Почти все

В математике термин «почти все » означает «почти все, кроме незначительного количества. ". Точнее, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является набором, «почти все элементы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$» означает "все элементы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, кроме тех, которые входят в незначительно подмножество из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$". Значение слова «ничтожно мало» зависит от математического контекста; например, это может означать конечный, счетный или нулевой.

Напротив, «почти нет » означает «незначительное количество»; то есть «почти нет элементов $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$» означает «незначительное количество элементов $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$».

• 1 Значения в различных областях математики
  • 1.1 Преобладающее значение
  • 1.2 Значение в теории мер
  • 1.3 Значение в теории чисел
  • 1.4 Значение в теории графов
  • 1.5 Значение в топология
  • 1.6 Значение в алгебре
• 2 Доказательства
• 3 Ссылки
  • 3.1 Первичные источники
  • 3.2 Вторичные источники

Преобладающее значение

В математике термин «почти все» иногда используется для обозначения «всех (элементы бесконечного множества ), но конечного множества». Это употребление встречается и в философии. Точно так же «почти все» может означать «все (элементы несчетного множества ), но счетно many».

Примеры:

• Практически все положительные целые числа являются больше 1000000000000.
• Почти все простые числа нечетные (единственное исключение - 2).
• Почти все многогранники равны неправильный (так как есть только девять исключений: пять платоновых тел и четыре многогранника Кеплера – Пуансо ).
• Если Pявляется ненулевым полином, тогда P (x)≠ 0 почти для всех x(если не всех x).

Значение в теории меры

Говоря о вещественных числах, иногда «почти все» может означать «все действительные числа, кроме нулевого набора »., если S- некоторый набор действительных чисел, «почти все числа в S» могут означать «все числа в S, кроме тех, которые находятся в нулевом наборе». вещественная линия может рассматриваться как одномерная Евклидово пространство. В более общем случае n-мерного пространства (где n- положительное целое число) эти определения могут быть обобщены на «все точки, кроме тех, которые находятся в нулевой набор "или" все точки в S, кроме тех, которые находятся в нулевом наборе "(на этот раз S- это набор точек в пространстве). В более общем смысле, «почти все» иногда используется в смысле «почти везде » в теории меры или в тесно связанном смысле «почти наверняка "в теории вероятностей.

Примеры:

• В пространстве мер, таком как вещественная линия, счетные множества равны нулю. Множество рациональных чисел счетно, и поэтому почти все действительные числа иррациональны.
• Как Георг Кантор доказал в своей первой статье по теории множеств, набор алгебраических чисел также является счетным, поэтому почти все действительные числа трансцендентны.
• Почти все действительные числа нормальные.
• Канторовский набор также имеет значение null. Таким образом, почти все действительные числа не являются его членами, даже если оно несчетно.
• Производная функции Кантора равна 0 почти для всех чисел в единичном интервале. Это следует из предыдущего примера, поскольку функция Кантора локально постоянна и, таким образом, имеет производную 0 вне множества Кантора.

Значение в теории чисел

В теории чисел, «почти все положительные целые числа» могут означать «положительные целые числа в наборе, естественная плотность которого равна 1». То есть, если Aпредставляет собой набор положительных целых чисел, и если доля положительных целых чисел в A ниже n(из всех положительных целых чисел ниже n) стремится к 1, поскольку nстремится к бесконечности, то почти все положительные целые числа находятся в A.

В более общем смысле, пусть Sбудет бесконечным набором положительных целых чисел, например набором четных положительных чисел или набор простых чисел, если Aявляется подмножеством S, и если доля элементов Sниже n, которые находятся в A(из всех элементов Sниже n), стремится к 1, поскольку nстремится к бесконечности, то можно сказать, что почти все элементы Sнаходятся в A.

Примеры:

• Естественная плотность конфинитных множеств положительных целых чисел равна 1, поэтому каждый из них содержит почти все положительные целые числа.
• Почти все положительные целые числа составные.
• Почти все четные положительные числа могут быть выражены как сумма двух простых чисел.
• Почти все простые числа изола Тед. Более того, для каждого положительного целого числа g почти все простые числа имеют пробелы больше чем g как слева, так и справа; то есть между p - g и p + g нет других простых чисел.

Значение в теории графов

В теории графов, если Aявляется набор (конечных помеченных ) графов, можно сказать, что он содержит почти все графы, если доля графов с nвершинами, которые находятся в стремится к 1, поскольку nстремится к бесконечности. Однако иногда проще работать с вероятностями, поэтому определение переформулируется следующим образом. Доля графов с nвершинами, которые находятся в A, равна вероятности того, что случайный граф с nвершинами (выбранным с помощью равномерного распределения ) находится в A, и выбор графа таким способом имеет тот же результат, что и создание графа путем подбрасывания монеты для каждой пары вершин, чтобы решить, соединять ли их. Следовательно, эквивалентно предыдущему определению, набор Aсодержит почти все графы, если вероятность того, что граф, сгенерированный подбрасыванием монеты с nвершинами, находится в A, имеет тенденцию до 1, поскольку nстремится к бесконечности. Иногда последнее определение модифицируется так, что граф выбирается случайным образом каким-то другим способом, где не все графы с nвершинами имеют одинаковую вероятность, и эти измененные определения не всегда эквивалент основного.

Использование термина «почти все» в теории графов нестандартно; термин «асимптотически почти наверняка » чаще используется для этой концепции.

Пример:

• Почти все графики асимметричны.
• Почти все графики имеют диаметр 2.

Значение в топологии

В топологии и особенно теории динамических систем (включая приложения в экономике) «почти все» топологического пространства Точки могут означать «все точки пространства, кроме тех, что находятся в скудном наборе ». Некоторые используют более ограниченное определение, где подмножество содержит почти все точки пространства, только если оно содержит некоторое open плотное множество.

Пример:

• Учитывая неприводимое алгебраическое разнообразие, свойства, которые выполняются почти для всех точек в многообразии, в точности являются универсальными свойствами. Это связано с тем, что в неприводимом алгебраическом многообразии, снабженном топологией Зарисского, все непустые открытые множества плотны.

Значение в алгебре

В абстрактной алгебре и математическая логика, если Uявляется ультрафильтром на множестве X, «почти все элементы X"иногда означает" элементы некоторого элемента U". Для любого разбиения из Xна два непересекающихся множества один из них обязательно будет содержать почти все элементы X. Можно представить элементы фильтра на Xкак содержащие почти все элементы X, даже если это не ультрафильтр.

Первичные источники

Вторичные источники