Войти
Твин простой является простым числом, что является либо 2 меньше или 2 больше, чем другой простым число, например, либо член двойной простых пар (41, 43). Другими словами, простое число-близнец - это простое число, у которого промежуток между простыми числами равен двум. Иногда термин простое число-близнец используется для пары простых чисел-близнецов; альтернативное название для этого - простой близнец или простая пара.
Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере изучения больших диапазонов в соответствии с общей тенденцией увеличения промежутков между соседними простыми числами по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза о простых числах- близнецах) или существует наибольшая пара. Прорывная работа Итан Чжана в 2013 году, а также работа Джеймса Мейнарда, Теренса Тао и других позволили добиться значительного прогресса в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время это остается нерешенным.
Нерешенная задача по математике:Бесконечно много простых чисел-близнецов?
(больше нерешенных задач по математике)Обычно пара (2, 3) не считается парой простых чисел-близнецов. Поскольку 2 - единственное четное простое число, эта пара - единственная пара простых чисел, отличающихся на единицу; таким образом, простые числа-близнецы для любых других двух простых чисел расположены как можно ближе друг к другу.
Первые несколько пар простых чисел-близнецов:
Пять - единственное простое число, которое принадлежит двум парам, так как каждая пара-близнец, большее чем имеет форму для некоторого натурального числа n ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12.
В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных простых чисел-близнецов сходится. Этот знаменитый результат, получивший название теоремы Бруна, был первым использованием сита Бруна и помог инициировать развитие современной теории сита. Современная версия аргумента Бруна может использоваться, чтобы показать, что количество простых чисел-близнецов меньше N не превышает
для некоторой абсолютной постоянной C gt; 0. На самом деле она ограничена сверху величиной
где, где C 2 - двойная простая константа, приведенная ниже.
Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, был одним из самых больших открытых вопросов в теории чисел в течение многих лет. Это содержание гипотезы о простых числах-близнецах, которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 также простое число. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу о том, что для любого натурального числа k существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 k также является простым числом. Случай k = 1 гипотезы де Полиньяка является гипотезой о простых близнецах.
Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди – Литтлвуда (см. Ниже), постулирует закон распределения простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах.
17 апреля 2013 года, Yitang Чжан объявил доказательство того, что для некоторых целого числа N, что составляет менее 70 млн существует бесконечное множество пар простых чисел, которые отличаются N. Статья Чжана была принята Annals of Mathematics в начале мая 2013 года. Теренс Тао впоследствии предложил совместную работу в рамках проекта Polymath Project для оптимизации границы Чжана. По состоянию на 14 апреля 2014 г., через год после объявления Чжана, граница была уменьшена до 246. Далее, исходя из гипотезы Эллиотта – Халберштама и ее обобщенной формы, вики проекта Polymath утверждает, что граница была уменьшена до 12 и 6, соответственно. Эти улучшенные границы были обнаружены с использованием другого подхода, более простого, чем у Чжана, и независимо открыли Джеймс Мейнард и Теренс Тао. Этот второй подход также дал оценки наименьшего f ( m), необходимые для гарантии того, что бесконечно много интервалов шириной f ( m) содержат не менее m простых чисел.
Усиление гипотезы Гольдбаха, если она будет доказана, также докажет, что существует бесконечное число простых чисел-близнецов.
В 1940 году Пол Эрдеш показал, что существует константа c lt;1 и бесконечно много простых чисел p такие, что ( p ′ - p) lt;( c ln p), где p ′ обозначает следующее простое число после p. Это означает, что мы можем найти бесконечно много интервалов, содержащих два простых числа ( p, p '), пока мы позволяем этим интервалам медленно увеличиваться в размере по мере того, как мы перемещаемся к все большим и большим простым числам. Здесь «медленно расти» означает, что длина этих интервалов может увеличиваться логарифмически. Этот результат последовательно улучшался; в 1986 г. Гельмут Майер показал, что можно использовать константу c lt;0,25. В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константа может быть улучшена до c = 0,085786… В 2005 году Голдстон, Янош Пинц и Йылдырым установили, что c может быть выбрано произвольно малым, т. Е.
С другой стороны, этот результат не исключает, что не может быть бесконечно много интервалов, содержащих два простых числа, если мы позволяем интервалу увеличиваться в размере, например, c ln ln p.
Предполагая гипотезу Эллиотта – Хальберштама или немного более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много n таких, что по крайней мере два из n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18 или n + 20 - простые числа. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечного числа n по крайней мере два из n, n + 2, n + 4 и n + 6 являются простыми числами.
Результат Yitang Zhang,
является значительным улучшением результата Голдстона – Грэма – Пинца – Йылдырима. Polymath Проект оптимизация Чжана связан и работы Maynard свела связана с N = 246.
Гипотеза Харди – Литтлвуда (названная в честь Джона Харди и Джона Литтлвуда ) является обобщением гипотезы о простых близнецах. Он касается распределения простых созвездий, включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах. Пусть π 2 ( x) обозначает количество простых чисел p ≤ x таких, что p + 2 также простое число. Определим двойную простую константу C 2 как
(здесь произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3). Тогда частным случаем первой гипотезы Харди-Литтлвуда является то, что
в том смысле, что частное двух выражений стремится к 1, когда x стремится к бесконечности. (Второй ~ не является частью гипотезы и доказывается интегрированием по частям. )
Гипотезу можно оправдать (но не доказать), если предположить, что 1 / ln t описывает функцию плотности простого распределения. Это предположение, которое предлагается теоремой о простых числах, влечет гипотезу о простых числах-близнецах, как показано в формуле для π 2 ( x) выше.
Из полностью общей первой гипотезы Харди – Литтлвуда о простых k -наборах (здесь не приводится) следует, что вторая гипотеза Харди – Литтлвуда неверна.
Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона.
Гипотеза Полиньяка 1849 года гласит, что для каждого положительного четного натурального числа k существует бесконечно много последовательных пар простых чисел p и p, таких что p - p = k (т.е. существует бесконечно много пробелов между простыми числами размера k). Случай k = 2 является гипотезой о простых двойниках. Гипотеза еще не была доказана или опровергнута ни для какого конкретного значения k, но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (в настоящее время неизвестного) значения k. В самом деле, если такого k не существовало, то для любого положительного четного натурального числа N существует не более конечного числа таких n, что p n +1 - p n = m для всех m lt; N, и поэтому для достаточно большого n мы имеем p n +1 - p n gt; N, что противоречило бы результату Чжана.
Начиная с 2007 года, два проекта распределенных вычислений, Twin Prime Search и PrimeGrid, создали несколько рекордно больших двойных простых чисел. По состоянию на сентябрь 2018 года самая большая известная пара простых чисел-близнецов - 2996863034895 2 1290000 ± 1 с 388 342 десятичными знаками. Его обнаружили в сентябре 2016 года.
Имеется 808 675 888 577 436 двойных простых пар меньше 10 18.
Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 10 15 показывает, что если количество таких пар меньше x равно f ( x) x / (log x) 2, то f ( x) составляет около 1,7 для малых x и уменьшается приближается к 1,3 при стремлении x к бесконечности. Согласно гипотезе Харди – Литтлвуда, предельное значение f ( x) предполагается равным удвоенной константе двойного простого числа ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна ).
Каждое третье нечетное число делится на 3, что требует, чтобы никакие три последовательных нечетных числа не могли быть простыми, если одно из них не равно 3. Таким образом, пять - единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Нижний член пары по определению является простым числом Чена.
Доказано, что пара ( m, m + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда
Если m - 4 или m + 6 также простое число, то три простых числа называются тройкой простых чисел.
Для пары простых чисел- близнецов вида (6 n - 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n gt; 1, n должно иметь цифру единиц 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ).
Изолированный простой (также известный как одного простого или без двойной штрихом) простое число р такое, что ни р - 2, ни р + 2 простое число. Другими словами, p не является частью пары простых чисел-близнецов. Например, 23 - изолированное простое число, так как 21 и 25 оба составные.
Первые несколько изолированных простых чисел
Из теоремы Бруна следует, что почти все простые числа изолированы в том смысле, что отношение количества изолированных простых чисел меньше заданного порога n и числа всех простых чисел меньше n стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.
