат ) определяется упорядоченная пара из перпендикулярных линий (осей), одна единица длина для обеих осей и ориентация для каждой оси. Точка пересечения осей берется за начало каждой оси для каждого, превращая ось в числовую линию. Для любой точки P линия проходит через точку P перпендикулярно каждой оси, положение, в котором она встречается с осью, интерпретируется как число. Два числа в выбранном порядке представляют собой декартовы координаты P. Обратное построение позволяет определить точку P по ее координатам.

Первая и вторая координаты называются абсциссой и ординатой точки P соответственно; а точка, где оси оси, называется началом системы координат. Координаты обычно записываются в виде двух чисел в скобках в указанном порядке, разделенных запятой, как в (3, -10,5). Таким образом, начало координат имеет координаты (0, 0), а точки на положительных полуосях, на расстоянии одной единицы от начала координат, имеют координаты (1, 0) и (0, 1).

В математике, физике и инженерии первая ось обычно обозначается как горизонтальная и ориентированная вправо, а вторая ось - вертикальная и ориентированная вверх. (В некоторых контекстах компьютерной графики ось ординат может быть ориентирована вниз.) Начало координат часто обозначается буквой O, а две координаты часто обозначаются буквами X и Y или x и y. Согласно последней части алфавита используется для обозначения неизвестных значений, согласно последней части алфавита используется осью Y. Первая часть алфавита использовалась для обозначения известных значений.

A Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью. В декартовой плоскости можно определить канонические характеристики определенных геометрических фигур, таких как единичный круг (с радиусом, равной точностью и центром в начале координат), единичный квадрат (диагональ имеет концы в точках) (0, 0) и (1, 1)), гипербола блока и так далее.

Две оси делят плоскость на четыре прямых угла, называемых квадрантами. Квадранты могут быть названы или пронумерованы по-разному, но квадрант, в котором все координаты положительны, обычно называется первым квадрантом.

Если координаты точки равны (x, y), то ее положения от оси X и от оси Y равны | y | и | х | соответственно; где |... | обозначает абсолютное значение числа.

Трехмерное изображение

Трехмерная декартова система координат с началом O и осевыми линиями X, Y и Z, ориентированными, как показано стрелками. Отметки на осях расположены на расстоянии одной длины. Черная точка показывает точку с координатами x = 2, y = 3 и z = 4 или (2, 3, 4).

Декартова система для трехмерного пространства из упорядоченной тройки линий (оси), которые проходят через общую точку (начало координат) и попарно перпендикулярны; ориентация для каждой оси; и единый блок длины для всех трех осей. Как и в двумерном случае, каждая ось становится числовой линией. Для любой точки P рассматривается гиперплоскость, проходящая через точку P, перпендикулярную каждую точку координатной оси, и интерпретируется точка, в этой гиперплоскости исчисляется ось, как число. Декартовы координаты P - это эти три числа в выбранном порядке. Обратная конструкция устанавливает точку P по ее трем координатам.

В качестве альтернативы, каждая точка точки P может быть принята как расстояние от P до гиперплоскости, определяемой двумя другими осями, со знаком, определяемым положением оси.

Каждая пара осей координатную гиперплоскость. Эти гиперплоскости делят пространство на восемь триэдров, называемых октантами.

Октанты: | (+ x, + y, + z) | (-x, + y, + z) | (+ x, + y, -z) | (-x, + y, -z) | (+ x, -y, + z) | (-x, -y, + z) | (+ x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |

Координаты обычно записываются в виде трех чисел (или алгебраических формул), заключенных в круглые скобки и разделенных запятыми, как в (3, −2,5, 1) или (t, u + v, π / 2). Таким образом, начало координат имеет координаты (0, 0, 0), а единичные точки на трех осях - это (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).

Стандартных имен для координат по трем осям не существует (однако иногда используются термины абсцисса, ордината и апплика). Координаты часто обозначаются буквами X, Y и Z или x, y и z. Затем могут осью называться осью X, осью Y и осью Z соответственно. Тогда координатные гиперплоскости можно назвать плоскостью XY, плоскостью YZ и плоскостью XZ.

В математике, физике и инженерии первые две оси часто определяются или изображаются как горизонтальные, а третья ось направлена ​​вверх. В этом случае третью координату можно назвать высотой или высотой. Ориентация обычно выбирается так, чтобы угол 90 градусов от первой оси второй оси смотрел против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 1); соглашение, которое обычно называется правилами правой руки.

Координатные поверхности декартовых координат (x, y, z). Ось z режим вертикально, а ось x выделена зеленым цветом. Таким образом, красная гиперплоскость показывает точку с x = 1, синяя гиперплоскость показывает точку с z = 1, а желтая гиперплоскость показывает точку с y = −1. Три поверхности пересекаются в точке P (показанной как черная сфера) с декартовыми координатами (1, −1, 1).

Более высокие измерения

Гороскопы-декартовы, координаты уникальны и однозначны, точки декартовой плоскости могут быть идентифицированы парами вещественных чисел ; то есть с декартово произведение R 2 = R × R {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}\ mathbb {R} ^ {2} = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} , где R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} - это набор всех действительных чисел. Таким же образом точки в любом евклидовом пространстве размерности n отождествляются с кортежами (списками) из n действующих чисел, то есть с декартовым произведением R n {\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} .

Обобщения

Концепция декартовых координат обобщает, позволяя использовать оси, которые не перпендикулярны друг другу, и / или разные единицы измерения вдоль оси. В этом случае каждая координата получается путем проецирования точки на одну ось вдоль направления, параллельного другой оси (или, в общем, керплоскости , определяемой всеми другими осями). В такой наклонной системе <координат60>вычисления различных расстояний и углов должны быть сравнением со стандартными декартовыми системами и многими формулами (например, формула Пифагора для расстояния) не выполняются (см. аффинная плоскость ).

Обозначения и соглашение

Декартовы координаты точки обычно записываются в скобках и разделяются запятыми, как в (10, 5) или (3, 5, 7). Начало координат часто обозначается заглавной буквой О. В аналитической геометрии неизвестные или общие координаты часто обозначаются буквами (x, y) на плоскости и (x, y, z) в трехмерном пространстве. Этот обычай исходит из соглашения об алгебре, которая использует буквы в конце алфавита для неизвестных значений (таких как координаты точек во многих геометрическихх) и буквы в начале для заданных величин.

Эти общепринятые имена часто используются в других областях, например, в физике и технике, хотя местные и буквы. Например, на графике, показывающем, как давление изменяется с временем, координаты графика могут быть обозначены p и t. Каждая ось обычно называется в честь координаты, которая измеряется вдоль нее; поэтому говорят, что ось x, ось y, ось t и т. д.

Другое распространенное соглашение для именования координат - использование индексов, как (x 1, x 2,..., x n) для n координат в n-мерном пространстве, особенно когда n больше 3 или не указано. Некоторые авторы предпочитают нумерацию (x 0, x 1,..., x n - 1). Эти обозначения особенно полезны в компьютерном программировании : при сохранении точки координат в виде вместо записи нижний индекс может служить для индексации координат.

В математических иллюстрациях двумерных декартовых систем первая координатаанная (традиционно называемая абсциссой ) измеряется вдоль горизонтальной оси , ориентация слева направо. Вторая координата (ордината ) проходит вдоль вертикальной оси , обычно ориентированной снизу вверх. Маленькие дети, изучающие декартову, обычно изучают порядок чтения значений перед тем, как закрепить концепции x, y и z, начиная с двумерной мнемоники (например, «Пройдите по коридору, поднимитесь по лестнице», похожую на прямую). по оси X, затем вверх по вертикали по оси Y).

Компьютерная графика и обработка изображений, однако, часто используют систему координат с осью Y, ориентированной вниз на компьютерный дисплей. Это было разработано в 1960-х (или ранее) на основе соглашения, которым изображения изначально хранились в буферах отображения.

. Для трехмерных систем принято изображать плоскость xy по горизонтали с добавлением оси Z для представления высоты (положительное значение вверх). Существует соглашение о том, что ось x ориентирована к наблюдателю, смещенная вправо или влево. Если на диаграмме (трехмерная проекция или двухмерный перспективный чертеж ) оси x и y отображаются по горизонтали и вертикали, соответственно, то ось z должна быть указывающей "из страницы» к зрителю или камере. На любой диаграмме или отображении ориентации трех осей в зависимости от предполагаемого зрителя или перспективы камеры на любой диаграмме или отображении ориентации трех осей в двумерной диаграмме трехмерной системы системы ось будет указана ориентация влево или вправо. Все законы физики и математики предполагают эту праворукость, что обеспечивает согласованность.

, если специально не указано иное, положение осей относительно друг друга должна соответствовать правилу правой руки.

Для трехмерных диаграмм используются «абсцисса» и «ордината» редко для x и y, соответственно, когда это так, координата z иногда называется аппликатой . иногда используются для обозначения осей координат, а не координат.

Квадранты и октанты

Четыре квадранта декартовой системы координат

Оси двухмерной системы координат. Декартова система измерений делит плоскость на четыре бесконечные области, называемые квадрантами, каждая из которых ограничена двумя полуосями. Они часто нумеруются с 1-го по 4-й и обозначаются римскими цифрами : I (где знаки двух координат - I (+, +), II (-, +), III (-, -), Когда оси строятся в соответствии с математическим обычаем, нумерация идет против часовой стрелки, начиная с верхнего правого («северо-восточного») квадранта.

Точно так же трехмерная декартова система определяет разделение пространства на восемь областей или октантов в соответствии со знаками координат точек. Условие, используемое для наименования конкретного октанта, заключается в перечислении его знаки, например (+ + +) или (- + -). Обобщение квадранта и октанта до произвольного числа измерений - это ортант, и применяется аналогичная система имен.

Декартовы формулы для плоскости

Расстояние между двумя точками

Евклидово расстояние между двумя точками плоскости с декартовыми координатами ( Икс 1, Y 1) {\ Displaystyle (X_ {1}, Y_ {1})}(x_ {1}, y _ {1}) и (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}( x_ {2}, y_ {2}) is

d = (x 2 - x 1) 2 + (у 2 - у 1) 2. {\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.}d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.

Это Декартова версия теоремы Пифагора. В трехмерном пространстве расстояние между точками (x 1, y 1, z 1) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}(x_{1},y_{1},z_{1})и (x 2, y 2, z 2) {\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}(x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) равно

d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, {\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ { 2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}},}d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}},

которое может быть получено двумя последовательными применениями теоремы Пифагора.

Евклидовы преобразования

Евклидовы преобразования или евклидовы движения - это (биективные ) отображения точек евклидова плоскости на себя, которые сохраняют расстояния между точками. Существует четыре типа этих отображений (также называемых изометриями): смещения, вращения, отражения и отражения скольжения.

Перевод

Перевод набор точек плоскости, сохраняющий расстояния и направления между ними, эквивалентен добавлению фиксированной пары чисел (a, b) к декартовым координатам каждой точки в наборе. То есть, если исходные координаты точки (x, y), после перевода они будут

(x ′, y ′) = (x + a, y + b). {\ displaystyle (x ', y') = (x + a, y + b).}{\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}

Поворот

Чтобы повернуть фигуру против часовой стрелки вокруг начало координат под некоторым углом θ {\ displaystyle \ theta}\ theta эквивалентно замене каждой точки с координатами (x, y) точкой с координатами (x ', y'), где

Икс 'знак равно Икс соз ⁡ θ + Y грех ⁡ θ {\ Displaystyle х' = х \ соз \тета + у \ грех \ тета}{\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }
y '= х грех ⁡ θ + y соз ⁡ θ. {\ displaystyle y '= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta.}y'=x\sin \theta +y\cos \theta.

Таким образом:

(x ′, y ′) = ((x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ), ( x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ)). {\ displaystyle (x ', y') = ((x \ cos \ theta -y \ sin \ theta \,), (x \ sin \ theta + y \ cos \ theta \,)).}(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).

Отражение

Если (x, y) - декартовы координаты точки, то (−x, y) - координаты ее отражения через вторую координатную ось (ось y), как если бы эта линия была зеркалом. Точно так же (x, −y) - относительно первой координаты оси (оси x). В более общем смысле, отражение через линию через начало координат, составляющую угол θ {\ displaystyle \ theta}\ theta с осью x, эквивалентно замене каждой точки с координатами (x, y) на точку с координатами ( x ′, y ′), где

x ′ = x cos ⁡ 2 θ + y sin ⁡ 2 θ {\ displaystyle x '= x \ cos 2 \ theta + y \ sin 2 \ theta}x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta
y ′ = x sin ⁡ 2 θ - y cos ⁡ 2 θ. {\ displaystyle y '= x \ sin 2 \ theta -y \ cos 2 \ theta.}y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta.

Таким образом: (x ′, y ′) = ((x cos ⁡ 2 θ + y sin ⁡ 2 θ), (x sin ⁡ 2 θ - y cos ⁡ 2 θ)). {\ displaystyle (x ', y') = ((x \ cos 2 \ theta + y \ sin 2 \ theta \,), (x \ sin 2 \ theta -y \ cos 2 \ theta \,)).}(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).

Скользящее отражение

Скользящее отражение - это композиция отражения поперечной линии с последующим перемещением в направлении этой линии. Видно, что порядок этих операций не имеет значения (сначала может перевод, а затем отражение).

Общая матричная форма преобразований

Все эти евклидовы преобразования плоскости могут быть продукты единообразно с помощью матриц. Результат (x ′, y ′) {\ displaystyle (x ', y')}(x',y')применения евклидова преобразования к точке (x, y) {\ displaystyle (x, y)}(x, y) задается формулой

(x ′, y ′) = (x, y) A + b {\ displaystyle (x ', y') = (x, y) A + b}{\displaystyle (x',y')=(x,y)A+b}

, где A - ортогональная матрица 2 × 2, а b = (b 1, b 2) - произвольная упорядоченная пара числа; то есть

x ′ = x A 11 + y A 21 + b 1 {\ displaystyle x '= xA_ {11} + yA_ {21} + b_ {1}}{\displaystyle x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}
y ′ = x A 12 + y A 22 + b 2, {\ displaystyle y '= xA_ {12} + yA_ {22} + b_ {2},}{\displaystyle y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}

, где

A = (A 11 A 12 A 21 A 22). {\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} A_ {12} \\ A_ {21} A_ {22} \ end {pmatrix}}.}{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} A_ {12} \\ A_ {21} A_ {22} \ end {pmatrix}}.} [Векторы-строки используются для координат точки, и матрица записана справа.]

Чтобы быть ортогональной, матрица должна иметь ортогональных строки с одинаковой евклидовой длиной, равной единице, то есть

A 11 A 21 + A 12 A 22 = 0 {\ displaystyle A_ {11} A_ {21} + A_ {12} A_ {22} = 0}A_ {11} A_ {21} + A_ {12} A_ {22} = 0

и

A 11 2 + A 12 2 = A 21 2 + A 22 2 = 1. {\ displaystyle A_ {11} ^ {2} + A_ {12} ^ {2} = A_ {21} ^ {2} + A_ {22} ^ {2} = 1.}A_ {11} ^ {2} + A_ {12} ^ {2} = A_ {21} ^ {2} + A_ {22} ^ {2} = 1.

Это эквивалентно тому, что A, умноженное на его транспонирование, должно быть единичной матрицей. Если эти условия не выполняются, формула более общее аффинное преобразование плоскости при условии, что определитель A не равенство нулю.

Формула определяет преобразование тогда и только тогда, когда A является тождественной матрицей. Преобразование - это вращение вокруг некоторой точки тогда и только тогда, когда A является матрицей вращения, что означает, что

A 11 A 22 - A 21 A 12 = 1. {\ displaystyle A_ {11} A_ {22} -A_ {21} A_ {12} = 1.}A_ {11} A_ {22} -A_ {21} A_ {12} = 1.

Отражение или скользящее отражение получается, когда

A 11 A 22 - A 21 A 12 = - 1. {\ displaystyle A_ {11} A_ {22} -A_ {21} A_ {12} = - 1.}A_ {11} A_ {22} -A_ {21} A_ {12} = -1.

Предполагаемая, что преобразование не используется, преобразование можно комбинировать, просто умножая соответствующие матрицы преобразования.

Аффинное преобразование

Другой способ представления преобразований координат в декартовых координатах - использование аффинных преобразований. При аффинных преобразованиях добавляется дополнительное измерение, и всем точкамваивается значение 1 для этого дополнительного измерения. В том, что это значит, что переводы точек могут быть указаны в последнем столбце матрицы A. Таким образом, все евклидовы преобразования становятся доступными для транзакций как умножения точек. Аффинное преобразование задается следующим образом:

(A 11 A 21 b 1 A 12 A 22 b 2 0 0 1) (x y 1) = (x ′ y ′ 1). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {11} A_ {21} b_ {1} \\ A_ {12} A_ {22} b_ {2} \\ 0 0 1 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ 1 \ end {pmatrix}}.}{\begin{pmatrix}A_{11}A_{21}b_{1}\\A_{12}A_{22}b_{2}\\001\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.[Обратите внимание на матрицу A сверху был перенесен. Матрица находится слева, и используются электрические столбцы для координат точек.]

Используя аффинные преобразования, можно объединить несколько различных евклидовых преобразований, включая перевод, простой умножением соответствующих матриц.

Масширование

Пример аффинного преобразования, которое не является евклидовым движением, дается путем масштабирования. Увеличение или уменьшение фигуры эквивалентно умножению декартовой координаты каждой точки на одно и то же положительное число m. Если (x, y) - координаты точки на исходной фигуре, соответствующая точка масштабированной фигуре имеет координаты

(x ′, y ′) = (m x, m y). {\ displaystyle (x ', y') = (mx, my).}(x',y')=(mx,my).

Если m больше 1, цифра становится больше; если m находится между 0 и 1, оно становится меньше.

Сдвиг

A преобразование сдвига сдвигает вершину квадрата в сторону, образуя параллелограмм. Горизонтальный сдвиг определяется следующим образом:

(x ′, y ′) = (x + ys, y) {\ displaystyle (x ', y') = (x + ys, y)}{\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}

Сдвиг также может быть применяются по вертикали:

(x ′, y ′) = (x, xs + y) {\ displaystyle (x ', y') = (x, xs + y)}{\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}

Ориентация и рука

В двух измеренийх

Правило правой руки

Фиксация или выбор оси x определяет ось y до направления. А именно, ось y обязательно представляет собой , перпендикуляр оси x через точку, отмеченную 0 на оси x. Но есть выбор, какую из двух половинных линий на перпендикуляре обозначить как положительную, а какую как отрицательную. Каждый из этих двух вариантов определяет различную ориентацию (также называемую хиральностью) декартовой плоскости.

Обычный способ ориентирования плоскости с положительной осью X, направленной вправо, и положительной осью Y, направленной вверх (причем ось X является «первой», а ось Y - «второй» ось) признанной положительной или стандартной ориентацией, также называемой правой ориентацией.

Обычно используемый мнемоник для определения положительной ориентации - это правило правой руки. Поместите несколько сжатую правую руку на плоскость с большим пальцем вверх, указав от оси x к оси y в положительно ориентированной системе координат.

Другой способ ориентировать - это следовать правилам левой руки, положив левую руку на плоскость большим пальцем вверх.

Когда большой палец направлен от начала оси вдоль оси в положительную сторону, кривизна пальцев указывает на положительное вращение вдоль оси.

Независимо от правил, используемой для ориентации плоскости, вращение системы координат сохранит ориентацию. Переключение любых осей изменит ориентацию на обратную, но переключение оставит ориентацию сохранить.

В трех измеренийх

Рис. 7 - Левая ориентация слева, а правая - справа. Рис. 8 - Правая декартова система координат, указывающая координатные плоскости.

После задания осей x и y они определяют линию , вдоль которой должна лежать ось z, но есть две возможные ориентации для этой линии. Возникающие в результате двух возможных систем координат называются «правая» и «левая». Стандартная ориентация, при которой плоскость xy горизонтальна, а ось z направлена ​​вверх (а ось x и y образуют положительно ориентированную двумерную систему координат в плоскости xy, если смотреть сверху на плоскость xy) называется правосторонней или положительной .

декартовой трехмерной системы координат

. Название происходит от правой руки. Если указательный палец правой руки направлен вперед, средний палец согнут под прямым углом к ​​нему, а большой палец расположен под прямым углом для обоих пальца указывает относительную ориентацию осей x, y и z в правой системе. Большой палец указывает ось x, указательный палец - ось y, средний палец - ось z. И, если то же самое проделать левой рукой, получится наоборот левосторонняя система.

На рисунке 7 изображены левая и правая системы координат. Отображение трехмерного объекта на двухмерном изображении показано на рисунке. Ось, направленная вниз (и вправо), также есть для направления на наблюдателя, тогда как «средняя» ось для направления в сторону от наблюдателя. Красный круг параллелен горизонтальной плоскости xy и указывает вращение от оси x к оси y (в обоих случаях). Следовательно, красная стрелка проходит перед осью z.

Рисунок 8 - еще одна попытка изобразить правую систему координат. Опять же, возникает неоднозначность, вызванная проецированием трехмерной системы координат на плоскость. Многие наблюдатели видят рисунок 8 как «переворот» между выпуклым кубом и вогнутым «углом». Это соответствует двум возможным ориентациям пространства. Если смотреть на фигуру как выпуклую, это дает левую систему координат. Таким образом увидеть «правильный» способ просмотра рисунка 8 - представить ось x как указывающую в сторону наблюдателя и, таким образом, в изогнутом углу.

Представление вектора в стандартном базисе

Точка в пространстве в декартовой системе координат также может быть представлена ​​вектором положения , которую можно рассматривать как стрелку, указывающую из начала системы координат до точки. Если координаты представляют собой пространственные положения (с территории), обычно вектор от начала координат до интересующей точки представляется как r {\ displaystyle \ mathbf {r}}\ mathbf {r} . В двух измерениях вектора от начала координат до точки с декартовыми координатами (x, y) можно записать как:

r = xi + yj {\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j }}\ mathbf {r} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j}

где я = (1 0) {\ displaystyle \ mathbf {i} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}\ mathbf {i} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} и j = (0 1) {\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}\ mathbf {j} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ конец {pmatrix}} являются единичными документами в направление оси X и оси Y соответственно, обычно называемое стандартным базисом (в некоторых областях применения они также могут упоминаться как версоры ). Точно так же в трех измерениях вектор от начала координат до точки с декартовыми координатами (x, y, z) {\ displaystyle (x, y, z)}(x, y, z) можно записать как:

r = xi + yj + zk {\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}}\ mathbf {r} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}

где k = (0 0 1) {\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}\ mathbf {k} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} - единичный вектор в направлении оси z.

Не существует естественной интерпретации умножения векторов для получения другого вектора, который работает во всех измерениях, однако есть способ использовать комплексные числа для обеспечения такого умножения. На двумерной декартовой плоскости отождествите точку с координатами (x, y) с комплексным числом z = x + i y. Здесь i - это мнимая единица и отождествляется с точкой с координатами (0, 1), поэтому это не единичный вектор в направлении ось абсцисс. Поскольку комплексные числа можно умножать, получая другое комплексное число, эта идентификация обеспечивает средство «умножения» векторов. В трехмерном декартовом пространстве аналогичная идентификация может быть произведена с помощью подмножества кватернионов.

Приложения

Декартовы координаты - это абстракция, которая имеет множество возможных приложений в реальном мире. Однако для наложения координат на проблемное приложение используются три конструктивных шага. 1) Необходимо выбрать единицы расстояния, определяющие пространственный размер, представленный числами, используемыми в качестве координат. 2) Начало координат должно быть назначено конкретному пространственному положению или ориентиру, и 3) ориентация осей должна быть определена с использованием доступных ориентиров для всех осей, кроме одной.

Рассмотрим в качестве примера наложение трехмерных декартовых координат на все точки на Земле (то есть геопространственное трехмерное изображение). Какие единицы имеют смысл? Километры - хороший выбор, поскольку первоначальное определение километра было геопространственным - 10 000 км равнялись расстоянию на поверхности от экватора до Северного полюса. Где разместить происхождение? Основываясь на симметрии, гравитационный центр Земли предполагает естественный ориентир (который можно обнаружить с помощью спутниковых орбит). Наконец, как сориентировать оси X, Y и Z? Ось вращения Земли обеспечивает естественную ориентацию, тесно связанную с принципом «вверх-вниз», поэтому положительное значение Z может принимать направление от геоцентра к Северному полюсу. Местоположение на экваторе необходимо для определения оси X, а нулевой меридиан выделяется как справочная ориентация, поэтому ось X принимает ориентацию от геоцентра до 0 градусов долготы, 0 градусов широты.. Обратите внимание, что при трех измерениях и двух ориентациях перпендикулярных осей, закрепленных для X и Z, ось Y определяется первыми двумя вариантами. Чтобы подчиняться правилу правой руки, ось Y должна указывать из геоцентра на 90 градусов долготы и 0 градусов широты. Так каковы геоцентрические координаты Эмпайр-стейт-билдинг в Нью-Йорке? С долготы -73,985656 градусов, широты 40,748433 градуса и радиуса Земли 40 000 / 2π км и преобразования из сферических координат в декартовы вы можете оценить геоцентрические координаты Эмпайр-стейт-билдинг, (x, y, z) = (1330,53 км, –4635,75 км, 4155,46 км). GPS-навигация полагается на такие геоцентрические координаты.

В инженерных проектах решающее значение имеет согласование определения координат. Нельзя предполагать, что координаты заранее определены для нового приложения, поэтому знание того, как построить систему координат там, где ее нет, необходимо для применения мышления Рене Декарта.

В то время как пространственные приложения используют одинаковые единицы измерения по всем осям, в деловых и научных приложениях каждая ось может иметь разные единицы измерения (например, килограммы, секунды, фунты и т. Д.).). Хотя четырехмерные и многомерные пространства трудно визуализировать, алгебру декартовых координат можно легко расширить до четырех или больших чисел. (Этот вид алгебраического расширения используется для определения геометрии пространственных пространств.) И наоборот, бывает полезно использовать геометрию декартовых координат в двух или трех часто измерениях, чтобы визуализировать алгебраические отношения между двумя или тремя из многих непространственных пространств.

График функции или отношения - это набор всех точек, удовлетворяющих этой функции или отношению. Для функций одной функции f - это набор всех точек (x, y), где y = f (x) - график функции f. Для функций g двух чисел, множества всех точек (x, y, z), где z = g (x, y) - график функции g. Набросок графика такая функция или отношения будет состоять из всех ее относительных экстремумов, ее вогнутой и точки перегиба, любых точек разрыва и ее конечного поведения. Все эти термины более полно полно в исчислении. Такие графики полезны в исчислении, чтобы понять природу и поведение функции или отношения.

См. Также

Ссылки

Источники

  • Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1998), Геометрия, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
  • Бертон, Дэвид М. (2011), История математики / Введение (7-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
  • Smart, Джеймс Р. (1998), Modern Geometries (5-е изд.), Pacific Grove: Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-14 10:36:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте