Теория сита

Теория сита - это набор общих техник в теории чисел, предназначенный для подсчета и т. Д. Чтобы реально оценить размер, просеянных наборов целых чисел. Прототипным примером просеянного набора является набор простых чисел до некоторого предписанного предела X. Соответственно, прототипным примером сита является сито Эратосфена или более общий Сито Лежандра. Прямая атака на простые числа с использованием этих методов вскоре наталкивается на очевидные непреодолимые препятствия на пути накопления ошибочных членов. В одном из основных направлений теории чисел двадцатого века были найдены способы избежать некоторых трудностей лобовой атаки с наивным представлением о том, каким должно быть просеивание.

Один из успешных подходов - это приблизить конкретный просеянный набор чисел (например, набор простых чисел ) другим, более простым набором (например, набором почти простых чисел), который обычно несколько больше, чем исходный набор, и легче анализировать. Более сложные сита также не работают напрямую с наборами как таковыми, а вместо этого подсчитывают их в соответствии с тщательно подобранными весовыми функциями для этих наборов (варианты придания некоторым элементам этих наборов большего веса, чем другим). Более того, в некоторых современных приложениях сита используются не для оценки размера просеянного набора, а для создания функции, которая является большой на множестве и в основном маленькой за ее пределами, при этом ее легче анализировать, чем характеристическую функцию из набора.

• 1 Типы рассева
• 2 Методы теории сит
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Современные сита включают Brun сито, сито Сельберга, сито Турана, большое сито и большее сито. Одна из первоначальных целей теории сита заключалась в том, чтобы попытаться доказать гипотезы теории чисел, такие как гипотеза о простых числах близнецов. Хотя первоначальные общие цели теории сита все еще в значительной степени не достигнуты, были достигнуты некоторые частичные успехи, особенно в сочетании с другими теоретическими инструментами. Основные моменты включают:

1. теорему Бруна, которая показывает, что сумма обратных величин простых чисел-близнецов сходится (тогда как сумма обратных величин самих простых чисел расходится);
2. теорема Чена, которая показывает что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 либо простое число, либо полупростое число (произведение двух простых чисел); тесно связанная теорема из Чэнь Цзинжун утверждает, что каждое достаточно большое четное число является суммой простого и другого числа, которое является простым или полупростым. Их можно считать почти несоответствующими гипотезе о простых числах близнецов и гипотезе Гольдбаха соответственно.
3. Фундаментальная лемма теории решет, который утверждает, что если просеивать набор из N чисел, то можно точно оценить количество элементов, оставшихся в сите после $N\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\}\}$итераций при условии, что $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$достаточно мало (такие дроби, как 1/10, здесь весьма типичны). Эта лемма обычно слишком слабая, чтобы отсеивать простые числа (что обычно требует чего-то вроде $N\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; ^\; \{1/2\}\}$итераций), но ее может быть достаточно для получения результатов относительно почти простых чисел.
4. Теорема Фридлендера – Иванека, которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел вида $a\; 2\; +\; b\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{4\}\}$.
5. Теорема Чжана (Zhang 2014), которая показывает, что существует бесконечно много пар простых чисел на ограниченном расстоянии. Теорема Мейнарда – Тао (Maynard 2015) обобщает теорему Чжана на произвольно длинные последовательности простых чисел.

Методы теории решет могут быть довольно мощными, но они кажется, ограничено препятствием, известным как проблема четности , которая, грубо говоря, утверждает, что методы теории решет имеют крайнюю трудность различать числа с нечетным числом простых множителей и числа с четным числом простых множителей. Эта проблема четности до сих пор не очень хорошо изучена.

По сравнению с другими методами теории чисел, теория решет является сравнительно элементарной в том смысле, что она не обязательно требует сложных концепций либо из алгебраической теории чисел, либо аналитической теории чисел. Тем не менее, более продвинутые сита все еще могут быть очень сложными и хрупкими (особенно в сочетании с другими глубокими методами теории чисел), и целые учебники были посвящены этому единственному подполю теории чисел; классическая ссылка - (Halberstam Richert 1974), а более современный текст - (Iwaniec Friedlander 2010).

Методы сита, обсуждаемые в этой статье, не имеют непосредственного отношения к целочисленной факторизации ситовые методы, такие как квадратное сито и сито общего числового поля. Эти методы факторизации используют идею решета Эратосфена для эффективного определения, какие элементы списка чисел могут быть полностью разложены на маленькие простые числа.

• Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2006), Введение в методы сита и их приложения, Тексты студентов Лондонского математического общества, 66, Cambridge University Press, ISBN 0-521-84816-4, MR 2200366
• Мотохаши, Йоичи (1983), Лекции по сетчатым методам и теории простых чисел, Лекции по математике и физике Института фундаментальных исследований Тата, 72, Берлин : Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8, MR 0735437
• Гривз, Джордж (2001), Сита в теории чисел, Ergebnisse der Mathematik унд ихрер Гренцгебиете (3), 43, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-04658-6, ISBN 3-540-41647-1, MR 1836967
• Харман, Глин (2007). Прайм-детекторные сита. Монографии Лондонского математического общества. 33 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12437-7. MR 2331072. Zbl 1220.11118.
• Хальберштам, Хейни ; Richert, Hans-Egon (1974). Ситовые методы. Монографии Лондонского математического общества. 4 . Лондон-Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Иванец, Хенрик ; Фридлендер, Джон (2010), Opera de cribro, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 57, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4970-5, MR 2647984
• Хули, Кристофер (1976), Применение методов сита в теории чисел, Cambridge Tracts in Mathematics, 70, Кембридж-Нью-Йорк-Мельбурн: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20915-3, MR 0404173
• Maynard, James (2015). «Небольшие промежутки между простыми числами». Annals of Mathematics. 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600. doi : 10.4007 / annals.2015.181.1.7. MR 3272929. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Тененбаум, Джеральд (1995), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 46, Перевод со второго французского e dition (1995) CB Thomas, Cambridge University Press, pp. 56–79, ISBN 0-521-41261-7, MR 1342300
• Zhang, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики. 179 (3): 1121–1174. doi : 10.4007 / annals.2014.179.3.7. MR 3171761. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• Бредихин, BM (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press